2026年山东省荣成市拔尖创新人才选拔考试数学模拟试题（一）

数学试题 注意事项： 1.本试卷共7页，共120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回． 2.答题前，请用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试卷规定的位置上．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 3.不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在边长为1的正方形中，E、F分别为线段、上的动点，若以为折痕翻折，A点落在点的位置，那么可能位置形成的区域面积为（ ） A. B. C. D. 2. 学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有（ ） A. 20位 B. 25位 C. 30位 D. 35位 3. 某学校要召学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数（表示不大于x的最大整数）可以表示为（） A. B. C. D. 4. 正整数构成的数列，满足：①数列递增，即；②，则称为“类斐波拉契数列”，例如：.则满足的“类斐波拉契数列”有（ ）种. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，与交于点，以为圆心，长为半径作圆，过作的两条切线、．则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，记抛物线的图象与x正半轴的交点为A，将线段分成n等份，设分点分别为，，…，，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点，，…，，再记直角三角形，，…的面积分别为，，…记，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（ ） A. B. C. D. 8. 我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成的过程就是“方减分解”．把一个“方减数”A进行“方减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且（k为整数），则满足条件的正整数A为（ ） A. 4273 B. 6564 C. 6273 D. 4564 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若，则的值为_____________． 10. 若，，且，则的最小值为________． 11. 在信道内传输信号，信号的传输互不影响．发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为．三次传输是指每个信号重复发送次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为）．现在采用三次传输方案，若发送，则译码为的概率为______． 12. 平面上三个圆形纸片两两外切，它们两两之间的圆心距分别为5，6，7，则它们覆盖平面的总面积是______． 13. “幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”．记函数，，的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为，则的面积为______． 14. 如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上，的两条外角平分线交于点，且点在反比例函数的图象上．、的延长线分别交轴、轴于点、，连结，则的面积是________． 15. 如图，中，，，，是斜边的中点，过作于，连接交于；过作于，连接交于；过作于，…，如此继续，可以依次得到点，，…，，记的面积为，则的大小为______． 16. 抛物线上有三个动点M，N，S，点位于上．若总有，则m与n的数量关系为______． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 18. 某班兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． 已知自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： （1）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分； （2）观察函数图象，当随增大而减小时，则的取值范围是______； （3）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有______个交点，所以对应方程有______个实数根； ②方程有______个实数根； ③若关于的方程有个实数根，则的取值范围是______． 19. 我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（ ） ②函数一定不是“对偶函数”；（ ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（ ） （2）若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； （3）若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 20. 某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行勘测，迎面山坡线由同一平面内的两段抛物线组成，其中所在的抛物线以A为顶点、开口向下，所在的抛物线以为顶点、开口向上．以过山脚（点）的水平线为轴、过山顶（点A）的铅垂线为轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知所在抛物线的解析式为，所在抛物线的解析式为，且已知． （1）设是山坡线上任意一点，用含的式子表示，并求点的坐标； （2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）． ①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米） ②这种台阶能否一直铺到山脚，为什么？（参考数据：） （3）在山坡上的米高度（点）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点处，（米）．假设索道可近似地看成一段以为顶点、开口向上的抛物线，其解析式为．试求索道的最大悬空高度． 21. 聪明好学的晨晨看到一本课外书上有个重要补充： 角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．于是他和其他同学研究一番，写出了已知、求证如下：“已知：如图①，中，平分交于点D，求证：．” 可是他们依然找不到证明方法，经过老师的提示：过点B作交延长线于点E，于是打开思路． 【问题初探】 （1）请你按老师的提示或你认为其他可行的方法帮晨晨完成证明； 【现学现用】借助角平分线定理解决如下问题： （2）如图②，中，，点D是边上一点，将沿着翻折，使得点B与边上的点E重合，若是直角三角形，求的长度； 【问题解决】 （3）如图③，已知反比例函数，点A是该图象第一象限上的动点，连接并延长交另一支于点B，以为斜边作等腰直角，顶点C在第四象限，与x轴交于点P，连接，点A在运动过程中，是否存在的情况？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 图，AC、BD为⊙O的直径，且AC⊥BD，P、Q分别为半径OB、OA（不与端点重合）上的动点，直线PQ交⊙O于M、N． （1）比较大小：cos∠OPQ____________sin∠OQP； （2）请你判断与OP·cos∠OPQ之间的数量关系，并给出证明； （3）当∠APO=60°时，设MQ＝m·MP，NQ=n·NP． ①求m+n的值； ②以OD为边在OD上方构造矩形ODKS，已知OD＝1，OS＝，在Q点的移动过程中，恒为非负数，请直接写出实数c的最大值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于，与轴交于点．以直线为对称轴的抛物线：经过、两点，并与轴正半轴交于点． （1）求的值及抛物线：的函数表达式． （2）设点，若是抛物线：对称轴上使得的周长取得最小值的点，过任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于，两点，试探究是否为定值？请说明理由． （3）将抛物线作适当平移，得到抛物线：，．若当时，恒成立，求的最大值． 数学试题 注意事项： 1.本试卷共7页，共120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回． 2.答题前，请用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试卷规定的位置上．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 3.不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 【9题答案】 【答案】或﹣1 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 29π 【13题答案】 【答案】3 【14题答案】 【答案】16 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【17题答案】 【答案】（1）甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 （2）购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【18题答案】 【答案】（1）见解析 （2）或 （3）①， ② ③ 【19题答案】 【答案】（1）①（√）；②（√）；③（×） （2） （3） 【20题答案】 【答案】（1），B（4，4） （2）①894cm，371cm，284cm②这种台阶不能一直铺到山脚，理由见详解 （3）米 【21题答案】 【答案】（1）证明见解析；（2）或；（3） 【22题答案】 【答案】（1） （2） （3）①；②实数c的最大值为 【23题答案】 【答案】（1）的值为，抛物线的函数表达式为 （2）为定值，理由见解析 （3）的最大值为9 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $