9.2 提公因式法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦“提公因式法”这一核心知识点，通过复习因式分解概念及整式乘法关系，以填括号练习引导学生思考已知因式补全问题，再提出未给因式时的分解需求，搭建新旧知识衔接的学习支架。 此资料以问题串驱动探究，通过观察多项式项与因式归纳公因式概念，培养抽象能力，对比不同分解结果引导学生从系数、字母、指数推理确定公因式，渗透推理意识，结合多项式公因式例题与实际求值训练，强化整体思想与应用意识，助力学生提升数学思维，便于教师高效开展教学。

11.2 提公因式法 课题 提公因式法 课型 新授课 教学内容 教材第113-116页的内容 教学目标 1.通过分析多项式中各项的共同因式，得到公因式的定义. 2.通过问题串的方式，引导学生归纳出什么是最大公因式. 3.通过大量练习，总结出提取公因式的一般步骤. 教学重难点 教学重点：多项式各项公因式的确定方法及提公因式法分解因式的步骤. 教学难点：准确确定公因式以及提出公因式后所得的另一个因式. 教 学 过 程 备 注 1.复习旧知，引入课题 上节课我们学习了因式分解的概念以及因式分解与整式乘法之间的关系，同学们还能回忆起来吗？ 师生活动 学生独立思考，教师选学生回答这些概念，其他同学判断正误或补充. 问题 填一填 （1）6x+4=2( )； （2）a2+ab+2a= a( ). 师生活动 学生独立完成，学生集体口答. 答案：(1)3x+2 （2）a+b+2 追问 如果未给出多项式的一个因式，该如何进行因式分解？ 你能试着将下面两个多项式进行因式分解吗？ （1）ma+mb+mc； （2）ab2-2a2b. 师生活动 学生思考，教师引出本节课题，今天我们学习因式分解的第一种方法——提公因式法（板书课题） 2.观察探究，学习新知 【探究1】公因式与提公因式法的概念 问题1 (1)多项式ma＋mb＋mc有几项? 每一项的因式都有哪些? 这些项中有没有相同的因式?若有,是哪个? 答案：ma, mb, mc；依次为m, a和m, b和m, c；有，为m (2)在多项式ab2－2a2b的两项中，有没有相同的因式?若有，是哪些? 答案：有，为a, b, ab 师生活动 先让学生独立思考作答，教师选学生回答,其他同学判断正误或补充.教师进行点评，并指出一个多项式的共因式可能不止一个，但是其中次数最高的公因式只有一个.教师进行归纳，引入公因式的概念. 公因式：一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个多项式各项的公因式，简称多项式的公因式. 追问 类比于乘法分配律的逆用，我们可以将上述多项式怎么变形？ 答案：ma＋mb＋mc=m（a＋b＋c）； ab2-2a2b=ab（b-2a）. 师生活动 教师引导学生类比总结：类比于乘法分配律的逆用，我们可以将多项式中的公因式提取出来，进而将多项式分解成两个因式乘积的形式,从而归纳总结出提公因式法的概念. 提公因式法：逆用乘法对加法的分配律，可以把公因式提到括号外作为积的一个因式，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种将多项式分解因式的方法，叫作提公因式法. 【探究2】确定公因式的方法和步骤 问题2 下面三名同学对多项式2x2+4x分解因式的结果： （1）2x2+4x=2(x2+2x)； （2）2x2+4x=x(2x+4)； （3）2x2+4x=2x(x+2). 以上三名同学分解因式的结果正确吗？请谈谈用提公因式法应如何确定公因式. 师生活动 先让学生仔细观察三名同学因式分解过程的异同，并分组交流，鼓励学生总结概括提公因式法确定公因式时应注意的一些事项，引导学生从系数、字母、指数三个方面分析公因式的的确定方法，派小组代表回答，同学互评补充，最后师生共同总结出提公因式法确定公因式的方法. 确定多项式各项公因式的步骤： （1）定系数：当多项式的各项都是整数时，公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. （2）定字母：字母取多项式各项都含有的相同的字母. （3）定指数：相同字母的指数取各项中字母的最低次幂. （4）所有这些因式的乘积即为公因式. 做一做 1.写出下列多项式的公因式. (1)6x－9x2； (2)abc＋2a； (3)abc－ab2＋2ab； (4)2x2y＋4xy2－6xy. 答案：(1)3x　 (2) a (3) ab (4)2xy 师生活动 学生独立完成，教师进行巡视，观察学生作答情况，大部分学生完成后，找学生回答，若有错误，学生之间互相纠正，教师对巡视过程中发现的错误进行讲解分析. 3.例题讲解，应用新知 例1 把下列多项式分解因式. （1）3a3b＋9a2b2－3a2b； （2）－3x2＋6xy－3xz. 师生活动 让学生利用提公因式法的定义尝试独立完成，然后与同伴交流心得，教师深入到学生中发现问题，并对有困难的学生适时的引导和启发，最后师生共同评析，归纳总结. 解：（1）3a3b＋9a2b2－6a2b =3a2b·a＋3a2b·3b－3a2b·1 =3a2b(a＋3b－1). （2）－3x2＋6xy－3xz =(－3x)·x＋(－3x)·(－2y)＋(－3x)·z =－3x(x－2y＋z). 注意： （1）中最后一项提取公因式3a2b后，还有因式1. （2）中公因式的系数是负数时，提公因式后各项要变号. 例2 把下列各式分解因式: （1）2a(b＋c)－5(b＋c)； （2）3x（a-b）+2（b-a）. 师生活动 先让学生观察式子，发现式子的特点，再引导学生类比公因式为单项式的提取方法将相同的多项式进行提取.先尝试独立完成,找学生回答，如果正确，由该名学生对做题过程进行分析；如果不正确，其他学生纠错指正分析. 解:（1）2a(b＋c)－5(b＋c) =(b＋c)(2a－5). （2）3x（a-b）+2（b-a） =3x（a-b）-2（a-b） =（a-b）（3x-2）. 【归纳】 1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法 追问 同学们能根据以上两个例题，尝试总结提公因式法分解因式的一般步骤吗？ 师生活动 学生互相交流，先鼓励学生大胆发言，教师应作出肯定评价，最后师生共同总结. 提公因式法分解公因式的一般步骤： （1）找出公因式； （2）分离公因式； （3）将多项式化成两个因式乘积的形式. 4.随堂训练，巩固新知 （1）把a2－2a分解因式，正确的是 ( ) A.a(a－2) B.a(a＋2) C.a(a2－2) D.a(2－a) 答案：A （2）下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是 ( ) A. x2－y2 B. x2＋2x C. x2＋y2 D.－xy＋y2 答案：B （3）将下列各式因式分解： ①4m2－6m； ②m2b－5ab； ③－3ab+6ab－9ac； ④6p(p＋q)－4q(p＋q)；⑤2a(x－y)－3b(y－x) 解：①4m2－6m=2m(2m－3). ②m2b－5ab=b(m2－5a). ③－3a+6ab－9ac=－3a（1－2b+3c）. ④6p(p＋q)－4q(p＋q)=2(p＋q)(3p－2q). ⑤2a(x－y)－3b(y－x)=2a(x－y)－3b(y－x) =2a(x－y)＋3b(x－y)=(x－y)(2a＋3b). （4）已知a＋b=5，ab=3，求a2b+ab2的值. 解：a2b+ab2=ab(a+b)=3×5=15. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答问题： 1.什么是多项式的公因式？如何确定多项式各项的公因式？ 2.提取公因式的一般步骤是什么？需要注意哪些问题？ 6.布置作业 教材第115-116页A组、B组,C组（选做）。 复习回顾上节课的知识，加深理解，通过练习已知一个因式来补全另一个因式的题目，自然的引出因式均未知的情况下进行因式分解的方法，进而引入本节课题. 从具体的例子中寻找“相同的因式”，从而建立公因式的概念.要让学生充分经历这一活动，以认识公因式，为提取公因式分解因式作好准备. 通过类比乘法对加法的分配律学生能更容易的理解从“提公因数”到“提公因式”这一过程的转变，使学生所学的知识自然迁移，同时加深了对提公因式法的理解. 利用对比学习法，引发学生思考，让学生意识到在确定公因式时，不仅要注意“字母”公因式，也要注意“数字”公因数，并且要提出全部的公因式，否则不是最后的分解结果. 通过简单练习，检验学生对找公因式的方法的理解. 引导学生归纳总结提公因式法进行因式分解的基本步骤，通过例题，明确知识的发生、变化、应用，培养学生知识点的迁移、转化思想，进一步巩固所学知识. 通过展示含多项式的因式分解问题，引导学生观察、思考，帮助学生掌握多项式公因式的处理方法. 此处可以引导学生思考如何检验因式分解结果的正确性，让学生自由交流，补充回答，最后教师总结。如：①因式分解的结果要写成乘积的形式；②分解后的各个因式不再含有公因式；③相同的因式要写成幂的形式；④检查是否漏项，即在分解因式完成后，按照整式的乘法把因式再乘回去，看结果是否原式相等，如果相等，说明没有漏项，否则就漏项了. 通过随堂练习，巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力。 通过课堂小结，帮助学生梳理本节所学内容，激发学生参与课堂总结的主动性，培养学生的语言概括能力. 板书设计 9.2 提公因式法 提纲挈领，重点突出 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $