9.1 因式分解-【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦因式分解概念及与整式乘法的互逆关系，通过复习整式乘法实例（如m(a+b)=ma+mb）引导逆向思考，将多项式化为整式乘积形式，构建前后知识学习支架。 通过实例（如2011²-2011×2010简便计算）培养抽象能力，对比整式乘法与因式分解过程发展推理意识，例题设计提升运算能力，帮助学生理解概念，为教师提供层次分明的教学流程。

第九章 因式分解 单 元 备 课 第九章 本单元所需课时数 5课时 课标要求 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解（指数为正整数）. 教材分析 本章是数与代数知识后续学习的基础。因式分解是在学生学习了整式乘法的基础上展开的，因式分解与整式的乘法是互逆关系，因此本章内容既是前面所学内容的延续，同时又为后续的代数的恒等变换、分式的通分、约分以及解方程等内容的学习做好铺垫.同时，它还有助于进一步发展学生的观察、发现、归纳和概括的能力以及分析问题和解决问题的能力. 主要内容 本章主要内容有因式分解的概念，利用提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）进行因式分解. 教学目标 1. 在经历建立因式分解概念的过程中,了解分解因式的意义. 2.引导学生经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识的内在联系. 3.能用提公因式法、公式法(平方差公式、完全平方公式)分解因式. 4.在建立因式分解概念与探索分解因式方法的过程中，进一步发展学生观察、归纳和概括的能力，发展学生的运算能力和推理能力. 课时分配 9.1 因式分解 1课时 9.2 提公因式法 1课时 9.3 公式法 2课时 回顾与反思 1课时 知识结构 教与学建议 1.坚持用整式乘法帮助学生理解因式分解,培养学生逆向思考问题的习惯.因式分解与整式乘法之间具有互为逆过程的关系。在因式分解概念教学时,要重视运用这种关系进一步加深对因式分解的理解,在探索因式分解的方法的活动中,教师要坚持运用这种关系更好地促进学生领会利用提公因式法因式分解与乘法分配律或单项式乘多项式之间的联系，领会因式分解的公式法与乘法公式之间的联系,进一步巩固“因式分解的结论是否正确可用整式乘法或乘法公式来检验”，从而培养学生逆向思考。 2.对因式分解的理解以及方法的掌握是一个不断加强、提升的过程.因此教学中要依据教材的要求,适当地分阶段进行必要的训练，使学生在理解每一步算理的基础上提高因式分解的技能。教学中要避免过于繁琐的运算，不要过分追求题目的数量与难度。 9.1 因式分解 课题 因式分解 课型 新授课 教学内容 教材第110-112页的内容 教学目标 1.理解因式分解的概念，知道因式分解与整式乘法运算的互逆关系. 2.能判断因式分解的正误,会进行简单的因式分解. 3.感受因式分解在解决相关问题中的作用. 教学重难点 教学重点：因式分解的概念. 教学难点：因式分解与整式乘法运算的关系. 教 学 过 程 备 注 1.复习旧知，引入课题 观察下面几个多项式的乘法算式: m(a＋b) =ma＋mb；(a＋b)(a－b) = a2－b2； (a＋b)2= a2＋2ab＋b2；(a－b)2= a2－2ab＋b2. 多项式的乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式.反过来，你能将一个多项式分解成几个整式乘积的形式吗? 师生活动 学生自由发言，教师引出新课——这就是我们这节课要研究的问题. 2.类比探究，学习新知 【探究1】因式分解的概念 问题1 观察下面计算20112－2011×2010和372－362的过程，哪种更简便? 小明的方法： 20112－2011×2010=4 044 121－4 042 110=2011. 372－362=1369－1296=73. 小亮的方法： 2 0112－2 011×2 010=2 011×(2 011－2 010)=2 011. 372－362=(37+36)×(37－36)=73. (1)小明用的什么方法? (2)小亮的第一个算式用了什么方法? (3)小亮的第二个算式用了什么方法? 师生活动 学生观察题目信息，独立思考后，发言交流.教师引导后，得出正确答案. 答案：(1)小明用正常的运算方法进行计算. (2)小亮的第一个算式运用的是乘法分配律的逆运算，将2011提出，方法简便，正确率高. (3)小亮的第二个算式运用了整式乘法中的平方差公式的逆运算，方法简单，计算起来方便快捷，正确率高. 问题2 根据所学，完成下面的运算： x(x－2)= ，(x＋y)(x－y)= ，(x＋1)2= . 师生活动 教师引导学生回忆整式乘法的运算法则，让学生独立完成运算,计算完成后，派学生代表回答. 答案：x2－2x，(x＋y)(x－y)=x2－y2，(x＋1)2=x2＋2x＋1. 追问1 根据上面的运算，把下列多项式化为积的形式，并说出依据. x2－2x= ，x2－y2= ，x2＋2x＋1= . 师生活动 让学生独立完成，教师进行巡视，计算完成后，派学生代表回答，教师予以点评. 答案： x(x－2)逆用乘法对加法的分配律 (x＋y)(x－y)逆用平方差公式 (x＋1)2逆用完全平方公式 追问2 观察结果，等式的右边有什么共同之处？ 答案：三个等式右边分别为单项式乘多项式，多项式乘多项式，多项式乘多项式，而单项式和多项式统称为整式，所以等式右边都是整式的乘积. 师生活动 教师引导学生仔细观察式子结构，先独立思考，再小组内交流讨论，可以找多名学生进行回答，互相补充，教师应及时肯定学生的及时点评，最后教师归纳总结出引出因式分解的概念. 因式分解：像这样，把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解，也叫作将多项式分解因式，其中每个整式都叫作这个多项式的因式. 【探究2】整式乘法与因式分解之间的区别与联系 问题3 思考下面几个问题？ （1）多项式相乘的结果是什么呢？ （2）一个多项式进行因式分解的结果是什么呢？ （3）整式的乘法与因式分解之间有什么区别与联系呢？ （预设）1.计算下列式子. (1) m(a＋b－1)=　 　，(2)(m＋4)(m－4)=　 　； (3)(y－3)2=　 　 ； 2.根据上面的算式填空. (1)ma＋mb－m=　　　 　；(2)m2－16=　 　　； (3)y2－6y＋9=　　　 　.  答案：ma＋mb－m m2－16 y2－6y＋9 m(a＋b－1) (m＋4)(m－4) (y－3)2 师生活动 教师引导学生可以再举几个整式乘法和对应多项式因式分解的例子，通过实际例子进行观察，总结归纳. 归纳总结： 多项式的因式分解与乘法运算是不同的.多项式的因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积，而多项式的乘法运算是把几个整式的乘积化成一个多项式.可见，多项式的因式分解与整式的乘法运算是互为相反的变形过程，如图所示. 3.学以致用，应用新知 例1 下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是因式分解？ （1）x2－4=(x＋2)(x－2)； （2） x2＋4x＋4=(x＋2)2； （3）7m＋14n=7(m＋2n)； （4） x(y＋1)=xy＋x； （5）a2+a+1=a（a+1）+1. 答案：(1)(2)(3)是，(4)(5)不是. 例2 请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里： （1）2x－4y=2( ) （2）3xy+9yz=( )(x+3z) （3）16x2－1=( )(4x－1 ) （4）x2+6x+9=(x+3)( ) 答案：（1）x+2y （2）3y （3）4x+1 （4）x+3 在确定另一个因式时应注意： ①逆用乘法对加法的分配律时，不要漏项，原式有几项，提公因式后的因式就有几项 ②逆用平方差公式时，准确找到分别与a、b对应的项，写成两数和与两数差的形式 ③逆用完全平方公式时，注意中间项的符号，写成两数和的平方. 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是(　　) A. a(a＋b－1)=a2＋ab－a B. a2－a－2=a(a－1)－2 C.－4a2＋9b2=(－2a＋3b)(2a＋3b) D.2x＋1=x(2＋) 答案：C 2. 把x2＋3x＋c分解因式得x＋3x＋c=(x＋1)·(x＋2)，则c的 值为 ( ) A.2 B.3 C.－2 D.－3 答案：A 3. 若42x2－31x＋2能分解成两个因式的乘积且有一个因式为6x－4，设另一个因式为mx－n，其中m，n为常数，请你求出m，n的值. 解：(6x－4)(mx－n)=6mx2－4mx－6nx＋4n=6mx2－(4m＋6n)x＋4n.由题意可得42x2－31x＋2=6mx2－(4m＋6n)x＋4n. 所以 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答问题： 1.什么是因式分解？ 2.整式乘法与因式分解之间有什么关系？ 3.在确定另一个因式时应该注意哪些问题？ 6.布置作业 课本112页习题A组、B组。 从旧知识引出本节课的学习内容，学生容易接受，培养学生的学习信心. 通过对具体的数字运算的研究，降低学习难度，让学生自己探究，有利于后面的学习。 通过观察对数进行的简便运算，认识到将加减运算的算式化为因数积的意义.这个活动由学生的观察引发思考，让学生切实体会到因数分解给计算带来的方便. 类比把“数”的算式化为积的形式，提出“如何把一个多项式化为积的形式”，从而建立因式分解的概念. 进一步理解变整式的乘法与因式分解的过程是相反的，为二者进行对比做铺垫。 通过举例加深对因式分解概念的理解，在观察实例的基础上，理清整式的乘法与因式分解的区别与联系. 通过例1帮助学生学会辨析因式分解的概念 通过例2引导学生思考在确定定另一个因式时应注意的问题 通过随堂练习，巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力。 通过课堂小结，帮助学生梳理本节所学内容，激发学生参与课堂总结的主动性，培养学生的语言概括能力. 板书设计 9.1 因式分解 1.因式分解：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫作多项式的因式分解。也叫把多项式分解因式。其中每一个整式都叫作这个多项式的因式. 2.因式分解与整式乘法之间的关系：互为逆运算. 提纲挈领，重点突出 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $