重难点10 平面向量中的最值与范围问题8大题型（举一反三专项训练）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

重难点10 平面向量中的最值与范围问题 【全国通用】 1、平面向量中的最值与范围问题 平面向量是高中数学的重要内容，平面向量中的最值与范围问题是高考的热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合。从近几年的高考情况来看，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等问题，主要在选择题、填空题中考查，难度中等。 从近几年的高考情况来看，平面向量的新定义问题也是高考的一个重要趋势，解决此类问题要注意对平面向量的新定义、新概念的理解。 知识点1 平面向量中的最值与范围问题的解题策略 1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路： (1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断； (2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法： (1)定义法 ①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系； ②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论. (2)坐标法 ①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标； ②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）. (3)基底法 ①适当选取一组基底，利用基底转化向量； ②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围），即可得出结论. 知识点2 极化恒等式 1．极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. 2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 知识点3 等和(高)线定理 1．等和(高)线定理 (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立. (2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. ①当等和线恰为直线AB时，k=1； ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； ③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)； ④当等和线过O点时，k=0； ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. 【题型1 与数量积有关的最值（范围）问题】 【例1】（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ） A． B． C． D．2 【变式1-1】（2025·河南·模拟预测）在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）设D是边长为3的等边及其内部的点构成的集合，点是的中心，集合，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·新疆辽宁·一模）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是（ ） A． B．1 C． D． 【题型2 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 【例2】（25-26高三上·辽宁·期中）在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·四川德阳·模拟预测）在中，已知，P在线段（不包含端点）上，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 【变式2-2】（2025·宁夏银川·模拟预测）在中，，过点的直线分别交直线、于点、，且，其中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·河南许昌·三模）在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型3 与模长有关的最值（范围）问题】 【例3】（2025·辽宁大连·一模）设单位向量，已知，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式3-1】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式3-2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，是单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【变式3-3】（2025·湖南益阳·模拟预测）在中，为的中点，为平面内一点，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【题型4 与夹角有关的最值（范围）问题】 【例4】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知平面向量满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·北京东城·二模）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·重庆北碚·月考）平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高三上·上海浦东新·月考）已知平面向量、，满足，，若对任意模为的平面向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型5 平面向量中参数的最值（范围）问题】 【例5】（2025·辽宁朝阳·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【变式5-1】（2025·全国·模拟预测）已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·全国·模拟预测）已知，是圆上的两点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·山东聊城·模拟预测）已知为坐标原点，与为单位向量，，在定直线上，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型6 极化恒等式】 【例6】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，正方形的边长为1，点分别在轴，轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】（24-25高一下·北京·月考）在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·福建莆田·月考）如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型7 等和(高)线定理】 【例7】（24-25高一下·重庆·月考）已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高三上·湖南长沙·月考）在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 【变式7-3】（24-25高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型8 平面向量中的新定义问题】 【例8】（2025·甘肃白银·模拟预测）若对于向量，，满足，则称为的绝对增值向量，若为的绝对增值向量，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高三上·吉林松原·期末）设向量的夹角为，定义：.若平面内互不相等的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一下·江苏无锡·月考）我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·上海黄浦·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2026·新疆·二模）已知向量，若非零向量与的夹角为，向量满足则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量，若的夹角为锐角，则实数的取值范围是（  ） A． B．且 C． D． 3．（2025·云南昭通·模拟预测）已知向量满足，记，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 5．（2026·河北·模拟预测）已知中，，，若G为的重心，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 6．（2025·北京海淀·三模）已知为等腰直角三角形，为直角，直角边长为2，点P在三角形所在平面上，向量为单位向量，点D满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D．6 7．（2025·江苏·模拟预测）在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·湖北·二模）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 二、多选题 9．（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量，，，，，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得 B．任意正数a，b，与不共线 C．若，则 D．若，则 10．（2025·浙江台州·二模）已知，，，则下列选项正确的是（   ） A．的取值范围是 B．的最大值为30 C．的最小值为 D．的最小值为 11．（2026·辽宁·模拟预测）如图，在中，，，，点为线段的中点，、在线段上，且，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题 12．（2025·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为 ． 13．（2025·河北衡水·三模）已知向量，，若且，则的最小值为 . 14．（2026·山东枣庄·一模）在中，，在上，，，与的夹角为，则的最大值为 ． 四、解答题 15．（25-26高三上·江苏无锡·月考）在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 (1)当为中点时，设，求的值； (2)若，求的取值范围. 16．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 17．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 18．（24-25高一下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，，且，其中为坐标原点. (1)若，设为线段上的动点，求的最小值； (2)若，向量，向量，求的最小值. 19．（24-25高三上·河南·月考）在边长为2的等边△ABC中，D为BC边上一点，且． (1)若P为△ABC内一点（不包含边界），且PB＝1，求的取值范围； (2)若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，△AMN的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点10 平面向量中的最值与范围问题 【全国通用】 1、平面向量中的最值与范围问题 平面向量是高中数学的重要内容，平面向量中的最值与范围问题是高考的热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合。从近几年的高考情况来看，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等问题，主要在选择题、填空题中考查，难度中等。 从近几年的高考情况来看，平面向量的新定义问题也是高考的一个重要趋势，解决此类问题要注意对平面向量的新定义、新概念的理解。 知识点1 平面向量中的最值与范围问题的解题策略 1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路： (1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断； (2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法： (1)定义法 ①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系； ②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论. (2)坐标法 ①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标； ②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）. (3)基底法 ①适当选取一组基底，利用基底转化向量； ②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围），即可得出结论. 知识点2 极化恒等式 1．极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. 2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 知识点3 等和(高)线定理 1．等和(高)线定理 (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立. (2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. ①当等和线恰为直线AB时，k=1； ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； ③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)； ④当等和线过O点时，k=0； ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. 【题型1 与数量积有关的最值（范围）问题】 【例1】（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】建立坐标系，写出点的坐标，设，，得到，求出最大值. 【解答过程】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 【变式1-1】（2025·河南·模拟预测）在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，由，，结合数量积的运算律即可求解. 【解答过程】设， 则， 由为的中点，得， 在菱形中，，， 所以，， 所以， 故选：D. 【变式1-2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）设D是边长为3的等边及其内部的点构成的集合，点是的中心，集合，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用等边三角形的几何性质，结合向量的运算即可求解. 【解答过程】如图，设为各边三等分点， 根据等边三角形可知，相交于中心点， 根据等边三角形可知：四边形是菱形， 则由菱形的对角线互相垂直平分可得：是线段的垂直平分线， 所以当点时，动点一定在上， 同理可得：动点一定在上，动点一定在上， 所以当，时，结合点在三角形的内部， 可得集合S为正六边形及其内部区域， 所以当P与F重合时，，即可取到最小值， 当P与C重合时，， 即可取到最大值. 故选：B. 【变式1-3】（2025·新疆辽宁·一模）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】作垂直于于点，作垂直于于点，建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标计算出的表达式，由二次函数的单调性即可求得答案. 【解答过程】 如图，作垂直于于点，作垂直于于点， 又，，， 则，，，， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，又P为腰AD所在直线上任意一点， 则设，，则点P的坐标为， 所以，， 又关于的二次函数的对称轴为， 则在上单调递减， 所以当，即点P和点D重合时，取得最小值． 故的最小值是． 故选：C． 【题型2 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 【例2】（25-26高三上·辽宁·期中）在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把用得到，， ，再根据的范围即可求解. 【解答过程】以为基底， ， 又，所以由平面向量基本定理可知，， 则，又，所以． 故选：C. 【变式2-1】（2025·四川德阳·模拟预测）在中，已知，P在线段（不包含端点）上，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【解题思路】设，通过向量的线性运算结合题目中的条件把用表示，最后利用基本不等式即可求解. 【解答过程】设， 则， 又因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故选：A. 【变式2-2】（2025·宁夏银川·模拟预测）在中，，过点的直线分别交直线、于点、，且，其中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意以为基底表示出，再根据三点共线，利用共线定理可得，再由基本不等式即可求得的最小值为. 【解答过程】如下图所示： 因为，易知， 又，所以， 易知三点共线，利用共线定理可得， 又，， 所以； 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式2-3】（2025·河南许昌·三模）在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【解答过程】， 由三点共线可得，且， 所以 ， 当且仅当即时等号成立. 故选：D. 【题型3 与模长有关的最值（范围）问题】 【例3】（2025·辽宁大连·一模）设单位向量，已知，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】设，求出，再利用不等式即可求解. 【解答过程】设， 因为单位向量，， 则， 则，等号成立时方向相反， 故的最小值为. 故选：C. 【变式3-1】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解题思路】设，从而得到，结合已知有，应用三角形面积公式得，最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值. 【解答过程】设，则， 所以，解得， ，则， ，当且仅当时，等号成立， 的最小值为． 故选：C. 【变式3-2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，是单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】先求，的向量夹角，再利用向量建立平面直角坐标系，然后用坐标法来进行向量积的运算，最后可求得最大值. 【解答过程】因为，是单位向量，且，所以， 又因为，所以， 如图建立平面直角坐标系，可设，，， 则， 所以， 因为，所以， 可得， 化简得，配方得， 则动点的轨迹是表示以为圆心，为半径的圆， 因为圆心到原点的距为， 所以的最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，即为. 故选：B. 【变式3-3】（2025·湖南益阳·模拟预测）在中，为的中点，为平面内一点，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】A 【解题思路】以为坐标原点，，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，为以为圆心，半径为圆上一点，根据向量运算的几何意义逐选项判断即可. 【解答过程】 以为坐标原点，，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 所以，设， 所以， 因为， 所以，即，即， 所以为以为圆心，半径为圆上一点， 对于A，，所以，几何意义为到原点的距离， 所以的最大值为到原点的距离的最大值， 最大值为原点到圆心距离加上半径，即，故A正确； 对于B，，，几何意义为到的距离， 所以的最大值为到的距离的最大值， 最大值为到圆心距离加上半径，即，故B错误； 对于C，，令，即， 即，当与圆相切时有最值，即， 解得，所以的最大值为，即的最大值为5，故C错误； 对于D，，因为为以为圆心，半径为圆上一点， 所以的最大值为，所以的最大值为，故D错误； 故选：A. 【题型4 与夹角有关的最值（范围）问题】 【例4】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知平面向量满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量的模，通过将模进行平方得到等式，然后化简求出的余弦值，进而根据向量夹角的范围和基本不等式的性质求出的取值范围. 【解答过程】因为，所以，即， 因为，所以， 所以， 因为，所以． 故选：B. 【变式4-1】（2025·北京东城·二模）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合数量积定义计算即可得到，再由向量夹角取值范围即可得解. 【解答过程】由题可得， 又，所以. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高一下·重庆北碚·月考）平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由两边平方得，根据两个向量夹角的余弦公式结合均值不等式求得结果. 【解答过程】由，两边平方得，又， 所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以与夹角的余弦值的最大值为. 故选：A. 【变式4-3】（24-25高三上·上海浦东新·月考）已知平面向量、，满足，，若对任意模为的平面向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意得以及，或，由此即可得解. 【解答过程】由，，若对任意模为2的向量，均有， 则， ， 平方得到，即，即， 同时， ，即， 平方得到，即，即， 综上，即， 向量的夹角的取值范围. 故选：B. 【题型5 平面向量中参数的最值（范围）问题】 【例5】（2025·辽宁朝阳·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】由投影向量的定义及向量相等得，再应用向量数量积的坐标表示得，最后应用基本不等式求目标式的最小值. 【解答过程】由题意，可得， 故，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A. 【变式5-1】（2025·全国·模拟预测）已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意B，O，C三点共线．因为为的外心，即有，所以为直角三角形，利用向量得投影结合图形即可得解. 【解答过程】 因为， 则，所以，即B，O，C三点共线． 因为为的外心，即有， 所以为直角三角形，因此，为斜边的中点．因为，所以为锐角． 如图，过点作，垂足为． 因为在上的投影向量为 ，所以， 所以在上的投影向量为． 又因为，所以． 因为，所以， 故的取值范围为． 故选：A． 【变式5-2】（2025·全国·模拟预测）已知，是圆上的两点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，，.，则，可求得.设，则，.结合不等式即可求解. 【解答过程】圆的圆心为，半径. ∵，是圆上的两点，∴，，. ∴，， ∴， . ∵，∴. 设，则，. ∴由向量数量积性质可得，即， 当且仅当与反向时；当且仅当与同向时. ∴的取值范围是. 故选：B. 【变式5-3】（2025·山东聊城·模拟预测）已知为坐标原点，与为单位向量，，在定直线上，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由与为单位向量及分析可知的夹角为.令，则，点是以原点为圆心，为半径的圆上的动点，且.结合图形即可求解. 【解答过程】因为与为单位向量， ， ∴. 又，，即的夹角为. ∴点是以原点为圆心的单位圆上的动点，且. 令，则， 易知点是以原点为圆心，为半径的圆上的动点， ∴. 如图1，设直线，过点作直线于点，作直线于点. 则. 又， 可知如图2，当点在点处，点在线段上时，取得最小值 此时，最小值为. ∴. 故选：B. 【题型6 极化恒等式】 【例6】（2025高三·全国·专题练习）如图所示，正方形的边长为1，点分别在轴，轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】取的中点，将的表达式利用极化恒等式化简，再由三点共线可求出最大值. 【解答过程】取的中点，的中点，连接，如下图所示： 易知， 所以． 因为，当且仅当三点共线时等号成立． 所以的最大值为2． 故选：B． 【变式6-1】（24-25高一下·北京·月考）在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题. 【解答过程】如图中，O为AB中点， （极化恒等式） 共起点的数量积问题可以使用. 如图，取中点，则由极化恒等式知， ，要求取值范围，只需要求最大，最小即可. 由图，可知最大时，P在D点，即，此时， 最小时，P在O点，即，此时. 综上所得，取值范围为: . 故选：D. 【变式6-2】（24-25高一下·福建莆田·月考）如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】作出辅助线，利用极化恒等式得到，结合的最值得到答案. 【解答过程】取的中点，连接， 则，， 两式分别平方再相减得， 设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2， 当当与或重合时，最大，最大值为， 所以. 故选：B. 【变式6-3】（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意条件可知，，取的中点，连接，则⊥，，，，由极化恒等式得到，进而求出的最小值，得到答案. 【解答过程】因为分别表示与方向上的单位向量， 所以表示的平分线上的共线向量， 又，即与垂直， 由三线合一可知，， 如图，取的中点，连接，则⊥， 又，其中， 所以，，故， 由于，，两式平方相减可得 ， 当⊥时，取得最小值， 其中由勾股定理得， 故， 故的最小值为. 故选：D. 【题型7 等和(高)线定理】 【例7】（24-25高一下·重庆·月考）已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于，过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F，设，根据共线结论可得，再结合平行关系可得. 【解答过程】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于， 过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F， 因三点共线，则， 设，，则， 而，因此，，则得到， 由题意知，则四边形BECD为平行四边形，所以， 从而， 则的取值范围是． 故选：C. 【变式7-1】（25-26高三上·湖南长沙·月考）在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，根据向量线性运算可得，由题意可得，，计算可解. 【解答过程】如图，作出符合题意的图形， 因为，分别是，的中点， 所以，， 则， 因为点在线段上，设， 则， 若，则，， 所以，当时，有最大值为. 故选：C. 【变式7-2】（2025·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解题思路】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点．设，所以，设，结合图形得出，由条件结合平面向量基本定理可得出与的关系，进而可得结果． 【解答过程】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，    设，因为三点共线，所以， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 此时，，则取最大值， 所以， ， 又，则，得， 所以，则的最大值为． 故选：A． 【变式7-3】（24-25高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析可得当P在线段BC上运动时，B、P、C三点共线，此时有最小值，分别延迟AB、AC至，使，连接，根据三角形相似，分析可得当P位于D点时，有最大值，即可得答案. 【解答过程】当点P在线段BC上运动时，此时B、P、C三点共线， 因为，所以，此时为的最小值； 分别延迟AB、AC至，使，连接，如图所示， 因为， 所以与相似，且相比为， 因为与的面积之比为2，且， 所以与的高之比为， 即与高之比为， 所以三点共线， 当P位于D点时，， 此时，即，此时为的最大值， 所以当点在内（含边界）运动时，的取值范围为 故选：A. 【题型8 平面向量中的新定义问题】 【例8】（2025·甘肃白银·模拟预测）若对于向量，，满足，则称为的绝对增值向量，若为的绝对增值向量，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，列式求出 的范围，再利用数量积的坐标表示，结合二次函数求出范围. 【解答过程】依题意，，即，解得， 所以. 故选：C. 【变式8-1】（24-25高三上·吉林松原·期末）设向量的夹角为，定义：.若平面内互不相等的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，，则，由题意中，，，外接圆的半径为1，设，由正弦定理可得，，，则，利用三角恒等变换整理化简后再由三角函数的性质求解即可. 【解答过程】设，，则， 因为，与的夹角为， 所以中，，，如图所示， 由正弦定理可得外接圆的半径为1， 则为圆上与不重合的动点. 设（）， 由正弦定理可得，，， 则 ， 所以当，即时，取得最大值，且最大值为， 故选：B. 【变式8-2】（24-25高一下·江苏无锡·月考）我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设分别为的中点，结合三角形相似推出，由题意可得，确定四边形面积的最大值，根据题意结合面积公式即可得结果. 【解答过程】设分别为的中点，连接， 则，则∽，故, 则，故， 又因为，即， 当时，四边形面积最大，最大值为， 故的面积的最大值为， 且，所以的最大值为. 故选：D. 【变式8-3】（2025·上海黄浦·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，根据可得出，设，，则，根据平面向量的线性运算得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的最大值. 【解答过程】由题意，则， 设则， 则， 整理得：，不妨设，，则. 因点、分别为、的中点， 则，， 同理可得， 故 ， 将，代入上式， 可得： ， 其中是锐角，且，故的最大值为. 故选：A. 一、单选题 1．（2026·新疆·二模）已知向量，若非零向量与的夹角为，向量满足则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先确定向量所表示的点的轨迹，再根据直线与圆的位置关系求出最小值． 【解答过程】依题意，， 则由可知：，即. 又因为非零向量与的夹角为， 得：， 化简可得：， 则的最小值即为圆上一点到两射线一点连线的最小值， 即圆心到两射线的距离减去半径， 圆心到射线的距离为，圆的半径为2， 则的最小值为. 故选：A. 2．（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量，若的夹角为锐角，则实数的取值范围是（  ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【解题思路】应用向量数量积的坐标运算及求参数范围，注意排除同向共线的情况即可. 【解答过程】由题意， 若，此时同向共线，非锐角， 所以且. 故选：B. 3．（2025·云南昭通·模拟预测）已知向量满足，记，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量的模长公式可得，进而建立直角坐标系，根据坐标运算可得点的轨迹，进而根据点到直线的距离公式求解. 【解答过程】因为，所以．又， 所以，解得．因为， 所以． 建立如图所示的直角坐标系， 设， 因为，所以，整理得， 即点的轨迹是：圆心为，半径为2的圆． 设，则点在直线上运动，则， 令点到直线的距离为，则，无最大值， 故选：B． 4．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【解答过程】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C. 5．（2026·河北·模拟预测）已知中，，，若G为的重心，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【解题思路】建立直角坐标系，设点根据数量积得出，再根据重心得出，再应用两点间距离公式得出，最后平方化简得出的最大值即可求解. 【解答过程】以中点为坐标原点，以为轴，以过中点垂直为轴，建立直角坐标系， 所以，设，因为， 又因为， 所以，所以， G为的重心，， 所以， 令，则， 当且仅当时，取得的最大值，即得的最大值. 故选：D. 6．（2025·北京海淀·三模）已知为等腰直角三角形，为直角，直角边长为2，点P在三角形所在平面上，向量为单位向量，点D满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】建立直角坐标系，设，求出点P的轨迹方程，得，利用数量积求出关于y的函数，求出最值即可 【解答过程】如图建立直角坐标系， 则， 设，则，即， 所以点P的轨迹是以A为圆心，以1为半径的圆， 又，所以，所以， 所以, 所以， 又点P在上，所以， 所以， 所以的最大值为5， 故选：C. 7．（2025·江苏·模拟预测）在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【解答过程】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设则，， 所以， 设，则， 所以，所以， 因为，所以， 即的取值范围是， 故选：C. 8．（2026·湖北·二模）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 【答案】D 【解题思路】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解. 【解答过程】根据题意可得，所以， 又因为，，所以，， 设，则，所以，， 所以 令，在上单调递增，在上单调递减， 故最大值为40， 故选：D． 二、多选题 9．（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量，，，，，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得 B．任意正数a，b，与不共线 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解题思路】根据向量共线的充要条件，即可判断选项、；根据向量垂直，数量积为零，可得，再根据向量加法和模长公式可得，再利用基本不等式即可得；根据，所以，化简可得，代入得：，结合基本不等式和换元法，即可计算出. 【解答过程】对于：由题意得，若，则，解得，因为，， 所以无解，故不存在，使得，所以选项错误； 对于：由选项可知，不存在，使得，所以选项正确； 对于：若，则，解得，， 所以，因为，， 根据基本不等式得：=2， 当且仅当=1时等号成立，所以；所以选项正确； 对于：，若，则， 即，化简得：， 因为，，所以，即，且， 所以，令， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，所以选项错误. 故选：. 10．（2025·浙江台州·二模）已知，，，则下列选项正确的是（   ） A．的取值范围是 B．的最大值为30 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【解题思路】利用向量模的三角不等式（当且仅当同向时时取等号）用该不等式求解的最大值，把首尾顺次连接构成封闭三角形时，是最小值，利用向量数量积化简分析最值，利用向量同向时数量积取得最大值，反向或特殊位置时即可求得最小值. 【解答过程】对于选项A：由向量模长的三角不等式， 当且仅当同向时，取得最大值9； 当这三个向量当首尾顺次连接构成封闭三角形时，，模长为0， 由于长度为2，3，4满足任意两边之和大于第三边，所以这样的三角形是存在的， 故的取值范围是[0，9]，故选项A正确. 对于选项B， ， 当同向时，， 的最大值为，B选项正确. 对于选项C，D， ， 设，则上式为①， 当与反向时， ， 所以代入①式得， 所以当时，取得最小值为，此时， 所以，这种可能性是存在的，故选项C是正确的，选项D是错误的. 故选：ABC. 11．（2026·辽宁·模拟预测）如图，在中，，，，点为线段的中点，、在线段上，且，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AC 【解题思路】由余弦定理求得判断A；利用，可求得判断B；设，则，，求得 ，计算数量积可求最小值判断C；由，当时，，可判断D. 【解答过程】在中，，，， 由余弦定理可得， 所以，故A正确； 因为点为线段的中点，所以， 所以 ，所以，故B错误； 设，则，， 所以， ， ， 当时，，故C正确. 记时，，且， 当时，，此时，且， 由题意可得可在连续变化，故当从大于越接近， 越小，故无最小值，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（2025·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为 ． 【答案】 【解题思路】将平方后利用二次函数的性质可求其最小值. 【解答过程】因为， 故 ， ， 故当时，的最小值为， 故最小值为. 故答案为：. 13．（2025·河北衡水·三模）已知向量，，若且，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】先求出的坐标，再根据得出，利用消元法结合基本不等式可求. 【解答过程】由题意得，，， 因，则 ，则， 因，则，等号成立时， 故的最小值为. 故答案为：. 14．（2026·山东枣庄·一模）在中，，在上，，，与的夹角为，则的最大值为 ． 【答案】 【解题思路】先利用与表示、 ，再将转化为与的计算，进而求解. 【解答过程】因为， 且， 则， 又因为，且与所成的夹角为， 则， 可得， 当且仅当时，的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高三上·江苏无锡·月考）在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 (1)当为中点时，设，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据平面向量基本定理得到，求出，得到答案； （2）表达出，设，， 表达出，并求出，从而求出，结合，求出取值范围. 【解答过程】（1）当为中点时，， 又分别为的中点，所以， 所以，    故，； （2）为的中点，故， 点在线段上运动，设，， 故，即 ， 因为，，所以， 则 ， 因为，所以. 16．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【解答过程】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. 17．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【解题思路】（1）根据向量线性运算可得，，再根据向量数量积的分配律运算证明； （2）根据题意，点O在以为直径的圆上，数形结合可得，结合（1）可得解. 【解答过程】（1）因为，又是的中点，则， 所以，又， . （2）如图，取的中点，连接，， 由题，可知点O在以为直径的圆上， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号． 利用（1）结论：. 所以的最大值为8. 18．（24-25高一下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，，且，其中为坐标原点. (1)若，设为线段上的动点，求的最小值； (2)若，向量，向量，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设出点坐标，求得的表达式，结合二次函数的性质求得最小值. （2）结合向量数量积的运算、三角恒等变换、三角函数最值的求法求得的最小值. 【解答过程】（1）已知点的坐标为，为线段上的动点，设， 因为，且，， 则， 所以， 所以， 所以当时，最小，最小值为. （2）因为，且，的坐标为， 则，则， 又， 则， ， 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值1， 则取得最小值为. 19．（24-25高三上·河南·月考）在边长为2的等边△ABC中，D为BC边上一点，且． (1)若P为△ABC内一点（不包含边界），且PB＝1，求的取值范围； (2)若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，△AMN的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)取的中点，则，所以，根据PB＝1，可以得到，进而求出结果； (2)根据得到，利用题干已知条件进行转化，再利用三点共线可以得出，然后将比值化为一个二次函数求最值问题即可求解. 【解答过程】（1）取的中点，所以， 因为为的中点，所以， 所以， 又因为PB＝1，所以，故， 故的取值范围. （2）因为，所以， 因为，，， 所以，也即， 因为点三点共线，所以① 因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以②， 由①得：，将其代入②式可得：， 所以当时，取最大值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $