9.3 公式法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦用平方差公式和完全平方公式分解因式，通过复习提公因式法等旧知引出新问题，构建前后知识联系，形成学习支架，引导学生探索公式法因式分解。 资料特色在于逆向运用乘法公式培养逆向思维，分析多项式结构发展抽象能力，如平方差公式通过整式乘法与因式分解对比，完全平方公式归纳“首²±2×首×尾+尾²”特征，提升学生运算与推理能力，助力教师高效教学。

9.3 公式法 第1课时 用平方差公式分解因式 课题 用平方差公式分解因式 课型 新授课 教学内容 教材第117-119页的内容 教学目标 1.探索利用平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)进行因式分解的方法，进一步感受因式分解与整式乘法之间的关系，体会逆向思维和化归思想. 2.掌握平方差公式的结构特征，能运用平方差公式进行简单的因式分解，提升观察能力和运算能力． 教学重难点 教学重点：利用平方差公式进行因式分解. 教学难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并正确的进行分解. 教 学 过 程 备 注 1.复习旧知，引入课题 问题 什么叫多项式的因式分解？多项式的因式分解和整式的乘法之间是什么关系？ 预设：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解． 多项式的因式分解和整式的乘法是方向相反的变形． 师生活动 师生共同回顾因式分解的概念，以及因式分解和整式乘法的关系． 追问 前面我们学习了提公因式法，知道可以通过提取公因式的方法分解因式．那么，如果一个多项式，它的各个项没有公因式，例如，x2–9，m2–25n2，还能进行因式分解吗？ 2. 观察探究，学习新知 【探究1】利用平方差公式进行因式分解 问题1 请同学们计算下列各式： （1）(x+5)(x–5) = ；（2）(3x+y)(3x–y) = ； 答案：（1）x2–25；（2）9x2－4y2． 追问1 大家说说计算的依据是什么？ 预设：平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2． 追问2 请大家试着分解因式： （1）x2–25= ；（2）9x2–y2= ； 答案：（1）(x+5)(x–5) ；（2）(3x+y)(3x–y) . 追问3 对比以上两组式子，同学们发现了什么呢？ 师生活动 教师组织学生交流讨论，师生达成共识：由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把(x＋5)(x－5)＝x2－25和(3x＋2y)(3x－2y)＝9x2－4y2的等号两边互换位置，就可以得到相应的因式分解的结果. 教师总结：我们把上面的发现推广到一般情况，在整式乘法中，平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2是把两个因式的积化为平方差的形式，反过来，a2－b2＝(a＋b)(a－b)就是分解因式. 【探究2】利用平方差公式因式分解的多项式的的结构特征 问题2 请大家观察x2–9，m2–25n2，它们有什么共同特征？ 预设：它们都可以表示两项的差. 追问1 还有同学补充吗？ 预设：每一项都可以写成平方的形式，比如x2–9可以写成x2–32，m2–25n2可以写成m2–（5n）2. 师生活动 先让学生思考，小组交流讨论，找学生代表进行回答，其他学生点评、补充.教师最后总结：这些多项式的特点它们都是二项式，都可以写成两项的差，且每项都可以写成平方的形式. 追问2 那我们怎么将上面两个多项式进行因式分解呢？ 预设：利用公式a2－b2＝(a＋b)(a－b). 即x2–9=x2–32=（x+3）（x－3）， m2–25n2＝m2–（5n）2＝（m+5n）（m－5n） 教师总结：如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积. 3.例题讲解，应用新知 例1 把下列各式分解因式. （1）4x2-9y2； （2）(3m-1)2-9. 师生活动 师生共同分析第（1）小题，教师引导学生先明确4x2，相当于公式中的a2，9y2相当于公式中的b2，也就是说2x相当于公式中的a，3y相当于公式中的b，可以把4x2－9先写成平方差的形式，再写成两个因式相乘的形式，教师板书解答过程，提醒学生注意书写格式，学生独立完成第（2）小题，学生代表上台板书，分享交流．教师强调运用平方差公式分解因式时，关键是找出相当于公式中的a和b的式子． 解：（1）4x2-9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)·(2x-3y). （2）(3m-1)2-9=(3m-1)2-32=(3m-1+3)(3m-1-3)=(3m+2)(3m-4). 例2把下列各式分解因式. （1）a3-16a； （2）2ab3-2ab. 教师提醒：（1）因式分解时，通常先考虑提公因式法，然后再考虑其他方法；（2）因式分解要彻底，直到不能分解为止. 解：（1）a3-16a=a(a2-16)=a(a-4)(a+4). （2）2ab3-2ab=2ab(b2-1)=2ab(b+1)(b-1). 【归纳】用平方差公式分解因式的一般步骤： 第1步，观察多项式的特点，确定a，b； 第2步，把多项式的两项写成两个数（式子）的平方； 第3步，因式分解成两个数（式子）的和与差相乘的形式； 第4步，因式分解的结果，能化简的要化简． 4.随堂训练，巩固新知 （1） 因式分解x2－4y2的结果是 ( ) A. (x＋4y)(x－4y) B. (x＋2y)(x－2y) C.(x－4y)2 D.(x－2y)2 答案：B （2）下列各式不能用平方差公式分解的是 (　 　) A.－a2 ＋b2 B.－x2 －y2 C.49x2 y2 －z2 D.16m4－25n2 答案：B （3）用平方差公式分解因式. ①9x2－16； ②； ③4b2－(b＋c)2 ； ④x3－x； 解:①9x2－16=(3x＋4)(3x－4). ②a2－b2=(a+b)(a－b). ③4b2－(b＋c)2 =[2b＋(b＋c)][2b－(b＋c)]=(3b＋c)(b－c). ④x3－x=x(x＋1)(x－1). 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答问题： 1. 怎样判断一个多项式能否运用平方差公式分解因式？ 2. 用平方差公式进行因式分解的一般步骤是什么？ 3. 在运用平方差公式分解因式时，有哪些注意事项？ 6.布置作业 教材第 118~119 页习题 通过复习因式分解的概念和提公因式法，引出不能用此法分解因式的多项式，激发学生的好奇心和探索欲，为本节课的新知学习作好铺垫． 学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力。 让学生通过自己的归纳，明确能够利用平方差公式进行因式分解的多项式的特征，让学生在观察、思考和实践的过程中，进一步感受因式分解与整式乘法之间的关系，发展学生的类比和归纳能力． 通过例1，帮助学生加深对平方差公式结构特征的认识，体会整体代换的思想，从而更好地理解公式、运用公式． 通过例2让学生认识到在分解因式时，有时需要用两种或两种以上的方法，归纳出因式分解的步骤“一提，二套，三查”的方法,以及分解要彻底的思想. 通过练习，帮助学生养成“观察公式结构—匹配公式结构—规范书写步骤”的习惯，构建完整的思维链条，巩固用平方差公式分解因式的方法，提升运算能力． 通过课堂小结，帮助学生梳理本节所学内容，激发学生参与课堂总结的主动性，培养学生的语言概括能力. 板书设计 第1课时 用平方差公式分解因式 提纲挈领，重点突出 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 9.3 公式法 第2课时 用完全平方公式分解因式 课题 用完全平方公式分解因式 课型 新授课 教学内容 教材第119-121页的内容 教学目标 1.探索利用完全平方公式a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 ，a2－2ab＋b2＝(a－b)2进行因式分解的方法，进一步感受因式分解与整式乘法之间的关系，体会逆向思维和化归的思想方法，提升观察能力和运算能力． 2. 掌握完全平方公式的结构特征，能运用完全平方公式进行简单的因式分解． 教学重难点 教学重点：运用完全平方公式分解因式。 教学难点：把多项式看成完全平方公式中一个字母的因式分解。 教 学 过 程 备 注 1.复习旧知，引入课题 问题 1.什么叫因式分解？ 预设：把一个多项式转化为几个整式乘积的形式. 2.我们已经学了哪些因式分解的方法？ 预设：（1）提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c). （2）用平方差公式分解因式，即把(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来，可得a2－b2＝(a＋b)(a－b). 3.你能将下面的多项式分解因式吗？ （1）x2＋2x＋1＝___________； （2）x2－2x＋1＝___________． 追问 对于这两个多项式，还可以使用“提公因式法”或“平方差公式”分解因式吗？ 师生活动 教师引导学生回顾因式分解的概念与方法，引出不能利用上述方法分解因式的多项式，进而引出本节课题. 2.观察探究，学习新知 【探究1】利用完全平方公式进行因式分解 问题1 请同学们计算下列各式： （1）(x＋1)2＝__________；（2）(x－1)2＝__________． 答案：（1）x2＋2x＋1；（2）x2－2x＋1． 追问1 大家说说计算的依据是什么？ 答案：完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2． 追问2 请大家试着分解因式： （1）x2＋2x＋1＝____________； （2）x2－2x＋1＝____________． 答案：（1）(x＋1)2；（2）(x－1)2． 追问3 对比以上两组式子，同学们发现了什么呢？ 师生活动 有了探索利用平方差公式进行因式分解的学习经验，学生容易得出：由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把(x＋1)2＝x2＋2x＋1和(x－1)2＝x2－2x＋1的等号两边互换位置，就可以得到相应因式分解的结果． 教师总结：我们把上面的发现推广到一般情况，对于整式的乘法的完全平方公式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 ，(a－b)2＝a2－2ab＋b2 若把完全平方公式反过来，就得到公式， a2＋2ab＋b2 ＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2 这样，我们就可以利用完全平方公式 对一些多项式进行因式分解. 【探究2】利用完全平方公式因式分解的多项式的的结构特征 问题2 请观察x2＋2x＋1和m2－4mn＋4n2，它们有什么共同特征？ 预设：它们都含有三项. 追问1 还有其他同学补充吗？ 预设：有两项可以写成平方的形式.比如x2＋2x＋1可以写成x2＋2x＋12，m2－4mn＋4n2可以写成m2－4mn＋(2n)2. 追问2 大家还有其他发现吗？ 预设：满足a2＋2ab＋b2 和a2－2ab＋b2的形式. 师生活动 先让学生思考，小组交流讨论，找学生代表进行回 答，其他学生点评、补充. 教师总结：这些多项式的特点是他们都是二次三项式，都有两个数的平方和与这两个数的积的二倍，或者这两个数积的二倍的相反数.我们把形如a²+2ab+b²、a²−2ab+b² 的多项式称为完全平方式。用文字表示就是：首²±2×首×尾+尾² 追问3 那我们怎么将上面两个多项式进行因式分解呢？ 预设：利用公式a2＋2ab＋b2 ＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2，即x2＋2x＋1=x2+2·x·1+12=（x+1）2，m2－4mn＋4n2=m2－4mn＋(2n)2＝m2－2·m·2n＋(2n)2=(m－2n)2. 教师总结：逆用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解. 板书： 3.例题讲解，应用新知 例1 把下列各式分解因式： （1）t2＋22t＋121； (2)m2＋n2－mn 师生活动 师生共同分析第（1）小题，教师引导学生与完全平方公式的结构进行对比，先明确t2相当于公式中的a2，121相当于公式中的b2，也就是说t相当于公式中的a，11相当于公式中的b，22t可以写成2×11×t，相当于公式中的2ab，可以把t2＋22t＋121先写成完全平方式的形式，再写成两个因式相乘的形式．教师板书解答过程，提醒学生注意书写格式．学生再独立完成第（2）小题，学生代表上台板书，分享交流．教师强调运用完全平方公式分解因式时，关键是找出相当于公式中的a和b的式子． 解：(1)t2＋22t＋121=t2＋2×11×t＋112=(t＋11)2. (2)m2＋n2－mn=m2－2·m·n＋=. 例2 把下列各式分解因式 . （1）ax2+2a 2x+a 3 ; （2）（x+y）2 -4（x+y）+4； （3）(3m-1)2+(3m-1)+ . 师生活动 教师在黑板上演示完全平方式分解的步骤，演示过程中每一步对于学生有针对性的提问，引导学生观察能够利用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征. 解:（1）ax2+2a 2x+a 3=a（x2+2ax+a2 )=a(x+a)2 . （2)(x+y)2 -4（x+y)+4=(x+y) 2 -2·（x+y)·2+22=(x+y-2)2 . (3)(3m-1)2+(3m－1）+ =(3m-1）2+2·（3m－1）· + = . 教师总结：部分多项式在进行因式分解的时候需要先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解. 【归纳】 运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫作公式法. 随堂训练，巩固新知 （1）下列四个多项式中，能分解因式的是 （ ） A.a2＋1 B.a2－6a+9 C.x2+5y D.x2－5y 答案：B （2）下列因式分解正确的是 （ ） A. a 4b-6a 3b+9a 2b=a 2b(a 2 6a+9) B. x 2x+ = C.x 2 2x+4=（x2)2 D. 4x 2y 2=(4x+y)（4xy） 答案：B 3.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为 . 答案：±4 4.把下列各式分解因式： （1）x2－12x＋36； （2）4p2＋12pq＋9q2； （3）(x＋y)2－10(x＋y)＋25； （4）－2xy－x2－y2． 解：（1）x2－12x＋36＝x2－2·x·6＋62＝(x－6)2； （2）4p2＋12pq＋9q2＝(2p)2＋2·2p·3q＋(3q)2＝(2p＋3q)2. （3）(x＋y)2－10(x＋y)＋25＝(x＋y)2－2·(x＋y)·5＋52＝(x＋y－5)2. （4）－2xy－x2－y2＝－(x2＋2xy＋y2)＝－(x＋y)2． 5用简便方法计算：20242－2024×4046+20232． 解：原式=20242－2×2024×2023+20232 =（2024-2023）2． 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生思考并回答问题： 1.怎样判断一个多项式是否是完全平方式？ 2.用完全平方公式进行因式分解的一般步骤是什么？ 3.在运用完全平方公式分解因式时，有哪些注意事项？ 6.布置作业 教材第 121页习题。 复习提公因式法和利用平方差公式分解因式的方法，引出不能利用上述方法分解因式的多项式，激发学生的好奇心和探索欲，为本节课的新知学习作好铺垫，增强学生学习的积极性． 学生通过观察、对比，把整式乘法中的完全平方公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力。 让学生知道不是所有的多项式都可以逆用完全平方公式分解，只有符合完全平方式的式子才可以，同时掌握完全平方平方式的特点，以便更好判断能否用完全平方式来进行分解。 ． 通过例题，帮助学生加深对完全平方公式结构特征的认识，体会整体代换的思想，从而更好地理解公式，灵活运用公式 通过练习，帮助学生养成“观察公式结构—匹配公式结构—规范书写步骤”的习惯，构建完整的思维链条，巩固用完全平方公式分解因式的方法，提升运算能力． 通过课堂小结，帮助学生梳理本节所学内容，激发学生参与课堂总结的主动性，培养学生的语言概括能力. 板书设计 第1课时 用完全平方公式分解因式 1.逆用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解。 2.完全平方式的特点：首²±2×首×尾+尾² 提纲挈领，重点突出 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $