专题14：随机变量的分布与特征 （强基篇）讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题14 随机变量的分布与特征 知识点一、随机变量 1、随机变量：一个随机现象的结果可以用数来表示，就称为随机变量，随机变量常用大写字母X，Y，…表示． （1）一个随机变量的到值在随机现象发生前是末知的的，所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个。 （2）随机变量是以样本空间为定义域的函数。 （3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量。 2、离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量。 知识点二、随机变量的分布列 1、定义：随机变量的所有可能的取值以及相应取值的概率。 2、表示：文字表达或图表 所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn， （其中：；且） X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 3、性质 （1）pi≥0，i＝1,2,3，…，n； （2）p1＋p2＋…＋pn＝1. 知识点三、离散型随机变量的均值 1、定义：若离散型随机变量的分布列为 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征； （2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质． 2、均值的性质 （1）（为常数）． （2）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （3）． （4）如果相互独立，则． 知识点四：离散型随机变量的方差、标准差 1、定义：若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差． 注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； （2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方． 2、方差的性质 （1）方差公式的变形：． （2）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （3） 题型1：随机变量的概念 【例1】甲乙两人进行7局4胜制比赛，则最终甲获胜时两人比赛的局数记为X，则表示的含义为（    ） A．共进行了5局比赛，甲赢了前四局 B．共进行了5局比赛，其中甲赢了第五局，且前四局甲赢了其中3局 C．共进行了5局比赛，甲赢了其中4局 D．共进行了7局比赛，甲赢了其中4局 【例2】袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（    ） A．至少取到1个白球 B．取到白球的个数 C．至多取到1个白球 D．取到的球的个数 【跟踪训练】 1.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 2.如果X是一个离散型随机变量且，其中a，b是常数且，那么Y（    ） A．不一定是随机变量 B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量 C．可能是定值 D．一定是离散型随机变量 3.（多选）一副扑克牌共有54张牌，其中52张是正牌，另2张是副牌（大王和小王），从中任取4张，则随机变量可能为（ ） A．所取牌数 B．所取正牌和大王的总数 C．这副牌中正牌数 D．取出的副牌的个数 题型2：随机变量分布列的性质 随机变量的分布列的性质 （1）；（2） 【例3】甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（　　） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.56 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 【例4】下表是离散型随机变量的概率分布，则常数a的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．以下能够成为某个随机变量分布的是（    ） A． B． C． D． 2.已知随机变量X的分布列是： X 1 2 3 P a b 则a+b＝（　　） A． B． C．1 D． 3.已知，随机变量的分布列为 的最小值为 4.已知一个随机变量的分布列为，若是，的等差中项，则 . 题型3：由随机变量的分布列求概率 【例5】下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 【例6】已知随机变量X的分布列为，，则的值为 ． 【例7】设离散型随机变量X的分布列为下表，若随机变量，则等于（ ） X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【跟踪训练】 1.已知随机变量的分布列为，则等于(　　) A． B． C． D． 2.设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 3.（多选）设随机变量的分布列为，（），则（    ） A． B． C． D． 题型4：两个相关随机变量分布列问题 根据变量间的关系，把其中一个随机变量转化为另一个随机变量 【例8】已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（    ）． A． B． C． D． 【例9】已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（    ）． A． B． C． D． 【例10】设随机变量，且，则（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 若随机变量， 则等于 （  ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 2.已知随机变量的取值范围为，且，若，则 ． 3.已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P a 若随机变量Y满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型5：求随机变量的分布列 【例11】一个袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6，从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，求的分布. 【例12】某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会，设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列． 【例13】A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若，求A两局得分之和为5的概率； (2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 【跟踪训练】 1.某公司餐厅有米饭和面两类主食，员工小张每天中午选择其中一种就餐，已知小张第一天中午选面食的概率是，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭的概率为，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为． (1)求小张第二天中午吃米饭的概率； (2)记小张前两天中午吃面食的次数为X，求X的分布列． 2.一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回. (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列. 3. 4. A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若，求A两局得分之和为5的概率； (2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 题型6：随机变量的期望 【例14】已知随机变量的分布为，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【例15】已知一个随机变量的分布为：，且，则 【例16】设，随机变量的分布是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（21-22高二下·上海杨浦·期末）已知随机变量的分布为，则（    ） A． B． C． D．无法确定 2．设，随机变量的分布是: 1 2 4 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D．1 4.已知箱中装有大小与质地相同的4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中无放回地任取3个球，记随机变量为取出的3个球所得分数之和．求的期望． 题型7：随机变量的方差 【例17】已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 若，则（    ） A． B． C． D． 【例18】设．随机变量的分布列是 0 1 则当在内增大时，（   ） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【跟踪训练】 1.设随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则方差 . -1 0 1 2.若随机变量的分布为，且，又已知，，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 3.离散型随机变量X的分布为： 0 1 2 4 5 若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为 ． ①；②；③；④． 题型8：均值和方差的性质 【例19】已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B．1 C． D． 【例20】随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则 . 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.1 【例21】离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，，，则等于（    ）． A．10 B．5 C． D． 【例22】已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知随机变量的分布列如图：若，则（ ） 0 1 A． B． C．或 D．或 2.已知随机变量的分布列如下： 1 2 则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型9：均值与方差的综合应用 【例23】甲、乙两种零件某次性能测评的分值，的分布如下，则性能更稳定的零件是 ． 8 9 10 P 0.3 0.2 0.5 8 9 10 P 0.2 0.4 0.4 【例24】某科技兴趣小组有5名男生、3名女生，从中任取3名同学参加创新大赛，若随机变量X表示选出的女生人数，则 . 【例25】体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一次发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为X，若X的数学期望，则P的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.一袋中装有大小与质地相同的个白球和个黑球． (1)从中有放回地依次摸出个球，求两球颜色不同的概率； (2)从中不放回地依次摸出个球，记两球中白球的个数为，求的期望与方差． 2．一个不透明的袋子中有10件外观一样的产品，其中有6件正品，4件次品．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出2件产品，记取得次品的件数为，期望方差分别为；试验二： 逐个有放回地随机摸出2件产品，记取到次品的件数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 3.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）．若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． (1)求的分布； (2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与18之中选其一，应选用哪个？并说明理由． 4.强基计划校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为；该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，m，其中． (1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围． 题型10：两点分布（拓展） 1、定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”， 定义如果，则，那么X的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0-1分布．【注意】随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． 2、两点分布的适用范围 （1）研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； （2）研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。 如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。 【例26】已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则 . 【跟踪训练】 1.已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ） A． B． C． D． 2.已知X服从参数为0.3的两点分布，则 ；若，则 . 一、填空题 1．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量的概率分布列为 0 1 则常数 ． 2．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量的分布列为，，则____ 3．（2024松江二中高二期中）已知随机变量的分布列为，则____ 4．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为，，则等于______ 5．（2023·全国·高三专题练习）将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是 . 6．（2022上海实验中学高三阶段练习）设随机变量的概率分布列如下表： 1 2 3 4 则_____ 7．（2022·全国·高三专题练习）随机变量X的分布列为 X P 若，，成等差数列，则公差的取值范围是______． 8．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 若，则___________. 9．（2024闵行中学高三阶段练习）随机变量X的分布列如下表所示，则___________． x 1 P a 10．（2024金山中学高三练习）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则______ 11．（24-25高三·上海阶段练习）已知随机变量X的可能取值是，已知（其中），又，则 ． 12.（2023七宝中学高二期末）随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则 . 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.1 二、选择题 13．（2023华师大二附中高二期末）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2023华师大二附中高二期末）设，则随机变量的分布列如下表，则当在内增大时（    ） 1 2 A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 15．（2024徐汇中学高三阶段练习）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望为（    ） A． B． C． D． 16．（2023上海高三专题练习）设，若随机变量的分布列如下表： －1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差中最大的是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17.（25-26高三上·上海·单元测试）已知箱中装有大小与质地相同的4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中无放回地任取3个球，记随机变量为取出的3个球所得分数之和．求的期望． 18．（22-23金山区高二期末）一袋中装有大小与质地相同的个白球和个黑球． (1)从中有放回地依次摸出个球，求两球颜色不同的概率； (2)从中不放回地依次摸出个球，记两球中白球的个数为，求的期望与方差． 19.（25-26上师大附中月考）有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令．求： (1)X所取各值的概率； (2)随机变量X的期望与方差． 20．（23-24上海闵行区高三期中）为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与B小区各随机抽取300名社区居民（分为18-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名，假设两个小区中每组人数相等）参与问卷测试，分为比较了解（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分的人数绘制频数分布表如下 分组 A小区频数 B小区频数 18-40岁人群 60 30 41-70岁人群 80 90 其他人群 30 50 假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响． (1)从小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率； (2)从、小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题14 随机变量的分布与特征 知识点一、随机变量 1、随机变量：一个随机现象的结果可以用数来表示，就称为随机变量，随机变量常用大写字母X，Y，…表示． （1）一个随机变量的到值在随机现象发生前是末知的的，所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个。 （2）随机变量是以样本空间为定义域的函数。 （3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量。 2、离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量。 知识点二、随机变量的分布列 1、定义：随机变量的所有可能的取值以及相应取值的概率。 2、表示：文字表达或图表 所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn， （其中：；且） X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 3、性质 （1）pi≥0，i＝1,2,3，…，n； （2）p1＋p2＋…＋pn＝1. 知识点三、离散型随机变量的均值 1、定义：若离散型随机变量的分布列为 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 注意：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征； （2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质． 2、均值的性质 （1）（为常数）． （2）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （3）． （4）如果相互独立，则． 知识点四：离散型随机变量的方差、标准差 1、定义：若离散型随机变量的分布列为 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差． 注意：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； （2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方． 2、方差的性质 （1）方差公式的变形：． （2）若，其中为常数，则也是随机变量，且． （3） 题型1：随机变量的概念 【例1】甲乙两人进行7局4胜制比赛，则最终甲获胜时两人比赛的局数记为X，则表示的含义为（    ） A．共进行了5局比赛，甲赢了前四局 B．共进行了5局比赛，其中甲赢了第五局，且前四局甲赢了其中3局 C．共进行了5局比赛，甲赢了其中4局 D．共进行了7局比赛，甲赢了其中4局 【答案】B 【分析】通过审题，理解题意，明确的含义即可得出正确答案. 【详解】7局4胜制比赛就是谁先打赢四局谁就获胜. 由于甲获胜时两人比赛的局数记为X且，说明一共比赛五局， 甲获胜说明甲赢得了其中的四局且第五局必赢，这样就是前四局中甲输了一局，即前四局甲赢了其中3局， 所以选项B正确. 【例2】袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（    ） A．至少取到1个白球 B．取到白球的个数 C．至多取到1个白球 D．取到的球的个数 【答案】B 【解析】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项， 其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是个，ACD错误； 故选：B. 【跟踪训练】 1.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 【答案】D 【解析】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分， 所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次． 故选：D． 2.如果X是一个离散型随机变量且，其中a，b是常数且，那么Y（    ） A．不一定是随机变量 B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量 C．可能是定值 D．一定是离散型随机变量 【分析】根据随机变量的概念和函数的性质进行判断. 【详解】因为X是一个离散型随机变量，而，a，b是常数且， 根据函数的性质知，也是离散型随机变量. 3.（多选）一副扑克牌共有54张牌，其中52张是正牌，另2张是副牌（大王和小王），从中任取4张，则随机变量可能为（ ） A．所取牌数 B．所取正牌和大王的总数 C．这副牌中正牌数 D．取出的副牌的个数 【答案】BD 【解析】对于A，所取牌数为4，是一个常数，不是随机变量，所以A错误， 对于B，4张牌中所取正牌和大王的总数可能为3，4，所以是随机变量，所以B正确， 对于C，这副牌中正牌数为52，是一个常数，不是随机变量，所以C错误， 对于D，4张牌中所取出的副牌的个数可能为0，1，2，所以是随机变量， 所以D正确，故选：BD 题型2：随机变量分布列的性质 随机变量的分布列的性质 （1）；（2） 【例3】甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（　　） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.56 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 【解题思路】由题意可得，X所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可求解． 【解答过程】解：由题意可得，X所有可能取值为0，1，2， P（X＝0）＝（1﹣0.8）（1﹣0.7）＝0.06， P（X＝1）＝（1﹣0.8）×0.7+0.8×（1﹣0.7）＝0.38， P（X＝2）＝0.8×0.7＝0.56， 故X的分布列为： X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 故选：D． 【例4】下表是离散型随机变量的概率分布，则常数a的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质可求的值. 【详解】由，解得， 故选：C. 【跟踪训练】 1．以下能够成为某个随机变量分布的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案. 【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1， 显然AC选项不满足概率之和为1，D选项不满足各项概率大于0， B选项满足要求. 故选：B 2.已知随机变量X的分布列是： X 1 2 3 P a b 则a+b＝（　　） A． B． C．1 D． 【解题思路】直接利用分布列的性质，求解即可． 【解答过程】解：由题意可得：1，所以a+b． 故选：A． 3.已知，随机变量的分布列为 的最小值为 【答案】 【分析】根据分布列性质求得，利用“”的代换可求得最小值． 【详解】由题意得，，则， ∵， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值为． 4.已知一个随机变量的分布列为，若是，的等差中项，则 . 【答案】 【分析】根据分布列的性质及等差中项即可求. 【详解】由题可知，，解得， 故答案为:. 题型3：由随机变量的分布列求概率 【例5】下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列的性质可得，利用对立事件概率性质运算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 所以． 【例6】已知随机变量X的分布列为，，则的值为 ． 【答案】/0.4 【分析】根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果． 【详解】∵，，∴，∴， 【例7】设离散型随机变量X的分布列为下表，若随机变量，则等于（ ） X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】根据求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 【跟踪训练】 1.已知随机变量的分布列为，则等于(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分布列的性质求出的值，利用互斥事件概率的加法公式得，据此计算即得答案. 【详解】由，则，解得， 则. 2.设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可. 【详解】由离散型随机变量的性质可得， 即，解得或， 时，不合题意，. . 3.（多选）设随机变量的分布列为，（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由已知，选项A，可根据，分别列出时的概率，求和即可得到；选项B，根据，令带入中即可求解；选项C，根据，分别令，带入中即可求解；选项D，令带入中即可求解，即可做出判断. 【详解】选项A，由已知可得，，即，故该选项正确； 选项B，，故该选项正确； 选项C，，故该选项正确； 选项D，，故该选项错误. 题型4：两个相关随机变量分布列问题 根据变量间的关系，把其中一个随机变量转化为另一个随机变量 【例8】已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解. 【详解】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 ； 故选：A. 【例9】已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解. 【详解】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 【例10】设随机变量，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据随机变量之间的关系可知若，可得，结合对立事件概率求法求出结果. 【详解】因为，若，可得， 则，所以. 【跟踪训练】 1.设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 若随机变量， 则等于 （  ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】根据求解即可. 【详解】. 2.已知随机变量的取值范围为，且，若，则 ． 【答案】0.9 【分析】由题意可知：，结合对立事件概率求法即可得到结果. 【详解】令，解得，且， 所以． 3.已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P a 若随机变量Y满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据分布列的性质求解即可. 【详解】由分布列的性质可知，，所以，A正确； ，B错误； ，C正确；，D错误． 题型5：求随机变量的分布列 【例11】一个袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6，从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，求的分布. 【解析】随机变量的可能取值为3、4、5、6， 且，， ，， 所以的分布为： 【例12】某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会，设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列． 【解析】的可能取值为， ，，. 所以的分布列为： 【例13】A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若，求A两局得分之和为5的概率； (2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 【答案】(1)0.2 (2)分布列见解析 【分析】（1）由A两局得分之和为5等价于一胜一负，然后根据独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意可知X的可能取值为0，3，6，9，12，然后求出相应的概率，从而可求得X的分布列． 【详解】（1）若，由已知条件得，A两局得分之和为5等价于一胜一负， 所以A两局得分之和为5的概率为． （2）因为在一局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2， 所以在一局比赛中B获胜、打成平局和失败的概率分别为0.2，0.3．0.5， 若，则X的可能取值为0，3，6，9，12， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 3 6 9 12 P 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04 【跟踪训练】 1.某公司餐厅有米饭和面两类主食，员工小张每天中午选择其中一种就餐，已知小张第一天中午选面食的概率是，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭的概率为，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为． (1)求小张第二天中午吃米饭的概率； (2)记小张前两天中午吃面食的次数为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）利用全概率公式即可得到答案； （2）首先分析出X的可能取值有0，1，2，再按步骤写出分布列即可. 【详解】（1）记“小张第i天中午吃面食”，，“小张第j天中午吃米饭”，， 由题意可知与对立，与对立， 由全概率公式，得， 即小张第二天中午吃米饭的概率为． （2）由题意可知，X的可能取值有0，1，2． 则，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 2.一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回. (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）根据古典概型及互斥事件的概率和公式求解； （2）由题意化为两个互斥事件的和，利用概率公式得解； （3）由题意得出的可能取值，分别求出对应的概率，列出分布列得解. 【详解】（1）第二次取出的是红球是两个互斥事件的和事件， 分别为第一次取出红球，第二次取出红球；第一次取出白球，第二次取出红球； 所以概率. （2）记第三次取球时发现取出的是红球为事件A，第三次取球后袋中无红球为事件B, 则, ， 所以. （3）由题意，的可能取值为， 则， ， ， ， , 所以分布列为： 0 1 2 3 4 3. A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若，求A两局得分之和为5的概率； (2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 【答案】(1)0.2 (2)分布列见解析 【知识点】独立重复试验的概率问题、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）由A两局得分之和为5等价于一胜一负，然后根据独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意可知X的可能取值为0，3，6，9，12，然后求出相应的概率，从而可求得X的分布列． 【详解】（1）若，由已知条件得，A两局得分之和为5等价于一胜一负， 所以A两局得分之和为5的概率为． （2）因为在一局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2， 所以在一局比赛中B获胜、打成平局和失败的概率分别为0.2，0.3．0.5， 若，则X的可能取值为0，3，6，9，12， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 3 6 9 12 P 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04 题型6：随机变量的期望 【例14】已知随机变量的分布为，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据数学期望的公式进行求解即可。 【详解】因为随机变量的分布为， 所以， 故选：C 【例15】已知一个随机变量的分布为：，且，则 【答案】/ 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据概率和为得到，再由数学期望的计算得到，联立解出、的值即可得到的值. 【详解】由得， 由，得， 联立，解得，所以. 故答案为：. 【例16】设，随机变量的分布是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率之和为找到之间的关系，用表示出，结合不等关系求出的范围. 【详解】根据分布列的性质可知： ，结合题干条件可解得：，而，于是. 故选：B 【跟踪训练】 1．（21-22高二下·上海杨浦·期末）已知随机变量的分布为，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先由概率和为1求得，再根据期望公式求解即可. 【详解】由题，，所以， 所以， 故选：C 2．设，随机变量的分布是: 1 2 4 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质列出相等关系，通过计算并消元，最后再利用已知条件分析自变量的取值范围，即可作出判断. 【详解】由分布列的概率和为1，可知，可得， 又因为，所以，即， ， 故选：C. 3．随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据分布列的性质，以及概率公式，等差数列的性质，即可列式求解. 【详解】由题意可知，，得， 所以. 故选：C 4.已知箱中装有大小与质地相同的4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中无放回地任取3个球，记随机变量为取出的3个球所得分数之和．求的期望． 【答案】 【分析】由题意可取3、4、5、6，算出对应的概率得出分布列，进一步根据期望公式即可求解. 【详解】可取3、4、5、6， ，，，， 所以的分布为， 的期望． 题型7：随机变量的方差 【例17】已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由随机变量的性质可得，再结合期望的公式，代入计算，即可求得，由方差的计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可得，又，解得， 则． 故选：D 【例18】设．随机变量的分布列是 0 1 则当在内增大时，（   ） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】D 【分析】利用方差公式结合二次函数的单调性可得结果. 【详解】依题意，， 而，所以先减小后增大. 故选：D 【跟踪训练】 1.设随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则方差 . -1 0 1 【答案】 【解析】成等差数列，,由变量的分布列， 知：，解得， . 故答案为： 2.若随机变量的分布为，且，又已知，，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】直接根据期望、方差公式列方程，求出即可得解. 【详解】由题意，，， 解得，从而. 故选：C. 3.离散型随机变量X的分布为： 0 1 2 4 5 若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为 ． ①；②；③；④． 【答案】①③ 【解析】由离散型随机变量X的分布列的性质，可得， 则， ， 所以①③正确； 又由离散型随机变量Y满足，所以， ，所以②④错误， 故答案为：①③． 题型8：均值和方差的性质 【例19】已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解． 【详解】由题意知， 解得， 因为，所以，即，则， 解得，所以， 故选：C． 【例20】随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则 . 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.1 【答案】0 【解析】根据概率的性质可得解得， 所以， 所以. 故答案为:0. 【例21】离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，，，则等于（    ）． A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由离散型随机变量的均值，可得，由概率和等于1，可得，联立即可求出，最后求得. 【详解】由已知， ， 即，① 又，即，② 由①②，得，，所以． 【例22】已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由概率之和为可得，再借助期望的性质计算可得，则可得，最后计算方差即可得. 【详解】由题意知，解得， 因为，则， 则，解得， 则 . 故选：C. 【跟踪训练】 1.已知随机变量的分布列如图：若，则（ ） 0 1 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、均值的性质、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由离散型随机变量的期望、方差的计算公式及其性质构造出与、有关方程组即可得解. 【详解】由题意可得，即， 则， 则， 化简得，即， 解得或，则或， 则或. 故选：C. 2.已知随机变量的分布列如下： 1 2 则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用随机变量分布列的性质解题、离散型随机变量的方差与标准差、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用离散型随机变量的分布列的性质、期望和方差公式，结合充分条件必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意可知， 若，则，得， 故充分性满足； 若，则，解得或. 当时，，此时， 当时，，此时， 则或，故必要性不满足. 故选：A. 题型9：均值与方差的综合应用 【例23】甲、乙两种零件某次性能测评的分值，的分布如下，则性能更稳定的零件是 ． 8 9 10 P 0.3 0.2 0.5 8 9 10 P 0.2 0.4 0.4 【答案】乙 【解析】由题意知：， ， 所以， ， 因为，所以乙更稳定． 故答案为:乙． 【例24】某科技兴趣小组有5名男生、3名女生，从中任取3名同学参加创新大赛，若随机变量X表示选出的女生人数，则 . 【答案】 【分析】由题意选出女生的人数可能为0，1，2，3，计算出各自对应的概率，代入期望公式即可求解． 【详解】由题意，从5名男生、3名女生中任选3名同学参加活动， 选出女生的人数可能为0，1，2，3， 则. 故答案为：． 【例25】体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一次发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为X，若X的数学期望，则P的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算学生每次发球的概率，求出期望的表达式，求解，可解出值. 【详解】根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即，发球次数为2即二次发球成功的概率为，发球次数为3的概率为，则期望 ，依题意有， 即，解得或，结合p的实际意义，可得. 故选：C． 【跟踪训练】 1.一袋中装有大小与质地相同的个白球和个黑球． (1)从中有放回地依次摸出个球，求两球颜色不同的概率； (2)从中不放回地依次摸出个球，记两球中白球的个数为，求的期望与方差． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，即可计算出和的值. 【详解】（1）解：从这个球中任意抽取一个球，抽到白球的概率为，抽到红球的概率为， 因此，从中有放回地依次摸出个球，则两球颜色不同的概率为. （2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，， . 2．一个不透明的袋子中有10件外观一样的产品，其中有6件正品，4件次品．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出2件产品，记取得次品的件数为，期望方差分别为；试验二： 逐个有放回地随机摸出2件产品，记取到次品的件数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出2件产品、从中随机地有放回摸出2件产品的期望、方差，再做比较可得答案． 【详解】试验一：从中随机地无放回摸出2件产品，记次品的件数为， 则的可能取值是0，1，2， 则， ， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出2件产品，则每次摸到次品的概率为， 则， 故， 方差为： ， 所以， 故，． 故选：A． 3.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）．若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． (1)求的分布； (2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与18之中选其一，应选用哪个？并说明理由． 【解析】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10的概率分别为0.3，0.4，0.3， 则，， ，， ， 所以随机变量的分布列为 16 17 18 19 20 0.09 0.24 0.34 0.24 0.09 （2）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）， 当时，可得 当时，可得 因为，所以当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值， 故应选． 4.强基计划校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为；该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，m，其中． (1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围． 【解析】（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件，该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件， 根据题意可得，. （2）设该考生报考甲大学通过的科目数为X，报考乙大学通过的科目数为， 根据题意可知，，则， ， ， ， ， 则随机变量的分布列为 Y 0 1 2 3 P ， 若，则，故，即的取值范围是. 题型10：两点分布（拓展） 1、定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”， 定义如果，则，那么X的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0-1分布．【注意】随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． 2、两点分布的适用范围 （1）研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； （2）研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。 如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。 【例26】已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则 . 【答案】 【分析】利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为X的分布列服从参数为p的两点分布，所以，且， 所以即，∴. 【跟踪训练】 1.已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的分布列服从两点分布，所以， 因为，所以 故选：C 2.已知X服从参数为0.3的两点分布，则 ；若，则 . 【答案】 0.7 0.3 【分析】根据两点分布的基本性质即可求解. 【详解】因为服从参数为0.3的两点分布， 所以， . 当时，，所以. 一、填空题 1．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量的概率分布列为 0 1 则常数 ． 【答案】 【解析】由题意得且 所以， 解得． 故答案为： 2．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量的分布列为，，则_______ 【分析】根据概率和为1列式求解即可. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为，， 则有，解可得. 3．（2024松江二中高二期中）已知随机变量的分布列为，则_____ 【分析】运用概率分布列的性质求出，再求即可. 【详解】依题意，分布列概率之和为1，则，解得. 即，所以.   4．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为，，则等于______ 【解析】由题意得： ． 5．（2023·全国·高三专题练习）将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是 . 【答案】 X 1 2 3 P 【解析】由题意知X的可能取值为1，2，3 ； ； 故答案为： X 1 2 3 P 6．（2022上海实验中学高三阶段练习）设随机变量的概率分布列如下表： 1 2 3 4 则_______ 【解析】根据随机变量分布列的概率分布列知，，解得．又，∴或，则． 7．（2022·全国·高三专题练习）随机变量X的分布列为 X P 若，，成等差数列，则公差的取值范围是______． 【答案】 【解析】由题意知，， ∴，∴． 又，∴，∴． 同理，由，，∴， ∴，即公差的取值范围是 故答案为： 8．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 若，则___________. 【答案】 【解析】由随机变量分布列的性质， 得，解得， ∴. 由，得，即. 故答案为： . 9．（2024闵行中学高三阶段练习）随机变量X的分布列如下表所示，则___________． x 1 P a 【答案】 【解析】因为，所以，故， 所以． 故答案为：． 10．（2024金山中学高三练习）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则_____ 【解析】由，解得 由随机变量的分布列的性质得，得 所以 11．（24-25高三·上海阶段练习）已知随机变量X的可能取值是，已知（其中），又，则 ． 【答案】/0.1 【分析】利用随机变量均值的性质求解即可. 【详解】由题意得，， 又， 解得，，故. 故答案为： 12.（2023七宝中学高二期末）随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则 . 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.1 【答案】0 【分析】根据离散型随机变量的分布列的数学期望公式求解即可. 【详解】根据概率的性质可得解得， 所以， 所以. 故答案为:0. 二、选择题 13．（2023华师大二附中高二期末）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，求出，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由， 得， 即，解得，故AB正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：D. 14．（2023华师大二附中高二期末）设，则随机变量的分布列如下表，则当在内增大时（    ） 1 2 A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】D 【分析】由方差的运算公式，结合二次函数的单调性进行判断即可. 【详解】， ， 该二次函数的对称轴为， 当在内增大时，先减小后增大， 故选：D. 15．（2024徐汇中学高三阶段练习）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，随机变量X的可能取值是2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为， 若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响， 所以， , ， 所以期望为． 故选：B． 16．（2023上海高三专题练习）设，若随机变量的分布列如下表： －1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，得，则， 所以，， 所以，， 所以，， 即最大， 故选：C. 三、解答题 17.（25-26高三上·上海·单元测试）已知箱中装有大小与质地相同的4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中无放回地任取3个球，记随机变量为取出的3个球所得分数之和．求的期望． 【答案】 【分析】由题意可取3、4、5、6，算出对应的概率得出分布列，进一步根据期望公式即可求解. 【详解】可取3、4、5、6， ，，，， 所以的分布为， 的期望． 18．（22-23金山区高二期末）一袋中装有大小与质地相同的个白球和个黑球． (1)从中有放回地依次摸出个球，求两球颜色不同的概率； (2)从中不放回地依次摸出个球，记两球中白球的个数为，求的期望与方差． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，即可计算出和的值. 【详解】（1）解：从这个球中任意抽取一个球，抽到白球的概率为，抽到红球的概率为， 因此，从中有放回地依次摸出个球，则两球颜色不同的概率为. （2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，， . 19.（25-26上师大附中月考）有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令．求： (1)X所取各值的概率； (2)随机变量X的期望与方差． 【答案】(1)；；；； (2)1，． 【分析】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有0，1，2，4，然后根据古典概型概率计算公式分别求出=0，1，2，4的概率； （2）由（1）可列的分布列，求出随机变量的数学期望与方差. 【详解】（1）根据题意可知，的可能取值为0，1，2，4. ；； ；； （2）X的分布如下：， 所以， ． 20．（23-24上海闵行区高三期中）为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与B小区各随机抽取300名社区居民（分为18-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名，假设两个小区中每组人数相等）参与问卷测试，分为比较了解（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分的人数绘制频数分布表如下 分组 A小区频数 B小区频数 18-40岁人群 60 30 41-70岁人群 80 90 其他人群 30 50 假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响． (1)从小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率； (2)从、小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】 （1）根据古典概型的概率公式计算计算即可； （2）首先求出、小区比较了解的概率，则的可取取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； 【详解】（1）设从小区随机抽取一名居民参与问卷测试其对垃圾分类比较了解为事件，则. （2）依题意可知小区比较了解的概率为，小区比较了解的概率为， 则的可取取值为，，， 所以，， ， 则的分布列为 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$