11.1 不等式 -【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦一元一次不等式的概念及用不等式表示不等关系。课堂导入通过复习数量关系中的相等与不等，联系已学方程知识，结合身高比较、训练时间等生活实例引出不等关系，搭建从方程到不等式的学习支架。 该资料特色在于类比方程进行不等式教学，通过问题链引导学生从现实情境（如交通载重限制、零用钱支出）抽象不等关系，渗透建模思想。注重用数学眼光观察现实世界，数学思维推理不等关系，数学语言表达数量关系，帮助学生发展符号意识和模型意识，提升教师教学的系统性和实效性。

第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 单 元 备 课 第十一章 本章所需课时数 8课时 课标要求 1.结合具体情境，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质. 2.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示解集;会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集. 3.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式,解决简单的问题. 教材分析 不等式的知识是学生在学习了一元一次方程和二元一次方程组之后，进一步探索现实世界数量关系的重要内容，数量之间除了有相等关系外，还有不等关系.正如方程与方程组是讨论等量关系的有力数学工具一样，不等式与不等式组是讨论不等关系的有力数学工具.应用不等式的基本性质解一元一次不等式（组）是一项基本技能.而不等式（组）在解决许多实际问题中也有广泛的应用.对中学数学而言，在比较两个量的大小以及数、式、方程和函数的研究中，都要用到不等式的知识.而一元一次不等式（组）是最简单的含未知数的不等式（组），也是进一步学习更复杂不等式和函数的基础，具有承上启下的作用. 主要内容 本章内容包括：不等式的概念及性质，一元一次不等式和一元一次不等式组的概念及解法，一元一次不等式的简单应用. 教学目标 1.经历从实际问题抽象出不等式的过程，能够根据具体问题中的数量大小关系了解不等式的意义. 2.利用数学结合，通过观察、猜想、类比和归纳，探索不等式的基本性质，并能灵活运用这些性质解不等式. 3.理解一元一次不等式和一元一次不等式组的解集的意义，能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集.会用数轴确定一元一次不等式组的解集，在解不等式组的过程中，体会数形结合的思想. 4.知道解一元一次不等式和一元一次不等式组的一般步骤，掌握一元一次不等式（组）的解法. 5.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验所求结果的合理性. 课时分配 11.1 不等式 1课时 11.2 不等式的基本性质 1课时 11.3 解一元一次不等式 2课时 11.4 一元一次不等式的应用 1课时 11.5 一元一次不等式组 2课时 回顾与反思 1课时 知识结构 教与学建议 1.关注不等式、方程的内在联系，类比等式(方程）进行不等式的教学. 2.加强思想方法的渗透，发展学生的思维能力. 3.教学中引导学生有效地从实际问题中建立数学模型，求出符合实际的解. 11.1 不等式 课题 不等式 课型 新授课 教学内容 教材第144-147页的内容 教学目标 1.经历从现实情境中抽象出不等式的过程，掌握不等式的概念，进一步发展学生的符号意识. 2.学会用不等式表示数量关系，渗透建模思想． 教学重难点 教学重点：不等式的概念以及用不等式表示实际问题中的不等关系. 教学难点：根据实际问题建立不等关系. 教 学 过 程 备 注 1.复习旧知，引入课题 数学是研究数量关系和空间形式的学科，那么数量之间会有哪些关系呢？你有学过哪些相关知识呢？ 预设：相等与不相等的关系，在以前学习的方程和方程组中，涉及的是等量关系，在学习两个数比较大小时，用到的是不等关系. 追问 对于不相等的关系问题，我们如何用式子来表示它们呢？ 师生活动 学生讨论交流并举手发言，教师总结，并给出实例，引出新课. 【实例】例如，小明的身高为155cm， 小聪的身高为156cm，则我们可以用 不等号“＞”或“＜”来表示他们的身高之间的关系。如：156 ＞155或155＜156. 2.类比探究，学习新知 【探究1】不等式的概念 问题1 小明与小亮进行百米训练，小明先到达终点.小明到达终点所用的时间为15.2 s.如果小亮所用的时间为a s，请回答下列问题： (1)a 与15.2是同一类量吗？ (2)都是表示什么的量？单位一致吗？ (3)小明先到达终点说明谁用的时间短？ 所以有：a ____15.2 （＞） 问题2小明在某一周的零用钱为m元，他在这一周的支出情况如下表： 在略有结余的情况下，请回答下列问题： (1)m 与60是同一类量吗？ (2)都是表示什么的量？单位一致吗？ (3)“略有结余”说明那个数量大？ 所以有：m ____60 （＞） 师生活动 教师展示以上两个问题，并进行引导式的提问，学生跟着教师的提问，独立思考，然后交流讨论. 问题4 某公路边设有如图所示的交通标志牌，这是对通行车辆载重和车速的限制标志.如果某一通行车辆的总质量为a t，行驶速度为v km/h，且符合通行的要求，那么应如何表示a，v的取值范围呢？ 预设：a≤20，v≤40. 师生活动 学生先独立思考，再小组讨论. 教师可以提示学生题目中表示不等关系的词语，引导学生翻译成相应的不等号. 问题4 在公路上，有大、小两辆卡车从甲地向乙地运货.大卡车的行驶速度为60 km/h，小卡车的行驶速度为80 km/h，大卡车比小卡车早出发1h. (1) 如果设小卡车行驶的时间为x h，那么它行驶的路程该怎样表示？这时，大卡车行驶的路程又怎样表示？ 预设：由于学生在七年级上册已经学习过列代数式一课.学生能够根据题意列出代数式.小卡车行驶路程为80x km；大卡车行驶路程表示为60(x＋1)km. (2) 小卡车赶上或超过大卡车后，它们所行驶的路程之间的关系应怎样表示？ 预设：学生探究时抓住关键词“赶上”“超过”，就很容易得到小卡车赶上大卡车后两车行驶路程的关系式为80x=60(x＋1).小卡车超过大卡车后两车行驶路程的关系式为80x＞60(x＋1). 师生活动 学生先独立思考，再小组讨论.教师可以提示学生题目中表示不等关系的词语，引导学生翻译成相应的不等号. 追问1 观察式子155 ＜156，156 ＞ 155，a ＞ 15.2 ， m ＞ 60 ，80x≥60(x＋1)，它们有什么共同点？ 预设：这些式子都不是用等号连接而成的.（或这些式子都是用不等号连接而成的） 师生活动 学生独立思考，交流讨论，教师点名让学生口述它们的发现.教师点评，给出定义. 【定义】我们把用不等号“＞”“＜”“≥”“≤”等连接而成的式子叫作不等式. 其中,“≥”表示“不小于”，读作“大于或等于”；“≤”表示“不大于”，读作“小于或等于”. 【小练习】a不小于(不低于)b表示为 ； a为非负数表示为 ； a不大于(不高过)b表示为 ； a为非正数表示为 . 答案：a≥b a≥0 a≤b a≤0 追问2 （3）根据刚才的【问题3】，完成下表： 小卡车行驶的时间x／h 小卡车行驶的路程／km 大卡车行驶的路程／km 1 80 120 2 160 180 3 240 240 4 5 6 ┆ ┆ ┆ （4） 观察表格并回答，小卡车开出多少小时后赶上或超过大卡车？ 预设：（3）320,400,480;300,360,420；（4）x≥3 师生活动 学生积极思考，相互交流讨论，教师引导学生用不等式表示（4）的答案，然后学生发言回答，教师点评，总结. 【总结】由列表可知，当x=3时，80x=60(x＋1，当x＞3时，80x>60（x+1）成立，所以当x≥3时，80x≥60(x＋1)成立. 当判断一个数是否能使不等式成立时，将数分别代入不等号两侧的式子，观察两侧的式子的值的大小是否与不等号一致， 若一致则不等式成立，否则不成立. 3.学以致用，应用新知 例1下列式子是不等式的有 (　D　) ①2x=20；②3＞2；③x≠4-3；④5a+6b；⑤x＞2y；⑥1＜3x+5y； ⑦；⑧＞3. A．2个　　B．3个　　 C．4个　　　D．5个 【总结】关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠.如果式子中没有这些不等号，就不是不等式． 例2 用不等式表示： (1) y的3倍不小于8； (2) m与10的和不大于m的一半； (3)某湖，汛前水位是340 cm，警戒水位是400 cm.汛期，湖水平均每天上涨8 cm，x天后湖水将超过警戒水位. 答案：（1）3y≥8.（2）m+10≤m.（3）8x＋340＞400. 【总结】列不等式时，要弄清不等关系，抓关键词，以及用符号如何表示.如：低于、超过、最高、最低、最多、最少、至少、不高于、不低于、不大于、不小于 ，抓住“＞”“＜”“≥”或“≤”的本质含义。 例3 在-2,-1,0,1中，当x取哪些数时，能使不等式3x+5＞0成立？ 解：当x=-2时，3x＋5=-1＜0； 当x=-1时，3x＋5=2＞0； 当x=0时，3x＋5=5＞0； 当x=1时，3x＋5=8＞0； 所以：当x取-1,0,1时，不等式3x+5＞0成立. 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列各式，不等式一共有 个. ① 5=9－4；②5＞－3；③x＋2≠3＋x;④2＋x≥2x－1; ⑤a2＋2a＋1≤8. 答案：4 （2）有理数a,b在数轴上的位置如图所示，用不等号填空： ① a-b___0;②a+b___0;③|a|___|b|. 答案：＞ ＜ ＜ （3）用不等式表示下列数量关系： ①a是负数；②x比－3小；③两数m与n的差不大于5. 解：①a ＜ 0；②x ＜－3；③m－n ≤5. （4）在－1,0,0.5,3,7中，哪些能使不等式x＋0.5＜2 成立？ 解：当x=－1时，x＋0.5=－0.5＜2；当x=0时，x＋0.5=0.5＜2；当x=0.5时，x＋0.5=1＜2；当x=3时，x＋0.5=3.5＞2； 当x=7时，x＋0.5=7.5＞2. 所以，当x取－1,0,0.5时，不等式x＋0.5＜2成立. (5)①雷电的温度大约是28 000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高.设太阳表面温度为t℃，那么t应该满足怎样的关系式？ ②黄石市某天的最高气温为＋5℃，最低气温比最高气温低8℃，则这天此地气温t(℃)应该满足怎样的关系式？ 解：①4.5t＜28000；②－3 ≤t≤5. 5. 课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答问题： 1.什么是不等式？常用的不等符号有哪些？ 2.列不等式的一般步骤是什么？ 6.布置作业 课本P147页习题A、B组. 通过提问，引出学生对数量关系的思考，引出新知的同时，为接下来的类比学习做好铺垫.同时借助生活实例，直观形象，激发学生学习兴趣． 通过问题1,2探究不等关系，引导学生得出问题的答案，为接下来引出概念打下基础． 通过问题3，4（1）（2），让学生自主探索知识，在教师的引导下列出不等式，提高文字语言转化为数学语言的能力. 让学生观察总结， 引出不等式的定义，培养学生独立思考与合作交流的能力，提升总结概括能力． 通过问题3（3）（4） 探究不等式成立的方法，让学生在探索中得出结论. 教师可以巡视，观察学生自主完成情况，对有问题的学生及时提示关键. 通过例2探究列不等式的关键，让学生对列不等式的思路更加清晰，学会列不等式。 通过例3让学生进一步了解使不等式成立的未知数的值可以有多个，为讲解不等式的解集作准备. 通过随堂练习，检查学生对知识的掌握程度，对掌握不好的学生能够及时给予帮助. 通过课堂小结，帮助学生梳理本节所学内容，激发学生参与课堂总结的主动性，培养学生的语言概括能力. 板书设计 11.1 不等式 1.不等式的概念 2.不等式成立的值 3.列不等式 提纲挈领，重点突出 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $