7.5 数学广角 重叠问题（教学设计）-2025-2026学年三年级下册数学人教版

第5课时：数学广角 重叠问题 课型 新授课 课时 1 备课时间 课标要求 依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》第二学段要求：能结合具体情境，探索并解决简单的重叠问题；能通过画图等方式直观感受集合思想，并尝试用数学的方法表达和解决此类问题。 核心素养教学目标 1.会用数学的眼光观察现实世界：能从“获奖名单统计”、“兴趣班报名”等具体情境中，发现某些对象具有双重属性或被重复计数的情况，从而识别出重叠问题的存在。 2.会用数学的思维思考现实世界：经历从“尝试直接相加”到“发现矛盾”的认知冲突，通过画图（集合圈）、摆学具等直观操作，理解重叠问题的本质，建立“求总数时需减去重复部分”的数学模型，发展逻辑推理和模型意识。 3.会用数学的语言表达现实世界：能使用“既……又……”、“只……”、“一共……”等语言描述重叠集合中各部分元素；能读懂并绘制简单的韦恩图（集合圈）；能用“A+B-重叠部分=总数”的算式解决简单的重叠问题，并能解释算式中每个数的含义。 教学重、难点 重点：理解重叠问题的含义，掌握用画集合圈（韦恩图）的方法分析问题，并会列式计算。 难点：理解“为什么总数不等于两部分简单相加”，以及集合圈图中各部分的含义。 教学 方法 情境创设法、探究发现法、直观演示法、合作交流法 教学过程 二次备课 一、情境导入，引发冲突（5分钟） 1.创设情境：出示教材P102页“航空模型”和“机器人作品”获奖学生名单。 2.尝试解决： 提问：三（1）班航空模型获奖的有几人？（生数：6人）机器人作品获奖的有几人？（生数：6人） 三（2）班航空模型获奖的有几人？（生数：6人）机器人作品获奖的有几人？（生数：6人） 追问：那三（2）班这两项获奖的一共有多少人？请快速口算。（预设大部分学生脱口而出：6+6=12人） 3.引发冲突： 引导：请同学们仔细阅读两份名单，把三（2）班所有获奖的名字圈出来或写下来，数一数实际一共有多少人？ 学生操作后发现：实际只有10人，而不是12人。 提问：为什么6加6不等于实际的总人数？（因为有人的名字在两个名单里都出现了，被算了两次。） 4.揭示课题：像这样，当一些事物被重复计算时，就是一个“重叠问题”。今天我们就来研究它。（板书课题：重叠问题） 【设计意图】通过真实名单创设情境，让学生从“直觉相加”到“操作验证”中产生强烈的认知冲突，深刻感受到“重复计算”导致的问题，从而激发探究重叠问题解决方法的强烈愿望。 二、合作探究，构建模型（18分钟） 1.探究如何清楚地表示： 提问：怎样才能清楚、不重复地表示出三（2）班所有获奖学生的情况呢？你能想到什么好办法？小组内试一试。 学生小组合作，可能想到：列表、画圈、连线等。 2.引出集合图（韦恩图）： 展示教材P103页的两种图示方法，重点聚焦右边的“集合圈”图示。 认识集合圈： 教师画两个相交的圆。左圈表示“航空模型获奖者”，右圈表示“机器人获奖者”。 请学生将三（2）班获奖名单中的名字“送回家”。 中间重叠部分：谁应该站在这里？（“罗阳”、“杨明”）他们有什么特点？（既在航空名单里，又在机器人名单里） 左边月牙部分：这里站谁？（只获得航空模型奖，没有获得机器人奖的学生） 右边月牙部分：这里站谁？（只获得机器人奖，没有获得航空模型奖的学生） 理解图意：教师指图，学生用“既……又……”、“只……”、“……”的句式描述各部分。 3.探究计算方法： 提问：现在，看着这个清晰的图，你能算出三（2）班获奖的总人数吗？有哪些不同的算法？ 学生汇报，教师板书： 方法1（分块相加）：只航空的 + 既航空又机器人的 + 只机器人的 = 4 + 2 + 4 = 10（人） 方法2（先合后减）：航空总人数 + 机器人总人数 - 重复计算的人数 = 6 + 6 - 2 = 10（人） 对比沟通：引导学生理解方法2中“6+6”是把所有人都算了一遍，但重叠的2人多算了一次，所以要“减2”。 抽象模型：板书核心关系式：总数 = A + B - 重复部分 【设计意图】 本环节是概念建构的核心。通过小组探究、教师引导，将具体名单抽象为直观的集合圈图，使学生深刻理解重叠部分的含义。在理解图意的基础上，自然生成两种不同的计算方法，并重点沟通“先合后减”方法的算理，完成从直观到抽象的数学模型建构。 三、分层练习，巩固理解（13分钟） 1.基础应用： 完成填空：三（1）班航空模型获奖的有（ ）人，机器人作品获奖的有（ ）人，两项获奖的共有（ ）人。 要求学生先独立思考，再用画图或算式的方法验证。重点交流三（1）班有没有重叠情况。 2.对比深化（教材P104“反思”）： 讨论：为什么三（2）班获奖总人数不能直接相加？（因为三（2）班有学生两项都获奖，重复计算了。） 寻找身边的重叠现象：引导学生举例（如：既是班干部又是少先队员的同学；既喜欢篮球又喜欢足球的人等）。 3.挑战提升（教材P104“挑战自我”第3题）： 学生独立阅读题目，尝试用集合圈图分析信息。 引导分析： “小丽写出的8个成语小亮都写出来了”意味着什么？（小丽的8个全部包含在小亮的15个之中，小丽的圈完全在小亮的圈内。） “小红写出的成语中有5个小亮也写出来了”意味着什么？（小红和小亮的圈有重叠部分，是5个。） 让学生尝试画图，并解答（1）（2）问。 （1）小亮和小丽一共写出了多少个成语？就是小亮写的15个（因为小丽的8个全部在里面）。 （2）小亮和小红一共写出了多少个成语？15 + 10 - 5 = 20（个）。 【设计意图】 练习设计层层递进。“做一做”巩固基本方法；“反思”环节通过对比有无重叠的情况，深化对模型适用条件的理解；“挑战自我”则提供更复杂的信息关系（包含关系），提升学生分析信息和灵活运用模型的能力。 四、课堂总结，拓展延伸（2分钟） 1.总结收获：今天我们学习了什么？解决重叠问题的关键是什么？ 引导学生总结：①可以用画集合圈的方法来清楚表示；②计算总数时，如果两部分有重复，要用两部分相加，再减去重复的部分。 2.拓展延伸：集合圈又叫韦恩图，是英国数学家韦恩发明的，它能帮助我们解决很多包含与排除的问题。鼓励学生课后尝试解决“挑战自我”中的其他题目。 五、布置作业（2分钟） 基础作业：完成104页挑战自我1、2题。 挑战作业：找一找身边的重叠情况，编一道需要用到集合圈来解决的问题并解答。 板书设计 数学广角——重叠问题 例：三（2）班获奖情况 航空模型：6人 机器人：6人 实际总数：10人 认知冲突：6 + 6 ≠ 10 航空模型 机器人 王爱华 陈东 马超 丁旭 杨明 罗阳 于力 周晓 朱小东 陶伟 计算方法 1.分块加：4 + 2 + 4 = 10（人） 2.先合后减：6 + 6 - 2 = 10（人） （总数 = A + B - 重复部分） 教 学 反 思 本节课作为“数学广角”内容，旨在渗透集合思想。教学以真实名单引发的认知冲突成功导入，激发了学生强烈的探究欲。在构建模型环节，通过画集合圈的活动，将抽象的重叠关系可视化，学生参与度高，对“重叠部分”的理解较为到位。从课堂反馈看，学生能较好地掌握“先合后减”的基本算法解决标准重叠问题。然而，在“挑战自我”环节，面对“包含关系”（小丽的圈完全在小亮的圈内）这一变式时，部分学生暴露出对集合图各部分关系的理解不够灵活，仍试图机械套用公式“A+B-重叠”。这提示，集合思想的建立非一蹴而就，需在后续学习中提供更多变式情境，引导学生更深入地读图、析图，灵活运用图示进行分析，而非仅仅记忆公式。整体上，本节课在“感知思想、建立模型、初步应用”上达成了预期目标。 ~2~ 学科网（北京）股份有限公司 $