2.1两条直线的位置关系（第2课时垂直的概念和性质）（4知识点+5题型+过关检测）同步培优讲义2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（北师大版）

2.1两条直线的位置关系（第2课时垂直的概念和性质） （4知识点+5题型+过关检测） 【题型1 垂线的定义】 2 【题型2 画垂线】 5 【题型3 垂线段最短】 7 【题型4 点到直线的距离】 9 【题型5平面直线位置关系与角度计算综合拓展】 11 · 掌握垂线的定义，能准确识别垂线，会用直尺、三角板规范画出已知直线的垂线及过一点画已知直线的垂线。 · 牢记“垂线段最短”的性质，理解点到直线的距离的定义，能区分“垂线段”与“点到直线的距离”。 · 能解决基础的余角、补角计算，以及对顶角、垂线相关的简单角度计算。 03 知识•梳理 知识点1：垂线的定义（重点） 1. 定义：两条直线相交，如果所成的四个角中有一个角是直角（90°），那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 2. 符号表示：垂直用符号“⊥”表示，读作“垂直于”。若直线AB与直线CD垂直，垂足为O，记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”；若直线l与直线m垂直，记作“l⊥m”。 3. 关键说明：① 垂线是相交线的特殊情况（相交且夹角为90°）；② 两条直线互相垂直，四个角都是直角；③ 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（后续作图核心依据）。 易错点：误将“垂直”与“相交”混淆，认为“相交的两条直线一定垂直”（相交不一定垂直，垂直一定相交）。 知识点2：画垂线（规范操作） 1. 作图工具：无刻度直尺、三角板（七年级常用）。 2. 常见作图类型及步骤： 过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 特别说明： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 知识点3：垂线段最短（核心性质） 1. 垂线段的定义：过直线外一点作这条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段。 2. 核心性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（可通俗记为“垂线段最短”）。 3. 实际应用：如测量跳远的成绩、从直线外一点到直线的最短路径，均利用“垂线段最短”的性质。 易错点：混淆“垂线段”与“垂线”（垂线是直线，无长度；垂线段是线段，有长度）。 知识点4：点到直线的距离（重点） 1. 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 2. 关键说明：① 点到直线的距离是“长度”，不是垂线段本身（垂线段是图形，距离是数值）；② 只有垂线段的长度才是点到直线的距离，其他线段的长度都不是；③ 点到直线的距离可以测量。 易错点：① 误将“垂线段”当作“点到直线的距离”；② 测量点到直线的距离时，未画出垂线段，直接测量非垂线段的长度。 04 题型•汇总 【题型1 垂线的定义】 核心思路：根据垂线的定义（两条直线相交、夹角为90°），判断两条直线是否互相垂直；识别垂线时，重点看相交的角是否为直角，或是否有“⊥”符号标注；区分“垂直”与“相交”的关系。 【典例1】．已知直线a、b相交，如图所示，下列条件中不能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角度的计算及垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题的关键． 根据垂直的定义及角度的计算、对顶角相等进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴，故该选项不符合题意； C、，不能判定，故该选项符合题意； D、 ∵， ∴， ∴，故该选项不符合题意； 故选：C． 跟随训练1-1．如图，点在直线上，，且平分，．则 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查角的计算、角平分线的性质，根据角平分线的性质得到角度是解题的关键． 首先根据平角得到的度数，再根据角平分线的性质得到的度数，再结合得到的度数，进而即可求解的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60． 跟随训练1-2．直线，相交于点，平分，，垂足为，若． (1)求的度数． (2)在的内部做射线，使，判断点是否在直线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在直线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，对顶角的性质，角平分线的定义，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，则可求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，据此根据对顶角相等可得答案； （2）求出的度数，再证明即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：点在直线上，理由如下： 由（1）可得， ∵， ∴， ∴F、O、G三点共线， ∴点在直线上． 【题型2 画垂线】 核心思路：严格遵循“放、靠、移、画、标注”五步规范操作，根据“过直线上一点”或“过直线外一点”的要求，准确画出垂线，保留作图痕迹，标注垂足和“⊥”符号；重点确保平移规范，避免画出的直线不垂直。 【典例2】．下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解垂线的定义．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据垂线的定义可知选项C中，直线经过点P，，符合题意． 故选：C． 跟随训练2-1．（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段； （2）线段_____的长就是点到直线的距离； （3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】（1）见解析 （2）（3） 【分析】本题主要考查了利用网格作图，垂线段最短，解题的关键是熟练利用网格特征和几何基本性质． （1）利用网格的边长与角度特征，构造直角三角形来作垂线； （2）根据点到直线的距离定义，确定垂线段的长度即为点到直线的距离； （3）根据“垂线段最短”的性质，比较垂线段与斜线段的长度大小． 【详解】解：（1）如图，线段即为所求； （2）线段的长就是点到直线的距离， 故答案为：； （3） 故答案为：． 跟随训练2-2．如图，有、、、四个点，请按下列语句画出相应图形． (1)画直线； (2)画射线； (3)画点到直线的垂线段，垂足为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作线段、射线、垂线段，解题的关键是理解线段、射线、垂线段的定义． （1）根据直线的定义画图即可； （2）根据射线的定义画图即可； （3） 根据垂线的定义画图即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，射线即为所求； （3）解：如图所示，垂线段即为所求． 【题型3 垂线段最短】 核心思路：牢记“垂线段最短”的性质，解决与“最短路径”“最短距离”相关的问题；判断线段长短时，优先考虑垂线段，明确“直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短”。 【典例3】．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 跟随训练3-1．数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 跟随训练3-2．运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为 米． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据垂线段最短求解． 【详解】解：根据题意，得黎明的立定跳远成绩应该为米． 故答案为： 【题型4 点到直线的距离】 核心思路：紧扣点到直线的距离的定义（直线外一点到这条直线的垂线段的长度），区分“垂线段”（图形）与“距离”（数值）；测量距离时，先画出垂线段，再测量其长度。 【典例4】．如图，A，B，C三点在直线上，点在直线外，于点，若，，则点到直线的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到这条直线的距离，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是， 故选：A． 跟随训练4-1．如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线的性质，以及点到直线的距离，是垂线段的长度． 根据垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段；垂线段的性质：垂线段最短；垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得答案． 【详解】解：①过点有且只有一条直线垂直于直线，该说法正确，符合题意； ②线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法错误，不符合题意； ③线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法正确，符合题意； ④线段的长是点到直线的距离，该说法正确，符合题意； 正确的说法为①③④，有个， 故选：C． 跟随训练4-2．如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键．先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点C到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点C到所在直线的距离，是从C向所作垂线段的长度， 观察图形，，因此的长度就是点C到的距离． 故选：D． 【题型5平面直线位置关系与角度计算综合拓展】 核心思路：综合运用相交线、对顶角、余角、补角、垂线的知识，梳理角度之间的关系（对顶角相等、互余、互补、垂直夹角为90°），分步计算未知角的度数；规范书写步骤，标注每一步的依据，重点突破多知识点综合应用的难点。 【典例5】．如图所示，直线与相交于点，于点，平分，且． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线的定义，角的和差计算，角平分线的定义等知识点． （1）根据垂直得到，再由求解即可； （2）根据对顶角相等得到，再由角平分线得到，最后由求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以, 因为 所以． （2）解：因为，， 所以． 因为平分， 所以． 所以 跟随训练5-1．如图，直线、相交于点，平分，于． (1)的余角是______．（写出图中所有符合要求的角） (2)若，求的度数． 【答案】(1)、、 (2) 【分析】本题考查余角的定义与性质，角平分线的定义，对顶角的性质，掌握角的和差计算是解题关键． （1）先由垂直关系找到的一个余角，再利用角平分线和对顶角相等的性质，推导出另外两个余角； （2）先通过角的和差求出的度数，再根据（1）的结论，直接得到的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， ， 故的余角是、、． 答：、、． （2）解：，， ， 根据（1）可知，， ． 答：． 跟随训练5-2．如图，直线，相交于点，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，根据角平分线的定义和已知条件可推出，则由平角的定义可求出的度数，由垂线的定义可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 05 过关•检测 1．如图，已知，垂足为O，为过点O的一条直线，则与一定成立的关系是（    ） A．互余 B．互补 C．相等 D．不确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的定义，余角的定义，根据垂线的定义可得，则由平角的定义可得，再由度数之和为90度的两个角互余可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴与互余， 故选：A． 2．如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及垂直定义、对顶角相等等知识，数形结合表示出相关角度是解决问题的关键． 由得到，从而得到，再由对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：于， ， ， ， ， 故选：B． 3．如图，直线与相交于点，于点．若，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的和差运算，掌握好余角和对顶角的概念是解题关键． 由可得，，从而计算出，根据对顶角相等，求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．如图，因为，，所以与重合的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查垂线的性质，熟练掌握垂线的性质是解题的关键． 由垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断． 【详解】解：因为，，所以与重合的理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：D． 5．如图，直线和相交于点，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，根据垂线的定义可得的度数，则可求出的度数，进而求出的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，点O为直线上一点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，掌握垂直的定义是解题的关键．根据垂直的定义可得，即可得解． 【详解】解：， ， ， 故选：． 7．如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短． 根据垂线段最短求出的范围，进而判断即可． 【详解】解：∵，，点D可以在直线上自由移动， ∴， 只有A选项不在范围内． 故选：A． 8．如图所示，下列说法不正确的有（   ）个 （1）点B到的距离是垂线段 （2）点C到的垂线段是线段 （3）线段是点D到的垂线段     （4）线段的长度是点B到的距离 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了垂线段，点到直线的距离，准确识图，熟练掌握点到直线的距离是解决问题的关键．根据垂线段，点到直线的距离逐项分析即可． 【详解】解：A．点到的距离是垂线段的长度，故原说法错误，故选项符合题意； B．点到的垂线段是线段，故原说法正确，故选项不符合题意； C．线段是点到的垂线段，故原说法错误，故选项符合题意； D．线段的长度是点到的距离，故原说法正确，故选项不符合题意； 综上，不正确的有2个． 故选：B． 9．已知直线可表示为直线，点O到直线的距离为3，则点O的轨迹是 ． 【答案】两条直线：或 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离公式，设点的坐标为，则点到直线的距离为，令其等于3，解方程可得点的轨迹，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵直线可表示为直线，点O到直线的距离为3， ∴设点的坐标为， ∴点到直线的距离为． 由题意可得：， 解得：或， ∴点的轨迹是两条直线：或， 故答案为：两条直线：或． 10．如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是 ，依据是 ． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，解题的关键是掌握垂线段最短． 根据垂线段最短进行解答即可得． 【详解】解：∵线段是垂线段，∴线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 11．如图，直线、相交于点，，则直线、的夹角是 ．若于点，于点，则线段 的长度表示点到直线的距离． 【答案】 /度 / 【分析】本题考查的是邻补角的含义，点到直线的距离，根据邻补角与点到直线的距离的含义可得答案． 【详解】解：直线、相交于点，，则直线、的夹角是： ， ∵于点， ∴线段的长度表示点到直线的距离． 故答案为：， 12．如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离、两点间的距离等知识点，掌握点到直线的距离的定义是解题的关键． 根据点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离以及两点间的距离求解即可． 【详解】解：点到的距离是；点到的距离是，A、C两点间的距离为． 故答案为：，，． 13．观察图形，以下结论： ①线段的长必大于点A到直线l的距离； ②线段的长小于线段的长，根据是两点之间线段最短； ③图中共有两对角互为余角； ④线段的长是点D到直线的距离，正确的是 （填序号）． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了点到直线的距离、垂线段最短、余角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据点到直线的距离、垂线段最短可判断①②④，根据余角的定义可判断③，即可得出结论． 【详解】解：线段的长必大于点A到直线l的距离，故①正确； 线段的长小于线段的长，根据是垂线段最短，故②错误； 图中共有8对角互为余角，故③错误； 线段的长是点D到直线的距离，故④正确； 综上所述，正确的是①④． 故答案为：①④． 14．在体育课上，某同学跳远后留下的脚印如下图，则他本次的跳远成绩是线段 的长度． 【答案】（或） 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，解题的关键是掌握点到直线的距离的实际应用． 利用点到直线的距离为垂线段的长度即可求解． 【详解】解：根据垂线段最短、跳远的成绩为离起跳线较近的那只脚的后脚跟到起条线的距离知：跳远成绩是线段（或）， 故答案为：（或）． 15．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，、、、均在格点上． (1)过点画线段的垂线，垂足为； (2)点到线段的距离即线段_________的长； (3)在直线上找一点，使得的值最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查画垂线，点到直线的距离，两点之间线段最短，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用三角板画垂线即可； （2）根据点到直线的距离为垂线段的长，进行作答即可； （3）根据两点之间线段最短，的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由题意，的长，即为点到线段的距离； （3）解：如图，点即为所求． 16．如图，点在直线上，． (1)若，求的度数． (2)①点到的距离为 ； ②在线段中，哪条更长？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)①8；②线段更长，理由见解析 【分析】本题考查了角的和差，点到直线的距离，垂线段最短，数形结合是解答本题的关键． （1）根据角的和差计算即可； （2）①根据点到直线的距离解答即可； ②根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）解： ， . ， ； （2）解：①∵，， ∴点到的距离为， 故答案为：8； ②线段更长， 理由：， ∴， ， ∴， ∴， 在线段中，线段更长． 17．已知直线相交于点，点在内部，作射线． (1)如图①，，则_______；_______； (2)如图②，，则_______； (3)如图③，平分，求的度数及点到直线的距离． 【答案】(1)100，50 (2)60 (3)的度数为，点到直线的距离为2 【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线，对顶角相等，点到直线的距离，图形结合分析是解题的关键． （1）根据补角的概念可得，，图形结合分析即可求解； （2）根据垂直的性质可得，由此即可求解； （3）根据对顶角相等可得，根据角平分线的性质可得，再根据角平分线的性质定理即可求出点到直线的距离即为线段的长，由此即可求解． 【详解】（1）解： ， 当时，， ， ， 故答案为：100，50． （2）解：， ， ， 故答案为：60． （3）解：，平分， ， ，， 点到直线的距离等于的长，即为2， ∴的度数为，点到直线的距离为2． 18．已知． (1)如图1，若在的内部，且，求的大小； (2)如图2，绕点顺时针旋转，保持在的内部． ①若．请证明是的平分线； ②请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了角的和差运算、角平分线的定义、垂直的性质，关键是结合图形中角的位置关系，利用已知角的度数建立等式来推导未知角． （1）观察图形可知由、、三部分组成，因此直接用的度数减去与的度数和，即可求出． （2）①由得，结合，先算出的度数；再用的度数减去得到的度数，比较两角相等即可． ②将拆分为，而，代入、的已知条件，化简后即可得到两角的数量关系． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； ②解：∵，， ∴， ∴． 19．是的平分线， (1)若（如图1），请写出的余角 ； (2)若，（如图2），求的度数； (3)若，是平面内一点，设，求的度数（用的关系式表示，且是小于平角的角）． 【答案】(1)和 (2) (3)；； 【分析】本题主要考查了角的和差，角的平分线，余角的定义，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角，根据角平分线得出相等的角，然后根据余角定义进行求解即可； （2）根据角平分线得出相等的角，然后根据角的和差进行求解即可； （3）根据角平分线得出相等的角，然后分三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的余角是和； 故答案为：和； （2）解：平分， ， ， 答：； （3）解： 平分，， ， 点在所在直线的上方，如答图所示： ，，， ， 答：的度数可表示为； 点在所在直线的下方，且时，如答图所示 ，； 答：的度数可表示为； 点在所在直线的下方，且时，如答图所示： ， ， 答：的度数可表示为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1两条直线的位置关系（第2课时垂直的概念和性质） （4知识点+5题型+过关检测） 【题型1 垂线的定义】 2 【题型2 画垂线】 3 【题型3 垂线段最短】 4 【题型4 点到直线的距离】 5 【题型5平面直线位置关系与角度计算综合拓展】 6 · 掌握垂线的定义，能准确识别垂线，会用直尺、三角板规范画出已知直线的垂线及过一点画已知直线的垂线。 · 牢记“垂线段最短”的性质，理解点到直线的距离的定义，能区分“垂线段”与“点到直线的距离”。 · 能解决基础的余角、补角计算，以及对顶角、垂线相关的简单角度计算。 03 知识•梳理 知识点1：垂线的定义（重点） 1. 定义：两条直线相交，如果所成的四个角中有一个角是直角（90°），那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 2. 符号表示：垂直用符号“⊥”表示，读作“垂直于”。若直线AB与直线CD垂直，垂足为O，记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”；若直线l与直线m垂直，记作“l⊥m”。 3. 关键说明：① 垂线是相交线的特殊情况（相交且夹角为90°）；② 两条直线互相垂直，四个角都是直角；③ 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（后续作图核心依据）。 易错点：误将“垂直”与“相交”混淆，认为“相交的两条直线一定垂直”（相交不一定垂直，垂直一定相交）。 知识点2：画垂线（规范操作） 1. 作图工具：无刻度直尺、三角板（七年级常用）。 2. 常见作图类型及步骤： 过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 特别说明： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 知识点3：垂线段最短（核心性质） 1. 垂线段的定义：过直线外一点作这条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段。 2. 核心性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（可通俗记为“垂线段最短”）。 3. 实际应用：如测量跳远的成绩、从直线外一点到直线的最短路径，均利用“垂线段最短”的性质。 易错点：混淆“垂线段”与“垂线”（垂线是直线，无长度；垂线段是线段，有长度）。 知识点4：点到直线的距离（重点） 1. 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 2. 关键说明：① 点到直线的距离是“长度”，不是垂线段本身（垂线段是图形，距离是数值）；② 只有垂线段的长度才是点到直线的距离，其他线段的长度都不是；③ 点到直线的距离可以测量。 易错点：① 误将“垂线段”当作“点到直线的距离”；② 测量点到直线的距离时，未画出垂线段，直接测量非垂线段的长度。 04 题型•汇总 【题型1 垂线的定义】 核心思路：根据垂线的定义（两条直线相交、夹角为90°），判断两条直线是否互相垂直；识别垂线时，重点看相交的角是否为直角，或是否有“⊥”符号标注；区分“垂直”与“相交”的关系。 【典例1】．已知直线a、b相交，如图所示，下列条件中不能得到的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．如图，点在直线上，，且平分，．则 ． 跟随训练1-2．直线，相交于点，平分，，垂足为，若． (1)求的度数． (2)在的内部做射线，使，判断点是否在直线上，并说明理由． 【题型2 画垂线】 核心思路：严格遵循“放、靠、移、画、标注”五步规范操作，根据“过直线上一点”或“过直线外一点”的要求，准确画出垂线，保留作图痕迹，标注垂足和“⊥”符号；重点确保平移规范，避免画出的直线不垂直。 【典例2】．下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段； （2）线段_____的长就是点到直线的距离； （3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 跟随训练2-2．如图，有、、、四个点，请按下列语句画出相应图形． (1)画直线； (2)画射线； (3)画点到直线的垂线段，垂足为． 【题型3 垂线段最短】 核心思路：牢记“垂线段最短”的性质，解决与“最短路径”“最短距离”相关的问题；判断线段长短时，优先考虑垂线段，明确“直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短”。 【典例3】．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 跟随训练3-1．数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 跟随训练3-2．运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为 米． 【题型4 点到直线的距离】 核心思路：紧扣点到直线的距离的定义（直线外一点到这条直线的垂线段的长度），区分“垂线段”（图形）与“距离”（数值）；测量距离时，先画出垂线段，再测量其长度。 【典例4】．如图，A，B，C三点在直线上，点在直线外，于点，若，，则点到直线的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 跟随训练4-1．如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 跟随训练4-2．如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 【题型5平面直线位置关系与角度计算综合拓展】 核心思路：综合运用相交线、对顶角、余角、补角、垂线的知识，梳理角度之间的关系（对顶角相等、互余、互补、垂直夹角为90°），分步计算未知角的度数；规范书写步骤，标注每一步的依据，重点突破多知识点综合应用的难点。 【典例5】．如图所示，直线与相交于点，于点，平分，且． (1)求的度数． (2)求的度数． 跟随训练5-1．如图，直线、相交于点，平分，于． (1)的余角是______．（写出图中所有符合要求的角） (2)若，求的度数． 跟随训练5-2．如图，直线，相交于点，平分，，，求的度数． 05 过关•检测 1．如图，已知，垂足为O，为过点O的一条直线，则与一定成立的关系是（    ） A．互余 B．互补 C．相等 D．不确定 2．如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线与相交于点，于点．若，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 4．如图，因为，，所以与重合的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5．如图，直线和相交于点，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，点O为直线上一点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．如图所示，下列说法不正确的有（   ）个 （1）点B到的距离是垂线段 （2）点C到的垂线段是线段 （3）线段是点D到的垂线段     （4）线段的长度是点B到的距离 A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知直线可表示为直线，点O到直线的距离为3，则点O的轨迹是 ． 10．如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是 ，依据是 ． 11．如图，直线、相交于点，，则直线、的夹角是 ．若于点，于点，则线段 的长度表示点到直线的距离． 12．如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． 13．观察图形，以下结论： ①线段的长必大于点A到直线l的距离； ②线段的长小于线段的长，根据是两点之间线段最短； ③图中共有两对角互为余角； ④线段的长是点D到直线的距离，正确的是 （填序号）． 14．在体育课上，某同学跳远后留下的脚印如下图，则他本次的跳远成绩是线段 的长度． 15．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，、、、均在格点上． (1)过点画线段的垂线，垂足为； (2)点到线段的距离即线段_________的长； (3)在直线上找一点，使得的值最小． 16．如图，点在直线上，． (1)若，求的度数． (2)①点到的距离为 ； ②在线段中，哪条更长？请判断并说明理由． 17．已知直线相交于点，点在内部，作射线． (1)如图①，，则_______；_______； (2)如图②，，则_______； (3)如图③，平分，求的度数及点到直线的距离． 18．已知． (1)如图1，若在的内部，且，求的大小； (2)如图2，绕点顺时针旋转，保持在的内部． ①若．请证明是的平分线； ②请直接写出与的数量关系． 19．是的平分线， (1)若（如图1），请写出的余角 ； (2)若，（如图2），求的度数； (3)若，是平面内一点，设，求的度数（用的关系式表示，且是小于平角的角）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $