精品解析：广东河源市龙川县龙川第一实验学校2025-2026学年下学期九年级 第一次学情自测数学试卷

2026年春季学期龙川第一实验学校月练一 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚． 一．选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是某几何体的三视图，这个几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 长方体 2. 已知 的半径为5，点P在 内，则 的长可能是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 3. 若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 关于二次函数的最值，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值3 B. 有最小值3 C. 有最大值4 D. 有最小值4 5. 如图， 是 的外接圆，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 日常生活情境照相机是提升当代人生活幸福指数的设备之一. 如图是其工作原理图，两条光线与相机透镜的交点O即为位似中心，底片上的 与实物是位似图形，且位似比为2，点A，C的对应点分别为，，若 ，则的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 18 7. 如图，在 中，分别为边上的高，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 12 D. 6 9. 如图为喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则 的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是正方形，曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按 ， ， ，循环，当时，的长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题．（每题3分，共15分） 11. 一个正多边形的中心角为，则这个多边形的边数为______． 12. 已知二次函数当函数值y随x的增大而增大时，y的取值范围是____________． 13. 某校举行中学生篮球联赛，若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛一共进行了场，则该小组参加比赛的队伍共有_______支． 14. 一辆装满货物，宽为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（下半部分为矩形，上半部分为半圆形），则卡车的外形高必须低于______米． 15. 如图， ，，都是边长为的等边三角形，且 ，， ， 在同一条直线上，连接 分别交，， 于点 ，， ，连接，则的面积为__________． 三．解答题（一）．（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：； 17. 1月9日，“粤游学·暖冬知行季-2026‘寒假游学到广东’”五大主题游学周之“红色铸魂周”游学启动仪式在惠州市东江纵队纪念馆举行．某校建议同学们利用寒假时间自主到以下三个基地开展研学活动． A：广州起义纪念馆； B：河源苏维埃政府旧址及兵工厂旧址； C：广州中山纪念堂． 小明和小丽各自随机选取一个基地作为本次研学活动的第一站，用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率． 18. 如图， 是 的直径，弦于点E，点P在 上，． （1）求证：； （2）连接 ，若， ，求 的直径． 四．解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，某数学兴趣小组为了测量建在山上的信号塔 的高度，先在附近一座办公楼底端处测得信号塔 顶端的仰角为，然后在办公楼顶端 处测得信号塔 底部 的俯角为，已知，， ， ，在同一直线上，山的高度 为，办公楼的高度 为（点 ， ，，， 在同一竖直平面内），求信号塔 的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 20. 如图， 为 的直径，切 于点，交 的延长线于点，且． （1）求的度数； （2）若，求 的长． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（3，m）、B（－1，－3）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 五．解答题（三）．（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，矩形中，，点P是对角线 上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线 、射线 于点E、F． （1）求证：； （2）连接 ，若，且F为 中点，求的值； （3）若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线经过点．点 在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点 不在坐标轴上时，过点 作 轴的垂线，过点作 轴的垂线，这两条垂线交于点． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）被 轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． （3）当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标． （4）当此抛物线在内部的点的纵坐标 随 的增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期龙川第一实验学校月练一 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚． 一．选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是某几何体的三视图，这个几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 长方体 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图．三视图是从几何体的不同方向观察到的几何体的平面图形，该几何体的主视图和左视图是长方形，俯视图是圆，可知这个几何体应是圆柱． 【详解】解： 主视图和左视图是长方形，俯视图是圆， 几何体是圆柱． 故选：B． 2. 已知 的半径为5，点P在 内，则的长可能是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【详解】解：∵ 的半径为5，点P在 内， ∴． 故选：D． 3. 若点在反比例函数（ 为常数，且）的图象上，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 将已知点的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求出k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数（ 为常数，且）的图象上， ∴将 ，代入，得： 解得：， 故选：B． 4. 关于二次函数的最值，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值3 B. 有最小值3 C. 有最大值4 D. 有最小值4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点式，通过系数判断开口方向，从而确定最值类型（最大值或最小值），顶点坐标给出最值点。 【详解】解：∵函数是顶点形式，其中， ∴抛物线开口向上，有最小值， ∴顶点坐标为， ∴最小值为 4． 故选：D． 5. 如图， 是 的外接圆，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，根据等腰三角形的性质可知，根据三角形内角和定理可知，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：是 的外接圆， ， ， ， 是所对的圆周角，是所对的圆心角， ． 故选：C． 6. 日常生活情境照相机是提升当代人生活幸福指数的设备之一. 如图是其工作原理图，两条光线与相机透镜的交点O即为位似中心，底片上的 与实物是位似图形，且位似比为2，点A，C的对应点分别为，，若 ，则的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质以及相似三角形的判定与性质． 根据位似图形的性质得到，，然后证明，再根据相似三角形性质求解即可． 【详解】解：∵底片上的 与实物是位似图形，且位似比为2， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∵ ， ∴， 故选：B． 7. 如图，在 中，分别为边上的高，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数定义是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，则，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数定义求解即可． 【详解】解：、 分别为边上的高， ，， ， ， ， ， 在 中，，， ， ， ， 故答案为：B． 8. 如图，菱形 的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形 的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 12 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是是解决本题的关键． 由中，点O是 的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可得，由菱形对角线的性质可得 ，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形 是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴菱形 的面积． 故选：A． 9. 如图为喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，令 ，求出对应的x的值，则可求出 的长度，然后根据轴对称的性质求解即可． 【详解】解：当 时，， 解得，， ∴， ∵喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线， ∴， ∴， 即 的长为， 故选：A． 10. 如图，四边形是正方形，曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按， ， ，循环，当时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了探索图形的变化规律，根据分别计算出图形中，，，弧的长度，根据规律写出的长度． 【详解】解： 四边形是正方形， ，， 以点为圆心，为半径， 的长度为； ， 以点 为圆心，为半径， 的长度为； ， 以点 为圆心，为半径， 的长度为； 由规律可知的长度为； ， 的长度为． 故选：A． 二．填空题．（每题3分，共15分） 11. 一个正多边形的中心角为，则这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了中心角的计算公式，解题的关键是熟练掌握中心角． 根据中心角计算公式直接求解即可． 【详解】解：∵正多边形的中心角和为 ，且每个中心角的度数相等，已知该正多边形的中心角为， ∴这个多边形的边数为． 故答案为： ． 12. 已知二次函数当函数值y随x的增大而增大时，y的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， ∵函数图象开口向下， ∴当时，函数值y随x的增大而增大，此时 的取值范围是． 故答案为： 13. 某校举行中学生篮球联赛，若某小组有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛一共进行了场，则该小组参加比赛的队伍共有_______支． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设有支队伍参加了比赛，根据一共进行了场比赛，列方程求解． 【详解】解：设有支队伍参加了比赛， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：该小组参加比赛的队伍共有 支． 故答案为： ． 14. 一辆装满货物，宽为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（下半部分为矩形，上半部分为半圆形），则卡车的外形高必须低于______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与勾股定理的应用． 根据题意，卡车应在最中间通行，其高度要比距离隧道中线米处的洞壁低，用勾股定理计算出高度即可． 【详解】解：如图，卡车应在最中间通行， ∵车宽为米， ∴米， 由题意可知，半圆形的半径米， 在直角中，， ∴米， ∵下半部分为矩形， ∴米， ∴米， ∴卡车的外形高必须低于米． 故答案为：． 15. 如图， ，，都是边长为的等边三角形，且 ， ，， 在同一条直线上，连接 分别交，， 于点 ，， ，连接，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理，根据等边三角形的性质求出，根据三角形的面积公式即可求出，，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出，，根据图形之间的关系可得：，，从而可得，根据相似三角形的性质求出，根据高相等的两个三角形的面积比等于底边之比可得：，利用即可求出结果． 【详解】解：如下图所示，过点 作， 是等边三角形，且边长为， ，， ， ，， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ，， ， ． 故答案为：． 三．解答题（一）．（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，化简绝对值，进行计算即可求解． 【详解】解： 17. 1月9日，“粤游学·暖冬知行季-2026‘寒假游学到广东’”五大主题游学周之“红色铸魂周”游学启动仪式在惠州市东江纵队纪念馆举行．某校建议同学们利用寒假时间自主到以下三个基地开展研学活动． A：广州起义纪念馆； B：河源苏维埃政府旧址及兵工厂旧址； C：广州中山纪念堂． 小明和小丽各自随机选取一个基地作为本次研学活动的第一站，用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：可画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中小明和小丽选择相同基地的结果数有3种， ∴小明和小丽选择相同基地的概率是． 18. 如图， 是 的直径，弦于点E，点P在 上，． （1）求证：； （2）连接 ，若， ，求 的直径． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ； （2）6 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，结合，得到，再根据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）证明是等边三角形，则有，即可求出 的直径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 即 的直径为6． 四．解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，某数学兴趣小组为了测量建在山上的信号塔 的高度，先在附近一座办公楼底端 处测得信号塔 顶端 的仰角为，然后在办公楼顶端处测得信号塔 底部 的俯角为，已知，， ， ， 在同一直线上，山的高度 为，办公楼的高度 为（点 ， ， ， ，在同一竖直平面内），求信号塔 的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角函数的实际应用，根据仰角俯角求长度，过点 作于点 ，求出，，即可解答． 【详解】解：如图，过点 作于点 ， 则，，， 在中，， ， 在中，， ， 答：信号塔 的高度约为． 20. 如图， 为 的直径，切 于点 ，交 的延长线于点 ，且． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30度的直角三角形三边的关系． （1）连接 ，如图，根据切线的性质得，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到，接着利用互余得到，解得，从而得到的度数； （2）在中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，然后计算即可． 【小问1详解】 解：连接 ，如图， 切 于点 ， ， ， ， ， ， ， 而． ，解得， ； 【小问2详解】 解：在中，， ，， ． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（3，m）、B（－1，－3）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【分析】（1）把点B坐标代入反比例函数求出k的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，得到点A的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）先求出直线与y轴的交点坐标，从而y轴把△AOB分成两个三角形，结合点A、B的横坐标分别求出两个三角形的面积，相加即可． 【小问1详解】 解：把B（－1，－3）代入反比例函数， 得：， ∴反比例函数解析式为， 把A（3，m）代入， 得：， ∴A（3，1）， 把A（3，1），B（－1，－3）代入一次函数， 得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图，设一次函数图象与y轴的交点为C， 当 时，， ∴C（0，－2）， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，解题的关键是先把已知点的坐标代入反比例函数表达式，求出反比例函数解析式，然后再求一次函数解析式． 五．解答题（三）．（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，矩形 中，，点P是对角线 上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线 、射线于点E、F． （1）求证：； （2）连接 ，若，且F为中点，求的值； （3）若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 【答案】（1） 证明： 四边形 是矩形，， ，， ，， ， ； （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）矩形的性质，得到，同角的余角相等，得到，即可得证； （2）根据等边对等角，等角的余角相等，得到，得到，设 交于点G，证明，得到，证明，列出比例式求解即可； （3）分，两种情况进行讨论求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 设 交于点G， 四边形 是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 或或．理由如下： 四边形 是矩形， ，， ， ①当时，， P是 的中点， ， ， ， 即， 设，则， ，， ， ， ； ②当时，， ， 设，， 则，， ， ， 解得， ， 由①知， ， ， ， 或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点 在此抛物线上，其横坐标为 ，连接并延长至点，使．当点 不在坐标轴上时，过点 作轴的垂线，过点作 轴的垂线，这两条垂线交于点． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）被 轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． （3）当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标． （4）当此抛物线在内部的点的纵坐标 随的增大而减小时，直接写出 的取值范围． 【答案】（1） （2）面积比保持不变为或， 理由如下： 根据题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则或. ∴这个面积比为或； （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可； （3）经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出 的值，最后分两种情况求出点的坐标即可； （4）根据题意，分三种情况进行分析，画出图形找出临界点，利用相似三角形的性质列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，经过最低点，即经过顶点， 该抛物线的顶点横坐标为，纵坐标为， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴，且相似比为， 根据顶点纵坐标可得，， 则， 即 解得， ①当时，即为如图所示， 此时， 点在第四象限，故； ②如图所示， 当时，此时点 在第一象限，点在第三象限， 此时， 故； 综上，或； 【小问4详解】 解：①当 经过顶点 时，过点 作轴，交轴于点， 由得，， ∴， 即， 解得（舍去），或， ∴当点 向左运动时，满足题意， ∴； ②如图所示，当点在抛物线上时，过点作，交轴于点， 同理，，相似比仍为， 此时，，代入抛物线解析式得， ， 解得（舍去），或， 此时，当 点向下一直移动，直至到轴时，都符合题意， 当时，解得， ∴当时，符合题意； ③图所示，当点在抛物线上时，点在第二象限，点 在第四象限， 思路同②，此时，代入抛物线解析式得， ， 解得（舍去），或， 此时，当 点向右一直移动，直至到轴时，都符合题意， ∵点 不在坐标轴上， ∴当时，符合题意； 综上，当或或时，符合题意． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，利用一元二次方程解决几何问题，抛物线中动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，并发展空间想象能力，分情况研究动点问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $