第03讲 分式（专项训练，10题型）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第一章 数与式 第03讲 分式 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 分式有/无意义，值为0的条件（★） 题型02 利用分式的性质求解（★） 题型03 最简分式与最简公分母的识别（★） 题型04 约分与通分（★） 题型05 求分式的值（★） 题型06 分式的乘除法（★） 题型07 分式的加减运算（★） 题型08 分式混合运算（★） 题型09 分式的化简求值（★） 题型10 与分式运算有关的规律探究问题（★★） 能力通关 1．（2025·山东威海·一模）定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（   ） A． B． C． D． 考查知识点：分式的加减运算、数字规律探究（从特殊到一般）、平方差公式因式分解。 能力要求：数学抽象能力（理解自定义运算规则）、逻辑推理能力（从具体运算结果提炼的通用表达式）、运算求解能力（分式通分与化简）。 考法特点：以 “递推式自定义运算” 为新情境，设问从 “规律猜想” 到 “分式化简求值”，层层递进，强调对 “特殊→一般→特殊” 思维方法的考查，同时融合分式运算的核心考点。 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的加法运算，先根据给定的式子，推出，再根据异分母的分式的加法法则，进行计算即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ∴， ∴ ； 故选A． 2．（2025重庆模拟）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考查知识点：有理数的混合运算、数列的周期性、分式化简、代数等式证明。 能力要求：规律探究能力（发现数列、Tn的周期）、运算求解能力（计算不同项的Tn与Sn、逻辑推理能力（分情况证明等式成立）。 考法特点：通过新定义 “积Tn”“和Sn”，将数列周期与代数证明结合，设问涵盖 “周期判断”“求和计算”“等式验证”，突破传统数列题的单一考法，强调知识的综合应用。 【答案】D 【分析】本题考查与有理数有关的规律探究，熟练掌握有理数的运算是解题的关键，根据题意逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，，，， ∴，故①正确； ∵ ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ， 故②正确； 由①②可得分别是以3和6为周期的数列， 当为奇数时： ， ， ∴， 当为偶数时： ， ， ∴， 故③正确； 故选：D． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知a，b表示两个正数，若这两个正数的差等于它们的积，则比小2． (1)任选一组满足条件的正数a，b的值，验证上述结论． (2)在一般情况下，验证上述结论． 考查知识点：多项式乘法、完全平方公式、分式化简、二次函数最值。 能力要求：数学抽象能力（解读 “对称式” 定义）、知识迁移能力（用基本对称式(a+b)、ab表示复杂对称式）、运算求解能力（分式化简与最值计算）。 考法特点：以 “对称式” 新定义为载体，串联多项式、分式、二次函数知识点，设问从 “对称式判断” 到 “代数变形” 再到 “最值求解”，体现新定义题 “先理解再应用” 的核心考法，注重对数学本质的考查。 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查分式的加减运算、解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据条件取值计算验证即可； （2）求出的值即可． 【详解】（1）证明：根据题意得：， 当时，； ，，即， 比大2； （2）证明：， ， 比大2． 4．（2025沧州市模拟预测）如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． (1)若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； (2)若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 考查知识点：整式的加减运算、完全平方公式（因式分解）、非负数性质。 能力要求：动手操作转化能力（将卡片抽取规则转化为数学运算）、运算求解能力（整式化简与代入求值）、逻辑推理能力（判断 “无论x取何值，C非负” 的条件）。 考法特点：以 “卡片游戏” 为操作载体，设问兼具 “计算” 与 “推理”，要求学生不仅能进行整式运算，还能结合非负数性质分析结果的取值范围，体现 “从运算到推理” 的进阶考法。 【答案】(1)①；②4 (2)抽到的是卡片 【分析】此题考查整式的混合运算和因式分解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）①根据卡片各项改变符号后得出 ，再与整式相加，合并同类项即可； ②把代入整式C计算即可； （2）分抽中的卡片是B和抽中的卡片是A两种情况进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①； ②当时，； （2）由（1）知，若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非负数； 若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非正数， 抽到的是卡片． 5．（2025巴中市三模）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，，…含有两个字母，的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子：①，②，③，④中，属于对称式的是　 　(填序号) (2)已知． ①若，求对称式的值 ②若，求对称式的最大值 考查知识点：分式的加减运算、代数等式证明（从已知条件推导结论）。 能力要求：运算求解能力（代入具体数值验证结论）、逻辑推理能力、数学表达能力（规范书写证明过程）。 考法特点：设问先 “验证” 后 “证明”，降低入口难度，同时强调 “特殊案例” 与 “一般规律” 的关联，符合中考 “注重过程性考查” 的新趋势，培养学生严谨的数学思维。 【答案】（1）①③④；（2）①12，②-2． 【分析】（1）根据新定义的“对称式”的意义进行判断，做出选择， （2）已知．则，， ①，，利用整式变形可求出的值； ②时，即，由可以求出的最大值； 【详解】解：（1）根据“对称式”的意义，得①③④是“对称式”， 故答案为：①③④， （2）①． ，， ①当，时，即，， ， ②当时，即 ， 所以当m=0时，有最大值-2， 故代数式的最大值为． 【点睛】本题考查“新定义”的意义、整式、分式的变形以及求代数式的最值的等知识，理解“新定义”的意义和最值的意义是解决问题的关键． 题型01 分式有/无意义，值为0的条件（★） 1．（2025·云南·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可． 【详解】解：由题可得， 解得且， 故答案为：且． 2．（2025·内蒙古鄂尔多斯·模拟预测）若代数式在实数范围内有意义，则是取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为0解答即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴且， 解得：． 故选：D． 3．（2025·安徽滁州·三模）当分式的值为0时，则实数x的取值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，解一元二次方程，分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：2． 4．（2025·浙江台州·二模）已知分式（，为常数），的部分取值及对应分式的值如下表，则的值是（   ） 3 无意义 0 2 A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查分式综合问题，涉及分式无意义条件、解一元一次方程、解分式方程等知识，读懂题意，由的部分取值及对应分式的值表，代值列方程求解即可得到答案，熟练掌握分式求值及解方程是解决问题的关键． 【详解】解：由表可知， 当时，，分式无意义，则，解得； 当、时，，则，即，解得； 当、、时，，则，解得； 故选：B． 题型02 利用分式的性质求解（★） 1．（2025·四川泸州·三模）将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来一半 C．保持不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质．把分式中的、分别用、代替，求出所得分式与原分式相比较即可． 【详解】解：由题意得：， 即扩大为原来的2倍， 故选：A． 2．（2025·湖南长沙·二模）下列分式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查判断分式变形是否正确，根据分式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，变形错误，不符合题意； B、，变形错误，不符合题意； C、，变形错误，不符合题意； D、，变形正确，符合题意； 故选D． 3．（2024·河北·模拟预测）若，且，“□”是运算符号，则“□”里可以填 ．（写出一种情况即可） 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的分子或分母同乘以或除以一个非零的代数式分式的结果不变成为解题的关键． 根据分式的基本性质即可解答． 【详解】解：由分式的基本性质可知：“□”里可以填或． 故答案为：或． 4．（2025宜兴市模拟）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：． 故选：D 题型03 最简分式与最简公分母的识别（★） 1．（2025侯马市二模）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较容易忽视的问题．在解题中一定要引起注意，根据最简分式的定义解答即可． 【详解】解：A． ，不是最简分式，故该选项不符合题意； B． ，不是最简分式，故该选项不符合题意； C． ，不是最简分式，故该选项不符合题意； D． ，是最分式，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（2025渭南市模拟）分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 【详解】分式与的最简公分母是， 故选：D． 题型04 约分与通分（★） 1．（2025·贵州黔东南·二模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的约分，把分子分解因式后约分即可． 【详解】解：． 故选C． 2．（2025衡水市三模）小明化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．直接利用分式的性质结合约分得出答案． 【详解】解： ， ， 故部分的式子应该是． 故选：B． 3．（2025杭州市模拟）计算的正确结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了． 【详解】原式 . 故选B． 【点睛】本题考查分式的通分和分式的约分的运用，解题关键在于在解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用． 题型05 求分式的值（★） 1．（2025·云南丽江·一模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，根据，可得：，把代入代数式，计算即可求出结果． 【详解】解： ， ， ． 故选：A． 2．（2025·广东肇庆·一模）已知实数，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式求值，分式运算，由，得，则，然后代入即可求解，熟练掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·山东济宁·二模）已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的约分，分式的值，熟练掌握分式的约分是解题的关键．先得出，再将代入，化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入， 得：， 故答案为：． 4．（2025广元市模拟）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，因式分解，先由分式有意义的条件得到，再由推出，把代入所求式子中化简求解即可． 【详解】解：∵分式要有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 题型06 分式的乘除法（★） 1．（2025·河南信阳·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，分式的乘法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算幂的乘方，再运算分式的乘法，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：C． 2．（2025·河北唐山·二模）已知，则整式 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法和除法；根据题意可得，利用分式乘法法则计算即可． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：． 3．（2025·湖北随州·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 首先将运用平方差公式进行分解，然后约分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（2025·四川自贡·二模）在化简后，要求在，1，0，2中取一个数再求值，只能取 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 先对分式进行化简，再根据分式有意义的条件进行分析求解即可． 【详解】解： ∵， ∴， 在化简过程中，消去了， 因此． 因此，只能取2． 故答案为：2． 5．（2025·河北石家庄·三模）如图，数学老师写了一个运算过程，为一个含的代数式．      (1)求（要求化为最简形式）； (2)的值可能等于吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)的值不能等于，理由见解析 【分析】本题考查分式的混合运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）由题意可得，将除法化为乘法并约分即可； （2）根据（1）中所求列得方程，解方程并检验即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：的值不能等于，理由如下： 若， 去分母得：， 解得：， 当时，，分式无意义， ∴的值不能等于． 题型07 分式的加减运算（★） 1．（2025·安徽合肥·三模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，先化为同分母，进而根据同分母的分式的减法进行计算即可求解． 【详解】解： ． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的知识点是异分母分式加减法、平方差公式，解题关键是熟练掌握异分母分式加减法． 结合平方差公式先通分，分子进行加减后约分即可得解． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 3．（2025·河南平顶山·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 4．（2025天津市模拟）若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键． 右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应的系数相等，即可求出A，B． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴， 得：， ∴． 将代入①中，解得：， ∴方程组的解为：． 故选B． 5．（2025石家庄市模拟）已知： ， ． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设．若x是整数，求y的整数值． 【答案】(1)； (2)y的整数值为：4，0，3，1． 【分析】（1）先求差，再比较差与0的大小关系； （2）先表示y，再求y的整数值． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ∵， ∴，． ∴； （2）解： ， ∵x，y是整数， ∴是2的因数． ∴，．对应的y值为： ∴或或或． ∴y的整数值为：4，0，3，1． 【点睛】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键． 题型08 分式混合运算（★） 1．（2025新疆维吾尔自治区一模）已知，能使等式恒成立的运算符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，完全平方公式，平方差公式等运算，解题的关键是掌握分式混合运算的法则．利用分式的加减乘除进行逐项判断即可． 【详解】解：A. ， 不符合题意； B. ， 不符合题意； C. ， 不符合题意； D. ， 符合题意； 故选：D． 2．（2025·陕西·模拟预测）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先计算括号，再计算除法即可化简． 【详解】解： ． 3．（2025·河北唐山·三模）有一道习题的解答过程如图所示，其中A是整式． 习题：计算 解：原式 …… (1)求整式A； (2)写出原习题正确的解答过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质即可求解； （2）先通分，化简后，计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 4．（2025·宁夏银川·三模）下面是嘉琪同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)以上化简步骤中，第一步的依据是______（填运算律）进行变形的； (2)第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； (3)请写出该分式的正确化简及结果． 【答案】(1)乘法分配律 (2)四；去括号时，第二项没有变号 (3)正确的化简过程见解析，正确结果为 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可知，第一步的依据是乘法分配律； （2）根据题目中的解答过程可知，第四步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，第二项没有变号； （3）根据乘法分配律计算，然后化简即可． 【详解】（1）解：以上化简步骤中，第一步的依据是乘法分配律进行变形的， 故答案为：乘法分配律； （2）解：第四步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，第二项没有变号， 故答案为：四；去括号时，第二项没有变号； （3）解： ． 题型09 分式的化简求值（★） 1．（2025·江西宜春·一模）先化简，再求值：，然后从中选一个合适的整数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，正确运算是解题的关键．括号内先通分，然后进行同分母分式运算，再进行分式的除法运算即可，根据分式有意义的条件，选取适当的a的值求解． 【详解】解：原式 ， 且为整数， ，0，1，2， ∵，，， ，0，1， ， 当时，原式． 2．（2025·甘肃武威·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题考查了分式的化简求值等知识，熟知分式的混合运算法则是解题关键．先计算小括号，再把除法转化为乘法进行计算得到，最后把代入即可求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 3．（2025·广东深圳·三模）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式 ． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是______填序号，这一步错误的原因是______，请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值． 【答案】(1)①，加括号时，括号内的第二项没有变号；正确的解答过程见解析； (2) 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可知，开始出现错误的步骤是，这一步错误的原因是加括号时，括号内的第二项没有变号，然后再写出正确的解答过程即可； （2）令（1）中化简后的结果为，求出相应的的值即可． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知，开始出现错误的步骤是，这一步错误的原因是加括号时，括号内的第二项没有变号， 故答案为：，加括号时，括号内的第二项没有变号； 正确的解答过程如下所示： ； （2）解：当时， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 即若代入求值后的计算结果为，题目中被墨水遮住的的值为． 4．（2025·宁夏银川·三模）先化简： ，再求值(请从小寇和小严的对话中确定a，b的值) 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得，的值，将原分式化简后代入数值计算即可． 【详解】解： ； 依题意，，且为整数，又，则， 当，时，原式． 题型10 与分式运算有关的规律探究问题（★★） 1．（2025·安徽·一模）观察以下等式： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】本题考查算式规律的归纳能力，分式的化简求值，解题的关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解． 根据前个等式的规律可知，第个等式应是，可得等式：； 由中的规律可知，第个等式应是，分别把等式左边、右边的分式化简，可得结果都为，即可证明等式成立． 【详解】（1）解：第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 根据规律可得，第6个等式：； 故答案为：； （2）解：猜想：第个等式为， 证明：左边， ， 左边右边， 故猜想成立． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了规律题，数字的变化，推理能力和运算能力． （1）观察给出的三个等式，可以发现以下规律：第n个等式的左边为，右边为，分数的分子比分母大1，且右边的整数等于分子．验证等式两边的计算结果相等：左边：右边：；因此左边等于右边． （2）第n个不等式的一般形式为． 【详解】（1）解： ． （2）解： 所以右=左，即等式成立． 1．（2025·河北邯郸·三模）如图所示的数轴（不完整），若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段④ B．段③ C．段② D．段① 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的值是解题的关键．直接取特殊值即可求解． 【详解】解：取时， 则， ∴表示的值的点落在段③， 故选：B． 2．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知， 与的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减法，用作差法，可以比较大小，用作差法是解本题的关键． 【详解】解：， ， ，， ，即：， ， 故选：C． 3．（2025·河北沧州·模拟预测）下面是“计算：”的部分解题步骤，则“______”上应填写的算式是（   ） _________________ …… A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是关键．原式为分式运算，需运用乘法分配律展开括号，再约分化简，最后计算减法即可． 【详解】解： 选项D的表达式正确对应上述拆分，其余选项均不符合化简过程． 故选：D 4．（2025·贵州·模拟预测）观察下表，随着x的值越来越大，代数式的值越来越接近于（    ） x 1 10 100 1000 10000 －7 2 2.9 2.99 2.999 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查分式的性质，注意分式的化简及因变量的取值与自变量的取值之间的联系．先化简代数式，再观察增大时的变化趋势，判断其接近的数值． 【详解】解： 当的值越来越大时，的值会越来越小，趋近， 那么就越来越接近， ∴随着x的值越来越大，代数式的值越来越接近于． 故选：B． 5．（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是把a、b看作是方程的解，然后根据根与系数的关系解题．分两种情况：当时，直接计算表达式；当时，将a和b视为方程的两个根，利用根与系数关系求和，再化简表达式即可． 【详解】解：①当时： ∵a和b满足，且（因为代入得）， ∴原式； ②当时： ∵a和b是方程的两个根， ∴，， 原式， ∵， ∴分子，分母， ∴原式， 综上所述，原式的值为2或． 故选：C． 6．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知实数a，b满足，，若关于x的一元二次方程．的两个实数根分别为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了非负数的性质和一元二次方程的根与系数的关系，分式的化简求值，解题的关键是熟悉非负数和的性质和一元二次方程根与系数的关系． 由非负数的性质求出a、b的值，再利用根与系数的关系将所求代数式转化为关于根的和与积的表达式，代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得， ∴方程为 ∴， ∴ ． 故选：A． 7．（2025·四川成都·三模）盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别，从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了概率公式以及分式的值，熟练掌握概率公式是解题的关键．由概率公式得，整理得，再代入所求分式计算即可． 【详解】解：从盒中随机取出1枚棋子，它是黑棋的概率是， ， ， 故答案为： 8．（2025·四川凉山·模拟预测）若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数非负、分式分母不为是解题的关键．要使等式成立，需根据二次根式有意义的条件，分别分析被开方数的取值范围． 【详解】解：要使二次根式有意义，则，同时对于分式，分母不能为． 对于，需 ； 对于，因为被开方数（二次根式结果非负且分式分母不为），所以 ． 解，得； 解，得． ∴． 故答案为： ． 9．（2025·河北石家庄·模拟预测）计算的结果是一个整数，写出一个符合条件的实数a的值为 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的化简与整数条件的应用，将分式化简后，分析分式结果为整数的条件是解题的关键．先将原式进行化简，结果为，要是其为整数，需满足为或分数形式（为非零整数）． 【详解】解：由， 要是其为整数，需满足为或分数形式（为非零整数）， a可以为3或1或分数形式（为非零整数），答案不唯一， 故答案为：1（答案不唯一）． 10．（2025年山东省枣庄市、聊城市、临沂市、菏泽市、东营市中考模拟数学试题）若表示一个整数，则整数可取值的个数是 个． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式得值求参数，根据表示一个整数，则是的约数，即可求解． 【详解】解：因为表示一个整数， ∴是的因数， 故的值为，，，，，，，， ∴，，，，，，，，共个． 故答案为：． 11．（2025·甘肃武威·模拟预测）先化简，再求值：  其中 【答案】， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用零指数幂、平方差公式以及特殊角的三角函数值求出x的值，代入化简后的式子计算求解，即可解题． 【详解】解：原式 ， 又 ， 将代入式子得：上式． 【点睛】本题考查分式化简求值、零指数幂、平方差公式及特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、平方差公式及特殊角的三角函数值和分式的运算法则是解题的关键． 12．（2025·全国·一模）已知分式： (1)化简该分式； (2)若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值； (3)（迁移）类比上述分式，设计一个分式，使其化简后为，并说明设计思路． 【答案】(1) (2) (3)，思路见解析 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的值，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键： （1）将分子和分母进行因式分解后，约分即可； （2）根据分式的值为整数，利用分离常数法，进行求解即可； （3）逆用分式的基本性质，将化简后的分式的分子和分母同时乘以，即可． 【详解】（1）解：； （2）由（1）可知：， ∵该分式的值为整数， ∴为整数， ∵为整数， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）根据分式的基本性质，将分式的分子和分母同时乘以，得， 即：分式可以化简为． 1．（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，同底数幂除法计算，分式的乘除法计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（2025·新疆·中考真题）计算：（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同分母分式的减法运算．根据分式减法法则，分母相同时，分子直接相减，分母保持不变，再约分计算即可． 【详解】解： 故选：A． 3．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据，可得，从而得到，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D 4．（2025·山东·中考真题）写出使分式有意义的的一个值 ． 【答案】1（不唯一） 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键． 先根据分式有意义的确定x的取值范围，然后确定x的可能取的值即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：． ∴的取值可以为． 故答案为：1（不唯一）． 5．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 6．（2025·甘肃甘南·中考真题）先化简，再求值：，且满足，取一个值即可． 【答案】，当时，原式或当时，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号内分式减法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简，最后选取符合题意的代入求值，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键． 【详解】解：原式， ， ， ∵，且，， ∴可以取整数或， ∴当时，原式或当时，原式． 7．（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 【答案】(1)的值为； (2)当时，；当时，． 【分析】本题考查了分式求值，等式的性质，函数求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把，代入函数即可求解； （）将，代入函数整理得，然后分当时，即和当时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把，代入函数得， ， ∴的值为； （2）解：将，代入函数得， ， 整理得：， 当时，即， ∴， 当时，， 则有，， ， ∴ ， 综上可知：当时，；当时，． 8．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）直接按照新定义计算即可； （2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可； （3）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第03讲 分式 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 分式有/无意义，值为0的条件（★） 题型02 利用分式的性质求解（★） 题型03 最简分式与最简公分母的识别（★） 题型04 约分与通分（★） 题型05 求分式的值（★） 题型06 分式的乘除法（★） 题型07 分式的加减运算（★） 题型08 分式混合运算（★） 题型09 分式的化简求值（★） 题型10 与分式运算有关的规律探究问题（★★） 能力通关 1．（2025·山东威海·一模）定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（   ） A． B． C． D． 考查知识点：分式的加减运算、数字规律探究（从特殊到一般）、平方差公式因式分解。 能力要求：数学抽象能力（理解自定义运算规则）、逻辑推理能力（从具体运算结果提炼的通用表达式）、运算求解能力（分式通分与化简）。 考法特点：以 “递推式自定义运算” 为新情境，设问从 “规律猜想” 到 “分式化简求值”，层层递进，强调对 “特殊→一般→特殊” 思维方法的考查，同时融合分式运算的核心考点。 2．（2025重庆模拟）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考查知识点：有理数的混合运算、数列的周期性、分式化简、代数等式证明。 能力要求：规律探究能力（发现数列、Tn的周期）、运算求解能力（计算不同项的Tn与Sn、逻辑推理能力（分情况证明等式成立）。 考法特点：通过新定义 “积Tn”“和Sn”，将数列周期与代数证明结合，设问涵盖 “周期判断”“求和计算”“等式验证”，突破传统数列题的单一考法，强调知识的综合应用。 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知a，b表示两个正数，若这两个正数的差等于它们的积，则比小2． (1)任选一组满足条件的正数a，b的值，验证上述结论． (2)在一般情况下，验证上述结论． 考查知识点：多项式乘法、完全平方公式、分式化简、二次函数最值。 能力要求：数学抽象能力（解读 “对称式” 定义）、知识迁移能力（用基本对称式(a+b)、ab表示复杂对称式）、运算求解能力（分式化简与最值计算）。 考法特点：以 “对称式” 新定义为载体，串联多项式、分式、二次函数知识点，设问从 “对称式判断” 到 “代数变形” 再到 “最值求解”，体现新定义题 “先理解再应用” 的核心考法，注重对数学本质的考查。 4．（2025沧州市模拟预测）如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． (1)若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； (2)若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 考查知识点：整式的加减运算、完全平方公式（因式分解）、非负数性质。 能力要求：动手操作转化能力（将卡片抽取规则转化为数学运算）、运算求解能力（整式化简与代入求值）、逻辑推理能力（判断 “无论x取何值，C非负” 的条件）。 考法特点：以 “卡片游戏” 为操作载体，设问兼具 “计算” 与 “推理”，要求学生不仅能进行整式运算，还能结合非负数性质分析结果的取值范围，体现 “从运算到推理” 的进阶考法。 5．（2025巴中市三模）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，，…含有两个字母，的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子：①，②，③，④中，属于对称式的是　 　(填序号) (2)已知． ①若，求对称式的值 ②若，求对称式的最大值 考查知识点：分式的加减运算、代数等式证明（从已知条件推导结论）。 能力要求：运算求解能力（代入具体数值验证结论）、逻辑推理能力、数学表达能力（规范书写证明过程）。 考法特点：设问先 “验证” 后 “证明”，降低入口难度，同时强调 “特殊案例” 与 “一般规律” 的关联，符合中考 “注重过程性考查” 的新趋势，培养学生严谨的数学思维。 题型01 分式有/无意义，值为0的条件（★） 1．（2025·云南·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是 ． 2．（2025·内蒙古鄂尔多斯·模拟预测）若代数式在实数范围内有意义，则是取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 3．（2025·安徽滁州·三模）当分式的值为0时，则实数x的取值是 ． 4．（2025·浙江台州·二模）已知分式（，为常数），的部分取值及对应分式的值如下表，则的值是（   ） 3 无意义 0 2 A． B． C．3 D．4 题型02 利用分式的性质求解（★） 1．（2025·四川泸州·三模）将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来一半 C．保持不变 D．无法确定 2．（2025·湖南长沙·二模）下列分式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·模拟预测）若，且，“□”是运算符号，则“□”里可以填 ．（写出一种情况即可） 4．（2025宜兴市模拟）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型03 最简分式与最简公分母的识别（★） 1．（2025侯马市二模）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025渭南市模拟）分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 题型04 约分与通分（★） 1．（2025·贵州黔东南·二模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2025衡水市三模）小明化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（    ） A． B． C． D． 3．（2025杭州市模拟）计算的正确结果是(   ) A． B． C． D． 题型05 求分式的值（★） 1．（2025·云南丽江·一模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东肇庆·一模）已知实数，满足，则 ． 3．（2025·山东济宁·二模）已知，且，则的值为 ． 4．（2025广元市模拟）已知，求的值． 题型06 分式的乘除法（★） 1．（2025·河南信阳·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北唐山·二模）已知，则整式 ． 3．（2025·湖北随州·一模）计算： ． 4．（2025·四川自贡·二模）在化简后，要求在，1，0，2中取一个数再求值，只能取 ． 5．（2025·河北石家庄·三模）如图，数学老师写了一个运算过程，为一个含的代数式．      (1)求（要求化为最简形式）； (2)的值可能等于吗？请说明理由． 题型07 分式的加减运算（★） 1．（2025·安徽合肥·三模）化简：． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）计算的结果是 ． 3．（2025·河南平顶山·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（2025天津市模拟）若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（2025石家庄市模拟）已知： ， ． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设．若x是整数，求y的整数值． 题型08 分式混合运算（★） 1．（2025新疆维吾尔自治区一模）已知，能使等式恒成立的运算符号是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·模拟预测）化简：． 3．（2025·河北唐山·三模）有一道习题的解答过程如图所示，其中A是整式． 习题：计算 解：原式 …… (1)求整式A； (2)写出原习题正确的解答过程． 4．（2025·宁夏银川·三模）下面是嘉琪同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)以上化简步骤中，第一步的依据是______（填运算律）进行变形的； (2)第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； (3)请写出该分式的正确化简及结果． 题型09 分式的化简求值（★） 1．（2025·江西宜春·一模）先化简，再求值：，然后从中选一个合适的整数代入求值． 2．（2025·甘肃武威·一模）先化简，再求值：，其中． 3．（2025·广东深圳·三模）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式 ． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是______填序号，这一步错误的原因是______，请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值． 4．（2025·宁夏银川·三模）先化简： ，再求值(请从小寇和小严的对话中确定a，b的值) 题型10 与分式运算有关的规律探究问题（★★） 1．（2025·安徽·一模）观察以下等式： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 1．（2025·河北邯郸·三模）如图所示的数轴（不完整），若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段④ B．段③ C．段② D．段① 2．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知， 与的大小是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北沧州·模拟预测）下面是“计算：”的部分解题步骤，则“______”上应填写的算式是（   ） _________________…… A． B． C． D． 4．（2025·贵州·模拟预测）观察下表，随着x的值越来越大，代数式的值越来越接近于（    ） x 1 10 100 1000 10000 －7 2 2.9 2.99 2.999 A． B． C． D． 5．（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 6．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知实数a，b满足，，若关于x的一元二次方程．的两个实数根分别为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 7．（2025·四川成都·三模）盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别，从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ． 8．（2025·四川凉山·模拟预测）若，则实数的取值范围是 ． 9．（2025·河北石家庄·模拟预测）计算的结果是一个整数，写出一个符合条件的实数a的值为 ． 10．（2025年山东省枣庄市、聊城市、临沂市、菏泽市、东营市中考模拟数学试题）若表示一个整数，则整数可取值的个数是 个． 11．（2025·甘肃武威·模拟预测）先化简，再求值：  其中 12．（2025·全国·一模）已知分式： (1)化简该分式； (2)若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值； (3)（迁移）类比上述分式，设计一个分式，使其化简后为，并说明设计思路． 1．（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·新疆·中考真题）计算：（    ） A．1 B． C． D． 3．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（2025·山东·中考真题）写出使分式有意义的的一个值 ． 5．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 6．（2025·甘肃甘南·中考真题）先化简，再求值：，且满足，取一个值即可． 7．（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 8．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ，，． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】（3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $