1.1 三角形内角和定理（第4课时 多边形的外角）同步练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.1 三角形内角和定理（第4课时 多边形的外角）同步练习 一、单选题 1．九边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（ ） A．外角和减少 B．外角和增加 C．周长变大 D．周长变小 3．凸边形中有且仅有两个内角为钝角，则的最大值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于O点．若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝225°，则∠BOD的度数为(    ) A．40° B．45° C．50° D．60° 5．若一个多边形的每个外角均为，则这个多边形的对角线条数为（    ） A． B． C． D． 6．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（    ）    A． B． C． D． 7．如图，有四条直线两两相交，则的值是（    ） A．360 B．450 C．540 D．630 8．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行步后右转，沿转后方向直行步后右转，再沿转后方向直行步后右转…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了 步． 10．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为 ． 11．已知一个正多边形的每一个外角为，则这个多边形的边数为 ． 12．已知一个多边形的内角和是它的外角和的倍，这个多边形的边数是 ． 13．如图，用n个全等的正六边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正六边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正六边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为 ． 14．在四边形中，的外角之比为，那么 ． 15．如图，，则 ． 16．已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为 ． 17．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则 ． 三、解答题 18．已知一个多边形的内角和与外角和的差为，求这个多边形的边数及内角和． 19．如下图，，，，，是五边形的外角，且．求的度数． 20．如图是由射线，，，，组成的平面图形，若，，求的度数． 21．如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角． （1）猜想并说明∠1＋∠2与∠A、∠C的数量关系； （2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O ．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数； （3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的数量关系 ． 22．（1）已知图①中的三角形ABC，分别作AB，BC，CA的延长线BD，CE，AF，测量∠CBD，∠ACE，∠BAF的度数，并计算∠CBD+∠ACE+∠BAF．由此你有什么发现？请利用所学知识解释说明； （2）类似地，已知图②中的四边形PQRS，分别作PQ，QR，RS，SP的延长线QG，RH，SM，PN，测量∠RQG，∠SRH，∠PSM，∠QPN的度数，并计算∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN．由此你又有什么发现？ （3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查多边形外角和性质，任意凸多边形的外角和都等于，与边数无关，所以九边形的外角和为． 【详解】解：根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和等于， 九边形的外角和为． 故选：B． 2．D 【分析】本题主要考查三角形三边关系，多边形的外角和，熟练掌握此知识点是解题的关键．根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出答案． 【详解】解：将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∵五边形的外角和为：，六边形的外角和为：， 将五边形沿虚线裁去一个角，外角和不变， ∵， ∴周长变小． 故选：D． 3．B 【分析】根据凸多边形的外角和等于，内角与外角互为邻补角即可得出答案． 【详解】凸边形中有且仅有两个内角为钝角 其外角中有且仅有两个锐角，两个锐角之和 剩余的外角之和，其剩余的外角均 则剩余的外角越接近，n就越大 因此，剩余的外角最多有3个 即n的最大值为 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的外角和、外角的定义等知识点，将内角问题转化为外角问题是解题关键． 4．B 【分析】延长BC交OD于点M，如图所示，先根据多边形的外角和是360°求出∠OBC＋∠MCD＋∠CDM的度数，再根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：延长BC交OD于点M，如图所示． ∵多边形的外角和为360°， ∴∠OBC＋∠MCD＋∠CDM＝360°－225°＝135°， ∵∠BOD＋∠OBC＋∠MCD＋∠CDM＝180°， ∴∠BOD＝180°－135°＝45°． 故选B． 【点睛】本题考查了多边形的外角和、三角形的内角和定理和三角形的外角性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键． 5．C 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理与多边形的对角线条数多边形的外角和是固定的，依此可以求出多边形的边数，然后根据对角线的总条数=计算即可． 【详解】解：∵一个多边形的每个外角都等于， ∴多边形的边数为． ∴对角线的总条数， 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了等边三角形、正方形、正五边形的内角和、三角形的外角和，先求出等边三角形、正方形、正五边形每个内角的度数，再根据三角形的外角和等于列出等式计算即可求解，掌握正多边形的内角和公式和外角和等于是解题的关键． 【详解】解：等边三角形的每个内角为， 正方形的每个内角为， 正五边形的每个内角为， 如图，    ∵的外角和等于， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 7．C 【分析】本题考查了三角形的外角和、对顶角相等、利用邻补角互补求角度，由图形可得，，再结合，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可． 【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 9． 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数可直接让除以一个外角度数即可． 由题意可得机器人正好走了一个正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵由题意可得机器人正好走了一个正多边形， ∴根据外角和定理可知正多边形的边数为：， 则第一次回到出发点时，该机器人共走了步， 故答案为：． 10．/度 【分析】本题考查多边形内角和公式，多边形外角和定理，正多边形的性质，掌握多边形内角和公式是解题关键． 根据多边形内角和公式求出边数，再利用外角和定理求每个外角度数． 【详解】解：设正多边形的边数为，已知该多边形内角和为， 可得，解得，即该多边形为正边形， 由正多边形的外角和为， 可得每个外角的度数为． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，利用正多边形的外角和为360°，每个外角相等，计算边数即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，每个外角为， ∴边数为：， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为是解题的关键，根据内角和是外角和的倍列出方程，进而求出多边形的边数． 【详解】解：多边形的外角和为，内角和为， 由题意，内角和是外角和的倍，得， 化简得， 两边除以，得， 解得． 故答案为：． 13．5 【分析】本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和和外角和定理是解题的关键． 由完全拼成一个圆环需要的正六边形为n个，则围成的多边形为正n边形，利用正六边形的内角与夹角计算出正n边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可． 【详解】解：∵正六边形的外角和为， ∴正六边形每个外角的度数为：， ∴正六边形每个内角为：， ∴组成的正多边形的每个内角为：， ∵n个全等的正六边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形， ∴组成的正多边形为正n边形， ∴，解得：． 故答案为：5． 14． 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和的关系、一元一方程的应用等知识点，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 设的外角为，则的外角为，的外角为，的外角为．根据四边形的外角和定理列方程求得x，进而求得的外角，最后求即可． 【详解】解：设的外角为，则的外角为，的外角为，的外角为． 则，解得：． ∴的外角为， ∴． 故答案为． 15．240° 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握任意多边形的外角和都是． 根据邻补角的概念，多边形的外角和是进行解答即可． 【详解】解：如图： ∵四边形的外角和是， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：． 16．8 【分析】本题考查多边形的内角和与外角，掌握知识点是解题的关键． 利用多边形的外角和定理，每个外角为，外角和为，即可求出多边形的边数． 【详解】解：每个内角为，则每个外角为， ∵多边形的外角和为， ∴多边形的边数为． 故答案为：8． 17．/340度 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：由条件可知， ∵， ∴； 故答案为：． 18．这个多边形的边数为及内角和为． 【分析】本题主要考查了多边形内角和与外角和综合，设这个多边形的边数为，然后根据多边形内角和公式，结合所有多边形外角和为度，列出方程，然后求解即可，熟知多边形内角和公式和多边形外角和为度是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ， 解得：， ∴内角和为， 答：这个多边形的边数为，内角和为． 19． 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟知多边形的外角和是是解题的关键． 先根据多边形的外角和定理求出的度数，再根据邻补角互补即可求出的度数． 【详解】解：， ， ． 20． 【分析】本题主要考查了多边形外角和公式和平行线的性质，准确计算是解题的关键． 根据多边形的外角和等于，即可得到的度数，进而得出的度数，再根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图， 由多边形的外角和等于可知，， 又， ， ， 又， ． 21．（1） ；（2）130°；（3） 【分析】（1）根据多边形内角和与外角即可说明与、的数量关系； （2）结合（1）的结论，根据与的平分线．，，即可求的度数； （3）结合（1）的结论，根据、分别是四边形外角、的角平分线．进而可以写出、与的数量关系． 【详解】解：（1）猜想：， ， 又， ； （2），， ， 又、分别平分与， ，， ， ； （3）、分别是四边形外角、的角平分线． ，， 由（1）可知： ， ， ， ． 答：、与的数量关系为． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角、三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握多边形外角． 22．（1）见解析，∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°，三角形中的外角和为360°，见解析；（2）∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°，见解析；（3）多边形的外角和和都是360°，见解析 【分析】（1）经测量得出∠CBD＝138°，∠ACE＝117°，∠BAF＝105°，∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°，则据此得出结论三角形中的外角和为360°，根据平角是180°和多边形内角和证明即可； （2）分别测量出几个角并求出这几个角的和，得出结论：在四边形的外角和是360°；根据（1）中证明方法证明即可； （3）猜想：多边形的外角和和都是360°．根据（1），（2）方法证明即可； 【详解】解：（1） 经测量知∠CBD＝138°，∠ACE＝117°，∠BAF＝105°， ∴∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°， 发现：三角形中的外角和为360°， 理由：∵∠CBD+∠ABC＝180°， ∠ACE+∠ACB＝180°， ∠BAC+∠BAF＝180°， ∴∠CBD+∠ACE+∠BAF+∠ABC+∠ACB+∠BAC＝540°， 又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°； （2） ∠RQG＝125°，∠SRH＝113°，∠PSM＝48°，∠QPN＝74°， 所以∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°； 发现：在四边形的外角和是360°； ∵∠RQG+∠PQR＝180°，∠SRH+∠QRS＝180°，∠PSM+∠RSP＝180°，∠QPN+∠QPS＝180°， ∵∠RQG+∠PQR+∠SRH+∠QRS+∠PSM+∠RSP+∠QPN+∠QPS＝720°， ∵∠PQR+∠QRS+∠RSP+∠QPS＝360°， ∴∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°． （3）猜想：多边形的外角和都是360°． 设多边形为n边形，则n边形的每一个内角与它相邻的外角的和为180°， ∴n边形的外角和＝180°n﹣（n﹣2）×180°＝180°n﹣180°n+360°＝360°． 【点睛】此题考查多边形外角和的知识，利用平角是180°结合多边形内角和证明即可． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $