2.1两条直线的位置关系（第1课时 对顶角、补角和余角）（4知识点+8题型+过关检测）同步培优讲义2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（北师大版）

2.1两条直线的位置关系（第1课时 对顶角、补角和余角） （4知识点+8题型+过关检测） 【题型1 平面内两直线的位置关系】 1 【题型2 相交线】 3 【题型3 对顶角的定义】 4 【题型4 对顶角相等】 5 【题型5 求一个角的余角】 5 【题型6 求一个角的补角】 6 【题型7 与余角、补角有关的计算】 7 【题型8 同（等）角的余（补）角相等的应用】 7 · 理解同一平面内两条直线的位置关系（相交、平行），能准确识别相交线与平行线。 · 掌握对顶角的定义，能准确识别对顶角，牢记“对顶角相等”的性质并能简单应用。 · 理解余角、补角的定义，能准确判断两个角是否互为余角、互为补角，掌握余角、补角的基本特征。 03 知识•梳理 知识点1：同一平面内两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行（不考虑重合）。 1. 相交：两条直线有且只有一个公共点，这个公共点叫做两条直线的交点（如：两条相交的公路、剪刀的两条边）； 2. 平行：两条直线没有公共点，且向两方无限延伸后始终不相交（如：黑板的上下两条边、铁轨）； 补充：重合的两条直线有无数个公共点，不算作“两条直线”的独立位置关系，可看作一条直线。 知识点2：相交线（核心基础） 定义：两条直线有且只有一个公共点时，这两条直线叫做相交线，它们的公共点叫做交点。 关键特征：① 在同一平面内；② 有且只有一个公共点；③ 两条直线相交时，会形成4个角（如：直线AB与CD相交于点O，形成∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD）。 易错点：忽略“同一平面内”的前提，误将空间中相交的直线判定为相交线（七年级重点研究同一平面内的相交线）。 知识点3：对顶角（重点） 1. 定义：两条直线相交时，相对的两个角叫做对顶角（也叫对顶角相等）。 2. 识别条件（缺一不可）：① 两条直线相交形成；② 有公共顶点；③ 两边互为反向延长线（没有公共边）。 示例：直线AB与CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角，∠AOD与∠BOC是对顶角。 3. 核心性质：对顶角相等（这是七年级几何中重要的性质，可直接用于角度计算和推理）。 易错点：误将有公共顶点但两边不互为反向延长线的角判定为对顶角（如：邻补角不是对顶角）。 知识点4：余角与补角（重点） 1. 余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），那么这两个角互为余角，简称互余。 补充：① 互余是两个角的关系，不能单独说一个角是余角；② 两个角互余，与它们的位置无关（可以相邻，也可以不相邻）；③ 一个角的余角有无数个，只要和它相加等于90°即可。 2. 补角的定义：如果两个角的和等于180°（平角），那么这两个角互为补角，简称互补。 补充：① 互补是两个角的关系，不能单独说一个角是补角；② 两个角互补，与它们的位置无关；③ 一个角的补角有无数个，只要和它相加等于180°即可。 3. 核心性质（高频考点）： ① 同角的余角相等：若∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°，则∠2 = ∠3； ② 等角的余角相等：若∠1 + ∠2 = 90°，∠3 + ∠4 = 90°，且∠1 = ∠3，则∠2 = ∠4； ③ 同角的补角相等：若∠1 + ∠2 = 180°，∠1 + ∠3 = 180°，则∠2 = ∠3； ④ 等角的补角相等：若∠1 + ∠2 = 180°，∠3 + ∠4 = 180°，且∠1 = ∠3，则∠2 = ∠4。 易错点：① 混淆余角与补角的度数要求（余角和为90°，补角和为180°）；② 认为“互余、互补的角一定相邻”。 04 题型•汇总 【题型1 平面内两直线的位置关系】 核心思路：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行（不考虑重合）。1. 相交：两条直线有且只有一个公共点，这个公共点叫做两条直线的交点2. 平行：两条直线没有公共点，且向两方无限延伸后始终不相交。 【典例1】．已知直线m、n，下列图形中属于两直线平行的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（   ） A．平行或相交 B．垂直或相交 C．垂直或平行 D．以上都不对 跟随训练1-2．下列说法一定正确的是（    ） A．两条不相交的线段互相平行 B．连接两点间的线段叫做两点的距离 C．若，则点是线段的中点 D．在同一平面内，若两条直线没有交点，则这两条直线平行 【题型2 相交线】 核心思路：紧扣相交线的定义（同一平面内、有且只有一个公共点），判断两条直线是否为相交线，区分相交线与平行线、重合直线；重点规避忽略“同一平面内”的错误。 【典例2】．如图，下面的说法正确的是（　　） A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 跟随训练2-1．平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 跟随训练2-2．下列说法中正确的是（   ） A．不相交的两条直线叫平行线 B．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离 C．互相垂直的两条线段一定相交 D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【题型3 对顶角的定义】 【典例3】．和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．下列各图中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．下面四个图形中，与是对顶角的图形是（    ） A． B． C． D． 【题型4 对顶角相等】 核心思路：牢记“对顶角相等”的性质，先识别对顶角，再利用性质进行角度计算或简单推理；计算时，结合平角、直角的度数，梳理角度之间的关系。 【典例4】．如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．如图，直线，相交于点O，，则的度数是 ． 跟随训练4-2．如图，用量角器测得的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型5 求一个角的余角】 核心思路：根据余角的定义（两个角的和为90°），用90°减去已知角的度数，即可得到这个角的余角；注意：若已知角大于90°，则没有余角。 【典例5】．已知与互余，且，则 °． 跟随训练5-1．一副三角尺在下列摆放方式中，一定能确定与两角互余的是（　　） A． B． C． D． 跟随训练5-2．如图所示，，． (1)写出与互余的角； (2)求的度数． 【题型6 求一个角的补角】 核心思路：根据补角的定义（两个角的和为180°），用180°减去已知角的度数，即可得到这个角的补角；注意：若已知角大于180°，则没有补角。 【典例6】．已知，与互补，则 ． 跟随训练6-1．如图，的大小可由量角器测得，则的补角的大小为（    ） A． B． C． D． 跟随训练6-2．如图，直线，相交于点，射线是的平分线，，求的度数． 【题型7 与余角、补角有关的计算】 核心思路：先根据余角、补角的定义，列出角度之间的关系式（和为90°或180°），再结合已知条件，代入计算未知角的度数；重点梳理多个角之间的互余、互补关系，避免混淆。 【典例7】．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中与不相等的图形为（   ） A． B． C． D． 跟随训练7-1．已知与互余，则以下对的补角的表示方法正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 跟随训练7-2．【定义新知】 从一个锐角顶点出发在角的内部引一条射线，把分成两个角，若其中一个角与之和为，则这条射线叫做锐角的巧分线，这个角叫做锐角的巧分角． 【理解运用】 （1）如图1，，，请判断是否为的巧分线，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图2，是平角，是的巧分角，，试说明； （3）如图3，在（2）的条件下，若是的平分线，，求的度数． 【题型8 同（等）角的余（补）角相等的应用】 核心思路：牢记同（等）角的余（补）角相等的性质，先找出“同角”或“等角”，再利用性质推出两个角相等，用于角度推理或计算；重点区分“同角”与“等角”，规范书写推理步骤。 【典例8】．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（   ） A． B． C． D． 跟随训练8-1．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 跟随训练8-2．如图，将两块直角三角尺的顶点叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)比较与的大小，并说明理由． 05 过关•检测 1．在同一平面内，两条不同的直线的位置关系是（     ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或重合 2．如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 3．下列说法中错误的是（　　） A．同角（或等角）的余角相等 B．在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段叫作点A到直线l的距离 4．下列工具中，有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知，垂足为O，为过点O的一条直线，则与一定成立的关系是（    ） A．互余 B．互补 C．相等 D．不确定 6．下列说法中错误的有（   ）个． ①如果，那么点C为线段的中点；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，蕴含的数学知识是两点确定一条直线；③连接两点间的线段，叫做这两点间的距离；④线段，点C在直线上，且，则线段；⑤一个角的补角一定比这个角大． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 7．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，点O是量角器的中心点，射线经过刻度线90，若，射线分别经过刻度线40和60，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线165；③若，则图中共有6对角互为余角．其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有 和 两种． 10．直线的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线交于点；④点在直线外；⑤直线两两相交．以上表述正确的有 ．（只填写序号）    11．如图，为了测量一座古塔外墙底部的底角的度数，李萧同学设计了如下测量方案：作，的延长线，，量出的度数，从而得到的度数．这个测量方案的依据是 ． 12．一副三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数是 ． 13．如图，，，则 ． 14．如图，直线上有一点O，作射线，使得，则 ；在同一平面内将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，，若始终在的内部，则 ． 15．如图，O为直线上一点，，平分，． (1)求的度数； (2)图中互补的角有________对，写出与互补的角：________． 16．如图，已知都是直角． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 17．如图，与互为补角，与互为余角，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 18．如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)试判断与的大小关系为________，理由是（用文字表述）：__________________________； (2)若，则的度数为________； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． 19．从一个角的顶点出发，把这个角分成三个相等的角的射线，叫作这个角的三等分线．如图1，有两条三等分线，射线是靠近射线的三等分线，射线是靠近射线的三等分线． (1)如图2，，射线是靠近射线的三等分线，则________； (2)如图3，，射线从与射线重合的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转．射线从与射线重合的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转．当射线与射线重合时，运动停止； ①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②在射线、、中，是否存在其中一条射线是另外两条射线组成的角的三等分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 20．点、、三点在同一条直线上，，平分，（本题中所有角均指小于的角） (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，过点作射线，满足，求与的数量关系． (3)如图3为初始位置，，直角三角形（其中）如图放置，将射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将直角三角形绕点以每秒的速度逆时针旋转，如图4，在旋转的过程中，始终平分，设旋转的时间为秒（），在射线、、中，当其中有一条射线是另外两条射线所形成的夹角的平分线时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1两条直线的位置关系（第1课时 对顶角、补角和余角） （4知识点+8题型+过关检测） 【题型1 平面内两直线的位置关系】 1 【题型2 相交线】 4 【题型3 对顶角的定义】 5 【题型4 对顶角相等】 7 【题型5 求一个角的余角】 9 【题型6 求一个角的补角】 10 【题型7 与余角、补角有关的计算】 12 【题型8 同（等）角的余（补）角相等的应用】 14 · 理解同一平面内两条直线的位置关系（相交、平行），能准确识别相交线与平行线。 · 掌握对顶角的定义，能准确识别对顶角，牢记“对顶角相等”的性质并能简单应用。 · 理解余角、补角的定义，能准确判断两个角是否互为余角、互为补角，掌握余角、补角的基本特征。 03 知识•梳理 知识点1：同一平面内两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行（不考虑重合）。 1. 相交：两条直线有且只有一个公共点，这个公共点叫做两条直线的交点（如：两条相交的公路、剪刀的两条边）； 2. 平行：两条直线没有公共点，且向两方无限延伸后始终不相交（如：黑板的上下两条边、铁轨）； 补充：重合的两条直线有无数个公共点，不算作“两条直线”的独立位置关系，可看作一条直线。 知识点2：相交线（核心基础） 定义：两条直线有且只有一个公共点时，这两条直线叫做相交线，它们的公共点叫做交点。 关键特征：① 在同一平面内；② 有且只有一个公共点；③ 两条直线相交时，会形成4个角（如：直线AB与CD相交于点O，形成∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD）。 易错点：忽略“同一平面内”的前提，误将空间中相交的直线判定为相交线（七年级重点研究同一平面内的相交线）。 知识点3：对顶角（重点） 1. 定义：两条直线相交时，相对的两个角叫做对顶角（也叫对顶角相等）。 2. 识别条件（缺一不可）：① 两条直线相交形成；② 有公共顶点；③ 两边互为反向延长线（没有公共边）。 示例：直线AB与CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角，∠AOD与∠BOC是对顶角。 3. 核心性质：对顶角相等（这是七年级几何中重要的性质，可直接用于角度计算和推理）。 易错点：误将有公共顶点但两边不互为反向延长线的角判定为对顶角（如：邻补角不是对顶角）。 知识点4：余角与补角（重点） 1. 余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），那么这两个角互为余角，简称互余。 补充：① 互余是两个角的关系，不能单独说一个角是余角；② 两个角互余，与它们的位置无关（可以相邻，也可以不相邻）；③ 一个角的余角有无数个，只要和它相加等于90°即可。 2. 补角的定义：如果两个角的和等于180°（平角），那么这两个角互为补角，简称互补。 补充：① 互补是两个角的关系，不能单独说一个角是补角；② 两个角互补，与它们的位置无关；③ 一个角的补角有无数个，只要和它相加等于180°即可。 3. 核心性质（高频考点）： ① 同角的余角相等：若∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°，则∠2 = ∠3； ② 等角的余角相等：若∠1 + ∠2 = 90°，∠3 + ∠4 = 90°，且∠1 = ∠3，则∠2 = ∠4； ③ 同角的补角相等：若∠1 + ∠2 = 180°，∠1 + ∠3 = 180°，则∠2 = ∠3； ④ 等角的补角相等：若∠1 + ∠2 = 180°，∠3 + ∠4 = 180°，且∠1 = ∠3，则∠2 = ∠4。 易错点：① 混淆余角与补角的度数要求（余角和为90°，补角和为180°）；② 认为“互余、互补的角一定相邻”。 04 题型•汇总 【题型1 平面内两直线的位置关系】 核心思路：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行（不考虑重合）。1. 相交：两条直线有且只有一个公共点，这个公共点叫做两条直线的交点2. 平行：两条直线没有公共点，且向两方无限延伸后始终不相交。 【典例1】．已知直线m、n，下列图形中属于两直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相交线和平行线．观察图形，根据平行线和相交线的定义对各个选项进行判断即可． 【详解】解：观察图形可知：选项A C D中，直线m和n相交； 只有B选项中，直线m和n互相平行， 故选：B． 跟随训练1-1．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（   ） A．平行或相交 B．垂直或相交 C．垂直或平行 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查平面内两条直线的位置关系，注意垂直是相交的特殊情况，包括在相交里．根据同一平面内，两条直线的位置关系即可得到结论． 【详解】解：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：相交或平行， 故选：A． 跟随训练1-2．下列说法一定正确的是（    ） A．两条不相交的线段互相平行 B．连接两点间的线段叫做两点的距离 C．若，则点是线段的中点 D．在同一平面内，若两条直线没有交点，则这两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行线，两点间的距离，线段中点，根据平行线，两点间的距离，线段中点相关概念逐一排除即可，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】、两条不相交的线段，但延长后不一定平行，原说法错误，不符合题意； 、连接两点间的线段的长度叫做两点的距离，原说法错误，不符合题意； 、若，当点不在同一条直线上时，点不是线段的中点，原说法错误，不符合题意； 、在同一平面内，若两条直线没有交点，则这两条直线平行，原说法正确，符合题意； 故选：． 【题型2 相交线】 核心思路：紧扣相交线的定义（同一平面内、有且只有一个公共点），判断两条直线是否为相交线，区分相交线与平行线、重合直线；重点规避忽略“同一平面内”的错误。 【典例2】．如图，下面的说法正确的是（　　） A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 【答案】B 【分析】本题主要考查点和线的位置关系，角的表示以及相关的数学语言，根据点和线的位置关系以及数学语言判断即可． 【详解】解：A．点P在直线m外，该选项错误； B．直线m和n相交于点O，该选项正确； C．可以表示成，该选项错误； D．射线和射线表示不同射线，该选项错误． 故选：B． 跟随训练2-1．平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 【答案】D 【分析】本题考查了平行线与相交线，做到不重不漏是解题关键．根据相交线的定义，作出所有可能的图形即可得解． 【详解】解：当平面内三条直线平行时，交点个数为0个； 当平面内三条直线交于一点时，交点个数为1个； 当两条直线平行，另一条直线与之相交时，交点个数为2个； 当平面内三条直线两两相交时，交点个数为3个； 即平面内三条直线的交点个数可能有0个或1个或2个或3， 故选：D． 跟随训练2-2．下列说法中正确的是（   ） A．不相交的两条直线叫平行线 B．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离 C．互相垂直的两条线段一定相交 D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理、点到直线的距离的概念、平面内两直线的位置关系等是解题的关键．根据平行线的判定、点到直线的距离、平面内两直线的位置关系等求解判断即可． 【详解】解：A．在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故A说法不符合题意； B．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故B说法不符合题意； C．平面内，互相垂直的两条直线一定相交，而平面内，互相垂直的两条线段不一定相交，故C说法不符合题意； D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D说法符合题意； 故选：D． 【题型3 对顶角的定义】 【典例3】．和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，称为互为对顶角 【详解】解：根据对顶角的定义，只有选项C的图形符合题意； 故选：C． 跟随训练3-1．下列各图中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角的定义与判定，掌握对顶角的判定条件是解题关键． 根据对顶角的判定条件依次判断各选项． 【详解】解：选项：和的两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和没有公共顶点，不是对顶角； 选项：和两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角． 故选：． 跟随训练3-2．下面四个图形中，与是对顶角的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，“具有共同的顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角”，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A．根据对顶角的定义，A中的与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； B．根据对顶角的定义，B中与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； C．根据对顶角的定义，C中与不具有共同的顶点，不是对顶角，故不符合题意； D．根据对顶角的定义，D中与具有共同的顶点且两边互为反向延长线，是对顶角，故符合题意． 故选：D． 【题型4 对顶角相等】 核心思路：牢记“对顶角相等”的性质，先识别对顶角，再利用性质进行角度计算或简单推理；计算时，结合平角、直角的度数，梳理角度之间的关系。 【典例4】．如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及垂直定义、对顶角相等等知识，数形结合表示出相关角度是解决问题的关键． 由得到，从而得到，再由对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：于， ， ， ， ， 故选：B． 跟随训练4-1．如图，直线，相交于点O，，则的度数是 ． 【答案】/48度 【分析】本题考查了对顶角相等． 直接根据对顶角相等作答即可． 【详解】解：∵直线，相交于点O，， ∴． 故答案为：． 跟随训练4-2．如图，用量角器测得的度数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角的性质，解题关键是利用“对顶角相等”． 观察可知与是对顶角，由此求出的度数． 【详解】解：∵点、、共线，点、、共线， ∴与互为对顶角， ∴． 故选：C． 【题型5 求一个角的余角】 核心思路：根据余角的定义（两个角的和为90°），用90°减去已知角的度数，即可得到这个角的余角；注意：若已知角大于90°，则没有余角。 【典例5】．已知与互余，且，则 °． 【答案】42 【分析】本题考查了互余的定义； 根据互余角的定义，两角之和为，代入已知角计算即可． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∴ 故答案为：42． 跟随训练5-1．一副三角尺在下列摆放方式中，一定能确定与两角互余的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角的定义，同角的余角相等，三角板中角度的特点，度数之和为90度的两个角互余，据此根据同角的余角相等，平角的定义和三角板中角度的特点逐一判断即可． 【详解】解：A、根据同角的余角相等可得，但不一定有，故不能确定与两角互余，不符合题意； B、根据三角板中角度的特点可得，则，故与两角不互余，不符合题意； C、根据平角的定义和三角板中角度的特点可得，故可以确定与两角互余，符合题意； D、根据平角的定义可得，故与两角不互余，不符合题意； 故选：C． 跟随训练5-2．如图所示，，． (1)写出与互余的角； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查图形中求角度，数形结合，准确表示出各个角度之间的关系是解决问题的关键． （1）由已知条件，结合互余定义即可得到答案； （2）先由已知条件，结合图形，求出，进而根据，代入角度计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，， 则由互余定义可知，与互余的角有； （2）解：，，   ， ． 【题型6 求一个角的补角】 核心思路：根据补角的定义（两个角的和为180°），用180°减去已知角的度数，即可得到这个角的补角；注意：若已知角大于180°，则没有补角。 【典例6】．已知，与互补，则 ． 【答案】/127度 【分析】本题考查求一个角的补角，根据互补的定义，两个角之和为，则这两个角互补，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意； 故答案为： 跟随训练6-1．如图，的大小可由量角器测得，则的补角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了补角的定义，由量角器可得出的度数，再根据补角的定义即可求解． 【详解】解：由图可知，， 的补角为， 故选：B． 跟随训练6-2．如图，直线，相交于点，射线是的平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、补角的性质以及度分秒的计算，关键是先通过直角和已知角求出，再利用补角互补求出，最后结合角平分线的定义求得目标角的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵射线是的平分线， ∴； 故答案为：． 【题型7 与余角、补角有关的计算】 核心思路：先根据余角、补角的定义，列出角度之间的关系式（和为90°或180°），再结合已知条件，代入计算未知角的度数；重点梳理多个角之间的互余、互补关系，避免混淆。 【典例7】．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中与不相等的图形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角，根据三角尺摆放位置分析求出与的度数，再判断相等． 【详解】解：A、∵，， ∴，故A不符合题意， B、∵， ∴，故B不符合题意， C、∵，， ∴，故C不符合题意， D、∵，， ∴， ∴，故D符合题意． 故选：D． 跟随训练7-1．已知与互余，则以下对的补角的表示方法正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，度数之和为90度的两个角互余，则，度数之和为180度的两个角互补，则的补角为，据此求解即可． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵的补角为， ∴的补角为， ∴的补角为， ∴的补角可以表示为，又可以表示为， 故选：C． 跟随训练7-2．【定义新知】 从一个锐角顶点出发在角的内部引一条射线，把分成两个角，若其中一个角与之和为，则这条射线叫做锐角的巧分线，这个角叫做锐角的巧分角． 【理解运用】 （1）如图1，，，请判断是否为的巧分线，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图2，是平角，是的巧分角，，试说明； （3）如图3，在（2）的条件下，若是的平分线，，求的度数． 【答案】（1）为的巧分线，理由见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查角平分线的定义及角的数量关系，正确理解题意准确计算并注意分类讨论思想的运用是解题关键． （1）根据巧分线的定义求解，即可证明结论成立； （2）根据巧分角的定义可得，根据题意可得，从而利用同角的余角相等可以得到结论； （3）根据上一问的结论可得，然后利用巧分角和角平分线的定义求得角的数量关系，从而求解． 【详解】解：（1）是的巧分线，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴是的巧分线； （2）∵是的巧分角， ∴， ∵是平角，， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∵是的巧分角， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【题型8 同（等）角的余（补）角相等的应用】 核心思路：牢记同（等）角的余（补）角相等的性质，先找出“同角”或“等角”，再利用性质推出两个角相等，用于角度推理或计算；重点区分“同角”与“等角”，规范书写推理步骤。 【典例8】．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角尺的角度特征、余角与补角的性质，对每个图形依次分析：第一个图形通过平角与三角尺角度计算即可判断；第二个图形利用同角的余角相等判断；第三个图形通过平角与三角尺角度计算即可判断；第四个图形直接根据三角尺角度及互补关系判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A图中，， 那么； B图中，， ∴； C图中，， ∴； D图中，， ∴， ∴， 故选：D． 跟随训练8-1．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，三角板中角的计算余角的性质，熟练掌握三角板中角的特点，是解答本题的关键．根据题意计算、结合图形比较，即可得到答案． 【详解】解：①图形中，根据同角的余角相等可得，故①符合题意； ②图形中，，和不一定相等，故②不符合题意； ③图形中，，故③符合题意； ④图形中，，，，故④不符合题意； 综上，正确的有①③． 故选：B． 跟随训练8-2．如图，将两块直角三角尺的顶点叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查余角的定义，三角板中角度的计算等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠． （1）根据角的和差关系进行计算即可； （2）根据角的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ． 答：的度数为． （2）解：． 理由如下： 因为， 所以，． 所以． 05 过关•检测 1．在同一平面内，两条不同的直线的位置关系是（     ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或重合 【答案】C 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系，根据初中数学教材中的相关概念判断即可． 【详解】解：∵在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系为平行或相交，重合的直线视为同一条直线，不属于两条不同直线的位置关系． ∴两条直线的位置关系是平行或相交， 故选：C． 2．如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角相等，平角的定义，角的和差， 先标注，再根据对顶角相等得，然后根据平角定义得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 3．下列说法中错误的是（　　） A．同角（或等角）的余角相等 B．在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段叫作点A到直线l的距离 【答案】D 【分析】本题主要考查了同角（或等角）的余角相等，直线与直线的位置关系，垂线性质，点到直线的距离，根据同角（或等角）的余角相等，直线与直线的位置关系，垂线性质，点到直线的距离，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、同角（或等角）的余角相等，故A正确； B、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行，故B正确； C、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故C正确； D、过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段的长度叫作点A到直线l的距离，故D错误； 故选：D． 4．下列工具中，有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，关键是熟练掌握对顶角的定义．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解． 【详解】解：由对顶角的定义可知，下列工具中，有对顶角的是选项A． 故选：A． 5．如图，已知，垂足为O，为过点O的一条直线，则与一定成立的关系是（    ） A．互余 B．互补 C．相等 D．不确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的定义，余角的定义，根据垂线的定义可得，则由平角的定义可得，再由度数之和为90度的两个角互余可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴与互余， 故选：A． 6．下列说法中错误的有（   ）个． ①如果，那么点C为线段的中点；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，蕴含的数学知识是两点确定一条直线；③连接两点间的线段，叫做这两点间的距离；④线段，点C在直线上，且，则线段；⑤一个角的补角一定比这个角大． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查几何概念辨析，涵盖线段中点定义、两点之间线段最短、两点间距离定义、线段长度分类计算及补角性质，需逐一分析各说法正误并统计错误个数． 【详解】∵①中，若，点不一定在线段上（如等腰三角形的顶点）， 故点不一定是的中点，①错误； ∵②中，弯曲河道改直缩短长度的原理是两点之间线段最短， 而非两点确定一条直线，②错误； ∵③中，两点间的距离是连接两点的线段的长度， 而非线段本身，③错误； ∵④中，点在直线上分两种情况： 当在线段延长线上时，； 当在线段上时，， 故不一定为4，④错误； ∵⑤中，当角为钝角时，其补角为锐角且小于该角； 当角为直角时，补角与该角相等， 故“补角一定比这个角大”不成立，⑤错误； ∴错误的说法有5个， 故选：A． 7．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角尺的角度特征、余角与补角的性质，对每个图形依次分析：第一个图形通过平角与直角的角度和差计算即可判断；第二个图形利用同角的余角相等判断；第三个图形通过补角计算两角大小；第四个图形直接根据三角尺角度及互补关系判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：第一个图形中， ∵， ∴， ∴， 第二个图形，如图： ∵， ∴， 第三个图形中， ∵， ∴， 第四个图形中， ∵， ∴， ∴， 综上，符合题意的有个， 故选：C． 8．如图，点O是量角器的中心点，射线经过刻度线90，若，射线分别经过刻度线40和60，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线165；③若，则图中共有6对角互为余角．其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的和差，互余和互补，解题的关键是掌握以上定义． 根据角的和差以及互余，互补的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵，，且， ∴， 故①正确； ②由量角器可得，， 当射线经过刻度线165时，经过刻度线145， ∴，， 此时，， 与不互补， 故②错误； ③如图所示， 由②得，， ∴， ∵射线经过刻度线90， ∴，， ∴， ∴和，和，和，和，和互为余角， 即共有6对角互为余角， 故③正确； 综上，正确的选项有①③， 故选：C． 9．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有 和 两种． 【答案】 平行 相交 【分析】本题考查平面内两直线的位置关系，在同一平面内，不重合的两条直线要么平行，要么相交，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有平行和相交， 故答案为：平行，相交． 10．直线的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线交于点；④点在直线外；⑤直线两两相交．以上表述正确的有 ．（只填写序号）    【答案】②③④⑤ 【分析】本题考查了点和直线的位置关系，直线和直线的位置关系，根据图性逐项判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，点在直线外，故①错误； 由图可知，直线经过点，故②正确； 由图可知，直线交于点，故③正确； 由图可知，点在直线外，故④正确； 由图可知，直线两两相交，故⑤正确； ∴以上表述正确的有②③④⑤， 故答案为：②③④⑤． 11．如图，为了测量一座古塔外墙底部的底角的度数，李萧同学设计了如下测量方案：作，的延长线，，量出的度数，从而得到的度数．这个测量方案的依据是 ． 【答案】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的性质，掌握对顶角相等，利用该性质可以通过测量易获取的角来得到不易直接测量的角是解题的关键． 观察与的位置关系，判断其为对顶角，根据对顶角的性质确定测量方案的依据． 【详解】解：∵与是对顶角，根据对顶角相等的性质， ∴量出的度数，即可得到的度数． 因此，这个测量方案的依据是：对顶角相等． 故答案为：对顶角相等． 12．一副三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求余角． 根据图形，结合已知条件，由余角的定义进而得出的度数． 【详解】解：由图形可知，， ∵， ∴． 故答案为：． 13．如图，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差，求一个角的余角． 先求出，再根据余角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14．如图，直线上有一点O，作射线，使得，则 ；在同一平面内将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，，若始终在的内部，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算问题，由补角的定义得，由角的和差得，由补角的定义得，即可求解． 【详解】解： ； 因为 ， ， 所以 ； 故答案为：，． 15．如图，O为直线上一点，，平分，． (1)求的度数； (2)图中互补的角有________对，写出与互补的角：________． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角，补角等相关知识点，正确掌握相关概念是解题的关键． （1）根据角平分线定义推出，再结合题干条件，以及平角定义求解，即可解题； （2）根据角的数量关系推出，再结合平角与补角定义，分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 图中互补的角有对， 其中与互补的角有：， 故答案为：，． 16．如图，已知都是直角． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查互余的定义，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，熟练掌握各个角之间的互余和数量关系是解决问题的关键． （1）根据，结合图形即可求出结论； （2）设，得到，求出，即可得到的度数． 【详解】（1）解：都是直角． ∴， 由 ∴， ， ； （2）解：由可设， ∴ ∴， ∴， ∴ 17．如图，与互为补角，与互为余角，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了余角补角相关的计算，角平分线的应用，几何图形中的角度计算，数形结合是解题的关键． （1）根据题意得出，根据，得出，即可求出的度数； （2）根据，得出，根据角平分线的定义得出，根据即可求解． 【详解】（1）解：与互为余角， ． ， ， ， ； （2）解：与互为补角， ． ， ． 平分， ， ． 18．如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)试判断与的大小关系为________，理由是（用文字表述）：__________________________； (2)若，则的度数为________； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，同角的余角相等 (2) (3)，理由见解析 【分析】考查互为余角、互为补角的意义，等量代换和恒等变形是得出结论的基本方法． （1）利用“同角的余角相等”得出结论； （2）根据直角三角形的直角，利用互余可求出答案； （3）根据角之间的关系，得出与的和等于两个直角的和，进而得出结论． 【详解】（1）解：．理由是：同角的余角相等； 故答案为：，同角的余角相等； （2）解：∵，， ∴； 故答案为：； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 19．从一个角的顶点出发，把这个角分成三个相等的角的射线，叫作这个角的三等分线．如图1，有两条三等分线，射线是靠近射线的三等分线，射线是靠近射线的三等分线． (1)如图2，，射线是靠近射线的三等分线，则________； (2)如图3，，射线从与射线重合的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转．射线从与射线重合的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转．当射线与射线重合时，运动停止； ①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②在射线、、中，是否存在其中一条射线是另外两条射线组成的角的三等分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②或或或 【分析】本题考查了角的运算，一元一次方程的应用，理解新定义的概念，结合分类讨论思想解题的关键． （1）根据三等分线的定义求解即可； （2）①分相遇前与相遇后两种情况讨论，列方程求解即可； ②分相遇前，靠近或靠近；相遇后，靠近或靠近；共四种情况进行讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：射线是靠近射线的三等分线， ； 故答案为：； （2）解：①存在， （i）当相遇前， ， ， ， 即， 解得； （ii）当相遇后， ， ， ， ， 解得； 综上，存在，或时，的度数是； ②存在， （i）当相遇前，射线是靠近射线的三等分线， ， ， ， 即， 解得； （ii）当相遇前，射线是靠近射线的三等分线， ， ， ， 解得； （iii）当相遇后，射线是靠近射线的三等分线， ， ， ， 解得； （iv）当相遇后，射线是靠近射线的三等分线， ， ， ， 解得； 综上，存在，或或或． 20．点、、三点在同一条直线上，，平分，（本题中所有角均指小于的角） (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，过点作射线，满足，求与的数量关系． (3)如图3为初始位置，，直角三角形（其中）如图放置，将射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将直角三角形绕点以每秒的速度逆时针旋转，如图4，在旋转的过程中，始终平分，设旋转的时间为秒（），在射线、、中，当其中有一条射线是另外两条射线所形成的夹角的平分线时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用． （1）根据已知得出，根据角平分线的定义可得，进而根据平角的定义可得，即可求解； （2）设，则，分别表示出与，即可求解； （3）根据题意分别表示出，再分三种情况讨论，根据角平分线的定义得出两个角相等，列出方程，再解绝对值方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴ ∴ （2）解：∵ 设，则 ∵平分，， ∴ ∴ ∴； （3）解：设旋转的时间为秒（）， ∵射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，直角三角形绕点以每秒的速度逆时针旋转， ∴ ∵始终平分， ∴ ∵ ∴ 当平分时， ∴ 解得， 当平分时， ∴， 解得：或（舍去，重合） 当平分时， ∴ 解得：（舍去，重合）或 综上所述，或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $