培优07 二次函数中的存在性问题（专项训练）数学北师大版九年级下册

培优07 二次函数中的存在性问题 题型1角度的存在性问题 1．如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点． (1)求出抛物线的函数表达式； (2)如图1，抛物线在第二象限的部分上是否存在一点M，使得四边形面积最大，若存在求点M坐标；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点Q的横坐标为2或 【分析】 【详解】（1）解：将代入，得： ， 解得： ， 所以抛物线的函数表达式：； （2）解：存在，，理由如下： 连接， ， 设， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形面积最大， 把代入中得： ， ∴； （3）解：存在，理由如下： 如图，在y轴上取点，连接，过点D作轴于点T， 则， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：或， ∴； 过点A作交的延长线于点L，过点D作交于点S， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：（舍）或， ∴ 综上，点Q的横坐标为2或． 2．如图，抛物线经过两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使周长最小，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)在轴上，是否存在点使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得 ∴； （2）解：如图，设点关于抛物线对称轴的对称点为，连接交对称轴于点，此时周长最小， ∵， ∴对称轴为直线， ∵， 令，则， ∴， ∴， ∵， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：连接，如图： ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． ①当点在轴的负半轴上点处，且时，此时垂直平分线段，如图： 则， 根据“三线合一”的性质可得，， ， ∴此时点符合题意， ∴此时点的坐标为； ②作点关于直线的对称点，连接交于，交轴于，如图： 根据轴对称的性质可得，直线与轴的交点坐标即为所求的点P的坐标， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 将直线的解析式与直线的解析式联立，组成方程组， 解得， ∴， 根据轴对称的性质可知，点是线段的中点， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为 令，得， ∴此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，利用待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，利用轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分类讨论是解题的关键． 3．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴点在x轴上或x轴下方的抛物线上，的面积与的面积相等， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴设经过A点且与直线平行的直线解析式为， 则，解得：， ∴， ∴当点在直线上时，满足题意， 联立， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，理由如下：①连接， ∵函数的解析式为：， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， 过点作垂直于，且，连接， ∵， ， 过点作轴于点，则， ∴， 在和中， ， ∴， 则， 此时与抛物线的交点就是满足条件的点， 设直线的解析式为：， 则， 解得：． ∴直线解析式为：， ， 解得：（不合题意舍去），， ， ∴点坐标为：； ②设直线解析式为，代入坐标，得， 解得：， ∴直线为， 只要，则有， 设直线为，代入点坐标： 则， 直线解析式为， 联立：， ， 解得：（舍去 ），， 把代入解析式可得，， ， 综上所述：点坐标为：或． 4．如图，抛物线与轴交于，B，与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线上方抛物线上的一动点，轴，在抛物线上是否存在一点使的周长最大，如果存在，求出周长的最大值． (3)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)存在，或 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， 将代入抛物线得∶，解得：， ∴抛物线的解析式为∶； （2）解：当时，， 解得：， ∴B点的坐标为， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，的周长最大， 设D点坐标为， 设直线的解析式为， 代入B点的坐标，得∶，解得， ∴直线的解析式为∶， ∴F点的坐标为 ∴ ∴当时，取最大值为 ∴周长的最大值为， （3）解：根据题意得：， ①以为边在x轴下方作等腰直角三角形，点Q为直角顶点，此时点Q在的垂直平分线上，且点Q到x轴的距离等于长度的一半， ∴， 以点Q为圆心，为半径作，与抛物线交于M点，点M即为所求． 设点，根据勾股定理有∶ ， 整理方程，得∶ 即 设，则原方程为∶， 解得，， ∴当（与A，B重合，舍去）   当 ∴点M的坐标为或； ②以为边在x轴上方作等腰直角三角形，点为直角顶点，同理点坐标为， 以点为圆心，为半径作，与抛物线交于M点，点M即为所求． 设点，根据勾股定理有∶ 整理方程，得∶ 设，则原方程为∶，解得， ∴当（与A，B重合，舍去）   当 综上所述∶点M的坐标为或． 5．如图，二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使面积为5，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，小明经过探究发现：位于x轴下方的抛物线上，存在一点D，使与互为余角；你认为他探究出的结论是否正确？若正确，求出点D的坐标；若不正确，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)正确， 【分析】 【详解】（1）解：由题意得：， 设抛物线的解析式为：， ∴， ∴， ∴； （2）如图1，    过点P作，交x轴于点T，作于Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线BC的解析式为：，把代入，得：， ∴ ∵， ∴， 由得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入，得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为：， ∴当时，， ∴， 同理可得：直线的解析式为：， ∴当时，， ∴， ∴或； （3）如图2，    存在，使，理由如下： 作于F，设与y轴交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴直线的解析式为：， 由得，或， ∴． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 6．二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点是第三象限内的抛物线上的动点，过作轴，交轴于点，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由； (3)如图2，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点，已知点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，最大值是6 (3)存在，或 【分析】 【详解】（1）解：把，分别代入抛物线，得 解得 抛物线的解析式为. （2）解：根据抛物线的解析式为， ∴，，， 设，则，则， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且最大值为6． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将代入直线的解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， 取点，过点Q作轴，交于点M， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G， 则四边形是矩形， ∴,，， ∴， 在上取一点，使得， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 综上所述，符合题意的点H坐标有，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形全等的判定和性质，构造二次函数求最值，角的和计算，平行线的函数思想判定，平行线的性质，一次函数解析式确定，解方程组，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 题型2全等三角形的存在性问题 7．如图①，二次函数的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连接，过点C作交于点D． (1)求点D的坐标； (2)如图②，在直线上取一点M（不与点B重合），在直线的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，满足要求的N点坐标有，，． 【分析】 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴． 令，则， 解得，， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在，理由如下， ∵，，， ∴，，则， ∴， ∴． ①如图所示，，交轴于， 则，，， ∴， ∴轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，， 则，， ∴， ∴； ③如图所示，， 则，，， ∴， 作轴于，则， ∴，， ∴， 作轴，于点，则，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴． 综上所述，满足要求的N点坐标有，，． 【点睛】本题主要考查了二函数图象的性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H． (1)求点A、P的坐标； (2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等 【分析】 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）， 令，即，解得，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：存在，理由如下， ∵点H在二次函数的对称轴上且交于x轴， ∴， ∵， ∴，， 设点， ∵DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点， ∴， ∴， ∵以点D，E，F为顶点的三角形与全等， ∴当时，， ∴，解得，（舍）， ∴； 当时，， ∴，解得，（舍）， ∴， 综上所述，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等. 9．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(﹣，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，线段BC与抛物线的对称轴l交于点D，该抛物线的顶点为P，连接PA，AD，线段AD与y轴相交于点E． （1）求该抛物线的表达式和点P的坐标； （2）在y轴上是否存在一点Q，使以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝−x2＋x＋3，P（，4）；（2）存在，点Q的坐标为（0，7）． 【分析】 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x＋）（x−3），将C（0，3）代入得： a（0＋）（0−3）＝3， 解得 a＝−． ∴抛物线的解析式：y＝−（x＋）（x−3）＝−x2＋x＋3． ∵y＝−x2＋x＋3＝−（x－）2＋4， ∴P（，4）． （2）存在， 设直线BC的解析式：y＝kx＋b，依题意得： ， 解得 ． ∴直线BC的解析式为：y＝−x＋3． 当x＝时，y＝2， ∴D（，2）． ∴AD＝ ＝4， CD＝＝2＝PD． ∵tan∠ABD＝＝，， ∴∠ABD＝30°． ∵l是抛物线的对称轴，点D在l上， ∴AD＝BD． ∴∠ABD＝∠BAD＝30°． ∴∠ADB＝120°． ∴∠ADF＝∠BDF＝60°． ∴∠ADP＝120°， △QCD和△APD中，CD＝PD，且点Q在y轴上， 当点Q在CD上方，∠DCQ＝∠ADP＝120°，CQ＝AD时，△QCD≌△APD， 设点Q（0，y），则CQ＝y－3， 即y－3＝4， 解得y＝7， ∴Q（0，7）， 当点Q在CD下方时，∠CDQ＝120°，此时点Q在抛物线的对称轴上． 综上，当△QCD≌△APD时，点Q的坐标为（0，7）． 【点睛】此题属于二次函数综合题，难度较大，涉及到：函数解析式的确定以及全等三角形的应用等重点知识．在解题时，一定要注意从图中找出合适的解题思路，能否将琐碎的知识运用到同一题目中进行解答，也是对基础知识掌握情况的重点考查． 10．如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4．现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与x轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H． （1）求a、c的值； （2）连接OF，求△OEF的周长； （3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使得以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）20+4；（3）存在，点Q（6，2）或Q（6，3）． 【分析】 【详解】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AO＝BC， ∵△ABC面积为4， ∴BC•OA＝4， ∴OA＝2，BO＝4， ∴B（﹣2，0），A（0，2），C（2，0）， ∵点A，B在抛物线y＝ax2+c上， ∴， ∴， 即a、c的值分别为﹣和2； （2）如图1，连接OF， 由（1）可知：y＝﹣x2+2， ∵B（﹣2，0），A（0，2）， ∴AB的直线解析为y＝x+2， ∵平移后抛物线顶点F在射线BA上， 设F（m，m+2）， ∴平移后抛物线解析式y＝﹣（x﹣m）2+m+2， 将点C（2，0）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2，得 ﹣（2﹣m）2+m+2＝0， ∴m＝6或m＝0（舍）， ∴F（6，8）， ∴平移后抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣10， 当y＝0时，﹣x2+6x﹣10＝0， ∴x＝2或x＝10， ∴E（10，0）， ∴OE＝10， ∵F（6，8）， ∴OF＝＝10，EF＝＝4， ∴△OEF的周长为OE+OF+EF＝10+10+4＝20+4； （3）当P在x轴上方时，如图2， ∵△PQE≌△POE， ∴QE＝OE＝10， 在Rt△QHE中，HQ＝＝2， ∴Q（6，2）， 当P在x轴下方时，如图3， ∵△PQE≌△EOP， ∴PQ＝OE＝10， 过点P作PK⊥HF与点K， ∴PK＝6， 在Rt△PQK中，QK＝＝8， ∵∠PQE＝90°， ∴∠PQK+∠HQE＝90°， ∵∠HQE+∠HEQ＝90°， ∴∠PQK＝∠HEQ， ∵∠PKQ＝∠QHE＝90°， ∴△PKQ∽△QHE， ∴ , ∴， ∴QH＝3， ∴Q（6，3）， 综上所述：满足条件的点Q（6，2）或Q（6，3）. 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，抛物线平移的特点，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解题中注意分类讨论的思想. 题型3等腰三角形的存在性问题 11．如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，线段有最大值且为 (3)存在，或或或或 【分析】 【详解】（1）解：把代入直线得， ， 在抛物线上， ，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：存在． 理由如下：设动点的坐标为，则点的坐标为， ， 点是线段上的动点， ， 当时，线段有最大值且为． （3）解：存在． 设点， ①当时，， 解得：， 或． ②当时，， 解得：， 或． ③当时，， 解得：， ， 综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．题型较好，综合性强． 12．已知：如图，抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点D，使，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由； (3)若点E是x轴上一个动点，是否存在以A、C、E为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 (3)存在，或或或 【分析】 【详解】（1）解：（1）∵，， ∴， ∴由图可得， 把，代入可得 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：令可得， 解得 ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴或， 解得或或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，与重合不合题意， ∴或或； （3）解：∵点E是x轴上一个动点， ∴设， ∵，， ∴，，， ∵以A、C、E为顶点的三角形为等腰三角形， ∴当时，，则，解得，此时或； 当时，，则，解得，此时（时与重合，舍去）； 当时，，则，解得，此时； 综上所述，存在使以A、C、E为顶点的三角形为等腰三角形，或或或． 13．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接、，点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为点M，交于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)运动过程中是否存在点P，使线段的值最大？若存在，请求出这个最大值并求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)试探究在点P的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明． 【答案】(1) (2)存在，最大值为4，P点的坐标为 (3)存在，Q点坐标为或 【分析】 【详解】（1）解：把，代入得，， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在， 抛物线与轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点的横坐标为，过点作轴， ，， ， 当时，线段的值最大，这个最大值为4， 此时点的坐标为； （3）解：由（2）直线的解析式为， 设， 当时，， 解得，（舍去）； ∴， 当时，， 解得：（舍去），（舍去）； 当时，， 解得， ∴． 综上所述，满足条件的点坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用勾股定理表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 14．如图，一次函数与轴、轴分别交于、 两点，二次函数的图象经过、两点，与轴交于另一点，其对称轴为直线 (1)求该二次函数表达式； (2)在轴的负半轴上是否存在一点，使以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或或 【分析】 【详解】（1）对于，当时，，即点， 令，则，即点. ∵抛物线的对称轴为直线，则点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为 设二次函数表达式为：， ∵抛物线过点， 则， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）存在，理由： 在中，，，则， ∵以点M、O、B为顶点的三角形与相似，， ∴或， ∴或， 即或， 解得：或2， ∵点在轴的负半轴上 即点或； （3）存在，理由： 根据题意对称轴，设点， 由点A、C、P的坐标得：，，， 当时，则， 解得：， 即点P的坐标为：或； 当时，则， 解得：， 即点； 当时，则， 解得：， 即点P的坐标为：或． 综上，点P的坐标为：或或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，分类讨论是本题求解的关键． 15．如图，抛物线与x轴交于，两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线交y轴于点C，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，P点坐标为，，，，． 【分析】 【详解】（1）解：将，代入， ∴， 解得， ∴； （2）存在点Q，使得的周长最小，理由如下：如图，连接，交对称轴于Q，    令，则， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵B、A关于对称轴对称， ∴， ∴当B、C、Q三点共线时，的值最小，此时得的周长最小， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， ∴当时，， ∴； （3）存在点P，使得为等腰三角形，理由如下：如图，    设，而，， ∴，，， ①当时，，解得，， ∴或； ②当时， ，解得，， ∴或； ③当时， ，解得， ∴； 综上所述：P点坐标为，，，，． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 题型4直角三角形的存在性问题 16．已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线的解析式为 (2)存在点， (3)存在点，使是直角三角形，点的坐标为或或或 【分析】 【详解】（1）解：∵对称轴为的二次函数的图像与轴交于，， ∴，， 解得：，， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）存在点，连接，，则， 当、、三点共线时，有最大值， 延长交对称轴于点，则， ∵二次函数的图像与轴交于，， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （3）存在点，使是直角三角形， ∵点对称轴上， 设， ∵，， ∴，，， ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴， 解得：， ∴； ③当时，， ∴， 解得：或， 点坐标为或； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 17．如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于的动点，过点作于点，交抛物线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的点，使线段的长有最大值？求这个最大值； (3)是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为． (2)线段最大且为，． (3)为直角三角形时，点P得坐标为或． 【分析】 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴， ∴， ∵、在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）设动点P得坐标为，则C点得坐标为， ∴， ∵， ∴当时，即，线段最大且为． （3）∵为直角三角形， ①若点P为直角顶点，．由题意易知，轴，，因为此种情形不存在； ②若点A为直角顶点，则． 如图1，过点作于点N，则，．过点A作，交x轴于点M，则由题意易知，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 设直线得解析式为，则：，解得， ∴直线得解析式为：① 又抛物线得解析式为：② 联立①②式，解得：或（与点A重合，舍去） ∴，即点C、M点重合．当时，， ∴； ③若点C为直角顶点，则． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 如图2，作点关于对称轴得对称点C，则点C在抛物线上，且，当时，． ∵点、均在线段上， ∴综上所述，为直角三角形时，点P得坐标为或．    【点睛】考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 18．如图，在平面直角坐标中，是直角三角形，，，，，抛物线经过、两点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是直角三角形斜边上一动点（点A、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 把A，代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）∵直线经过点， 设直线的解析式为： 把A，代入代入得： 解得：， ∴直线的解析式为： ∵过点作轴的垂线交抛物线于点， 设点横坐标为，点在线段上(点A，除外)， ∴点， ∴点横坐标为，点在抛物线上， ∴点， 据图知：点在点上方， ∴， ∵，开口向下，有最大值， 当时，的最大值为9． ∴，， ∴点，点； （3）存在 ①当时，点的纵坐标为3， 即， 解得：，， ∴，； ②当，点的纵坐标为， 即， 解得，（舍去） ∴点， 综上所述，存在点，使是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质和分类讨论思想． 19．如图，已知抛物线与坐标轴交于三点，，．是轴上方抛物线上一点，连接．      (1)求抛物线的解析式； (2)当点在第一象限时，连接，的面积是6，求点的坐标； (3)是否存在点的位置，使得是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点的位置使得是直角三角形，点的坐标是或或 【分析】 【详解】（1）解：由题意，可知：，，， 将，，代入， 得：，解得， 则抛物线解析式为； （2）解：作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ，， ， ∵，， ∴． ． 解得，（舍去）， 当时，， 点坐标为； （3）解：存在． 设，作轴于点，于点，则，， 若， ∵， ∴， ， ， ， ， 解得，（舍去）， 此时，点坐标为． 若，则，， ， ， ， ， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 由题意，， ， 解得，，， ，， 综上，存在点的位置使得是直角三角形，点的坐标是或或． 20．如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)点E在抛物线上，且在直线上方的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，或或或 【分析】 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、， ，解得， ，则； （2）解：如图，作轴交于点 ，， 直线解析式为：， 设，则， ， ， 当时，， 此时，点的坐标是； （3）解：设，、， ，，， 当时，，即解得； 当时，，即解得； 当时，，即解得或． 综上所述，存在，符合条件的点的坐标是或或或． 21．如图，已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，、两点坐标为、． (1)求二次函数的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连结、，求的最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为、、或 【分析】 【详解】（1）解：将、代入，得 ，解得， 故二次函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为． 将，代入， 得，解得， ∴直线的解析式为． 设点的坐标为，过作轴的垂线，交直线于点，则的横坐标为，则， ∴， ∴的面积． ∵， ∴函数图象开口向下， ∴当时，取得最大值． （3）解：①如图，当，点在直线上方时，对称轴与轴交点为，在轴上截取，过点作轴垂线交于点，设，则， ∵， ∴． 又∵，且， ∴． 在和中： ∴， ∴，． ∴． ∵， ∴设直线的函数解析式为， 将、代入得： 对两个方程进行整理： 由方程②，得，将其代入方程①： 展开并整理得到：， ∴(舍去负值)． ②如图，当，点在直线下方时，对称轴与轴交点为，在轴上截取，过点作轴垂线交于点，设，则， 同理，． ∴． 设直线的函数解析式为， 将、代入得：， 由方程②，得，将其代入方程①： 展开并整理得到：， ∴(舍去正值)． ③如图，当时，对称轴与轴交点为， ∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴． ④如图，当时，过点作轴，易得． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 综上，点的坐标为、、或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数表达式、二次函数与几何图形的面积问题以及特殊三角形存在性问题，涵盖代数运算、函数性质、几何图形判定与计算三大模块．第（1）小题很好解决，第（2）小题中需要用铅垂高法求的最大面积，第（3）小题需要分三种情况结合几何图形性质求解． 22．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式： (2)证明：为直角三角形： (3)在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】 【详解】（1）解： 与轴交于、两点，与轴交于点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：、、， ， ， ， ， ，则， 是直角三角形； （3）解：存在， 当轴，即点与点是关于抛物线对称轴的对称点，而点坐标为， ， 把代入得：， ，． 点坐标为．    【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，勾股定理的逆定理，两点间的距离公式，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型5平行四边形的存在性问题 23．已知二次函数的图像经过点，和，点P是抛物线上的一个动点，且在直线的下方． (1)求该二次函数的解析式． (2)在二次函数的图像上是否存在一点P，使得以 B、C、P为顶点的三角形的面积最大？若存在，求出点P的坐标和三角形的最大面积；若不存在，请说明理由． (3)在平面内是否存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， (3)存在，，， 【分析】 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 把，和代入得 ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点P在抛物线上， ∴可设， 过P作轴于点E，交直线于点F，如图： ∵和， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，最大值为，此时， ∴当时，最大值为； （3）解：如图，分别过三个顶点作对边的平行线，交点分别为，此时四边形，，是平行四边形， ∵，和， ∴，点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，可以看成点向左平移4个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，可以看成点向右平移4个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到，则点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到； 综上所述，存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标，，． 24．如图，已知抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点为抛物线的顶点． (1)抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)将抛物线关于轴对称得到新的抛物线，在抛物线上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为边，且以点四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为或或或； (2)，或，． 【分析】 【详解】（1）解：存在． 令， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴设， 当时，即， 解得，； 当时，即， 解得，； 综上所述，点的坐标为或或或； （2）解：存在． ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线关于轴对称得到新的抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∵，， ∴， ∵以点四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 设)，则点或， ①当时， 则， 解得， ∴， ∴，； ②.当时， 则， 解得， ∴， ∴，； 综上所述，点的坐标分别为，或，． 25．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； (3)13.5 (4)存在；，， 【分析】 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，一次函数的几何综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 26．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的关系解析式； (2)点p是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，使面积最大 (3)存在， 【分析】 【详解】（1）解：将，两点带入可得： 解得： ∴二次函数解析式为； （2）设点P坐标为，如图连接，作轴于M，轴于N． ，，． 当时，， ∴ ∴ ， ∵， ∴函数有最大值，当时，有最大值， 此时； ∴存在点，使面积最大． （3）存在， 假设存在点Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形 ①若平行于x轴，如下图，有符合要求的两个点 此时 ∵轴， ∴点M、点关于对称轴对称， ∴， ∴．由， ∵ ∴； ②若不平行于x轴，如下图，过点M作轴于点G， 则 ∵，且， ∴， ∴， ∴，，即． 设， 则有， 解得：． 又， ∴， ∴， 综上所述，存在点P使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，Q点坐标为： ． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数求三角形面积的最值， 二次函数和四边形的综合问题，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 27．如图，抛物线的图象与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，已知， ，点Q为射线上一点，过点Q作y轴的平行线，分别交抛物线、直线于点D、E． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，是否存在与相似，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)是否存在以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点D的坐标为 或 【分析】 【详解】（1）设抛物线的表达式为：， ∵， ， ∴， 故抛物线的表达式为：； （2）存在，理由： 当时，， ∴， 过点C作直线轴交抛物线于点R，设， 由知，， 则，即∠， ∵轴，则， ∵与相似， 则或； ①时，设于交于点S， ∵， ∴， ， 设，则，代入①，得 ， 解得，（舍去）， ∴， 则点； ②时， 延长交x轴于点H，则， ∵， ∴， 在中，过点H作的垂线交的延长线于点M， ∵， 设，则， 在等腰中，， 即， 解得：， 在中，， 即点， 由点C、H的坐标得，直线的表达式为：， 联立①③得：， 解得：（舍去）或， 则点 综上，点Q的坐标为：或； （3）存在，理由： 设点D的坐标为， 根据点A、D的坐标，由待定系数法可求直线AD的表达式为，则点， 同理可得，直线BC的表达式为：，则点， 当以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，则， 即， 解得：或6， 即点或． 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到一次函数的性质、解直角三角形、平行四边形的性质，其中，分类求解是本题解题的关键． 题型6菱形的存在性问题 28．如图，抛物线与轴交于两点． (1)求出抛物线的表达式； (2)点是抛物线上一点，点是平面上一点，是否存在点，使得四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【分析】 【详解】（1）解：将代入得， 解得： ∴抛物线解析式为： （2）解：由，当时， ∴， ∴， ∵，则 ∴是等腰三角形 如图所示，过点作于点，则， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为 ∵四边形四边形是菱形， ∴，则点在直线上， 联立 解得：或 ∴点的坐标为或 29．已知直线与x轴交于A  ，与y轴交于点B，抛物线与x轴交于A ，C两点，与y轴交于点B (1)求这个抛物线的解析式 (2)若P是直线上方抛物线上一点，存在点P使得，求点P的坐标 (3)在对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由 (4)点M在x轴上，在坐标平面内是否存在点N，使以A  ，B  ，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)存在， (4)存在，或或 【分析】 【详解】（1）解：直线与x轴交于A  ，与y轴交于点B， 令，，令，， ， 将代入抛物线，则， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：存在， 抛物线与x轴交于A ，C两点， 令，则， 解得：， 根据题意得， ， ， 如图，过点P作x轴的垂线，交直线于点H， 设，则， ， ， ， ，即， 解得：或， 点P的坐标为或； （3）解：存在， 作点O关于抛物线对称的对称点E，连接， 抛物线的对称轴为， ，， 为定值， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长最小， 设直线的解析式，则， 解得：， 直线的解析式， 令，则， ； （4）解：存在， 如图，当以为对角线时， 四边形为菱形， ， 点在x轴上， 点M在点A的左侧， 设， ， ， ， ， ，即， 解得：， ； 如图，当以为边时， 当点M在点A左侧时， 四边形为菱形，， ，， ； 如图，当点在点A右侧时， 同理得：； 综上，点N的坐标为或或 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，轴对称的性质，菱形的性质等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用二次函数的图象及性质．解题关键是找特殊点，充分利用对称轴，顶点坐标等知识． 30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A，点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，连接．P是抛物线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在直线下方的抛物线上是否存在一点P，使得的面积为，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (4)在x轴上是否存在一点R，平面内有一点S，使得四边形为菱形，若存在，请说明理由，并写出点R的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)的面积为9； (3)点P的坐标为或； (4)点R的坐标为或或或． 【分析】 【详解】（1）解：令，则； 令，则， 解得，； ∴，，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）得，，， ∴，，∴的面积为； （3）解：过点P作y轴的平行线交于点Q， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， 则， 依题意得，即， 整理得， 解得，， ∴点P的坐标为或； （4）解：∵，， ∴， 当、为菱形的边时， 则点R的坐标为或； 当、为菱形的边时，此时， 则点R的坐标为； 当为菱形的对角线时，此时， 设点R的坐标为， ∴， 解得， 则点R的坐标为； 综上，点R的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合题、三角形的面积、平行四边形等知识，解题的关键是学会构建方程解决点的坐标问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题，难度较大． 31．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)存在，， 【分析】 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当； 当，则，解得， ∴，， ∵对称轴为直线 ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵，抛物线对称轴为， ∴， ∴ 过点D作y轴的平行线交于点K， 则，则， ∴ ∵， ∴ ， ∵，， ∴当时，取得最大值为，此时； （3）解：存在， 如图，设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴点向点的平移方式与点C向点Q的平移方式一样， ∵，，， ∴由平移的性质可得． 32．定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点关于抛物线的对称点存在． ①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标； ②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由； 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)存在，点的坐标为 (3)①为所有实数，点的坐标为；②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形 【分析】 【详解】（1）解：把点，点的坐标代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． （2）存在，点的坐标为，理由如下： 假设存在点关于抛物线的对称点， ∵点在抛物线的对称轴上 ∴， 又∵的中点在抛物线上，且， ∴在抛物线上， 对于，当，， ∴，解得， ∴点的坐标为； （3）①设点关于抛物线的对称点为， ∴的中点为， ∵的中点在抛物线上， ∴， ∴， 则为所有实数，点的坐标为； ②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： ∵对称轴为直线，， ∴， 由①可知，，， ∴，，， 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，解得或， 此时，或，； 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，此时方程无解，不存在使得； 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，此时方程无解，不存在使得； 综上，存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，菱形的性质，勾股定理等知识点，理解新定义，利用分类讨论的数学思想是解决问题的关键． 33．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，对称轴上是否存在点，使周长最小，求出此时点的坐标和周长最小值； (3)如图2，点为第二象限抛物线上一动点连接交于点，： ，是否存在点，使取最大值，如果存在求出此时点的坐标和最值；若不存在，请说明理由． (4)已知点是抛物线对称轴上一点，点是平面内一点，点是第二象限抛物线上一点，点是线段上一点，轴，当线段取得最大值时，是否存在点，使得四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)；周长最小值 (3)时，取得最大值为； (4)存在， 【分析】 【详解】（1）解：将点和点代入得， 解得： ∴； （2）解：∵， 对称轴为直线， 当时，，则， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得： ∴直线的解析式为； ∵关于对称， 如图所示，连接交于点，连接，则点即为所求， ∵ ∴当共线时，的周长最小， ∴当时，，则； ∵，，， ∴,， ∴的周长为； （3）解：如图所示，过点作轴交的延长线于点， 设， ∵轴，的纵坐标等于的纵坐标， ∴的横坐标为，即 ∴， ∵，， ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∵： ∴ ∴当时，即时，取得最大值为； （4）解：依题意，设，则 ∴ 则当时，线段取得最大值 则， 又 ∴ ∵点是抛物线对称轴上一点，设，依题意，四边形是菱形， ∴ ∴ 解得： ∴ 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，轴对称的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型7矩形的存在性问题 34．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)点坐标为或． 【分析】 【详解】（1）解：∵拋物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 由（1）知抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入和可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴与交于点， ∴把代入可得：， ∴， ∴， 过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，如图所示： 设点G的坐标为，则，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：由（2）知，，又， ∴， 设点关于直线的对称点为，如图所示， 则，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的对称性可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线， ∴， 设， ∵，，， ∴， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的图形性质，二次函数点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，三角形面积，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键． 35．已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，，顶点为．    (1)求此抛物线的解析式： (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使四边形的面积最大？最大面积是多少？ (3)点在轴上的一个动点，点是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点和点，使点构成矩形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，，或，或或， 【分析】 【详解】（1）解：， ，， 将，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 在中，令，得出， 解得：，， ， ， ， 如图，作轴交于，    设点，则， ， ， ， ， 当时，最大，为； （3）解：， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 如图，当四边形为矩形时，    则， 设直线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， 四边形是矩形， ， 点到点，是将点向右平移1个单位长度，向上平移0.5个单位长度得到， 点由点向右平移1个单位长度，向上平移0.5个单位长度得到，即； 如图，当四边形为矩形时，    则， 设直线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， 四边形是矩形， ， 点到点，是将点向右平移3个单位长度，向上平移1.5个单位长度得到， 点由点向右平移3个单位长度，向上平移1.5个单位长度得到，即； 当为对角线时，设，， 四边形是矩形， ， ， 解得：或， ，或，； 综上所述，，或，或或，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—特殊四边形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 36．如图，抛物线与轴交于，，顶点为． (1)抛物线的解析式是___________，顶点D的坐标是___________，对称轴是___________． (2)为抛物线上一点，当时，求M点坐标． (3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E，F使得四边形是矩形？若存在，求出E，F的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，顶点D的坐标是，对称轴是直线； (2)； (3)， 【分析】 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标是，对称轴是直线； （2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作的垂线交于点，交抛物线于点， ∵，， ∴，， 即点为的中点， ∴， 即， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得，， ∴； （3）解：存在． ∵， ∴， 设，， 如图， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 37．已知抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点为点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线向左或向右平移，得到抛物线，在轴上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请求出平移方式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)向右平移个单位长度或向左平移个单位长度 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线L的解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线L的解析式为， （2）解：在中，当时，， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M在x轴上，且以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形， ∴点M必定在点A右侧，且AM为对角线（因为与不垂直）， 设， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵矩形两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴； ∵抛物线L的解析式为， ∴可设抛物线的解析式为， 把代入中得：， 解得或 ， ∴将抛物线向右平移个单位长度或向左平移个单位长度，在抛物线上存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，勾股定理，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 38．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或或 【分析】 【详解】（1）解：将和代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，， ∴平移后函数解析式为， 联立得， 解得，， ∴； ∵为原抛物线对称轴上的一点， ∴设，， 由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解： ①当以为边，时，则，为对角线， ∴，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∵，为对角线， ∴，的中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； 当以为边，当时，则，为对角线， 同理，即， 解得，， ∴， ∵，的中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； ②当以为对角线，时，，为对角线， ∴，，， 由勾股定理得，，即，整理得，， 解得，或， ∴或 当时， ∵，中点相同， ∴， 解得，， ∴； 当时， ∵，中点相同， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在点，且或或或． 题型8正方形的存在性问题 39．如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在的坐标为或时，使得四边形是正方形 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，将、代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）存在的坐标为或时，使得四边形是正方形，理由如下： 由题意，设， ∵，四边形是正方形，轴，则， ∴， 则， 即：， 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 综上，存在的坐标为或时，使得四边形是正方形． 40．如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在， (4)存在，点的坐标为：或或 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得：， 当时，， 故点D在抛物线上； （3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴ 连接并延长交直线于点，此时最大， 令，解得：， ∴， 设直线的表达式为：，将、两点坐标代入， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得， ∴ （4）存在，理由如下： 连接， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，存在正方形， 作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形， 当点与重合时，存在正方形， 对于，当时，， 故，在抛物线上，满足题意； 过点作的平行线交抛物线于点，则：， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故存在正方形； 综上：存在，点的坐标为或或 41．如图，抛物线与直线交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B点的坐标是． (1)求直线及抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)点P在抛物线上，点Q在直线上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)直线的解析式为，抛物线的解析式是； (2)3 (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵直线与抛物线交于点 ∴，， ∴， ∴直线的解析式为，抛物线的解析式是； （2）解：联立方程组， 解得或， ∴点A的坐标是， 当时，， ∴点C的坐标是， ∴， 连接，如图所示： ∴； （3）解：当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示： 此时M点与A点关于y轴对称，点Q与点O重合，点P与点Q关于对称， ∴，， ∴，，， ∴当，时，四边形为正方形； 同理，当点M与顶点C重合，点Q与点O重合时，如图所示： ∴当，时，四边形为正方形； 当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示：作点A关于的对称点M， ∴，， ∴当，时，，四边形为正方形； 如图，当是正方形的对角线时，如图所示： ∴点P的纵坐标为 ∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述：M点坐标为． 42．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点、都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围； (3)若点P，Q在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点M、N，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是，的长为或 【分析】 【详解】（1）解：将点和点代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由得，抛物线的对称轴为直线， 由点、得，两点是关于对称轴的对称点， 当时，， 此时； 当时，， 此时； ∴m的取值范围为； （3）解：是，的长为或，理由如下： 如图，此时四边形PQMN是正方形，点与点重合，直线在直线上方，直线平行于直线， 假设正方形的边长为， 由点和点可知，是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 假设直线的解析式为， 将点和点代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得， ， ∴， ∴根据勾股定理及等腰三角形的三边关系得， ， 解得或（舍去）， ∴； 当直线在直线下方时， 同理，得 解得或（舍去）， ∴； 综上，的长为或． 43．如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值； (3)若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当的值最大时，点的坐标为，最大值为 (3)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，对称轴：直线， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：令，则，令，则，解得， ∴，， 设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 过作轴交直线于，过作轴交直线于，则， ∴， ∴， 当时，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，此时， ∴当的值最大时，点的坐标为，最大值为； （3）解：不存在，理由如下： 过作轴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点是直线上方的抛物线上的动点，点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方， ∴在内部， ∴， 假设存在以为顶点的四边形为正方形， ∴必定是等腰直角三角形， ∴或，与矛盾， ∴假设不成立， ∴不存在以为顶点的四边形为正方形． 44．如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与直线只有一个交点，求m的值； (3)Q是抛物线上除点P外一点，BCQ与BCP的面积相等，求点Q的坐标； (4)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2) (3)，， (4)正方形MNED的边长为或 【分析】 【详解】（1）解：设， 把代入抛物线解析式得：，即， 则抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线与直线只有一个交点， ∴，即， ∴， 解得：； （3）解：由抛物线解析式可令，解得， ∴点， 设直线BC的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线BC的解析式为， 过作，交抛物线于点，如图1所示， 设直线PQ1的解析式为， ， 直线解析式为， 联立得：， 解得：或，即与重合，； 过点P作x轴的垂线交BC于G，在直线PG上取， 直线的解析式为，， ， ， ∴， 过作直线，交抛物线于点Q2，Q3， 同理可得直线解析式为， 联立得：， 解得：或， ，，，； （4）解：存在点，使四边形为正方形， 如图2所示，四边形为正方形，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形， 设，，，，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， 若四边形为正方形，则有， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 45．如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．点B坐标为，点C坐标为，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)点M是抛物线上的动点，过点M作轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以线段为对角线的四边形为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】 【详解】（1）解：把、两点坐标代入抛物线解析式可得， 解得， 抛物线解析式为， ， ； （2）存在，如图， 点、关于抛物线对称轴对称，且四边形为正方形， 点为抛物线对称轴与轴的交点，点在抛物线的对称轴上， 设，则坐标为， 点在抛物线的图象上， ， 解得或， 或． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，确定出、的位置是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优07 二次函数中的存在性问题 题型1角度的存在性问题 1．如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点． (1)求出抛物线的函数表达式； (2)如图1，抛物线在第二象限的部分上是否存在一点M，使得四边形面积最大，若存在求点M坐标；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，抛物线经过两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使周长最小，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)在轴上，是否存在点使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与 轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点M，使得的面积为6，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线的顶点为，连接．抛物线上是否存在一点，使得 ？ 若存在，求点的坐标； 若不存在，说明理由； 4．如图，抛物线与轴交于，B，与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线上方抛物线上的一动点，轴，在抛物线上是否存在一点使的周长最大，如果存在，求出周长的最大值． (3)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由． 5．如图，二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使面积为5，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，小明经过探究发现：位于x轴下方的抛物线上，存在一点D，使与互为余角；你认为他探究出的结论是否正确？若正确，求出点D的坐标；若不正确，请说明理由． 6．二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点是第三象限内的抛物线上的动点，过作轴，交轴于点，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由； (3)如图2，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点，已知点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型2全等三角形的存在性问题 7．如图①，二次函数的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连接，过点C作交于点D． (1)求点D的坐标； (2)如图②，在直线上取一点M（不与点B重合），在直线的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H． (1)求点A、P的坐标； (2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(﹣，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，线段BC与抛物线的对称轴l交于点D，该抛物线的顶点为P，连接PA，AD，线段AD与y轴相交于点E． （1）求该抛物线的表达式和点P的坐标； （2）在y轴上是否存在一点Q，使以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4．现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与x轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H． （1）求a、c的值； （2）连接OF，求△OEF的周长； （3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使得以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 题型3等腰三角形的存在性问题 11．如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．已知：如图，抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点D，使，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由； (3)若点E是x轴上一个动点，是否存在以A、C、E为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接、，点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为点M，交于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)运动过程中是否存在点P，使线段的值最大？若存在，请求出这个最大值并求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)试探究在点P的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明． 14．如图，一次函数与轴、轴分别交于、 两点，二次函数的图象经过、两点，与轴交于另一点，其对称轴为直线 (1)求该二次函数表达式； (2)在轴的负半轴上是否存在一点，使以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，抛物线与x轴交于，两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线交y轴于点C，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型4直角三角形的存在性问题 16．已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 17．如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于的动点，过点作于点，交抛物线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的点，使线段的长有最大值？求这个最大值； (3)是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标中，是直角三角形，，，，，抛物线经过、两点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是直角三角形斜边上一动点（点A、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 19．如图，已知抛物线与坐标轴交于三点，，．是轴上方抛物线上一点，连接．      (1)求抛物线的解析式； (2)当点在第一象限时，连接，的面积是6，求点的坐标； (3)是否存在点的位置，使得是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)点E在抛物线上，且在直线上方的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，、两点坐标为、． (1)求二次函数的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连结、，求的最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 22．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式： (2)证明：为直角三角形： (3)在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 题型5平行四边形的存在性问题 23．已知二次函数的图像经过点，和，点P是抛物线上的一个动点，且在直线的下方． (1)求该二次函数的解析式． (2)在二次函数的图像上是否存在一点P，使得以 B、C、P为顶点的三角形的面积最大？若存在，求出点P的坐标和三角形的最大面积；若不存在，请说明理由． (3)在平面内是否存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，已知抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点为抛物线的顶点． (1)抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)将抛物线关于轴对称得到新的抛物线，在抛物线上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为边，且以点四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出两点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的关系解析式； (2)点p是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 27．如图，抛物线的图象与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，已知， ，点Q为射线上一点，过点Q作y轴的平行线，分别交抛物线、直线于点D、E． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，是否存在与相似，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)是否存在以点C、D、G、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 题型6菱形的存在性问题 28．如图，抛物线与轴交于两点． (1)求出抛物线的表达式； (2)点是抛物线上一点，点是平面上一点，是否存在点，使得四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．已知直线与x轴交于A  ，与y轴交于点B，抛物线与x轴交于A ，C两点，与y轴交于点B (1)求这个抛物线的解析式 (2)若P是直线上方抛物线上一点，存在点P使得，求点P的坐标 (3)在对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由 (4)点M在x轴上，在坐标平面内是否存在点N，使以A  ，B  ，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A，点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，连接．P是抛物线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在直线下方的抛物线上是否存在一点P，使得的面积为，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (4)在x轴上是否存在一点R，平面内有一点S，使得四边形为菱形，若存在，请说明理由，并写出点R的坐标，若不存在，请说明理由． 31．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点关于抛物线的对称点存在． ①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标； ②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由； 33．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，对称轴上是否存在点，使周长最小，求出此时点的坐标和周长最小值； (3)如图2，点为第二象限抛物线上一动点连接交于点，： ，是否存在点，使取最大值，如果存在求出此时点的坐标和最值；若不存在，请说明理由． (4)已知点是抛物线对称轴上一点，点是平面内一点，点是第二象限抛物线上一点，点是线段上一点，轴，当线段取得最大值时，是否存在点，使得四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型7矩形的存在性问题 34．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 35．已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，，顶点为．    (1)求此抛物线的解析式： (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使四边形的面积最大？最大面积是多少？ (3)点在轴上的一个动点，点是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点和点，使点构成矩形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 36．如图，抛物线与轴交于，，顶点为． (1)抛物线的解析式是___________，顶点D的坐标是___________，对称轴是___________． (2)为抛物线上一点，当时，求M点坐标． (3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E，F使得四边形是矩形？若存在，求出E，F的坐标；若不存在，说明理由． 37．已知抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点为点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线向左或向右平移，得到抛物线，在轴上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请求出平移方式；若不存在，请说明理由． 38．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型8正方形的存在性问题 39．如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 40．如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 41．如图，抛物线与直线交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B点的坐标是． (1)求直线及抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)点P在抛物线上，点Q在直线上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 42．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点、都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围； (3)若点P，Q在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点M、N，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 43．如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值； (3)若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 44．如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与直线只有一个交点，求m的值； (3)Q是抛物线上除点P外一点，BCQ与BCP的面积相等，求点Q的坐标； (4)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由． 45．如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．点B坐标为，点C坐标为，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)点M是抛物线上的动点，过点M作轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以线段为对角线的四边形为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $