1.2等腰三角形（第1课时等腰三角形及等边三角形的性质）同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.2等腰三角形 （第1课时 等腰三角形及等边三角形的性质 ）同步练习 一、单选题 1．如图，将折叠，使点落在边上，展开后得到折痕，则是的（    ）    A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上均不是 2．如图，的周长是，，平分交于点，则的长为（  ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5． 如图，在中，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．下列关于等腰三角形的说法错误的是（    ） A．等腰三角形的角平分线，中线，高线互相重合，简称“三线合一” B．等腰三角形两底角的平分线相等 C．等腰三角形两腰上的高相等 D．等腰三角形两腰上的中线相等 7．如图，在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂着一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．下列数学定理中，能解释房梁是水平的是（    ） A．等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 B．垂线段最短 C．直角三角形的两个锐角互余 D．等边对等角 8．如图，直线是等边三角形，则的大小为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为 ． 10．如图，在中，是它的角平分线，，则 ． 11．如图，已知，于点E，，若，则的面积为 ． 12．如图，在等边中，是的平分线，点在的延长线上，连接．若，，则的长为 ． 13．如图，在等腰和等腰中，，若则的度数为 ． 14．如图， 在中，，， 若以为一边画等腰三角形， 且使它的第三个顶点在边或上，则画出的等腰三角形的顶角的度数为 ． 三、解答题 15．如图，在中，，，垂足为，，交于点．是等腰三角形吗？请说明理由． 16．如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． (1)求证：； (2)求证：． 17．如图，在中，，平分，，延长交于点E．若，求的度数． 18．如图，在中，是上一点，连接，是的平分线，且，是上一点，过点分别作、交于点．求证：．    19．如图，在中，，点，分别是上两点，连接，，且．求证：． 针对这道题目，三位同学进行了如下讨论： 小明：“可以通过证明得到．” 小华：“可以通过证明得到．” 小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． 20．如图（1），中，，平分交于点，且． (1)求的度数； (2)若点为线段的中点，连接，如图（2），判断直线与的位置关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据折叠的性质和等腰三角形的性质得到，即可判定． 【详解】解：由折叠可知：，， 则直线垂直平分，即， ∴是的高线， 故选：C．    【点睛】本题考查折叠的性质和高线的定义、等腰三角形的性质，理解高的定义是解答本题的关键． 2．B 【分析】本题考查等腰三角形的“三线合一”性质．先根据三角形周长公式求出的长度，再利用等腰三角形顶角平分线平分底边的性质，计算得出的长度． 【详解】解：的周长是，， ； 又，平分， ． 故选：B． 3．B 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质判断即可． 【详解】解：，是的中点， ，，， 而不一定成立， 故选：B． 4．B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键． 由等腰三角形性质可得，由折叠得到，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得， ∴． 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，等边对等角，由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 6．A 【分析】直接根据等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”故错误； B、等腰三角形中，两底角相等，所以两底角的平分线也相等，故正确； C、等腰三角形两腰相等，由面积相等可知，两腰上的高也相等，故正确； D、由对称性可知等腰三角形两腰上的中线相等，故正确． 故选：A． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题关键． 7．A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵是等腰三角形， ∴， ∵点O是的中点， ∴（三线合一）， ∴垂直地面， ∴平行地面，即房梁是水平的． A、等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合，能解释房梁是水平的； B、垂线段最短，不能解释房梁是水平的； C、直角三角形的两个锐角互余，垂线段最短，不能解释房梁是水平的； D、等边对等角，垂线段最短，不能解释房梁是水平的． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查平行线性质，等边三角形性质，三角形内角和定理及对顶角相等，解题的关键是根据等边三角形得到． 根据等边三角形性质得，根据平行线性质得，然后根据三角形内角和定理求出对顶角的度数，即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， 故选B． 9．/20度 【分析】本题考查等腰三角形的三线合一性质，关键是先利用等腰三角形底边上的中线平分顶角的性质求出的度数，再通过角的和差关系计算的度数． 【详解】解：∵在△中，，是的中点， ∴平分， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”．根据等腰三角形的性质得出，根据三角形面积计算公式得出，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，是它的角平分线，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 11． 【分析】过点B作BF⊥AC与点F，由等腰三角形的三线合一可以得到AF=CF，利用角角边判定，由全等三角形性质得到，从而求得AC，利用面积公式求解即可． 【详解】解：过点B作BF⊥AC与点F，如下图： ∵AB=BC ∴△ABC是等腰三角形 又∵BF⊥AC ∴F为AC的中点 ∴AF=FC ∵AD⊥BC，AC⊥CD ∴， ∴, ∴ 在和中： ∴ ∴ 又∵AF=FC，AC=AF+FC ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查等腰三角形三线合一，全等三角形判定以及性质，用数形结合思想解题是本题的关键所在． 12．4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，等角对等边． 设，由等边三角形的性质可得，，，再根据三角形外角性质可得，得到，进而列式计算即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，设， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：4． 13．/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定．证明得出，结合已知，根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵等腰和等腰中， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴ 在中， 故答案为：． 14．或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，关键是由等边对等角求出角的度数；分别按三边两两相等进行分情况讨论． 【详解】解：当时，顶角为； 当时，，顶角为； 当时，在边上，， 顶角； 当时，在边上，顶角为； 综上所述：顶角为：或或； 故答案为：或或． 15．△是等腰三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，关键是掌握等角对等边．先判定△是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质推出，由平行线的性质推出，得到，推出△是等腰三角形． 【详解】解：△是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， △是等腰三角形． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）由等边对等角得，再证，即可得出； （2）由得，结合，可得． 【详解】（1）证明：， ， 为中点， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）得：， ， 又， ， ． 17． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质“三线合一”，可得，平分，从而可得，最后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点F． ，平分， ， ，， 平分， ， ， ． 18．见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，，结合可得，从而可得结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．证明见解析 【分析】小明的方法：由等腰三角形的性质得，，即得，进而可得，即可求证； 小华的方法证：由等腰三角形的性质得，，即得，即可求证； 小聪的方法：过点作于，由等腰三角形的性质可得，，进而即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】小明的方法证明： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 小华的方法证明： ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； 小聪的方法证明： 如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， 即． 20．(1)； (2)，理由见解析． 【分析】该题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）设，得出，，，根据三角形内角和列方程求出x，再根据三角形外角的性质即可求解． （2）根据（1）得出，根据等腰三角形三线合一的性质即可求解． 【详解】（1）解：设， ∵中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）解：， 理由：根据（1）可得， ∴， 又点为线段的中点， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $