专题7.2 随机变量的分布与特征（高效培优讲义）数学沪教版选择性必修第二册

专题7.2 随机变量的分布与特征 教学目标 1.掌握离散型随机变量的均值能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议.。 2.掌握离散型随机变量的方差、标准差的求解，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议。。 教学重难点 1.重点 （1）通过实例理解离散型随机变量均值、方差与标准差的概念及性质，能计算简单离散型随机变量的均值、方差与标准差； （2）会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题； （3）会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题。 2.难点 （1）能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题； （2）会用离散型随机变量的均值和方差解决一些实际应用问题 知识点01 随机变量与分布 1．随机变量 (1)随机变量的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． (2)随机变量的特点 ①取值依赖于样本点． ②所有可能取值是明确的． (3)随机变量的表示 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z． 2．离散型随机变量 (1)离散型随机变量的概念 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量． (2)离散型随机变量的特征 ①可用数值表示． ②试验之前可以判断其出现的所有值． ③在试验之前不能确定取何值． ④试验结果能一一列出． 【特别题醒】　随机变量与函数的定义类似：随机试验样本空间Ω中的样本点ω相当于函数定义中的自变量，X(ω)是与ω对应的实数． 3．离散型随机变量的分布列 (1)概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． (2)表示：离散型随机变量的分布列可以用表格或图形表示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 4．离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1． 【即学即练】 1某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列. 【答案】(1)甲； (2)分布列见解析. 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式分别求出甲乙丙进入决赛的概率，再比较大小即可； （2）利用相互独立事件的概率公式，列式解方程求出，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列. 【详解】（1）甲进入决赛的概率为， 乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为，而，则， 所以甲进入决赛的可能性最大. （2）甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率， 整理可得，解得或，而，所以. 则， 所以甲、乙、丙进入决赛的概率分别为， 随机变量的可能取值有0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 知识点02 期望 1．离散型随机变量的均值 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 【特别题醒】　(1)均值是随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数． (2)随机变量的均值是一个确定的数，样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动． 离散型随机变量的期望的性质 如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则 1．E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b． 2．E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). 【即学即练】 2一个口袋里装有编号为1，2，3，4的四个大小、形状完全相同的小球，现有放回的摸球三次，每次摸一个，规定：第次摸出的球号满足时，记为一次有效摸球．若三次摸球的有效次数是，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将三次摸球视为三个独立的伯努利试验，分别计算每次有效摸球的概率，再利用期望的线性性质将各次概率相加，即可得到有效次数的期望. 【详解】每次有效摸球的概率： 第一次：，只有一种可能，概率为， 第二次：，只有两种可能，概率为， 第三次：，只有三种可能，概率为， 利用期望的线性性质： 设表示第次是否有效（为有效，为无效），则， 因为期望的线性性质对任意随机变量都成立，所以：， 而每个是伯努利变量，期望，代入得：. 故选：B 知识点03 方差 1．方差：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差．并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． 2．方差与标准差的意义 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． 【特别题醒】　(1)一般地，随机变量的方差是非负常数． (2)D(X)越小，随机变量X越稳定，波动越小． (3)方差也可以用公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2计算． (4)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p) ．(其中p为成功概率) (5)离散型随机变量的方差的单位是随机变量本身的单位的平方，标准差与随机变量本身的单位相同． 离散型随机变量的方差的性质 如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则 1．D(aX＋b)＝a2D(X)． 2．D(X)=E(X2)-(E(X))2. 【特别题醒】　运用方差性质解决问题，既避免了求随机变量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程． 【即学即练】 3已知随机变量的分布列如下表： 0 1 则随机变量的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据随机变量方差公式求解即可. 【详解】由，解得：， 所以， 则， 故选：A 题型01 离散型随机变量的分布列 【典例1】 某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）分别求出事件：“发射器第一次发送“0指向”的光子”和事件：“发射器第一次发送“0指向”的光子且第二次发送“1指向”的光子”的概率，应用条件概率计算即可. （2）应用古典概型求解事件的概率，即可写出X的分布列. 【详解】（1）设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”， 事件“第二次发送“1指向”的光子”， 则， 由条件概率公式，； （2）由题意：， ， 所以的分布列为： 0 1 2 【变式1-1】某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1 (1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； (2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据已知条件计算随机事件的概率. （2）先根据分层抽样比确定级苹果的箱数，然后确定随机变量的所有可能取值和对应的概率，进而得到其分布列. 【详解】（1）设事件“至少选到2箱级苹果”， 由题意知选到1箱级苹果的概率为，选到1箱非级苹果的概率为， 所以， 故至少选到2箱A级苹果的概率为. （2）因为用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果， 所以A级苹果有6箱，级苹果共有4箱， 随机变量的所有可能取值为， 则， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 【变式1-2】从某小区抽取100户居民用户进行用水量（单位：吨）调查，将他们的月用水量分成，五组，画出频率分布直方图，如图所示. (1)求的值，并求在被调查的用户中，月用水量在内的户数； (2)用比例分配的分层随机抽样方法从月用水量在和内的用户中选取6户，再从这6户居民中任选3户，记这3户居民中月用水量在内的用户数为，求的分布列. 【答案】(1)，月用水量在内的户数为30户. (2)分布列见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图中的频率之和为1求出值，进而求得用水量在内的户数. （2）先确定的可能取值，然后求出对应的概率，进而得到的分布列. 【详解】（1）频率分布直方图中，组距为5，所有矩形的面积和为1. 所以，解得. 月用水量在内的频率为，所以用户数为. 综上，，月用水量在内的户数为30户. （2）月用水量在内的频率为，所以用户数为. 所以选取6户中月用水量在的户数为，月用水量在的户数为2户. 表示这3户居民中月用水量在内的用户数，可能取值为1，2，3. ；；， 所以的分布列为： 1 2 3 【变式1-3】从甲、乙两支篮球队各随机抽取10名队员进行定点投篮测试，甲队有8人投中，乙队有7人投中，假设队员之间投篮相互独立，用频率估计概率． (1)估计甲队队员投中的概率； (2)从甲、乙两队中各随机抽取1名队员依次定点投篮一次，设为这2名队员中投中的人数，求的分布列； (3)设甲、乙两队队员掌握了定点投篮技巧的概率分别为，，若甲、乙两队队员掌握了技巧则分别有90%、80%的概率投中，两队中未掌握技巧的队员都有60%的概率投中，求，． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)， 【分析】（1）利用频率估计概率求解； （2）求出的可能取值及对应的概率可得分布列； （3）利用队员投中的概率和掌握了定点投篮技巧的概率，结合全概率公式列式分别求出即可. 【详解】（1）从甲队随机抽取10名队员进行定点投篮测试，有8人投中，得， 所以甲队队员投中的概率为. （2）记从甲队抽取的队员投中为事件，乙队抽取的队员投中为事件， 则，的可能取值为， ，， ， 所以X的分布列为 0 1 2 （3）记事件为“甲队队员掌握了定点投篮技巧”，其概率为， 事件为“乙队队员掌握了定点投篮技巧”，其概率为， 由甲队队员掌握了技巧，有90%的概率投中，未掌握技巧的队员有60%的概率投中， 得，解得， 由乙队队员掌握了技巧，有80%的概率投中，未掌握技巧的队员有60%的概率投中， 得，解得. 题型02 离散型随机变量分布列性质的应用 【典例2】 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质计算即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 【变式2-1】已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量分布列求概率即可. 【详解】由题得，则， 故． 故选：C. 【变式2-2】已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，求出，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由， 得， 即，解得，故AB正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：D. 【变式2-3】若随机变量X的分布列如下表所示，则的最小值为 ． X 0 1 2 3 P a b 【答案】/ 【分析】由分布列的性质得，再由基本不等式求的最小值. 【详解】由题设，可得， 由，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 故答案为： 题型03 离散型随机变量的期望 【典例3】 一个箱子里有5个相同的球，分别以1∼5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少被取出一次的球的个数为，则数学期望 ． 【答案】 【分析】根据分布列和数学期望的定义，结合排列组合求解即可. 【详解】的可能取值为1，2，3， ， ， ， ． 故答案为． 【变式3-1】若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意计算的概率，再由期望列出不等式求解即可. 【详解】由题意，的取值可能为1，2，3， 则，，， 则， 解得或，又，所以 故选：C 【变式3-2】已知随机变量的分布列如下所示，且，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分布列的性质及期望公式即可求解. 【详解】由分布列的性质可得，，所以， 又因为， 所以，即， 联立方程，解得， 所以. 故选：B. 【变式3-3】人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. (1)求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； (2)若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； (3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解； （2）由条件概率求解公式可得； （3）先求出A，B，C三款模型能成功上线的概率，求出的可能取值及对应概率，得到分布列和数学期望. 【详解】（1）设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件， A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件， 则 ； （2）设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件， 则 ； 由条件概率公式可得 ； （3）设A，B，C三款模型能成功上线为事件， 则，，， 的可能取值为， 则， ， ， ， 所以X的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为. 题型04 期望的性质及其应用 【典例4】 已知随机变量的概率分布如表且；则 ﹔ 1 2 4 0.4 【答案】 【分析】根据分布列的概率性质，结合题意，求出参数，再根据数学期望的性质计算可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 则. 故答案为：15. 【变式4-1】已知随机变量的分布列为，则 . 【答案】18 【分析】根据所给的随机变量的分布列，写出各个变量对应的概率，根据分布列中各个概率之和是1，把所有的概率表示出来相加等于1，得到关于a的方程，解方程求得a的值，求出相应的期望值，再利用期望公式和性质可求得结果 【详解】由分布列的性质可得，解得， 所以， 故. 故答案为：18. 【变式4-2】随机变量的概率分布为 1 2 4 0.4 0.3 则等于（    ） A．5 B．15 C．45 D．与有关 【答案】B 【分析】根据概率分步图求得，再根据期望运算可求得,再根据期望运算法则可求得. 【详解】根据题意知，， ， ， 故选：B 【变式4-3】已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P m n 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【分析】先根据分布列的性质与确定的值，计算，再根据求值. 【详解】由题意可得：，解得， 则， 所以. 故选：C. 题型05 离散型随机变量的方差 【典例5】 设，随机变量的分布列如下表， 0 1 2 则当在区间内增大时，（    ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【分析】方法一：计算出，利用公式得到，得到先增大后减小， 方法二：设随机变量，得到的分布列，计算出，得到先增大后减小. 【详解】方法一：因为， 所以 ， 因为，，所以先增大后减小， 方法二：设随机变量，则的分布列为 －1 0 1 所以， 所以， 得到先增大后减小. 故选：D 【变式5-1】已知一个袋中装有（除颜色外完全相同）5个红球，个黑球.现从袋中随机摸出3个球，设表示摸出红球的个数，若，则 . 【答案】 【分析】根据给定的概率求出，进而求出的期望和方差. 【详解】依题意，， 整理得，而，解得， 的可能值为，，，， ，， 所以. 故答案为： 【变式5-2】已知随机变量满足，则 ； ． 【答案】 / 【分析】根据分布列，利用均值与方差计算公式计算即得. 【详解】由可得， 则，. 故答案为：；. 【变式5-3】某高中在选拔学生参加高中数学联赛中，对数学成绩较好的100名学生进行了一次测试，将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）； (2)从测试成绩在区间内的学生中随机抽取4人，记4人中测试成绩在区间内的人数为，求的分布列、数学期望和方差. 【答案】(1)71.2 (2)分布列见解析，，. 【分析】（1）根据频率分布直方图求出测试成绩的平均数； （2）求出测试成绩在区间和内的学生的人数，得到可能的取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望和方差. 【详解】（1）由图知测试成绩的平均数为： . （2）测试成绩在区间内的学生人数为人， 测试成绩在区间内的学生人数为人， 所以的可能取值为2，3，4. 故，，， 所以的分布列为： 2 3 4 所以， . 题型06 方差的性质及其应用 【典例6】 已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质，结合期望和方差的运算性质进行求解即可. 【详解】由分布列可得， 由， 由， ， 所以， 【变式6-1】已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【分析】先根据分布列性质计算求参数，再根据方差定义计算方差，最后应用方差性质计算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 则， 所以． 故选：C． 【变式6-2】已知随机变量X的分布列如表，则的值为 . X 1 2 3 4 P 【答案】 【分析】根据分布列可求得随机变量的数学期望， 进而可求出方差.再利用公式即可求得答案. 【详解】由随机变量的分布列可得的数学期望， 所以的方差， 所以， 所以. 故答案为:. 【变式6-3】已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 5 则 . 【答案】10.4 【分析】根据分布列的性质即概率之和为1，可求得a，运用期望方差公式计算期望和方差，最后用方差性质计算即可答案. 【详解】由分布列的基本性质知，解得 故， 由离散型随机变量方差的性质可得， 故答案为：. 题型07 期望和方差综合应用 【典例7】 现有三枚质地均匀的骰子，分别为红色､绿色和蓝色.同时抛掷这三枚骰子，已知这三枚骰子朝上面的点数之和为15，设红色骰子掷出的点数为，绿色骰子掷出的点数为，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出当时的所有结果，利用古典概率及条件概率公式求解判断BC；利用期望、方差的定义计算判断CD. 【详解】设蓝色骰子掷出的点数为，同时抛掷这三枚骰子，在的条件下，出现的 结果有：，共10个， 对于A，等价于，只有1个结果，， ，，A错误； 对于B，的结果有，， 的结果有，，B错误； 对于C，的可能取值为，， 因此，C正确； 对于D，，同理， ，D错误. 故选：C 【变式7-1】已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据方差和期望的运算性质计算即可. 【详解】由，解得， 由，解得. 故选：D. 【变式7-2】已知随机变量取所有的值是等可能的，且，则 ． 【答案】 【分析】由题意可得，根据期望公式求出，再求出方差，再根据方差的性质即可得解 【详解】由题意可得， 则，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式7-3】一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖. (1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率； (2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率； (3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，， 【分析】（1）列出小李抽奖获得5元的三种情况，然后根据概率加法公式求得概率即可. （2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”，分别求出，然后根据条件概率公式求出结果即可. （3）先列出X的所有取值，然后求出对应的概率，即可得到X的分布列，然后根据期望和方差公式进行求解计算. 【详解】（1）小李抽奖获得5元有三种情况：第一次抽到“5元”；第一次抽到“再抽一次”，第二次抽到“5元”；第一、二次都抽到“再抽一次”，第三次抽到“5元”； 则所求概率为. （2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”， ，， 由条件概率得，即已知小李抽奖时获了奖，获得2元的概率为. （3）依题意得X的所有取值为0，2，5 ... X分布列： X 0 2 5 P ，. 题型08 期望和方差在决策问题的应用 【典例8】 为选拔2023杭州亚运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量，甲、乙两名射手在每次射击击中的环数均大于6环，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为． (1)求的分布列； (2)求的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并说明谁射击技术更好． 【答案】(1)答案见解析 (2)均值分别为9.2，8.7；方差分别为0.96，1.21；甲射击技术更好． 【分析】（1）由概率和为1列出的分布列. （2）利用期望、方差的定义求出期望、方差，再比较期望大小即可. 【详解】（1）依据题意，，解得， 由乙射中环的概率分别为，得乙射中7环的概率为， 所以的分布列为： 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 的分布列为： 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）得，， ， ， ． 由，说明甲平均射中的环数比乙高，由，说明甲的射击水平更稳定，所以甲射击技术更好. 【变式8-1】某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答道相关题目．根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级有名选手.现从每个班级的名选手中随机抽取人回答这道题目.已知甲班的名选手中只有人可以正确回答这道题目，乙班的名选手能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每名学生题目的回答是否正确都是相互独立的. (1)设甲班被抽取的选手能正确回答的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好. 【答案】(1)分布列见解析，数学期望 (2)甲班代表更好 【分析】（1）分析可知，随机变量的可能取值有、、，结合超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可得出的值； （2）设乙班被抽取的选手能正确回答的人数为，则，计算出、的值，并求出的值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 故. （2）设乙班被抽取的选手能正确回答的人数为，则， 所以，， 由方差公式可得， 所以， 因此，派甲班代表更好. 【变式8-2】2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）. 方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）； 方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠. (1)已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率； (2)已知顾客恰好消费了500元， （i）若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）； （ii）试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理. 【答案】(1) (2)（i）分布列见解析，190；（ii）顾客选择抽奖方案1更合理 【分析】（1）求条件概率即可求出答案； （2）（i）设顾客所获得的优惠金额为元，的取值有，，，，分别求得概率，即可求出分布列，利用期望公式即可求出期望； （ii）求出，比较与的大小，即可求解. 【详解】（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”， 在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩3个红球和3个蓝球，共6个球， 若享受优惠，则后两次摸出2个红球或摸出1个红球1个蓝球， 从6个球中不放回地摸2个球，总情况有种， 摸出两个红球的情况有种，摸出1红1蓝的情况有种， 所以，即能够享受优惠的概率为. （2）（i）设顾客选择抽奖方案1时，顾客所获得的优惠金额为元， 的取值有，，，， 从装有4个红球，3个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为， 当摸出0个红球时，， 当摸出1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，. 所以顾客所获得的优惠金额的分布列为 0 100 200 400 所以选择方案1时，顾客所获得的优惠金额的期望为 . （ii）设顾客选择抽奖方案2时所获得的优惠金额为元， 的取值有，，， 当摸出0个红球或1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以顾客所获得的优惠金额的分布列为 0 250 500 所以， 所以， 所以从获得优惠金额的期望值分析，顾客选择抽奖方案1更合理. 【变式8-3】某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【答案】(1)分布列见解析， (2)①；②打折更划算 【分析】（1）先求出随机变量的所有取值，再求出其概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求期望即可； （2）①由题意刚好可以抽三次，每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元，从而可求出所求概率； ②对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）由题意X可能取值为20，30，50， 则，，， 则X的分布列如下表： X 20 30 50 P 由期望公式可得； （2）①由题意刚好可以抽三次，获得90元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元， 则概率为； ②若打九折，需支付金额为：（元） 由（1）知每次抽中的均值为29元，则抽取三次总的均值为：（元）， 因为，故打折更划算． 一、单选题 1．整数调值编码在信息学中具有重要应用.规定B～编码：当输入一个奇数时，其编码为0，1的概率分别为，；当输入一个偶数时，其编码为0，1的概率分别为，.现输入1，1，2，3后进行B～编码，记编码为0的数字个数为X，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】分别求出输入的每个数字进行编码后为0的概率，再求出期望值即可得结果. 【详解】因为输入的数字为1，1，2，3，记第个数字进行编码后为0的概率为， 第一个数字为1（奇数），编码后为0的概率为； 第二个数字为1（奇数），编码后为0的概率为； 第三个数字为2（偶数），编码后为0的概率为； 第四个数字为3（奇数），编码后为0的概率为； 因此可得. 故选：C 2．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.3 n 0.3 则与的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知分布列得出对应概率，再应用数学期望公式计算结合数学期望性质求解即可. 【详解】根据分布列可得； ， 故选：A. 3．元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15个大小和形状均相同的小球，其中白球10个，红球5个，每次摸出2个球．若摸出的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知的可能取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出，再利用期望的性质可求得结果. 【详解】的可能取值为0，1，2，则 ，，， 所以， 故． 故选：A． 4．设，随机变量的分布列如下： ξ 0 a 2 P a 当a增大时，有（   ） A．增大，先减小后增大 B．减小，减小 C．增大，先增大后减小 D．减小，增大 【答案】C 【分析】先根据分布列表求得的表达式，即可判断其单调性，然后列出变量的分布列表，同法求得的表达式，进而得到的表达式，利用二次函数的性质即可判断的单调性. 【详解】由随机变量的分布列表可知，，故单调递增； 因随机变量的分布列如下： 0 4 P a 所以， 则． 因为，而，所以先增大后减小． 故选：C. 5．离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，，，则等于（    ）． A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由离散型随机变量的均值，可得，由概率和等于1，可得，联立即可求出，最后求得. 【详解】由已知， ， 即，① 又，即，② 由①②，得，，所以． 故选：D. 6．已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据概率的性质求出，再根据期望公式求出，然后根据方差公式得出关于的表达式，最后根据二次函数的性质求出方差的最小值. 【详解】由，可得， 所以随机变量的期望为， 则方差为， 所以当时，方差取得最小值，最小值为. 故选：A. 故选：A 7．已知随机变量满足，，.若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数学期望和方差用公式列式计算并比较大小. 【详解】依题意，，则， 又，同理，而， 则，所以. 故选：A 8．已知随机变量的分布列如下表：若成等差数列，则下列结论一定成立的是（    ） 3 2 1 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】成等差数列，即，结合，计算出，，由此判断出正确结论. 【详解】由于成等差数列，故①，另根据分布列的知识可知②．由①②得，． 所以， ， 由于正负无法确定，故，大小无法比较． ， ， 故． 故选：D． 二、填空题 9．设是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则 ． 【答案】/ 【分析】根据随机变量的概率非负不大于，且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于，列出方程和不等式，解方程组即可． 【详解】因为随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于， 所以， 解得或， 又因为随机变量的概率非负不大于， 所以，， 解得， 综上， 故答案为：##． 10．设随机变量X的分布列为，则常数 ， ． 【答案】 0.4/ 【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质即可求解. 【详解】由题意可知，， X的分布列表 所以，解得, , 故答案为：；. 11．已知离散型随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P a 则 ． 【答案】/ 【分析】先根据离散型随机变量分布列的性质补全分布列，再利用离散型随机变量公式计算期望值． 【详解】由离散型随机变量分布列性质得：，解得， ． 故答案为：． 12．端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共有张质地均匀的卡片，其中张卡片图案是粽子，另外张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随机抽取张卡片，如果张卡片图案相同，则获得元的购物卡；如果张卡片中有张图案相同，则获得元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则 ． 【答案】 【分析】由条件确定的可能取值，再求其取各值的概率，由期望公式求，再根据期望性质求结论. 【详解】依题意，的可能取值是， 则，，， 故， 故． 故答案为：. 13．袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是.现从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，则 . 【答案】2 【分析】设白球的个数为，则红球和黑球的个数为，记两个都不是白球的事件为，则至少有一个白球的事件与事件为对立事件，由此求出白球的个数；得出的取值可能为0，1，2，3，求出的分布列和数学期望，再由期望性质求解． 【详解】设白球的个数为，则黑球和红球的个数为； 记两个都不是白球的事件为，则至少有一个白球的事件与事件为对立事件； 所以，解得， 所以白球的个数为5； 从袋中任意摸出3个球，到白球的个数的取值可能为：0，1，2，3； 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望， 则． 故答案为：2 14．随机变量的分布列如图，（1）若，则 ；（2）若，则 （填“>”、“=”、“<”） 0 3 【答案】 6 【分析】（1）先根据分布列的性质和期望的概念确定的值，再求随机变量的方差. （2）结合，分别表示出与，用作差法比较其大小. 【详解】（1）若，则. 所以. （2）易知. 因为， . 若，则的分布列为： 0 3 所以， . 岁 因为，所以，所以. 故答案为：6； 三、解答题 15．甲、乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题A和B，乙同学做试题C，已知甲同学做对试题A的概率为0.6，做对试题B的概率为0.4，同时做对试题A和B的概率为0.2；乙同学做对试题C的概率为0.6，且甲、乙两名同学做题结果互相不受影响. (1)求甲同学做对试题A没有做对试题B的概率； (2)求甲同学在没有做对试题A的条件下做对试题B的概率； (3)若甲、乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据条件概率公式求解即可； （3）根据题意，再分别计算概率，列出分布列即可． 【详解】（1）设甲同学做对试题为事件，甲同学做对试题为事件， 由题设可知，所以； （2）由题设可知，，，，， 又，所以， 故； （3）根据题意，， 分析可得， ，， ，， 可得的分布列为 0 1 2 3 0.08 0.36 0.44 0.12 16．2025年是中国共产党成立的104周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个（决赛）环节，前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有，，三位同学参加比赛，同学通过前两个环节的概率分别为和，同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为. (1)求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率； (2)设进入决赛的同学人数为，求的分布列 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）分别计算出三位同学仅通过第一个环节的概率，再根据相互独立事件的概率求恰好两位同学仅通过第一个环节的概率； （2）分别计算出三位同学进入决赛的概率，然后分析随机变量可能的取值及相应概率，即可求出随机变量的分布列． 【详解】（1）解：三位同学仅通过第一个环节的概率分别为： ，，， 所以恰有两位同学仅通过第一个环节的概率为： ； （2）记三位同学进入决赛分别为事件， 则，，， 随机变量可能的取值为：， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 17．某工厂购进6台车床，其中4台是合格品，2台是次品，需要修理后才能使用.由于车床外表没有区别，技术员要找出2台次品修理，只能逐台检查.若找出2台次品，或找出4台合格品，就结束查找. (1)求第1次查找到的是合格品的概率； (2)记为查找结束时的查找次数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）计算古典概型的概率即可； （2）利用排列组合的知识计算分布列，再利用期望公式计算即可. 【详解】（1）因为6台中有4台合格品，所以第1次查找的是合格品的概率； （2）的可能取值为2，3，4，5， 其中表示表示第二次检查时结束，可能的原因是：检查的两台均为次品，则； 表示表示第四次查找时结束，可能的原因是：最后一台检查为次品，前两次检查找到次品和合格品各一台， 则， 表示第四次检查时结束，可能的原因是：最后一件为次品且前三次中有一个次品，或者四件均为合格品， 则， 则， 所以的分布列为： 2 3 4 5 18．为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召若干名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄（单位：岁）分成这5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在内的人数为5. (1)求环境保护宣传组织的成员总人数； (2)若用分层抽样的方法从年龄在内的志愿者中抽取6人参加某社区的宣传活动，再从抽取的6名志愿者中随机抽取2名志愿者进行环境保护知识宣讲，求至少有1名年龄在内的志愿者被抽中的概率； (3)在（2）的条件下，该社区为了感谢2名进行环境保护知识宣讲的志愿者，为他们各随机派发价值80元、100元纪念品一件，求2人的纪念品总价值的分布列及期望. 【答案】(1)100 (2) (3)分布列见解析，180 【分析】（1）由频率、频数与总数的关系计算即可得； （2）由分层抽样定义结合概率公式计算即可得； （3）表示出的可能取值后计算每种情况的概率可得其分布列，即可得其期望. 【详解】（1）因为年龄在内的人数为5，频率为， 所以环境保护宣传组织的成员总人数为； （2）因为年龄在内的频率分别为0.3，0.2，0.1， 所以用分层抽样的方法抽取的6名志愿者中， 年龄在内的人数分别为3，2，1， 所以至少有1名年龄在内的志愿者被抽中的概率为； （3）由题意可知的可能取值是160，180，200， 因为，     所以的分布列为 160 180 200 . 19．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.    (1)求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； (2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差. 【答案】(1)平均数为123，第60百分位数为125； (2)分布列见解析，方差为. 【分析】（1）利用中间值作代表求出平均数；判断出第60百分位数落在内，设其为，列出方程，求出答案； （2）求出一级口罩与二级口罩的个数比，从而得到抽取8个口罩中，一级口罩有2个，二级口罩有6个，的可能取值为0,1,2，并得到相应的概率，得到分布列和方差. 【详解】（1）该厂商生产口罩质量指标值的平均数为 ； ， 故第60百分位数落在内，设其为， 则， 解得，故第60百分位数为125； （2）一级口罩与二级口罩的个数比为， 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩， 则一级口罩有个，二级口罩有个， 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为0,1,2， ，，， 故的分布列如下： 0 1 2 数学期望为， 方差为 20．为了加强学生的交通安全意识，贵溪一中开展了“安全头盔守护生命”主题教育活动.学校为此次活动准备了10道关于安全头盔重要性､正确佩戴方法及相关法律法规的题目.在活动的知识竞答环节中，会从这10道题目中随机抽取3道让学生回答.已知该校学生小曾同学中午与家长一同认真学习了相关知识，能够准确回答其中的6道题目. (1)求抽到的题目中他能答对的题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）先求得的取值，然后求得对应的概率，即可求出分布列； （2）根据期望的定义求得，，然后利用方差的期望公式求得即可. 【详解】（1）由题意知：所有可能的取值为， ； ； 的分布列为： 0 1 2 3 （2）期望； 又， ∴方差. 21．某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立. (1)若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率； (2)该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由. 【答案】(1) (2)应该选择参加乙活动，理由见解析 【分析】（1）结合题意，分第1题抽到选择题、第1题抽到填空题两种情况求解即可； （2）分别求出小黄参加甲、乙活动花费金额的数学期望，进而判断即可. 【详解】（1）由题意，小黄第1题抽到选择题的概率为，第1题抽到填空题的概率为， 则小黄第二题抽到的题目是填空题的概率为. （2）由题意，小黄答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为， 若小黄选择参加甲活动，设答对题目数为，则的可能取值为， 所以， ， ， 则小黄参加甲活动花费金额的数学期望为； 若小黄选择参加乙活动，设答对题目数为，则的可能取值为， 所以， ， ， 则小黄参加乙活动花费金额的数学期望为. 由于， 所以小黄应该选择参加乙活动. 22．第31届世界大学生夏季运动会的三个吉祥物是“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”深受大家喜爱.某经销商提供如下两种购买方式： ·方式一：购买盲盒，每个盲盒售价20元，内部随机放有“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的； ·方式二：直接购买吉祥物，每个30元 (1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求他第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率； (2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选： 方案一：先购买一个盲盒，再按方式二补齐剩下的款式： 方案二：先购买两个盲盒，再按方式二补齐剩下的款式． 若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？ 【答案】(1) (2)选择方案一 【分析】（1）根据古典概型求得概率； （2）分别求得两种方案的分布列，然后求得数学期望值，可得结论. 【详解】（1）设小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率为P， 则分为有空盒和无空盒两种情况，． （2）方案一：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为X． X的可能取值为80，110． 则，． 所以． 方案二：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为Y． 依题意，Y的可能取值为70，100，130， 则， ， ． 所以． 因为，所以小明应该选择方案一 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 随机变量的分布与特征 教学目标 1.掌握离散型随机变量的均值能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议.。 2.掌握离散型随机变量的方差、标准差的求解，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议。。 教学重难点 1.重点 （1）通过实例理解离散型随机变量均值、方差与标准差的概念及性质，能计算简单离散型随机变量的均值、方差与标准差； （2）会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题； （3）会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题。 2.难点 （1）能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题； （2）会用离散型随机变量的均值和方差解决一些实际应用问题 知识点01 随机变量与分布 1．随机变量 (1)随机变量的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． (2)随机变量的特点 ①取值依赖于样本点． ②所有可能取值是明确的． (3)随机变量的表示 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z． 2．离散型随机变量 (1)离散型随机变量的概念 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量． (2)离散型随机变量的特征 ①可用数值表示． ②试验之前可以判断其出现的所有值． ③在试验之前不能确定取何值． ④试验结果能一一列出． 【特别题醒】　随机变量与函数的定义类似：随机试验样本空间Ω中的样本点ω相当于函数定义中的自变量，X(ω)是与ω对应的实数． 3．离散型随机变量的分布列 (1)概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． (2)表示：离散型随机变量的分布列可以用表格或图形表示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 4．离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1． 【即学即练】 1某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列. 知识点02 期望 1．离散型随机变量的均值 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 【特别题醒】　(1)均值是随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数． (2)随机变量的均值是一个确定的数，样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动． 离散型随机变量的期望的性质 如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则 1．E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b． 2．E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). 【即学即练】 2一个口袋里装有编号为1，2，3，4的四个大小、形状完全相同的小球，现有放回的摸球三次，每次摸一个，规定：第次摸出的球号满足时，记为一次有效摸球．若三次摸球的有效次数是，则（   ） A．1 B． C．2 D． 知识点03 方差 1．方差：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差．并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． 2．方差与标准差的意义 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． 【特别题醒】　(1)一般地，随机变量的方差是非负常数． (2)D(X)越小，随机变量X越稳定，波动越小． (3)方差也可以用公式D(X)＝E(X2)－(E(X))2计算． (4)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p) ．(其中p为成功概率) (5)离散型随机变量的方差的单位是随机变量本身的单位的平方，标准差与随机变量本身的单位相同． 离散型随机变量的方差的性质 如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则 1．D(aX＋b)＝a2D(X)． 2．D(X)=E(X2)-(E(X))2. 【特别题醒】　运用方差性质解决问题，既避免了求随机变量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程． 【即学即练】 3已知随机变量的分布列如下表： 0 1 则随机变量的方差为（   ） A． B． C． D． 题型01 离散型随机变量的分布列 【典例1】 某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列. 【变式1-1】某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1 (1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； (2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列． 【变式1-2】从某小区抽取100户居民用户进行用水量（单位：吨）调查，将他们的月用水量分成，五组，画出频率分布直方图，如图所示. (1)求的值，并求在被调查的用户中，月用水量在内的户数； (2)用比例分配的分层随机抽样方法从月用水量在和内的用户中选取6户，再从这6户居民中任选3户，记这3户居民中月用水量在内的用户数为，求的分布列. 【变式1-3】从甲、乙两支篮球队各随机抽取10名队员进行定点投篮测试，甲队有8人投中，乙队有7人投中，假设队员之间投篮相互独立，用频率估计概率． (1)估计甲队队员投中的概率； (2)从甲、乙两队中各随机抽取1名队员依次定点投篮一次，设为这2名队员中投中的人数，求的分布列； (3)设甲、乙两队队员掌握了定点投篮技巧的概率分别为，，若甲、乙两队队员掌握了技巧则分别有90%、80%的概率投中，两队中未掌握技巧的队员都有60%的概率投中，求，． 题型02 离散型随机变量分布列性质的应用 【典例2】 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 【变式2-2】已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】若随机变量X的分布列如下表所示，则的最小值为 ． X 0 1 2 3 P a b 题型03 离散型随机变量的期望 【典例3】 一个箱子里有5个相同的球，分别以1∼5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少被取出一次的球的个数为，则数学期望 ． 【变式3-1】若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知随机变量的分布列如下所示，且，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【变式3-3】人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. (1)求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； (2)若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； (3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 题型04 期望的性质及其应用 【典例4】 已知随机变量的概率分布如表且；则 ﹔ 1 2 4 0.4 【变式4-1】已知随机变量的分布列为，则 . 【变式4-2】随机变量的概率分布为 1 2 4 0.4 0.3 则等于（    ） A．5 B．15 C．45 D．与有关 【变式4-3】已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P m n 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 题型05 离散型随机变量的方差 【典例5】 设，随机变量的分布列如下表， 0 1 2 则当在区间内增大时，（    ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【变式5-1】已知一个袋中装有（除颜色外完全相同）5个红球，个黑球.现从袋中随机摸出3个球，设表示摸出红球的个数，若，则 . 【变式5-2】已知随机变量满足，则 ； ． 【变式5-3】某高中在选拔学生参加高中数学联赛中，对数学成绩较好的100名学生进行了一次测试，将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）； (2)从测试成绩在区间内的学生中随机抽取4人，记4人中测试成绩在区间内的人数为，求的分布列、数学期望和方差. 题型06 方差的性质及其应用 【典例6】 已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 【变式6-1】已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 【变式6-2】已知随机变量X的分布列如表，则的值为 . X 1 2 3 4 P 【变式6-3】已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 5 则 . 题型07 期望和方差综合应用 【典例7】 现有三枚质地均匀的骰子，分别为红色､绿色和蓝色.同时抛掷这三枚骰子，已知这三枚骰子朝上面的点数之和为15，设红色骰子掷出的点数为，绿色骰子掷出的点数为，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-2】已知随机变量取所有的值是等可能的，且，则 ． 【变式7-3】一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖. (1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率； (2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率； (3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差. 题型08 期望和方差在决策问题的应用 【典例8】 为选拔2023杭州亚运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量，甲、乙两名射手在每次射击击中的环数均大于6环，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为． (1)求的分布列； (2)求的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并说明谁射击技术更好． 【变式8-1】某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答道相关题目．根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级有名选手.现从每个班级的名选手中随机抽取人回答这道题目.已知甲班的名选手中只有人可以正确回答这道题目，乙班的名选手能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每名学生题目的回答是否正确都是相互独立的. (1)设甲班被抽取的选手能正确回答的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好. 【变式8-2】2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）. 方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）； 方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠. (1)已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率； (2)已知顾客恰好消费了500元， （i）若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）； （ii）试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理. 【变式8-3】某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 一、单选题 1．整数调值编码在信息学中具有重要应用.规定B～编码：当输入一个奇数时，其编码为0，1的概率分别为，；当输入一个偶数时，其编码为0，1的概率分别为，.现输入1，1，2，3后进行B～编码，记编码为0的数字个数为X，则（   ） A．1 B． C． D．2 2．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.3 n 0.3 则与的值分别是（   ） A． B． C． D． 3．元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15个大小和形状均相同的小球，其中白球10个，红球5个，每次摸出2个球．若摸出的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 4．设，随机变量的分布列如下： ξ 0 a 2 P a 当a增大时，有（   ） A．增大，先减小后增大 B．减小，减小 C．增大，先增大后减小 D．减小，增大 5．离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，，，则等于（    ）． A．10 B．5 C． D． 6．已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知随机变量满足，，.若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 8．已知随机变量的分布列如下表：若成等差数列，则下列结论一定成立的是（    ） 3 2 1 1 2 3 A． B． C． D． 二、填空题 9．设是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则 ． 10．设随机变量X的分布列为，则常数 ， ． 11．已知离散型随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P a 则 ． 12．端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共有张质地均匀的卡片，其中张卡片图案是粽子，另外张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随机抽取张卡片，如果张卡片图案相同，则获得元的购物卡；如果张卡片中有张图案相同，则获得元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则 ． 13．袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是.现从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，则 . 14．随机变量的分布列如图，（1）若，则 ；（2）若，则 （填“>”、“=”、“<”） 三、解答题 15．甲、乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题A和B，乙同学做试题C，已知甲同学做对试题A的概率为0.6，做对试题B的概率为0.4，同时做对试题A和B的概率为0.2；乙同学做对试题C的概率为0.6，且甲、乙两名同学做题结果互相不受影响. (1)求甲同学做对试题A没有做对试题B的概率； (2)求甲同学在没有做对试题A的条件下做对试题B的概率； (3)若甲、乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列 16．2025年是中国共产党成立的104周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个（决赛）环节，前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有，，三位同学参加比赛，同学通过前两个环节的概率分别为和，同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为. (1)求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率； (2)设进入决赛的同学人数为，求的分布列 17．某工厂购进6台车床，其中4台是合格品，2台是次品，需要修理后才能使用.由于车床外表没有区别，技术员要找出2台次品修理，只能逐台检查.若找出2台次品，或找出4台合格品，就结束查找. (1)求第1次查找到的是合格品的概率； (2)记为查找结束时的查找次数，求的分布列和数学期望. 18．为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召若干名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄（单位：岁）分成这5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在内的人数为5. (1)求环境保护宣传组织的成员总人数； (2)若用分层抽样的方法从年龄在内的志愿者中抽取6人参加某社区的宣传活动，再从抽取的6名志愿者中随机抽取2名志愿者进行环境保护知识宣讲，求至少有1名年龄在内的志愿者被抽中的概率； (3)在（2）的条件下，该社区为了感谢2名进行环境保护知识宣讲的志愿者，为他们各随机派发价值80元、100元纪念品一件，求2人的纪念品总价值的分布列及期望. 19．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.    (1)求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； (2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差. 20．为了加强学生的交通安全意识，贵溪一中开展了“安全头盔守护生命”主题教育活动.学校为此次活动准备了10道关于安全头盔重要性､正确佩戴方法及相关法律法规的题目.在活动的知识竞答环节中，会从这10道题目中随机抽取3道让学生回答.已知该校学生小曾同学中午与家长一同认真学习了相关知识，能够准确回答其中的6道题目. (1)求抽到的题目中他能答对的题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 21．某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立. (1)若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率； (2)该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由. 22．第31届世界大学生夏季运动会的三个吉祥物是“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”深受大家喜爱.某经销商提供如下两种购买方式： ·方式一：购买盲盒，每个盲盒售价20元，内部随机放有“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的； ·方式二：直接购买吉祥物，每个30元 (1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求他第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率； (2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选： 方案一：先购买一个盲盒，再按方式二补齐剩下的款式： 方案二：先购买两个盲盒，再按方式二补齐剩下的款式． 若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $