6.2.3平面向量的数乘运算课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2平面向量的运算 6.2.3向量的数乘运算 人教A版必修第二册 主讲人：XXX 温故知新 相反向量：与长度相等、方向相反的向量叫做的相反向量。 规定：零向量的相反向量是零向量。 任意向量与其相反向量的和是零向量。 向量的减法：求两个向量的差的运算。 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。 向量减法的几何意义： 从向量的终点指向向量的终点的向量。 学习目标 1、理解向量数乘的定义，掌握其几何意义，能画出数乘向量的图形。 2、掌握向量数乘的运算律，能熟练进行数乘向量的线性运算。 3、初步运用数乘运算化简向量表达式、表示几何图形中的向量。 4、培养数形结合的思想，提升类比迁移和逻辑推理能力。 1 3 2 4 内容索引 情境导入 新知探究 讲练互动 本课小结 0 1 情境导入 情境导入 给定三条长度都为的线段，那么它们的总长度是多少？ 如果给一个物体三个方向水平向右大小相等的拉力，用来表示，那么合力是多少？ 倍数关系：向量的数乘 02 新知探究 新知探究 ■1、向量数乘的概念 已知向量，如图所示，请作出向量、，并讨论它们与向量的关系。 长度为向量长度的二倍，方向相同 长度为向量长度的1.5倍，方向相反 它们都是一个实数与向量的乘积 新知探究 ■1、向量数乘的概念 我们规定实数与向量的乘积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作。 它的长度与方向规定如下： (1) (2)当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反； 当时，。 注意：依然是一个向量 新知探究 ■2、向量数乘的运算律 设为实数，那么有： （1） （2） （3） （4） （5） 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 线性运算的结果仍是向量。 对于任意向量，以及任意实数，恒有 随堂练习 1、计算： （1） （2） （3） （4） 答案： （1） （2） （3） （4） 随堂练习 2、如图，平行四边形中，两条对角线相交于，且,，用表示。 详解：在平行四边形中，，， 由平行四边形的两条对角线互相平分得，， ， ， 。 新知探究 ■3、向量的数乘与向量共线的关系 探讨：引入向量的数乘之后，实数与向量的积与原向量有什么关系吗？ 我们可以发现，它们的大小成一定的比例关系，方向相同或相反，是一组平行向量，也叫共线向量 实数与向量的积与原向量共线 新知探究 ■3、向量的数乘与向量共线的关系 事实上，对于向量，，如果有一个实数，使，那么由向 量数乘的定义可知与共线； 反过来，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即 ，那么当与同方向时，有；当与反方向时，有； 定理： 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使向量 随堂练习 已知是两个不共线的向量，向量，共线， 求实数的值。 答案： 因为向量，共线，则存在实数，使得，化简得 ，则有，解得 03 讲练互动 讲练互动 1、把下列各小题中的向量表示为实数与向量的积： （1） （2） （3） （4） 答案： （1） （2） （3） （4） 讲练互动 2、点在线段上，且，则， 。 答案： ， 。 因为，所以，由于向量与向量方向相同，所以； 因为，所以，由于向量与向量方向相反，所以。 讲练互动 3、若是的中线，已知，，则=（ ） A. B. C. D. 答案：D. 根据向量加法的平行四边形法则可得： ，所以 讲练互动 4、化简 （1） （2） （3） 答案： （1） ； （2） ； （3） 讲练互动 5、判断各小题中的向量与是否共线。 （1） （2） 答案： （1）共线。因为，； （2）共线。因为，所以， 讲练互动 6、对于非零向量，下列说法正确的是（ ） A. 的长度是的长度的2倍，且与方向相同 B. 的长度是的长度的，且与方向相反 C.若，则等于零 D.若，则是与同向的单位向量 答案：ABD 选项C应为零向量而不是零 讲练互动 7、如图，设是线段的三等分点（点靠近点），则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 答案：B. 对于选项A： 对于选项C： ；对于选项D： 讲练互动 8、如图，在中，向量，且，， 则（ ）。 答案：1. 所以， ，所以，，所以。 讲练互动 9、平行四边形中，，则（ ）。 答案：1. 所以，所以，所以，所以。 04 本课小结 本课小结 我们规定实数与向量的乘积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作。 它的长度与方向规定如下： （1） （2）当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反； 当时，。 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算， 线性运算的结果仍是向量。 设为实数，那么有： （1） （2） （3） （4） （5） 定理： 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使向量 作业布置：教材15页第1题、第2题、第3题。 THANK YOU 主讲人：XXX EV录屏5.4.5软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn $