专题03 二次函数中线段、周长、面积最值问题的五种模型（高效培优专项训练）数学北师大版九年级下册

专题03 二次函数中线段、周长、面积最值问题的五种模型 目录 题型一：利用二次函数求线段最值的问题 1 题型二：利用二次函数求线段和最值的问题 8 题型三：利用二次函数求线段差最值的问题 14 题型四：利用二次函数求周长最值的问题 27 题型五：利用二次函数求面积最值的问题 34 题型一：利用二次函数求线段最值的问题 1．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线过，两点，直线交抛物线于点，点的横坐标为，是线段上的动点． (1)求直线及抛物线的解析式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段的长度l与m的关系式，m为何值时，最长？ 【答案】(1)，直线的解析式为 (2)当时，线段的长度有最大值 【分析】本题考查二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标，再次根据待定系数法，可得直线的解析式； （2）根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：， ∴拋物线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：∵在线段上， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， ∴当时，线段的长度有最大值． 2．（25-26九年级上·河南开封·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，点是线段上的动点． (1)①________； ②求抛物线的解析式． ③直接写出抛物线解析式顶点坐标（________，________）； (2)过点作直线l垂直于轴，交抛物线于点，求线段的长的最大值，并求出此时点与点的坐标． 【答案】(1)①2；②；③1， (2)线段的最大值为，点的坐标是，点Q的坐标是 【分析】本题考查二次函数的综合题，涉及到待定系数法求解析式，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，并利用数形结合的思想． （1）①直接将点代入直线即可求解；②利用待定系数法即可求解；③将函数解析式化为顶点式即可求解； （2）根据题意可设点的坐标，进而可得二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：①将点代入直线， 得 解得：， 故答案为：； ②由①得点 点，在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为； ③由②得 ， ∴抛物线解析式顶点坐标为， 故答案为：1，； （2）解：设点的横坐标为，其中， 点，点， ， ∵， 当时，最大，为， 此时点的坐标是，点Q的坐标是． 3．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． ②点P在抛物线上，且，求点P点坐标． 【答案】(1) (2)①的最大值为；②或 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． （1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）①求出直线解析式为，设点，则点，根据二次函数的最值求法，可求的最大值； ②由抛物线解析式求解的坐标，可求的面积，根据，可求点坐标． 【详解】（1）解：∵过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵， ∴当时，， ∴点， 设直线解析式为， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设点，如图， 则点， ， 当时，的最大值为． ②∵抛物线为， ∴当，则， 解得：，， ∴，即， ∵点，点， ∴， ， 设， ， ， ， ， 或． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点是直线上一动点，是抛物线上一点，过点作线段（点在直线下方），已知，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，最大值是， (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用勾股定理求得，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得， ∴； （2）解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）解：由（2）得直线的解析式为， ∵点是直线上一动点， ∴设， ∵过点作线段（点在直线下方）， 则：， ∵点在抛物线上 ∴， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵， 则或， ∴点的坐标为或． 题型二：利用二次函数求线段和最值的问题 5．（25-26九年级上·云南临沧·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数解析式的求解和图象性质： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的对称性知A关于对称轴对称的点为B，则，，当B、P、C三点共线，取最小值．求出直线的表达式，求出与抛物线对称轴的交点即为P． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：由题可知，A关于对称轴对称的点为B，则， ∴， 当且仅当B、P、C三点共线时，等号成立， 即当B、P、C三点共线时，的最小值为， 设直线为， 将代入，得， 解得， ∴直线为， 当时，， ∴P的坐标为． 6．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及对称轴； (2)点是对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标及的最小值． 【答案】(1)，直线； (2)，． 【分析】本题考查了二次函数的性质，勾股定理，三角形三边关系． （）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而转化为顶点式，即可作答； （2）根据三角形三边关系及勾股定理作答即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴对称轴为直线； （2）解：连接，可知， 当M在D上时，，达到最小值， ∵， ∴点的坐标为， 即点M的坐标为； 当时，， ∴， ∴ 7．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，抛物线经过，两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得值最小，求最小值以及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合． （1）把，两点代入求出、的值即可； （2）因为点关于对称轴对称的点的坐标为，连接交对称轴直线于点，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：，， 此拋物线的解析式为； （2）解：如图，连接，交对称轴于点， 则， 此时最小，，   拋物线的解析式为， 其对称轴为直线， 当时，， ， 又， 设的解析式为， ， 解得：， 的解析式为， 当时，， ， . 8．（25-26九年级上·山东泰安·期中）过点的抛物线与轴的另一交点为，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当和最小时，求点P的坐标； (3)若Q是抛物线上一个动点，设Q的横坐标为m（），连接，当的面积等于面积的2倍时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据，，可得，将，代入，利用待定系数法求解； （2）由二次函数的对称性可得，，当点P在直线上时，和最小，因此求出直线与对称轴的交点即可； （3）过点作轴的平行线交于点，设，则点，则，根据列式求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵抛物线经过，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：点P是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线与x轴交于点A，C， ， ， 当点P在直线上时，和最小， 对称轴：直线， 设直线解析式为， 将，代入，得： ， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴ （3）解：抛物线于轴交于，两点， 令，则， 解得，， ∴，， ∴． 过点作轴的平行线交于点， 设，则点， 则， ， ∴， 解得或． 题型三：利用二次函数求线段差最值的问题 9．（2025·安徽合肥·三模）抛物线顶点为，抛物线与y轴交于点B，直线经过点 (1)求b，c，d的值； (2)已知点和，且点P在抛物线上． （i）判断点是否在抛物线上，说明理由； （ii）过点P、Q分别向x轴作垂线，交直线于点D、E，当时，求的最大值． 【答案】(1)，， (2)（i）在；见解析；（ii） 【分析】（1）由二次函数的顶点得，，求出、，再用待定系数法求出直线的解析式，即可求解． （2）（i）将的坐标代入，求出、的关系，将代入，即可求解； （ii），，设直线与抛物线的另一个交点为，联立二者解析式可求，当时，解得，此时与重合，分类讨论：①当时， ②当时，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线顶点为， ，， 解得：，， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式， 当时，， ， 抛物线与y轴交于点B， ， 故：，，； （2）解：（i）在，理由如下： 由（1）得， ， 点P在抛物线上， ， 当时， ， ， 点在抛物线上； （ii）过点P、Q分别向x轴作垂线，交直线于点D、E， 当时， ， ，， 设直线与抛物线的另一个交点为， 联立， 解得：或， ， 当时，解得：， 此时与重合， ①当时，如图 ， ， ， ，， 当时， 的最大值为：； ②当时，如图 ， ， ， ， 此时的最大值小于； 综上所述：的最大值为． 10．（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）在平面直角坐标系中；已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，如图，直线与抛物线交于A、B两点，直线l为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使取得最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知为平面内一定点，为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标． 【答案】(1) (2)存在最大值，此时点P的坐标为 (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点A和点B的坐标，作点A关于对称轴的对称点，连接，根据和轴对称的性质得到当三点共线时，有最大值，即此时有最大值，据此求解即可； （3）由两点距离计算公式得到，则可推出，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：联立，解得或， ∴； ∵抛物线顶点坐标为， ∴对称轴为直线； 如图所示，作点A关于对称轴的对称点，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， 又∵， ∴当三点共线时，有最大值，即此时有最大值； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴存在最大值，此时点P的坐标为； （3）解：∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点F为定点， ∴为定值， ∴ 解得， ∴点F的坐标为． 11．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，直线与抛物线交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限的抛物线上一点，点P位于何处时四边形面积最大，此时P点的坐标为______，四边形的面积的最大值为______． (3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上找点Q使值最大，求Q点坐标及的最大值． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)此时点的坐标为，四边形的面积的最大值为 (3)，的最大值为 【分析】（）先由直线与轴交于点，与轴交于点，求出点，点，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （）过作轴于点，交于点，设，则，则，然后由得出，再根据二次函数的性质即可求解； （3）首先得到抛物线对称轴为直线，然后得到当点B，Q，P三点共线时，取得最大值，即的长度，然后由勾股定理求出的最大值为；求出所在直线表达式为，将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，当时，， ∴点，点， ∵抛物线交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过作轴于点，交于点， 设，则， ∴， 则 ， 当时，有最大，最大值为， ∴， 此时点的坐标为． （3）如图所示， ∵抛物线； ∴抛物线对称轴为直线 ∵ ∴当点B，Q，P三点共线时，取得最大值，即的长度，如图所示， ∵， ∴． ∴的最大值为； 设所在直线表达式为 ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∴将代入 ∴． 12．（25-26九年级上·重庆渝北·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，抛物线经过两点与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)若点为直线上方抛物线上任意一点，过作于点，当最大时，为轴上一动点，求的最大值． (3)若点在抛物线上，连接，当时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)的最大值为； (3)或； 【分析】（1）利用一次函数表达式求出A、B点坐标，在利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）过点M作轴，交直线于N，假设出M、N的坐标表示出的长，求最大值即可，延长交轴于点，此时的值最大，据此求解即可； （3）利用等量代换可找出有两个P点，①在x轴上取点，延长交抛物线于点P，推出，利用等量代换可得，求出直线与抛物线交点即可知P点坐标；②作轴，使，连接交抛物线与点，推出，进一步得，求出直线与抛物线交点即可知点坐标． 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴， 令，则， ∴， ∵抛物线经过A，B两点， ∴，解得， ∴； （2）解：过点M作轴，交直线于N， 令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵轴，， ∴是等腰直角三角形， 当取得最大值时，的值最大， 设点，， ， ∵， ∴当时，有最大值，即有最大值， 此时点的坐标为． 延长交轴于点，此时的值最大，为， ∵，， ∴， ∴|MQ−CQ|的最大值为4√5； （3）解：或，理由如下： ①在x轴上取点，延长交抛物线于点P， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点B、D代入可得， 解得， ∴，将其与抛物线方程联立可得：， 解之得：，，当时，， ∴， ②作轴，使，连接交抛物线与点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵且,， ∴， ∵， 同理，直线的解析式为， 将其与抛物线方程联立可得：， 解之得：，，当时，， ∴， 综上所述：或． 题型四：利用二次函数求周长最值的问题 13．（25-26九年级上·江西南昌·月考）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． ()待定系数法求函数解析式即可； ()根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）在，当时， ∴ ∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线 ∵的周长等于，为定长， 当的值最小时，的周长最小， ∵关于对称轴对称， ∴ ， ∴， 当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 14．（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在说明理由． (3)如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)存在，的周长最小值为 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，周长与线段的最值问题； （1）把点、的坐标分别代入函数解析式，解方程组即可得到结论； （2）根据轴对称的性质，，则当在上时，的周长最小，求得直线的解析式，代入，即可求解； （3）先求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）把，代入，得：， 解得：， 故该抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下， ∵，对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，关于对称， ∴， ∴ 当在直线上时，的周长最小 ∵设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 即直线的解析式为． ∴当时， ∴ 当时， 解得： ∴ ∴的周长最小值为： （3）∵直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ， ∴当时，有最大值． 15．已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求点A、B、C三点的坐标； (2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)存在， 【分析】（1）分别令，求出点和点，点的坐标即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立抛物线解析式组成方程组求出点的坐标，再利用分割法来求解即可； （3）延长到点，使，过点作轴于点，连接，则与的交点即为点，易得到，进而求出点，易得到解析式，联立直线解析式组成方程组求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得； 点坐标为点坐标为； 当时，， 点坐标为． （2）解：， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：； 直线解析式：． ，设直线的解析式为：，把代入得： ； 则直线解析式为：， 联立解析式有： 解得，； 点坐标为； ． （3）解：存在． 延长到点，使，过点作轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 与关于对称，且为的中点， 点坐标为，， ∴的周长为：， ∴当在线段上时，的周长最小， 同（2）法可得：直线的解析式为； 联立方程组， 解得 点的坐标为； 此时，， 的周长最小值为； 在线段上存在一点，使的周长最小为． 16．如图，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标并计算的周长；若不存在，请说明理由； (3)设点在第四象限，且在抛物线上，当的面积最大，求此时点的坐标．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)存在，，的周长为 (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）连接，交直线于点，则此时的周长最小，求得直线的解析式为，得出，勾股定理求得即可求解； （3）过点作轴，交于点，设，则，由的面积为，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入， 解得： ∴此抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接，交直线于点， ∵关于直线对称， ∴， 的周长为，此时的周长最小， ∵，令，得， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长的最小值为：； （3）解：如图，过点作轴，交于点，设，则， ∴的面积为 ， 当时，的面积最大 当时， ∴． 题型五：利用二次函数求面积最值的问题 17．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求函数解析式和点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标； (3)第一象限内的抛物线上有一动点M，连接、，求面积的最大值，以及取得最大值时点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)面积的最大值为4，此时点的坐标为 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）根据二次函数的对称性可得点的坐标，再利用待定系数法即可得函数解析式； （2）连接，交直线于点，连接，根据轴对称的性质和两点之间线段最短可得点即为所求，先利用待定系数法求出直线的解析式，再将代入求解即可得； （3）过点作轴于点，交于点，设，则，利用三角形的面积公式可得面积与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，点的坐标是，抛物线的对称轴是直线， ∴， 将点代入得：，解得， ∴函数解析式为． （2）解：把代入得，， ∴， 如图，连接，交直线于点，连接， 由轴对称的性质可得， 由两点之间线段最短可知，，此时点即为所求， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在对称轴直线上， ∴点的横坐标为1， 将代入函数得：， ∴点的坐标为． （3）解：如图，过点作轴于点，交于点， 设，则， ∴． ∵，， ∴的边上的高与的边上的高之和为， ∴， 由二次函数的性质可知，当时，的面积最大，最大值为4， 此时， 所以面积的最大值为4，此时点的坐标为． 18．（25-26九年级上·云南怒江·期中）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)已知为抛物线对称轴上一动点，求周长的最小值； (3)若为抛物线上一点，当点运动到直线下方时，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)最小值为 (3)最大值为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称解决最短路径问题，三角形面积的计算方法等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）利用轴对称解决最短路径问题； （3）根据三角形面积计算方法结合二次函数求最值即可求解； 【详解】（1）解：将点，分别代入， 得 解得 该抛物线对应的函数解析式为． （2）解：由（1）得该抛物线对应的函数解析式为， 该抛物线的对称轴为． ，， 点关于对称轴的对称点为点． 如图1，连接，则与对称轴的交点即为点P，连接， 周长的最小值为． 点，，， ，， 周长的最小值为． （3）解：设直线对应的函数解析式为． 将点，分别代入，得 解得 直线对应的函数解析式为． 设点． 如图2，过点作轴，交于点，则点， ， ． 点在直线的下方，即， 当时，的面积有最大值，最大值为． 19．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点，其中点，其对称轴． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若为第一象限内抛物线上一点，连接、，求面积的最大值，及此时点的坐标． (3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小，若存在，请直接写出M点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)最大值；点P的坐标为 (3)M 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）由二次函数的对称轴公式以及过点，待定系数法即可求解； （2）先求出直线的解析式，过点作轴，交于点，则，设点为，则点为，求出的长度，利用三角形面积列出函数解析式，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，进一步即可求出点的坐标； （3）可求抛物线对称轴为直线，连接，，，根据对称性得出，则，故当A、M、P三点共线时，最小，则的周长最小，根据待定系数法求出直线的解析式为，然后把代入求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过，其对称轴为， ∴， 解得：， ∴； （2）解：由， 当时，， 则， 设直线的解析式为，则把点、代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为； 过点作轴，交于点，如图： 设点P 为，则点D为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最大值； ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， 连接，，， ∵A、B关于直线对称， ∴， ∴， ∴当A、M、P三点共线时，最小，则的周长最小， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴． 20．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，已知抛物线经过点、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N．若点M的横坐标为m．请用m的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，连接、，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当时，的面积最大为． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，然后用m表示出点M和点N，然后用点N的纵坐标减去点M的纵坐标即可解答； （3）根据的面积等于，据此列出二次函数解析式，然后运用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、、三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式：，即． （2）解：设直线的解析式为：， 把、代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 又∵轴， ∴， ∴， 即. （3）解：存在， ∵， ∴当最大时，的面积最大， ∵， 当时，有最大值为， 所以当时，的面积最大为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03二次函数中线段、周长、面积最值问题的五种模型 题型归纳 目录 题型一：利用二次函数求线段最值的问题 题型二：利用二次函数求线段和最值的问题 .8 题型三：利用二次函数求线段差最值的问题 14 题型四：利用二次函数求周长最值的问题.27 题型五：利用二次函数求面积最值的问题 .34 题型专练 题型一：利用二次函数求线段最值的问题 1.(25-26九年级上河南商丘·期中)如图，抛物线y=ax2+bx-3过A1,0),B(-3,0)两点，直线AD交抛 物线于点D,点D的横坐标为-2，P(m,n)是线段AD上的动点. (①)求直线AD及抛物线的解析式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q,求线段PQ的长度1与m的关系式，m为何值时，PQ最长？ 2.(25-26九年级上河南开封月考)如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+bx-3与直线 y=-x-1交于点A(-1,0),B(m,-3),点P是线段AB上的动点. (1)①m= ②求抛物线的解析式. ③直接写出抛物线解析式顶点坐标( 1/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)过点P作直线1垂直于x轴，交抛物线y=ax2+bx-3于点Q,求线段PQ的长的最大值，并求出此时点P 与点Q的坐标。 3.(25-26九年级上海南省直辖县级单位·期中)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A,B两点，其 中点A的坐标为-3,0)，且点(2,5)在抛物线y=x2+bx+c上. x=-1 0 (1)求抛物线的解析式： (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值， ②点P在抛物线上，且S。Poc=4S,oc,求点P点坐标， 4.(25-26九年级上安徽合肥月考)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于 A-1,0),B(3,0两点，与y轴交于点C,作直线BC. B (1)求抛物线的解析式. (②)如图，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC,垂足为Q,请问线段PQ是否存在最 大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由. (3)点M是直线BC上一动点，N是抛物线上一点，过点M作线段MN∥OC(点N在直线BC下方)，已知 MN=2,请直接写出点M的坐标 题型二：利用二次函数求线段和最值的问题 5.(25-26九年级上·云南临沧期中)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴 交于点C. 2/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求抛物线的解析式： (②)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标. 6.(2526九年级上青海西宁期中)如图，袍物线y=+:-2与维交于A,8两点，与y轴交于C点， 且A(-1,0). A (1)求抛物线的解析式及对称轴： (2)点M是对称轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求M点的坐标及MC+MD的最小值. 7.(25.26九年级上江西南昌月考)如图，抛物线y=2+hx-经过4-1,0，B5,0)两点. B 图1 图2 (I)求此抛物线的解析式； (②)在抛物线的对称轴上有一点P,使得PA+PC值最小，求最小值以及此时点P的坐标； 8.(25-26九年级上山东泰安·期中)过点A的抛物线y=-x2+bx+c与x轴的另一交点为C,OD=0A,与 y轴交于点D(0,3). 3/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (①)求抛物线的解析式： (2)点P是抛物线对称轴1上的一个动点，当CP+DP和最小时，求点P的坐标； (3)若Q是抛物线上一个动点，设Q的横坐标为m(0<m<3),连接DQ,AQ,当△AQD的面积等于 △D0C面积的2倍时，求m的值. 题型三：利用二次函数求线段差最值的问题 9.(2025安徽合肥三模)抛物线y,=-3x2+bx+c顶点为A(2,1),抛物线y,=-x2+4x+d与y轴交于点B, 直线AB经过点CL,O) (1)求b,c,d的值； (2)己知点P(m,n)和Q(3m-4,3m),且点P在抛物线y上 (i)判断点Q(3m-4,3)是否在抛物线2上，说明理由； (i)过点P、Q分别向x轴作垂线，交直线AB于点D、E,当m≥2时，求PD-QE的最大值. 10.(25-26九年级上辽宁鞍山月考)在平面直角坐标系x0y中；已知抛物线的顶点坐标为2,0)，且经过 点(4，)，如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线1为y=-1. B V- (1)求抛物线的解析式： (②)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使PA-PB取得最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由； (3)己知F(xo,yo)为平面内一定点，M(m,n)为抛物线上一动点，且点M到直线1的距离与点M到点F的距 离总是相等，求定点F的坐标， 2425八年级下黑龙江绥化：期中如图，直线y=-x+4与抛物线y三产+bx+c交于A,B内 点A在y轴上，点B在x轴上. 4/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A 0 (1)求抛物线的解析式： (②)点P是第一象限的抛物线上一点，点P位于何处时四边形OAPB面积最大，此时P点的坐标为 四边形OAPB的面积的最大值为 (3)在(2)的条件下，在抛物线的对称轴上找点Q使BQ-PQ值最大，求Q点坐标及BQ-PQ的最大值 12.(25-26九年级上重庆渝北月考)如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴，y轴分别交于 A,B两点，抛物线y=ar2+x+ca≠0)经过A,B两点与x轴相交于点C. ()求抛物线的解析式： (2)若点M为直线BC上方抛物线上任意一点，过M作ME⊥BC于点E,当ME最大时，Q为y轴上一动点， 求MQ-CQ的最大值. (3)若点P在抛物线上，连接PB,当LPBC+∠0BA=45°时，请直接写出点P的坐标 题型四：利用二次函数求周长最值的问题 13.(25-26九年级上江西南昌·月考)已知抛物线y=ax2+bx-4与x轴相交于点A(-1,0),B(-4,0),与y 轴相交于点C. B (1)求抛物线的表达式： 5/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)如图，点P是抛物线的对称轴1上的一个动点，当aPAC的周长最小时，求点P的坐标 14.(25-26九年级上·黑龙江绥化月考)如图a,抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A(-3,0)和点B,交y轴 于点C(0,3). D ⊙ B 图a 图b (1)求抛物线的函数表达式； (②)若点P在抛物线对称轴上，是否存在一点P,使△PCB的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在 说明理由， (3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值. 15.已知，抛物线y=x2-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点. 1)求点A、B、C三点的坐标： (2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积； (3)在(2)的条件下，在线段AP上是否存在一点M,使△MBC的周长最小？若存在，请直接写出△MBC周 长的最小值；若不存在，请说明理由 16.如图，抛物线y=ax2+bx-5的图象与x轴交于A-1,0),B(5,0)两点，与y轴交于点C,顶点为D. 6/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求此抛物线的解析式： (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标并计算△QAC的 周长；若不存在，请说明理由； 3)设点M在第四象限，且在抛物线上，当△MBC的面积最大，求此时点M的坐标.（直接写出结果） 题型五：利用二次函数求面积最值的问题 17.(25-26九年级上福建漳州期中)如图，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交 于点C.已知点A的坐标是(-2,0)，抛物线的对称轴是直线x=1. (1)求函数解析式和点B的坐标； (2)在对称轴上找一点P,使PA+PC的值最小.求点P的坐标： (3)第一象限内的抛物线上有一动点M,连接MC、MB,求△MBC面积的最大值，以及取得最大值时点M 的坐标. 18.(25-26九年级上云南怒江·期中)如图，己知抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于点A(-1,0), B(3,0),与y轴交于点C. 4 3 ◆P 2 A B⊥ -3-2-91245 (①)求该抛物线对应的函数解析式； (②)已知P为抛物线对称轴上一动点，求△APC周长的最小值： (3)若Q为抛物线上一点，当点Q运动到直线BC下方时，求△BCQ面积的最大值. 19.(25-26九年级上重庆綦江期中)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x+br+c交x轴于 2 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 A,B两点，交y轴于点C,其中点B(4,0),其对称轴为x= C B (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若P为第一象限内抛物线上一点，连接PB、PC,求△PBC面积的最大值，及此时点P的坐标. (3)在(2)的条件下，在对称轴上是否存在一点M,使得△PBM的周长最小，若存在，请直接写出M点坐 标，若不存在，说明理由. 20.(25-26九年级上辽宁铁岭月考)如图，已知抛物线经过点A-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点. N M Aō B (1)求抛物线的解析式： (②)点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N.若点M的横坐标为m.请 用m的代数式表示MN的长； (3)在(2)的条件下，连接NB、NC,是否存在m,使aBNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在， 说明理由. 8/8