11.4一元一次不等式的应用 教学设计2024-2025学年冀教版数学七年级下册

第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 11.4一元一次不等式的应用   一、教材分析 这节课是在学生掌握了不等式的解法的基础上，进一步研究的内容.不等式的应用是一元一次不等式解法的巩固与延伸，因此它也是解一元一次不等式的核心内容之一，是本章的基础.本节内容的关键是从实际问题中抽象出数量关系，并通过对数量关系的分析，找出其中的不等关系，引导学生完成抽象过程，运用不等式这种数学模型将实际问题转化为数学问题，从特殊到一般，由具体到抽象，用符号语言表述结论.通过分析问题、解决问题，确保不等式的解在实际问题中与实际相符.   二、学情分析 在前面所学的知识中，学生已掌握如何求不等式的解，作为七年级的学生对于用不等关系建立数学模型来解决实际问题，容易出现的认知困难主要是：如何从实际问题出发，抽象出隐含在实际问题中的数量关系，找出数量关系中的不等关系，列一元一次不等式.在解决此类实际问题时，需要分类讨论的思想.   三、教学目标 1.类比列一元一次方程解应用题的方法，能从实际问题中抽象出数量之间的不等关系，会解决有关一元一次不等式的简单问题； 2.体会不等式在解决实际问题中的作用，发展学生的应用意识，提升学生分析和解决问题的能力； 3.通过分析实际问题中的不等关系，建立不等式模型，通过对不等式的求解来解决实际问题，训练学生的分析和建立数学模型的能力； 4.通过利用一元一次不等式解决实际问题，使学生认识数学与人们生活的密切联系，以激发学生学习数学的兴趣与信心.   四、教学重难点 重点：一元一次不等式的应用 难点：将实际问题抽象成数学问题的思维过程   五、教学过程 · 情境导入 活动一：展示图片，引入新课． 七年级(一)班的学生准备用500元购买甲、乙两种图书共12套，送给老区的幼儿园小朋友.已知甲种图书每套45元，乙种图书每套40元，那么这些钱最多能买甲种图书多少套? 我们一起来探究吧！ 设计意图：通过实际问题引入，增强趣味性，方便学生理解也更容易接受新的知识.培养学生观察和概括的能力. · 一起探究 活动二：探索解决一元一次不等式的应用问题的方法 问题1.在“情境”中，设可购买甲种图书x套，则购买甲种图书用钱为多少元，购买乙种图书多少套，购买乙种图书用钱为多少元？ 答：购买甲种图书用钱为45x多少元，购买乙种图书(12-x)套，购买乙种图书用钱为40(12-x)元 师生活动：学生独立思考，理解题意，然后自由发表自己的观点. 设计意图：设置此问题，为了使学生能够认真审题，主动思考问题. 问题2：购买甲、乙两种图书所用钱数与500元有什么关系? 答：购买甲、乙两种图书所用钱数不超过500元 师生活动：学生回答，教师不断引导并完善. 设计意图：让学生在列式子的时候更深刻理解题意，为后面列不等式做准备. 问题3：你能用不等式把这种关系表示出来吗? 答：45x+40(12-x)≤500 师生活动：学生回答，教师不断引导并完善. 设计意图：学生从实际问题中抽象出数学问题，找出数量关系中的不等关系，用不等式来解决实际问题 问题4：解上面列出的不等式，并根据解集确定实际问题的答案. 解：去括号，得45x+480-40x≤500， 移项、合并同类项，得5x≤20 系数化为1，得x≤4. 答：最多能买甲种图书4套. 师生活动：学生利用解一元一次不等式的方法进行求解. 设计意图：让学生体会建立不等式模型的过程. 归纳总结： 解决一元一次不等式的实际问题的思路 实际问题 问题中的关键语句 数学问题 1.根据题意恰当地设置未知数 (一元一次不等式) 2.用代数式表示各过程量 3.根据不等关系列出不等式 数学问题的解决 解不等式的基本方法 设计意图：让学生体会建立不等式模型的过程，学生在思考中总结，培养学生的概括能力与逻辑推理能力. · 应用举例 例1 某商场为响应国家 “家电下乡”的惠农政策，决定采购一批电冰箱，优惠销售给农民朋友.商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱共80台.其中，甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132000元.已知甲、乙、丙三种电冰箱每台的出厂价格分别为1200元、1600元和2000元，那么该商场购进的乙种电冰箱至少为多少台? 分析：数量之间的关系如下. 1200×甲种冰箱的台数+1600×乙种冰箱的台数+2000×丙种冰箱的台数≤132000. 解：设购买乙种电冰箱x台，则购买甲种电冰箱2x台，丙种电冰箱(80−3x)台. 根据题意列不等式，得 1200×2x+1600x+2000(80−3x)≤132000. 解这个不等式，得 x≥14. 答:至少购进乙种电冰箱14台. 师生活动：学生回答，教师不断引导并完善 设计意图：学生从实际问题中抽象出数学问题，找出数量关系中的不等关系，用不等式来解决实际问题. 例2. 如图，小志和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，小志和妈妈坐在一端，爸爸坐在另一端.三人的体重一共为150kg，小志的体重是妈妈体重的一半. 根据 “爸爸这端着地”的情境，指出小志的体重应小于多少千克. 分析：本题的数量之间的关系如下. 爸爸体重＞小明体重+妈妈体重. 解:设小明体重是x千克. 则 150−（2x+x）＞2x+x.解得x ＜ 25. 答：小明的体重应小于25千克. 师生活动：学生先独立思考后，分小组讨论、交流，教师指导. 设计意图：学生从实际问题中抽象出数学问题，找出数量关系中的不等关系，用不等式来解决实际问题，让学生体会建立不等式模型的过程.教师及时予以引导、归纳和总结，展现完整的解答过程。培养学生有条理地思考和表达的习惯. 归纳总结：列一元一次不等式解应用题的步骤： (1)审：分清已知量与未知量及其关系，找到题目中的不等关系，要抓住题中的“大于”“不大于”“至少”“不超过”等关键词及其含义； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解出所列不等式的解集； (5)答：结合实际写出答案． · 课堂练习 1.某市青少年活动中心组织开展青少年乒乓球比赛，该比赛分小组循环赛和复赛两个阶段进行.在小组循环赛中，每人共有8场比赛，胜一场得3分，负一场得1分，积分超过16分可获得参加复赛的资格.如果要获得参加复赛的资格，那么参赛队员在小组循环赛中至少要胜多少场? 分析：本题中的数量关系是：积分>16 设参赛队员在小组循环赛中胜出x场，则负(8−x)场，可得3x+(8−x)>16，求解即可得出结果. 解：设参赛队员在小组循环赛中胜出x场，则负(8−x)场，可得3x+(8−x)>16，解得x>4 故至少要胜5场. 答：参赛队员在小组循环赛中至少要胜5场. 2.某服装厂计划生产一种服装，每件成本是60元，售价是80元.该厂生产这种服装，每月除成本外的其他开支共为5000元.如果想使生产这种服装的月获利不低于20000元，那么每月至少要生产这种服装多少件? 分析：本题中的数量关系是：月获利≥20000.设每月至少生产x件这种服装，则有，求解即可得出结果. 解：设每月至少生产x件这种服装，则有 解得x≥1250 答：每月至少要生产这种服装1250件. 3.某工程队计划招聘从事甲、乙两种工作的工人共150名.根据工程需要，从事乙工种的人数不少于从事甲工种人数的2倍，那么从事甲工种的工人最多可招聘多少名? 分析： 本题中的数量关系是：从事乙工种的人数≥从事甲工种人数的2倍 解：设从事甲工种的工人招聘x名，则从事乙工种的工人可招聘(150−x)名，依题意，得150−x≥2x 解得x≤50 答：从事甲工种的工人最多可招聘50名. 4.某商店在一次促销活动中规定:消费者一次消费不低于200元就可享受打折优惠.一名同学为班里买奖品，准备买6本影集和若干支钢笔.已知影集每本15元，钢笔每支8元，那么他至少买多少支钢笔才能享受打折优惠? 分析：本题中的数量关系是：消费≥200 设他买x支钢笔，可得6×15+8x≥200，求解即可得出结果. 解：设他买x支钢笔，则 6×15+8x≥200，解得x≥ 故至少要买14支钢笔. 答：他至少买14支钢笔才能享受打折优惠. 设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. · 课堂总结 这节课你学到了哪些知识？说说你的体会. 设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系. · 课堂检测 1.小明家的客厅长5m，宽4m．现在想购买边长为60cm的正方形地砖把地面铺满，至少需要购买多少块这样的地板砖？ 解：设需要购买x块地板砖，则有 5×4≤0.6×0.6x. 解得x ≥. 由于地板砖的数目必须是整数，所以x的最小值为56. 答：小明家至少要购买56块这样的地板砖. 2.一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分.在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？ 分析：本题中的数量关系是：总得分≥85 解:设小明答对了x道题，则他答错和不答的共有(25－x)道题. 根据题意，得4x－1×(25－x)≥85. 解这个不等式，得x ≥ 22. 答：小明至少答对了22道题. 3.某旅游团的人数不到50，在参观一个景点时购买了一张50人的团体票， 结果比按实际人数购买个人票省钱.已知这个景点的个人票票价是60元/人，团体票打八折，那么这个旅游团可能有多少人? 解：设这个旅游团可能有x人，依题意，得 60x>60×50×0.8. 解得x>40. 由旅游团的人数不到50可得，x=41，x=42，⋯x=49 答：这个旅游团可能有41人，42人，……，49人. 4.某校组织七年级师生共480人春游，现有25座和45座（均含司机座位）两种汽车可供租用.已知25座客车的租金为205元/辆，45座客车的租金为370元/辆. （1）若单独租用一种客车，请你通过计算说明租用哪种汽车更划算？ （2）该校决定这次春游同时租用这两种车辆.若45座客车比25座客车少租3辆，则45座客车最少需租用多少辆？这样的租车方式比单独租用一种车辆合算吗？说明你的理由. 解：(1)单独租用25座客车：480÷(25−1)=20；20×205=4100(元) 单独租用45座客车：480÷(45−1)≈10.9 取11；11×370=4070(元) 答：单独租用45座客车更划算. (2)设租用45座客车x辆：(45−1)x+(25−1)(x+3)≥480 解得x≥6 则租用45座客车6辆，25座客车9辆 6×370+9×205=4065(元)＜4070(元) 答：这种租车方式比单独租一种客车更划算.   六、板书设计 学科网（北京）股份有限公司 $$