第03讲 全等三角形（专项训练，20题型)（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 三角形 第03讲 全等三角形 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 根据全等三角形的性质判断结论是否正确（★★★） 题型02 利用全等三角形的性质求角度（★★） 题型03利用全等三角形的性质求线段长度（★★★） 题型04 全等三角形的性质与勾股定理综合（★★） 题型05 用SSS证明三角形的全等（★★★） 题型06 尺规作图与SSS综合（★★） 题型07 利用全等三角形的判定求角度（★★★） 题型08 添加条件使得两个三角形全等（★★） 题型09 灵活使用全等三角形的判定进行证明（★★★） 题型10 尺规作图与三角形全等★★★） 题型11 全等三角形常见辅助线之连接两点构造全等（★★） 题型12 全等三角形常见辅助线之倍长中线模型（★★★） 题型13全等三角形常见辅助线之旋转模型（★★★） 题型14全等三角形常见辅助线之垂直模型（★★★） 题型15 全等三角形中最值问题（★★） 题型16 全等三角形选填压轴之多结论问题（★★） 题型17利用角平分线的性质求线段长度（★★★） 题型18角平分线与尺规作图综合（★★★） 题型19 利用垂直平分线的性质求角度（★★★） 题型20利用垂直平分线的性质求线段长度（★★） 能力通关 【趋势一】全等三角形与尺规作图综合（中考常考题型） 1．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，为上一点，连接．在下方取一点 ，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点．若为的中点，，的周长为14，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图，作垂线，线段的垂直平分线的性质及勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 由作图可知是线段的垂线，利用为的中点，可以推知是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质及勾股定理即可得到的长，进而得结论． 【详解】解：由作图可知是线段的垂线，且为的中点， ， ∵的周长为14， 即， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选：B． 【趋势二】全等三角形选填压轴题之多结论问题（中考常考题型） 2．（2025·北京·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上，连接．给出下面四个结论： ；②；③； ． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由即可判断②；然后证明，根据对应角相等以及等腰直角三角形锐角为即可证明③；对等腰直角运用勾股定理即可判断①；对运用勾股定理判断④． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴，即：，故②正确； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确， ∵在等腰直角中，，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴在中，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； ∴正确结论的序号①②③④， 故选：A． 【趋势三】全等三角形解答压轴题之综合问题（中考常考题型） 3．（25-26九年级上·重庆忠县·月考）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转a得到线段，连接． (1)如图1，，，求的度数； (2)如图2，，，过点D作，交的延长线于G，连接．点F是的中点，点H是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明. 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形的外角的应用和全等三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． （1）由、，得是等边三角形，则；旋转得，结合，算得；利用外角定理，． （2）连接，，由、，旋转得，证，得、；由得，证，得；利用直角三角形斜边中线，得，且，则为等腰直角三角形，进而可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 由旋转得， ∴ ， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接，， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点H是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即． 题型01 根据全等三角形的性质判断结论是否正确（★★★） 1．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接．当点、、在同一条直线上时，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，将绕点逆时针旋转得到，可得再证明 再逐一分析即可． 【详解】解：∵将△绕点逆时针旋转得到△， ∴ 故A不符合题意； ∴ ∴ 故B不符合题意； ∴ ∴ ∴ 故C不符合题意； ∵ ∴ 故D符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，则下列说法中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质，熟练运用旋转的性质是解题关键． 由旋转的性质可得，，，即可求解． 【详解】解：由题意可得：，， ，， A、正确，但不符合题意； B、正确，但不符合题意； C、正确，但不符合题意； D、错误，但符合题意． 故选：D． 3．（2025·天津·一模）如图，在中，，把绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，的延长线与相交于点F，连接，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 通过旋转的性质得出，，，，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：由已知得：，则， ，并没有必然的相等关系，找不到能证明两边相等的依据， 故A错误； 绕点顺时针旋转得到，， 但与并没有必然的相等关系，找不到能证明两角相等的依据， 故B错误； 由已知得：，则，， ， 故C错误； ， ． 又， ， ， ，故D正确． 故选：D． 4．（2025·天津西青·一模）如图，在中，，把绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．本题可通过旋转的性质得出，，，，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：由已知得：，则， ∵，并没有必然的相等关系，找不到能证明两边相等的依据， ∴故A错误； ∵绕点顺时针旋转得到，， 但与并没有必然的相等关系，找不到能证明两角相等的依据， ∴故B错误； 由已知得：，则，， ∴， 故C错误； ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 5．（2025·天津·一模）如图，在中，，为边上一点，是由旋转得到的，点的对应点分别是，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：、∵是由旋转得到的， ∴， ∴， ∵为边上一点，， ∴，故选项不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项符合题意； 、∵， ∴， ∵不一定平分， ∴与不一定相等，故选项不符合题意； 故选：． 题型02 利用全等三角形的性质求角度（★★） 1．（2025·河北邯郸·三模）如图，，点为线段上一点．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据得出，，，结合等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：， ，，， ． 又， ， 故选：C． 2．（2025·山东济南·二模）如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．由全等三角形的对应角相等得到，再由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3．（2025·江苏泰州·一模）如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转性质可知，故有，，再通过平行线的性质得出，又，则，最后由三角形内角和定理即可求出旋转角． 【详解】解：由旋转性质可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即旋转角为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 4．（2025·山东济南·一模）如图，，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理得到，得到，即可得到答案． 【详解】解： ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 5．（2025·山东济南·一模）如图，点在同一条直线上，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角，根据全等三角形的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 6．（2025·山东淄博·一模）如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题的关键． 先根据全等三角形对应角相等得到，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 题型03 利用全等三角形的性质求线段长度（★★★） 1．（2025·广西梧州·一模）如图，在和中，，点B在上．若，，，则（   ） A．8 B．10 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，先根据勾股定理求出，再利用全等三角形的对应边相等即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴． 故选C． 2．（2025·重庆垫江·模拟预测）如图，，，若，，，则等于（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，再根据线段的和差即可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：C． 3．（2025·四川绵阳·二模）如图，D为中边上的中点，，若，与交于点F，，则的长是（　　） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查全等三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，利用相似三角形的性质求解线段长是解答的关键．先利用全等三角形的性质得到，，，，再利用平行线的性质和等腰三角形的判定与性质得到，进而得到，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解： ， ，，，， ∴， ， ， ， ， ∴， ∵D为中边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2025·四川南充·二模）如图，中，，分别是的中点．将绕点旋转到，边与交于．当与的一边平行时，的长所有可能取值之和为（   ） A．5 B．6 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查求旋转性质、全等三角形性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质．根据题意，由旋转性质，结合直线与的一边平行，分两类：当时；当时；两种情况讨论求解即可得到答案， 【详解】解：根据题意，将绕点D按顺时针方向旋转得到，即， 在中，， ∴． ∵点D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，如图所示： ∴， ∵， ∴，， ∴和均为等腰三角形，且， ∴； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． ∴． 故选：B． 题型04 全等三角形的性质与勾股定理综合（★★） 1．（2025·江苏南京·二模）用两张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的图形，点，，在同一条直线上．设，，，下列结论中：①，②，③，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理，构成三角形的条件，根据全等三角形的性质得到，，，则可证明，由勾股定理可得，则，根据构成三角形的条件可得，据此可判断②；根据勾股定理可得，再由，当且仅当时等号成立，可推出只有当时，，据此可判断①；根据，可判断③． 【详解】解：∵是两个全等的直角三角形， ∴，，， ∵ ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴，故②正确； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵，当且仅当时等号成立， ∴只有当时，，即， ∴只有当时，，故①错误； ∵， ∴，故③正确； 故选：C． 2．（2025·浙江金华·二模）如图，面积为的正方形是由正方形和四个形状、大小一样的直角三角形组成，其中，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．设，则，根据勾股定理和正方形的性质可，，证明得到，由阴影部分面积求解即可． 【详解】解：设，由得， 由题意，，，，， ∴，， ∴，， ∴阴影部分面积为． 故选：B． 3．（2025·北京·模拟预测）如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接并延长交于点M，若，给出下面四个结论：①M是的中点；②平分；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由全等三角形的性质可得，则 ，由结合外角的性质可得，，再通过导角证明，推出，即可证明，可判断① 正确；由可得，推出，可判断② 正确；根据结论① ，利用勾股定理，可判断③正确． 【详解】解：正方形是由四个全等的直角三角形拼成的， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， M是的中点；故① 正确； ， ， ， ， 平分；故②正确； 设，则， 在中，， ，故③正确； 综上可知，正确的有① ② ③， 故选D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质等，能够综合应用上述知识是解题的关键． 4．（2025·浙江·模拟预测）我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．如图，正方形与正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，连结．若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由正方形和全等三我的性质求得，，，再由勾股定理求得，，即可求解． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∴， 由题意，得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 题型05 用SSS证明三角形的全等（★★★） 1．（2024·广东·模拟预测）如图，，． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可根据“”证明． 【详解】证明∶ 在与中， ∴ 2．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定； （1）三边相等的两个三角形全等，由得即，与就具备了全等的条件； （2）全等三角形的对应角相等，由得到，这两个角是一组同位角，同位角相等两直线平行. 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在与中 ∴. （2）（2）证明：∵， ∴， ∴． 3．（2025·上海·模拟预测）四边形与四边形均为平行四边形．连接和交于点G． (1)求证：； (2)若点在延长线上，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定与性质： （1）证明四边形是平行四边形，得到，利用易证全等； （2）由可得，由可得，从而可得，据此可证，从而得到，再由四边形是平行四边形和即可得到角的关系，从而得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴ 同理， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴ 在和中 ∴； （2）证明：∵ ∴ 又∵ 又 在和中， ∵是公共角 ∵四边形是平行四边形 ． 4．（2025·海南海口·三模）如图，是等边的中线，以D为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于E，连接． (1)求证：： (2)若的边长为6，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据是等边三角形，得，结合中线的定义得，即可证明； （2）结合等边三角形的性质得，，因为，得，再由等角对等边得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形，是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵D是中点， ∴， ∴． 题型06 尺规作图与SSS综合（★★） 1．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（    ） A． B．连结，根据可判定 C． D．的最小值是的长 【答案】B 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定、角平分线的性质，由作图过程可得，，可得，即可判断A，B选项；由作图过程可知，射线为的平分线，可得，即可判断C选项；由题意知，当时，取得最小值，此时结合角平分线的性质可得，即的最小值是的长，即可判断D选项． 【详解】解：连接，， 由作图过程可得，， ∵， ∴， ∴根据可判定， 故A选项正确，不符合题意，B选项不正确，符合题意； 由作图过程可知，射线为的平分线， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 由题意知，当时，取得最小值， ∵为的平分线，， ∴此时， 即的最小值是的长， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 2．（2025·湖北·模拟预测）如图，点是的边上任意一点．下面是“过点作”的尺规作图过程：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点，；②以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，线段的长为半径画弧，交前弧于点，作直线，则即为所求． 上述方法通过判定得到，进而得到，其中判定的依据是（   ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图-作一个角等于一个角、全等三角形的判定，根据作图痕迹和全等三角形的判定可得结论． 【详解】解：由作图痕迹，得，， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）下面是“作已知角的平分线”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； （2）分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点； （3）作射线，则射线就是所求作的射线． 上述方法通过判定得到，从而得到是的角平分线，其中判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据作图过程得到，因为，所以，即可得到答案． 【详解】解：根据作图过程得， ， ， 判定的依据是三边分别相等的两个三角形全等， 故选：A． 4．（2025·北京房山·一模）如图，在中，，O是边的中点．按下列要求作图： （1）以点B为圆心，小于长度为半径画弧，分别交，于点D，E； （2）以点O为圆心，长为半径画弧，交于点F；以点F为圆心，长为半径画弧，两弧交于点G，点G与点C在直线同侧； （3）作直线，交于点M． 根据上面作图，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图过程可知，，，可判断选项A和选项B；证明可判断选项C；由平行线分线段成比例定理可判断选项D． 【详解】解：由作图过程可知，，故A选项正确，不符合题意； 由作图过程可知，，， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴ ∵O是边的中点， ∴， ∵， ∴，故C选项不正确，符合题意， ∵， ∴， ∴，D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．（2025·北京通州·一模）下面是“经过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任意取一点、使点和点在的两旁， （2）设点为圆心，长为半径作弧，交于点和点． （3）分别以点和点为圆心．大于的同样长为半径作弧．两弧相交于点． （4）作直线．则直线就是所求作的垂线． 根据以上尺规作图过程（如图），给出下面四个结论：①点到四点的距离一定都相等；②点与点一定关于直线对称；③点与点一定关于直线对称；④连接．，一定有． 上述结论中，正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图中垂线的作图原理及几何性质的应用，关键在于理解每一步作图的几何意义．通过确定垂直平分线，保证对称性，明确点与直线的对称关系满足的距离和位置条件，进而确定三角形的全等． 【详解】解：步骤（2）以点为圆心，长为半径作弧，交于点和点， ， 点是步骤（3）中以点和点为圆心．相同半径画弧的交点， ， 因点的位置由两弧交点决定，无法保证的长度等于， 故结论①错误； 步骤（3）中，以点和点为圆心．相同半径画弧， 交点必在的垂直平分线上，即是的垂直平分线， 点与点一定关于直线对称， 故结论②正确； 是垂线， ， 点的位置由作图步骤决定， 未必满足点与点到直线距离相等， 故结论③错误； （步骤2），（步骤3），为公共边， ， 故结论④正确． 故选：D． 6．（2025·北京·模拟预测）如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点为圆心，任意长为半径作，分别交，于点，，连接； （2）以为圆心，的长为半径作弧，交于点，连接，； （3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的是（    ） A．的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B． C． D．是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，三角形的不等关系，等腰三角形的判定．根据题干中的作图步骤即可判断各选项． 【详解】解：A．由作法知：， ∴，故A不正确； B．由作法知：， 由三角形三边关系得，故B不正确； C．不能证明，故C不正确； D．由作法知，点在圆O上，则， ∴是等腰三角形，故D正确． 故选：D． 题型07 利用全等三角形的判定求角度（★★★） 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆的相关定义，掌握相关知识点是解题关键．先证明，推出，再根据等边对等角的性质求解即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 2．（2025·福建龙岩·二模）如图，已知，点A是射线上的一个定点，点B是射线ON上的一个动点，且满足．点C在线段的延长线上，且．点D在线段上，且，连接，．则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的综合问题，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，过点B作，过点C作，交于点F，在上截取，使，连接，，得出四边形是矩形．由矩形的性质进一步证明，由全等三角形的性质进一步推出是等腰直角三角形．由等腰直角三角形的性质得出，再证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：如图，过点B作，过点C作，交于点F，在上截取，使，连接，， ∵， ∴． ∴四边形是矩形． ∴，，． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 故选：D． 3．（2025·山东聊城·二模）如图，在正方形中，点分别在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质得，，将绕点顺时针旋转得，则三点共线，证明，得，进而求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：在正方形中，，， 将绕点顺时针旋转得，则三点共线，如图所示， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4．（2025·重庆·二模）如图，在正方形中，E为边上一点，连接，在右侧作，满足，，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，连接，，证明出点A，B，F，E四点共圆，得到，，然后证明出点A，F，C三点共线，得到，，然后证明出，得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵四边形是正方形 ∴ ∵， ∴ ∴点A，B，F，E四点共圆 ∴， ∴ ∴点A，F，C三点共线 ∵四边形是正方形 ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 5．（2025·重庆九龙坡·二模）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，连接、交于点H，连接，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理，作交于，连接，证明四边形为矩形，得出，，，再证明，得出，再证明、、、四点共圆，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图：作交于，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴、、、四点共圆， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（2025·安徽·二模）如图，五边形是正五边形，是的中点，连接，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的全等与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 如图：连接，根据正五边形的性质和内角和定理、等腰三角形的性质可得、，利用等腰三角形三线合一，得到即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 故选B． 题型08 添加条件使得两个三角形全等（★★） 1．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，，，且点A在上，点D在上，添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时要熟练掌握并能灵活运用全等三角形的判定方法是关键．依据题意，添加各个选项的条件后逐个分析判断可以得解． 【详解】解：A，添加，结合，， ∴不能满足判定的条件，故A符合题意． B，添加，结合，， ∴，故B不符合题意． C，添加，结合，， ∴，故C不符合题意． D，添加，结合，， ∴，故D不符合题意． 故选：A． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，添加下列条件后不能判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：是等边三角形， ，， A、由，得到，由SAS判定≌，故A不符合题意； B、由，得到，由AAS判定≌，故B不符合题意； C、由ASA判定≌，故C不符合题意； D、和分别是CD和AE的对角，不能判定≌，故D符合题意． 故选：D． 3．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在矩形中，E，F是对角线上两点，连接，，添加下列条件之一：①；②；③；④；仍然不能判定的是 ．（填写序号） 【答案】② 【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、三角形全等的判定，熟练掌握矩形的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定定理（、和）即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 当选择①时， 在和中， ， ∴； 当选择②时，不能判定； 当选择③时， ∵， ∴， ∴，即． 在和中， ， ∴； 当选择④时， 在和中， ， ∴； 综上，添加条件后，仍然不能判定的是②， 故答案为：②． 4．（2024·黑龙江鸡西·二模）如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）： ，使． 【答案】(合理即可） 【分析】本题是开放性题目，考查了全等三角形的判定，由已知条件：，，再添加一组角相等或即可证明全等． 【详解】添加条件：； 证明：∵，， ∴， 故答案为：(合理即可）． 5．（2024·北京·模拟预测）如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，添加，通过“”即可证明．熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键． 【详解】解：添加， 是的两条高线， ， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 题型09 灵活使用全等三角形的判定进行证明（★★★） 1．（23-24九年级上·山东枣庄·月考） 如图，菱形的对角线、相交于点，点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．    (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并写出证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为矩形，理由见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． （1）根据即可证明； （2）由（1），可得，证明四边形为平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， 又 ， 在和中， ， ； （2）解：四边形为矩形，证明如下： ， ， 又， 四边形为平行四边形， 又四边形为菱形， ， 即， 四边形为矩形． 2．（2026·全国·模拟预测）如图，将矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点为点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化求解是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，，根据折叠的性质得出，，进而可得，根据证明； （2）根据平行线的性质可得，进而根据折叠的性质可得，根据平角的定义得出，再根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，． 矩形沿折叠得到四边形， ，， 即， ． 在与中， ． （2）解：， ． ， ， 又折叠， ， ． ， ． 3．（2025·陕西汉中·一模）如图，在菱形中，点是边的中点，延长至点，使得，连接、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质、平行线的性质和全等三角形的判定和性质，根据菱形的性质证明是解题的关键； 根据菱形的性质可得，，进而可得，结合题意可得，即可证明，从而可得结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（2025·四川雅安·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质结合已知条件可以得到 ，利用即可证明； （2）利用平行四边形对角线互相平分可求，因为，由勾股定理可求，则平行四边形的面积可求． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）； （2）解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积． 5．（2025·四川南充·一模）如图，在中，，，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理，解答时证明三角形全等是关键； （1）根据条件可以得出，进而得出，即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ． ，又， ． 在和中， ， ． ，． ． （2）解：， ， ． ， ， 题型10 尺规作图与三角形全等（★★★） 1．（2025·福建南平·二模）如图，在等腰三角形中，，点为边上的点． (1)尺规作图：在的外侧作，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了利用尺作一个三角形，全等三角形的判定与性质综合，解直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识，并能熟练运用求解． （1）法一，利用作全等三角形；法二：利用作全等三角形；法三：通过作一次垂直构造全等三角形；法四：通过作两次垂直构造全等三角形； （2）先利用等腰直角三角形的性质，说明，再设，可用表示出，接着用表示出，就可用表示出，然后利用全等三角形的性质证得，就可求得的值． 【详解】（1）解：作图． 法一：作．   法二：作． 法三：作．     法四：作． 如图所示，即为所作的三角形． （2）过点作，垂足为点， 等腰三角形中，， ， 设，则， ， ． 又， ， ． 2．（2024·吉林长春·三模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．图①、图②中，点A、B、C均在格点上；图③中，点A、B、C均在网格线上，但不在格点上．请在图①、图②、图③中，过点C作直线，使点A、B到直线距离相等．要求只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图，利用网格作已知直线的平行线，网格与勾股定理的应用，点到直线的距离，全等三角形的判定与性质等知识，根据利用网格作已知直线的平行线，网格与勾股定理的应用，点到直线的距离，全等三角形的判定与性质等知识作出相应直线即可． 【详解】解：如图，直线即为所求． ， 3．（2024·宁夏银川·一模）如图，在矩形中，连接． (1)作的垂直平分线，分别与、交于点、，连接、． (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查矩形的性质、垂直平分线的作法和性质、菱形的判定： （1）以点、点为圆心，以大于的长度为半径，在直线两侧作圆弧，连接直线两侧圆弧的交点，分别与、交于点、，连接、； （2）可先证得，进而得到，结合即可证明结论． 【详解】（1）如图所示，点、、即为所求； （2）由（1）知：是的垂直平分线， ∴，． ∵四边形是矩形， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵． ∴四边形是菱形． 4．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在的方格中，的顶点均为格点．请按照下列要求，只用直尺画出相应的图形，    (1)请在图①中画出一个格点，使．（画出一个即可） (2)请在图②中画出一个格点，使．（画出一个即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 本题考查限定工具作图—无刻度直尺作图，掌握勾股定理和全等三角形的知识是解题的关键． （1）取格点D，连接，则； （2）取格点E，连接，则． 【详解】（1）如图，则点即为所作；    （2）如图，点即为所作．    题型11 全等三角形常见辅助线之连接两点构造全等（★★） 1．（2025·山东青岛·三模）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（  ） A．3 B．12 C．10 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 连接，证明，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】∵正方形中，E是边上一点，将沿翻折至， ∴， 连接，    ∵， ∴， ∴ 设， 则， ∴， 解得， 故选：A． 2．（2025·山东威海·三模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，再证明当时符合题意即可． 【详解】解：如图，连接交于点O． 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证， 故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 3．（2025·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，是的中点，连接，将绕点E逆时针旋转90°得到，交边于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，连接，证明得到，由旋转的性质可知，则，进而得到，．根据四边形内角和定理可得到，则． 【详解】解：如图，连接． ∵是的中点． ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 由旋转的性质可知， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型12 全等三角形常见辅助线之倍长中线模型（★★★） 1．（2024·山东临沂·一模）如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 延长至，使，连接．由证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接． 则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ， 故选：A． 2．（2024·浙江·模拟预测）小江在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”你可能不会求解，但你可以根据所学知识，帮助小江推断下面答案可能的一项是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形三边关系．延长至，使，连接，则，证明，得到，再根据三角形三边关系进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图设边上的中线为， ∵， ∴， 由题意得，， ∴，， ∴， 如图，延长至，使，连接，则，   ， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ． ∴． 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 3．（2024·贵州·模拟预测）如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是( ) 【答案】①②④ 【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长至，使，易证得，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③进行判断；由，，，易证得，可得，即可对④进行判断． 【详解】解：∵是中线， ∴ ∴与的面积相等，故①正确， 延长至，使，如图    ∵，， ∴， ∴ 则在中， ∴，故②正确， 点是线段上的一个动点（点不与点，重合），连接，，如图，    ∵ ∴ 又∵与的面积相等 ∴的面积和的面积相等，故③不正确， 点，是，所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，如图，    由，，， ∴， ∴ ∴ 故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，三角形的三边关系以及平行线的判定，利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关键． 4．（2025·吉林松原·三模）（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点，使得．连结，求证：四边形是平行四边形． （2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点（不与点、点重合），过点、点分别作， ，连结，，求证：四边形是平行四边形． （3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点是的中点，点是直线上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，倍长中线构造全等三角形及运用等面积法是解题的关键． （1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明； （2）延长到点，使，连接，利用证明，得，，可说明四边形是平行四边形，得，即可证明结论； （3）延长到点，使，连接，由（2）知，，，则取最小值时，最小，故时，最小，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：是的中线， ， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：延长到点，使，连接，如图2， ，是的中线， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：延长到点，使，连接，如图3， 由（2）知，，， 则取最小值时，最小，故时，最小， 是的中线， ， ， 在中， 5．（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____； （2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：； （3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、角的和差等知识点，通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键． （1）延长至，使，连接，证明，得出，再利用三角形三边关系即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，同（1）得，，得出再证明，得出，最后再利用三角形三边关系即可得出答案； （3）延长至点，使，连接，证明得出，再证明，得出，即可得证． 【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示， 同（1）得，， ，， ∴， 在中，由三角形的三边关系得， ； （3）， 证明如下：延长至点，使，连接，如图所示， ，， 在和中， ， ∴， ， ， ， 在和中， ∴， ． ， ． 题型13 全等三角形常见辅助线之旋转模型（★★★） 1．（2025·四川南充·一模）如图，在正方形中，为射线上的动点（不与点A,B重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，作交射线A于点．则线段与的大小关系是（   ）    A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，平行四边形的性质与判定，在上截取，连接，连接交于T，可证明得到，则可证明，由旋转的性质可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再证明即可得到答案． 【详解】解；如图所示，在上截取，连接，连接交于T， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得，即， ∴，    ∴四边形是平行四边形， ∴， ． ， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ， ∴， ． ， 故选：A． 题型14 全等三角形常见辅助线之垂直模型（★★★） 1．（23-24九年级上·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针旋转得线段，点的对应点为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，一线三直角全等，熟练掌握全等的判定和性质是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，构造一线三直角全等模型证明三角形全等即可． 【详解】解：如图， 过点作轴于点，过点作轴于点， ． 由旋转得，，， ， ， ， ． 点的坐标为， ． 在第一象限， 点的坐标为． 故答案为：． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，D为线段上一点（不与点 B，C重合），连接并延长到点E， 使得，连接．过点B作 的垂线交直线于点F，连接，若 ，，的面积为 ． 【答案】50 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 过A 作交于S，交于L，延长线于Q，先证明，继而可证，可推导出是中位线， ，则，即可解答． 【详解】解：过A 作交于S，交于L，延长线于Q，如图 ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∵ ∵ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴是中位线， ∴ ． 故答案为：50． 3．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转、全等三角形的性质与判定，结合图形作垂线构造全等三角形是解题的关键．作轴于点，作轴于点，由旋转的性质得，，通过证明得到，，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点， 由旋转的性质得，，， ， 轴，轴， ， ， ， ， ，， 点的坐标为， ，， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 题型15 全等三角形中最值问题（★★） 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查的圆周角所对的弦是直径、切线的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作的外接圆，圆心为点，由于点，得，所以是的直径，由，点是上的定点，于点，得，为定值，而，，可证明 ，得，，求得，因为当与相切时，最大，此时，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作的外接圆，圆心为点， 于点， ， 是的直径， 是的中点， ，点是上的定点，于点， ，为定值， 点、分别是、上的动点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点在上运动， 当与相切时，最大， ， ， ， 故选：． 2．（2025·安徽淮北·一模）如图，在中，，，，点D 是边上一动点，以为腰作等腰三角形，使，，连接，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、垂线段最短，在上取一点，使，证明，得出，推出当最小时，最小，而当时，最小，由勾股定理可得，得出，解直角三角形得出，即可得解． 【详解】解：在上取一点，使， ， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，而当时，最小， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 3．（2023·安徽合肥·二模）动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】分别连接，，作，交的延长线于，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，；证明，则，利用等腰三角形的三线合一性质得到，从而得到，，，四点共圆，利用圆中最长的弦为直径得到当取最大值时，则等于直径，利用勾股定理即可求得结论． 【详解】解：如图，分别连接，，作，交的延长线于， 和是等边三角形， ，，，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ， ，，，四点共圆， 当取最大值时，则等于直径， 为直径， ， ∴， 四边形为矩形， ， ， 而， 点在上， 于， ，两点重合， 如图： 此时为中点，， ． ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，四点共圆等，利用全等三角形的判定定理准确找出图中的全等三角形是解题的关键． 4．（2025·湖北武汉·三模）如图，在等边中，，，D，E分别是边上的点，．若，当取最小值时，线段长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、最短路径问题，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 过A作，且，连接，，设与交点为， 先证明得到，则，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合，再证明得到 即可求解． 【详解】解：∵在等边中，，， ∴，， 过A作，且，连接，，设与交点为， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∴，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故当取最小值时，线段长为2． 故答案为：2． 题型16 全等三角形选填压轴之多结论问题（★★★） 1．（2025·山西大同·三模）如图，四边形是正方形，对角线，交于点O，点E在正方形的内部，且．连接并延长交边于点F，线段，分别与，交于点M，N，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到是的垂直平分线，即可得到，进而判断A；有等边对等角得到，，即可得到，进而判断B；证明出，得到，即可判断C；只有当时，，即可判断D． 【详解】∵四边形是正方形，对角线，交于点O， ∴ ∵ ∴是的垂直平分线 ∴，故A不符合题意； ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，即，故B不符合题意； ∵，， ∴ ∴，故C不符合题意； 只有当时，， 根据题意无法求出，故不一定成立，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，等边对等角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（2025·江西九江·模拟预测）如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为3 【答案】ABC 【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断A；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断C；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断B；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断D． 【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点， ∵四边形是正方形，， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，即选项A正确； ∵， ∴， ∴，即选项C正确； ∵， ∴， ∴， ∴，即，B选项正确； 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时在中，， 又∵， ∴的最小值与的最小值相等，即为，D选项错误； 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 3．（2025·安徽宿州·模拟预测）如图，中，， 于点E， 于点D，，与交于点F．连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C．若 则   D．若则 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形基本性质，三线合一，全等三角形的证明及性质，勾股定理，熟练掌握基础知识点是解题关键； 通过等腰三角形三线合一即可判断A；先证得为等腰直角三角形，再证得，得到，即可判断B；若，通过勾股定理算出，进而得到，即可判断C；若，先算出，再通过勾股定理计算即可． 【详解】解：∵， 于点E， ∴为的垂直平分线， ∴，故A说法正确； ∵中，， 于点D，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵ 于点E， 于点D， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， 于点E， ∴， ∴，故B说法正确； 若，∵， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴，故C说法正确； 若，∴ ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在直角三角形中，， 故D说法错误， 故选：D． 4．（2025·北京朝阳·二模）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．给出下面四个结论： ①平分； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】设，则，，利用三角形全等的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，正方形的性质，角的平分线的判定解答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， 设， ∵是的中点，是上一点，且， ∴，， ∴，， ， ∴，故②正确； ∴， 过点E作于点G， 则， ∴， ∴平分，；故①正确； ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴；故③正确； ∵．故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，角的平分线的判定，熟练掌握正方形的性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键． 5．（2025·广东中山·二模）如图，正方形的边长为，延长至点，使得，平分交于点，连接，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理得到，如图所示，过点作于点，根据角平分线的性质定理可判定①；根据直角三角形内角和定理可判定②；根据线段大小关系可判定③；运用勾股定理可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 如图所示，过点作于点， 平分交于点， ，且， ， ， ， ∴垂直平分， ，故①正确； ， ， ， ， 平分，故②正确； ， 与不垂直，故③不正确； 设则， ， ， 解得， ， ，故④正确； 综上，正确个数为3个， 选择：C． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识的综合运用，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 题型17 利用角平分线的性质求线段长度（★★★） 1．（2025·云南·模拟预测）如图，在边长为3的等边中，过点作垂直于的直线交的平分线于点，则点到边所在直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，角平分线的性质以及直角三角形的性质，勾股定理．设点到边所在直线的距离为h，根据等边三角形的性质可得，再根据角平分线的性质以及直角三角形的性质可得，，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：设点到边所在直线的距离为h， 等边的边长为3， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即点到边所在直线的距离为． 故选：D 2．（2025·四川凉山·模拟预测）如图，的平分线上有一点P，过点P作的平行线，，则点P到射线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了角直角三角形的性质，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定，三角形的外角性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，于点，由角平分线得到，然后结合平行线证明，以及三角形的外角性质得到，再由角直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点作于点，于点， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即点P到射线的距离为1， 故选：B． 3．（2025·安徽合肥·三模）如图，在中，，，，平分交于点，则线段为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等面积法等知识，过作于点，由角平分线性质可得，再通过勾股定理得出，再由，求出，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴ 即， ∴， ∴， 故选：． 4．（2025·山西大同·三模）如图，在中，平分交于点D．若，则的面积是（   ） A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键，作于点E，求出，进而求出面积即可． 【详解】解：作于点E， 平分， 的面积是， 故选：A． 5．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在正方形中，，点在上，为上一点，过点作于点，连结，记，若，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形判定与性质，角平分线的性质定理，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 当时，此时记为点，过点作于点，可得四边形为正方形，设，则由勾股定理得，则，解得：，那么，同理可求，则，即． 【详解】解：当时，此时记为点，过点作于点， ∵正方形， ∴平分，， ∵ ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， 设，则由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， 当时，此时记为点，过点作于点， 同理四边形为正方形， ∴， ∵， 设，则由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴，即， 故选：B． 题型18 角平分线与尺规作图综合（★★★） 1．（2026·云南·模拟预测）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点，过点作于点，若，，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图方法和角平分线的性质，掌握其性质和准确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点F，根据角平分线的性质得出，即可求的面积． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可知：平分， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③；④．其中错误的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】由，，可得，根据作图可知，即可判断①；证明可得，，，可判断②；设，则，利用含角的直角三角形的性质可判断③；求出，再根据勾股定理求出可判断④． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知，， 是等边三角形，故①正确； 由作图可知平分， ， ，， ， ， ， ， 又 ， 垂直平分线段，故②正确； 设，则， ， ，即， 解得：， ，故③正确； ， 在中，，故④错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理，角平分线的作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识的综合运用，找到作图过程中的隐含条件是解题的关键． 3．（2025·天津·一模）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据题意可知平分，由角平分线的性质定理可得，进而证明，由全等三角形的性质可得，再证明，可得，然后由求解即可． 【详解】解：根据题意，可知平分， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（2025·天津·一模）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与相交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线与相交于点D，若，则的面积是（　　）． A．120 B．100 C．60 D．30 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解题的关键． 利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到点D到的距离为的长，即点D到的距离为8，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由作法得：平分， ∴点D到和的距离相等，即点D到的距离为的长， ∴点D到的距离为8， ∴的面积． 故选：C． 5．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，中，，，以B为圆心，以小于长度的任意长为半径作弧，分别与边，交于点M，N．分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线，交于点D，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作图，角平分线的性质，直角三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点D作，垂足为E，先根据角平分线的作图和性质得出，再通过证明得出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点D作，垂足为E，则， 由题意得，平分， ∵，则， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 题型19 利用垂直平分线的性质求角度（★★★） 1．（2025·福建漳州·三模）如图，中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于两点，连接，与交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角和线段垂直平分线的定义，直角三角形的性质等等，由作图方法可得垂直平分，则点O是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，则，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， 点O是的中点． ， ． ． ． 故选：A． 2．（2025·甘肃天水·一模）如图，在菱形中，E是的中点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，连接，由菱形的性质得，，由垂直平分，得，则是等边三角形，所以，则，于是得到问题的答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵E是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线；分别以A，C为圆心， 大于长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，直线与相交于点O，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识成为解题的关键． 如图：连接，利用线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由作图可知：是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型20 利用垂直平分线的性质求线段长度（★★） 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，分别以点M和点B为圆心，相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点G和点N，作直线交于点D，交于点E．若，，则（   ） A． B．2 C． D．3.5 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质、勾股定理，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：连接， ∵， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴， 则， 即， 解得， 故选：C． 2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，直线分别与边、相交于点D、E，连接．若，，，则的长为（    ） A．6 B． C． D．9 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由作法可知，垂直平分，进而得出，，，由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，垂直平分， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：D． 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 在中， ， ，的垂直平分线交于点D， 交于点 E，若， 则等于 （    ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质得为等腰三角形是解决本题的关键 ． 根据为的垂直平分线，即线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，可得为等腰三角形，即可求解的度数，再结合的直角三角形的性质即可求解 ． 【详解】解：因为的垂直平分线交于点D， 所以可得，即为等腰三角形， 所以， 又因为 ， 所以， 又因为， 所以， 所以， 则在中，， 所以 ． 故选：B ． 4．（2025·山东济宁·三模）如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N．作直线与，分别交于点E，F，连接．已知，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，垂直平分线的性质以及勾股定理，解题关键是熟练掌握几种尺规作图，在直角三角形中长度不能直接求的可通过方程思想根据勾股定理求解． 根据尺规作图，可知是的垂直平分线，则可得，再利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意知是的垂直平分线， ∴， 在矩形中，， 设， 则， ∴由得， 解得：． 故选：B． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在平行四边形中，以点为圆心，以为半径画弧交于点，分别以点、为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图、勾股定理、平行四边形的性质，根据尺规作图可知，根据平行四边形的性质可知，，，所以可知，根据，可知，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出． 【详解】解：由作图可知， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 在中，， 在中，． 故选： B． 6．（2025·河北唐山·三模）如图，在中，，，平分交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理等；由线段垂直平分线的性质得，，由等腰三角形的性质得，，由勾股定理，即可求解；掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：连接， 由作图得：垂直平分， ， ， ， 平分， ， ， ， 设， ， ， ， 解得：， 故的长为， 故选：C． 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，等边三角形的边长为2，点O为的中点，点D在射线上运动，以为边向右作等边三角形，连接，则线段的最小值是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、解直角三角形，连接，证明，得出，，从而可得点在射线上，当时，根据垂线段最短可得，此时的长度最小，最后解直角三角形即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵等边三角形的边长为2，点O为的中点， ∴，，， ∵三角形为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴点在射线上， ∴当时，根据垂线段最短可得，此时的长度最小，为， 故选：B． 2．（2025·湖北·模拟预测）分别以的两边、向形外作等边和等边，、分别交、于点、，、相交于点，连接并延长交于点，则下列结论中正确的是（   ） ① ② ③ ④平分 ⑤平分． A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解本题的关键． 由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出符合题意；利用全等三角形的对应边相等即可得到，符合题意；利用全等三角形的对应角相等得到，再由对顶角相等和三角形内角和定理得出符合题意；运用全等三角形的判定与性质，角平分线的判定得出符合题意，运用外角性质以及全等三角形的对应角相等进行分析，得出④不符合题意，即可得出结论． 【详解】解：和都为等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， 故符合题意； ∵， ， 故符合题意； ∵， ， 又， ∴ ， 故符合题意， 作于P，于，如图所示； 则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分， 故符合题意； 则， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 只有时，即，则， ∵， ∴， 分析题干，不一定相等，不一定相等， ∵，， 故不一定等于． 故不符合题意 故选：C． 3．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图， 正方形 的边长为 分别在 上， 且 与 相交于点 ． 则 的长为（　　） A．1.4 B．2.4 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键；利用正方形的性质及已知可证明，则可得，再利用勾股定理求出，利用面积相等即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 故选：B． 4．（2025·陕西西安·一模）如图，在菱形中，，连接，点分别是上的点，且垂直平分，若，则菱形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，30°角的直角三角形的性质，勾股定理；连接交于点O，根据菱形的性质即可得到是等边三角形，再根据垂直平分线的性质得到，进而根据的直角三角形的性质和勾股定理求出和的长，利用解答即可． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 5．（2025·四川绵阳·一模）如图，将边长为的正方形绕点A逆时针旋转后，得到正方形，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质， 连接，根据正方形的性质和旋转的性质证明，可得，然后根据直角三角形的性质得，再根据勾股定理求出，可求，则此题可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形，且绕点A逆时针旋转得到四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， 所以阴影部分的面积是． 故答案为：． 6．（2025·江苏淮安·一模）如图，在正五边形中，点F在边上（不与端点重合），点G在边上，，连接交于点H，则 °． 【答案】72 【分析】本题考查了正多边形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． 根据正多边形的性质得到，每个内角的度数为，如图所示，连接 ，由等边对等角得到，，，，，，，，再证明，，由此得到，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，每个内角的度数为， 如图所示，连接 ， 在中，，， ∴， ∴， 同理，在中，，， 在中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： ． 7．（2026·四川德阳·模拟预测）如图，正方形与正方形的边、在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其他顶点均不重合，连接，． (1)当正方形旋转至如图所示的位置时，求证：； (2)如图，如果，，，连接，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，由正方形的性质得到，，然后依据可证明，然后依据全等三角形的性质进行证明即可； （2）连接、，延长交与．当时，可证明为等腰直角三角形，然后可求得和的长，根据，进行求解即可。 【详解】（1）解：由旋转的性质可知：，由正方形的性质可知：，． 在和中， ， ∴． ． （2）连接、，延长交于． 当时，则． ． ． 又， ． 又，， 为等腰直角三角形． ．， ，与平行． ． 8．（2025·内蒙古·一模）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，以及在正方形和菱形背景下利用这些知识解决问题．解题的关键在于利用正方形和菱形的性质找出证明全等三角形所需的条件．在（3）中，构造全等三角形是解题的关键步骤，通过合理的辅助线找到与已知条件相关的全等关系． （1）根据正方形的性质得到边和角的关系，再结合已知的垂直条件，利用全等三角形的判定定理证明． （2）先证明，得到对应角相等，再通过等量代换证明． （3）通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出的长． 【详解】证明：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又 ， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 1 / 112 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第03讲 全等三角形 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 根据全等三角形的性质判断结论是否正确（★★★） 题型02 利用全等三角形的性质求角度（★★） 题型03利用全等三角形的性质求线段长度（★★★） 题型04 全等三角形的性质与勾股定理综合（★★） 题型05 用SSS证明三角形的全等（★★★） 题型06 尺规作图与SSS综合（★★） 题型07 利用全等三角形的判定求角度（★★★） 题型08 添加条件使得两个三角形全等（★★） 题型09 灵活使用全等三角形的判定进行证明（★★★） 题型10 尺规作图与三角形全等★★★） 题型11 全等三角形常见辅助线之连接两点构造全等（★★） 题型12 全等三角形常见辅助线之倍长中线模型（★★★） 题型13全等三角形常见辅助线之旋转模型（★★★） 题型14全等三角形常见辅助线之垂直模型（★★★） 题型15 全等三角形中最值问题（★★） 题型16 全等三角形选填压轴之多结论问题（★★） 题型17利用角平分线的性质求线段长度（★★★） 题型18角平分线与尺规作图综合（★★★） 题型19 利用垂直平分线的性质求角度（★★★） 题型20利用垂直平分线的性质求线段长度（★★） 能力通关 【趋势一】全等三角形与尺规作图综合（中考常考题型） 1．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，为上一点，连接．在下方取一点 ，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点．若为的中点，，的周长为14，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【趋势二】全等三角形选填压轴题之多结论问题（中考常考题型） 2．（2025·北京·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上，连接．给出下面四个结论： ；②；③； ． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 【趋势三】全等三角形解答压轴题之综合问题（中考常考题型） 3．（25-26九年级上·重庆忠县·月考）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转a得到线段，连接． (1)如图1，，，求的度数； (2)如图2，，，过点D作，交的延长线于G，连接．点F是的中点，点H是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明. 题型01 根据全等三角形的性质判断结论是否正确（★★★） 1．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，连接．当点、、在同一条直线上时，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，将绕点A逆时针旋转得到，则下列说法中不正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·天津·一模）如图，在中，，把绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，的延长线与相交于点F，连接，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·天津西青·一模）如图，在中，，把绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 5．（2025·天津·一模）如图，在中，，为边上一点，是由旋转得到的，点的对应点分别是，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型02 利用全等三角形的性质求角度（★★） 1．（2025·河北邯郸·三模）如图，，点为线段上一点．若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·二模）如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏泰州·一模）如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东济南·一模）如图，，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·山东济南·一模）如图，点在同一条直线上，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·山东淄博·一模）如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型03 利用全等三角形的性质求线段长度（★★★） 1．（2025·广西梧州·一模）如图，在和中，，点B在上．若，，，则（   ） A．8 B．10 C．13 D．15 2．（2025·重庆垫江·模拟预测）如图，，，若，，，则等于（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 3．（2025·四川绵阳·二模）如图，D为中边上的中点，，若，与交于点F，，则的长是（　　） A．4 B．3 C． D． 4．（2025·四川南充·二模）如图，中，，分别是的中点．将绕点旋转到，边与交于．当与的一边平行时，的长所有可能取值之和为（   ） A．5 B．6 C． D．8 题型04 全等三角形的性质与勾股定理综合（★★） 1．（2025·江苏南京·二模）用两张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的图形，点，，在同一条直线上．设，，，下列结论中：①，②，③，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2025·浙江金华·二模）如图，面积为的正方形是由正方形和四个形状、大小一样的直角三角形组成，其中，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·模拟预测）如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接并延长交于点M，若，给出下面四个结论：①M是的中点；②平分；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（2025·浙江·模拟预测）我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．如图，正方形与正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，连结．若，，则等于（   ） A． B． C． D． 题型05 用SSS证明三角形的全等（★★★） 1．（2024·广东·模拟预测）如图，，． 求证：． 2．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 3．（2025·上海·模拟预测）四边形与四边形均为平行四边形．连接和交于点G． (1)求证：； (2)若点在延长线上，且，求证：． 4．（2025·海南海口·三模）如图，是等边的中线，以D为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于E，连接． (1)求证：： (2)若的边长为6，求的长． 题型06 尺规作图与SSS综合（★★） 1．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（    ） A． B．连结，根据可判定 C． D．的最小值是的长 2．（2025·湖北·模拟预测）如图，点是的边上任意一点．下面是“过点作”的尺规作图过程：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点，；②以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，线段的长为半径画弧，交前弧于点，作直线，则即为所求． 上述方法通过判定得到，进而得到，其中判定的依据是（   ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 3．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）下面是“作已知角的平分线”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； （2）分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点； （3）作射线，则射线就是所求作的射线． 上述方法通过判定得到，从而得到是的角平分线，其中判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 4．（2025·北京房山·一模）如图，在中，，O是边的中点．按下列要求作图： （1）以点B为圆心，小于长度为半径画弧，分别交，于点D，E； （2）以点O为圆心，长为半径画弧，交于点F；以点F为圆心，长为半径画弧，两弧交于点G，点G与点C在直线同侧； （3）作直线，交于点M． 根据上面作图，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·北京通州·一模）下面是“经过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任意取一点、使点和点在的两旁， （2）设点为圆心，长为半径作弧，交于点和点． （3）分别以点和点为圆心．大于的同样长为半径作弧．两弧相交于点． （4）作直线．则直线就是所求作的垂线． 根据以上尺规作图过程（如图），给出下面四个结论：①点到四点的距离一定都相等；②点与点一定关于直线对称；③点与点一定关于直线对称；④连接．，一定有． 上述结论中，正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 6．（2025·北京·模拟预测）如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点为圆心，任意长为半径作，分别交，于点，，连接； （2）以为圆心，的长为半径作弧，交于点，连接，； （3）作射线，即为所求作的角．下列结论正确的是（    ） A．的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B． C． D．是等腰三角形 题型07 利用全等三角形的判定求角度（★★★） 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·福建龙岩·二模）如图，已知，点A是射线上的一个定点，点B是射线ON上的一个动点，且满足．点C在线段的延长线上，且．点D在线段上，且，连接，．则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东聊城·二模）如图，在正方形中，点分别在上，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆·二模）如图，在正方形中，E为边上一点，连接，在右侧作，满足，，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·重庆九龙坡·二模）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，连接、交于点H，连接，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽·二模）如图，五边形是正五边形，是的中点，连接，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 题型08 添加条件使得两个三角形全等（★★） 1．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，，，且点A在上，点D在上，添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，添加下列条件后不能判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在矩形中，E，F是对角线上两点，连接，，添加下列条件之一：①；②；③；④；仍然不能判定的是 ．（填写序号） 4．（2024·黑龙江鸡西·二模）如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）： ，使． 5．（2024·北京·模拟预测）如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 ．（写出一个即可） 题型09 灵活使用全等三角形的判定进行证明（★★★） 1．（23-24九年级上·山东枣庄·月考） 如图，菱形的对角线、相交于点，点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．    (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并写出证明过程． 2．（2026·全国·模拟预测）如图，将矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点为点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．（2025·陕西汉中·一模）如图，在菱形中，点是边的中点，延长至点，使得，连接、，求证：． 4．（2025·四川雅安·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，当时，求的面积． 5．（2025·四川南充·一模）如图，在中，，，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型10 尺规作图与三角形全等（★★★） 1．（2025·福建南平·二模）如图，在等腰三角形中，，点为边上的点． (1)尺规作图：在的外侧作，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的值． 2．（2024·吉林长春·三模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．图①、图②中，点A、B、C均在格点上；图③中，点A、B、C均在网格线上，但不在格点上．请在图①、图②、图③中，过点C作直线，使点A、B到直线距离相等．要求只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． 3．（2024·宁夏银川·一模）如图，在矩形中，连接． (1)作的垂直平分线，分别与、交于点、，连接、． (2)求证：四边形是菱形． 4．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在的方格中，的顶点均为格点．请按照下列要求，只用直尺画出相应的图形，    (1)请在图①中画出一个格点，使．（画出一个即可） (2)请在图②中画出一个格点，使．（画出一个即可） 题型11 全等三角形常见辅助线之连接两点构造全等（★★） 1．（2025·山东青岛·三模）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（  ） A．3 B．12 C．10 D．5 2．（2025·山东威海·三模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，是的中点，连接，将绕点E逆时针旋转90°得到，交边于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型12 全等三角形常见辅助线之倍长中线模型（★★★） 1．（2024·山东临沂·一模）如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·模拟预测）小江在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”你可能不会求解，但你可以根据所学知识，帮助小江推断下面答案可能的一项是（    ） A． B．2 C． D．4 3．（2024·贵州·模拟预测）如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是( ) 4．（2025·吉林松原·三模）（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点，使得．连结，求证：四边形是平行四边形． （2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点（不与点、点重合），过点、点分别作， ，连结，，求证：四边形是平行四边形． （3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点是的中点，点是直线上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度． 5．（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____； （2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：； （3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 题型13 全等三角形常见辅助线之旋转模型（★★★） 1．（2025·四川南充·一模）如图，在正方形中，为射线上的动点（不与点A,B重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，作交射线A于点．则线段与的大小关系是（   ）    A． B． C． D．不能确定 题型14 全等三角形常见辅助线之垂直模型（★★★） 1．（23-24九年级上·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针旋转得线段，点的对应点为，则点的坐标为 ． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，D为线段上一点（不与点 B，C重合），连接并延长到点E， 使得，连接．过点B作 的垂线交直线于点F，连接，若 ，，的面积为 ． 3．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为 ． 题型15 全等三角形中最值问题（★★） 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为（      ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽淮北·一模）如图，在中，，，，点D 是边上一动点，以为腰作等腰三角形，使，，连接，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 3．（2023·安徽合肥·二模）动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（　　） A．2 B． C． D． 4．（2025·湖北武汉·三模）如图，在等边中，，，D，E分别是边上的点，．若，当取最小值时，线段长为 ． 题型16 全等三角形选填压轴之多结论问题（★★★） 1．（2025·山西大同·三模）如图，四边形是正方形，对角线，交于点O，点E在正方形的内部，且．连接并延长交边于点F，线段，分别与，交于点M，N，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西九江·模拟预测）如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为3 3．（2025·安徽宿州·模拟预测）如图，中，， 于点E， 于点D，，与交于点F．连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C．若 则   D．若则 4．（2025·北京朝阳·二模）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．给出下面四个结论： ①平分； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④ 5．（2025·广东中山·二模）如图，正方形的边长为，延长至点，使得，平分交于点，连接，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 题型17 利用角平分线的性质求线段长度（★★★） 1．（2025·云南·模拟预测）如图，在边长为3的等边中，过点作垂直于的直线交的平分线于点，则点到边所在直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川凉山·模拟预测）如图，的平分线上有一点P，过点P作的平行线，，则点P到射线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 3．（2025·安徽合肥·三模）如图，在中，，，，平分交于点，则线段为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·山西大同·三模）如图，在中，平分交于点D．若，则的面积是（   ） A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6 5．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在正方形中，，点在上，为上一点，过点作于点，连结，记，若，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 题型18 角平分线与尺规作图综合（★★★） 1．（2026·云南·模拟预测）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点，过点作于点，若，，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③；④．其中错误的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2025·天津·一模）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（    ） A． B．6 C． D．9 4．（2025·天津·一模）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与相交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线与相交于点D，若，则的面积是（　　）． A．120 B．100 C．60 D．30 5．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，中，，，以B为圆心，以小于长度的任意长为半径作弧，分别与边，交于点M，N．分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线，交于点D，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 题型19 利用垂直平分线的性质求角度（★★★） 1．（2025·福建漳州·三模）如图，中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于两点，连接，与交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃天水·一模）如图，在菱形中，E是的中点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州黔东南·二模）如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线；分别以A，C为圆心， 大于长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，直线与相交于点O，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则 ．    题型20 利用垂直平分线的性质求线段长度（★★） 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，分别以点M和点B为圆心，相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点G和点N，作直线交于点D，交于点E．若，，则（   ） A． B．2 C． D．3.5 2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，直线分别与边、相交于点D、E，连接．若，，，则的长为（    ） A．6 B． C． D．9 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 在中， ， ，的垂直平分线交于点D， 交于点 E，若， 则等于 （    ） A．10 B．12 C．16 D．18 4．（2025·山东济宁·三模）如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N．作直线与，分别交于点E，F，连接．已知，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在平行四边形中，以点为圆心，以为半径画弧交于点，分别以点、为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·河北唐山·三模）如图，在中，，，平分交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D．1 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，等边三角形的边长为2，点O为的中点，点D在射线上运动，以为边向右作等边三角形，连接，则线段的最小值是（     ） A． B． C．1 D． 2．（2025·湖北·模拟预测）分别以的两边、向形外作等边和等边，、分别交、于点、，、相交于点，连接并延长交于点，则下列结论中正确的是（   ） ① ② ③ ④平分 ⑤平分． A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 3．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图， 正方形 的边长为 分别在 上， 且 与 相交于点 ． 则 的长为（　　） A．1.4 B．2.4 C．2.5 D．3 4．（2025·陕西西安·一模）如图，在菱形中，，连接，点分别是上的点，且垂直平分，若，则菱形的面积等于 ． 5．（2025·四川绵阳·一模）如图，将边长为的正方形绕点A逆时针旋转后，得到正方形，则图中阴影部分的面积是 ． 6．（2025·江苏淮安·一模）如图，在正五边形中，点F在边上（不与端点重合），点G在边上，，连接交于点H，则 °． 7．（2026·四川德阳·模拟预测）如图，正方形与正方形的边、在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其他顶点均不重合，连接，． (1)当正方形旋转至如图所示的位置时，求证：； (2)如图，如果，，，连接，，求的面积． 8．（2025·内蒙古·一模）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 1 / 112 学科网（北京）股份有限公司 $