培优06 二次函数中的线段（和差）、周长、面积的最值问题（专项训练）数学北师大版九年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 培优06二次函数中的线段（和差）、周长、面积的最值问题 划重点·冲 高分 题型1线段的最值问题 题型2线段和差的最值问题 二次函数中的线段 (和差)、周长、 题型3三角形周长的最值问题 面积的最值问题 题型4四边形周长的最值问题 题型5面积的最值问题 题型1线段的最值问题 一一一一一一一 ,如图，直线y=x+2与抛物线=ar+bx+6ū≠0相交于A),)和B4,m,点P是线段AB上异于A B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C (1)求抛物线的解析式： (2)求△B0E的面积； (3)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由： 【答案】(1)y=2x2-8x+6: (2)6 (3)线段PC最大为49 【分析】 1/59 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：B(4,m在直线y=x+2上， ∴m=4+2=6, B4,6, 引 B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上， 6=16a+4b+6 a=2 解得 1b=-81 抛物线的解析式为y=2x2-8x+6; (2)解：令y=0,则0=x+2,解得x=-2, B D X ∴.OE=2, :△B0E的面积=x2x6=6: (3)解：设动点P的坐标为(n,n+2),则C点的坐标为(n,2n2-8n+6, rc-a+2-2r-40j=2n49n4=2e-g9 .a=-2<0, :当n=?时，线段PC最大为 6 2.如图，抛物线与x轴交于A-2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,4). 2/59 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y个 (1)求抛物线的解析式； (②)P是抛物线在第一象限的一个动点，点Q在线段BC上，且点Q始终在点P正下方，求线段PQ的最大值. 【答案】(1)y=-。x2+x+4 2 (2)2 【分析】 【详解】(1)解：：抛物线经过点C(0,4), ∴.可设抛物线解析式为y=ax2+bx+4, 将点A-2,0),B(4,0)代入，得 0=a--22-2b+4 0=a.42+4b+4 1 a= 解得 2, b=1 抛物线解析式为：y=+x+4. 2 (2)解：设经过点B、C的直线解析式为y=mx+n, 0=4m+n 将点B(4,0)，C(0,4)代入，得 n=4 m=-1 解得 n=4” .经过点B、C的直线解析式为y=-x+4, 3/59 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设点Px,-)x+x+4 点0(x,-x+4, ..PO=- 6+x+4-x+42+2x= 2x-2)+2, .当x=2时，P2有最大值2. Q B 3.如图，已知二次函数片-x+bx+c的图象与x轴交于B-2,0)、C两点，与y轴交于点A0,-6,直线 AC的函数表达式为y,=mx+n. B (1)求二次函数的表达式及顶点坐标； (2)求>y2时，x的取值范围； (3)点E是线段AC上任意一点（不含端点），过点E作y轴的平行线交二次函数图象交于点F,若点E的 横坐标m,求m为何值时，线段EF有最大值，最大值是多少 【答案】()）二次函数的解析式为=x2-2x-6:顶点坐标为2，-8 2 2)x<0或x>6 ©=3时，F设大值为号 【分析】 4/59 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：二次函数y=。x2+bx+c的图象过点A0,-6),B(-2,0), 2 c=-6 =-2 2-2b+c=0'解得 c=6 “二次函数的解析式为以=。x2-2x-6； 2 %=2-2x-6=2x-2-8. .顶点坐标为(2，-8)： (2)解：“月=x2-2x-6的对称轴为直线x=2, B(-2,0)与C关于直线x=2对称， .C6,0) 由图象可知，月>y2时x的取值范围x<0或x>6; (3)解：将A(0,-6),C6,0)代入直线AC的函数解析式y2=kx+1, t=6 6k+t=0'解得 k=1 得 =61 :直线AC的函数解析式为y2=x-6, :点E的横坐标m, 1 E(m,m-61,Fm,2m2-2m-6 .0<m<6, 1 EF=(m-6)- 当m=3时， EF有最大值号 【点晴】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解 答是解题的关键. 4.如图，抛物线y=ax2+bx+3(a,b为常数，且a≠0)与x轴交于点A-1,0)、B(3,0),与y轴交于点 C,连接BC. 5/59 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点M在x轴下方的抛物线上，连接CM交x轴于点D,若LBCM=15°，求点M的横坐标； (3)如图2，动点P在直线BC上方的抛物线上运动（不与点B、C重合），过点P作PD⊥BC于点D,当动 点P在什么位置时，线段PD的值最大，求线段PD的最大值，并求此时点P的坐标. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2)2+V5 (3)当点P坐标为 315 2’4 时，线段PD的值最大，最大值为5 8 【分析】 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+3(a,b为常数，且a≠0)与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0), a-b+3=0 9a+3b+3=0 a=-1 解得b=2 .抛物线的解析式为y=-x2+2x+3; (2)解：如图所示，过点M作MN⊥y轴于点N y B :y=-x2+2x+3 6/59 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当x=0时，y=3 C(0,3 :B3,0) .0B=0C=3 :.△OBC是等腰直角三角形 .∠0CB=45° :LBCM=15° :.∠0CM=∠0CB-∠BCM=30° tan∠0CM=tan30°=MW-V5 CN 3 :点M在x轴下方的抛物线上， .设Mm,-m2+2m+3) .MN=m,CN=3--m2+2m+3=m2-2m m-2m3 解得m=0(舍去)或m=2+5 ∴.点M的横坐标为2+√5； (3)解：如图所示，过点P作x轴的垂线，垂足为F,交直线BC于点E, yA D B 设P6,-2+21+3, 设直线BC表达式为y=kx+b,, [0=3k+b 将B(3,0),C(0,3代入得： 13=b 7/59 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 k=-1 解得4=3' y=-x+3, :PF⊥x轴，交BC于点E, Et,-1+3), .PE=yp-yE=-2+2t+3-(-t+3)=-2+3t, PF⊥OB, .PFIy轴， .∠PED=∠0CB=45 PD=PE.sin LPED=PE.sin45=PE 2 、V212+3-22+。7192 - 2 21s、 22 8 <0, 2 :当1=时，PD有最大值，最大值为 8 将1=代入-2+21+3= +2×号+3=15 3 2 2 4 315 当点P坐标为 2’4 时，线段PD的值最大，最大值为9y迈 8 【点晴】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，解直角三角形，二次函数和几 何综合，掌握二次函数图象的性质，二次函数最值的计算方法是关键 5.如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A(-3,0)和点B,交y轴于点C(0,3). 图a 图b (①)求抛物线的函数表达式： (2)若点P在抛物线上，且SAoP=4Soc,求点P的坐标； 8/59 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值和点 Q的坐标 【答案】(1)y=-x2-2x+3 2)-1,4,(-1+2V2,-4),(-1-2V2,-4) ③DQ有最大位子此时点Q的坐标为（引 【分析】 【详解】(1)解：把A-3,0),C(0,3代入y=-x2+bx+c, 0=-9-3b+c b=-2 得： 3=c ,解得： (c=3 故该抛物线的解析式为：y=-2-2x+3; (2)由(1)知，该抛物线的解析式为y=-x2-2x+3, 当y=0时，即-x2-2x+3=0,解得：x1=-3,x2=1,则B(1,0), 设P点坐标为x,-x2-2x+3, S AOP=4S BoC, 2×3xr2-2x+3到=4×x1x3. 1 整理，得(x+1)2=0或x2+2x-7=0, 解得x=-1或x=-1±2V2, 则符合条件的点P的坐标为：（-1,4，(-1+2√2，-4)，(-1-2V2,-4): (3)设直线AC的解析式为y=x+n, -3k+n=0 将A-3,0),C(0,3)代入，得： n=3 k=1 解得： n=31 即直线AC的解析式为y=x+3. 设Q点坐标为t,t+3),(-3≤1≤0)，则D点坐标为t,-12-2t+3, 00=-2+-0+3=-=-++ 9/59 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :当1=一2时，D0有最大值子此时点Q的坐标为 9 33 2'2 【点晴】考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及线段长度问题.此题难 度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想， 6.已知抛物线y=ar2_3 x+C与x轴相交于A、B两点，并与直线y=2t-2交于B、C两点，其中点C是 2 直线y=。x-2与y轴的交点，连接AC· 2 (1)点B的坐标是 ,点C的坐标是 (2)求抛物线的解析式： (3)设点E是线段CB上的一个动点（不与点B、C重），直线EF∥y轴，交抛物线与点F,问点E运动到何 处时，线段EF的长最大？并求出EF的长的最大值， 【答案】(1)4,0)；（4,0) (3)当点E运动到点(2，-1)时，EF有最大值，最大值为2 【分析】 【详解】)解：在y-2中，当=0时，少=2当)=0时，4， .B(4,0),C(0,-2): 2)解：把840)，C0-2刘代入y=㎡-x+e中得： 16a-。×4+c=0 C=-2 1 a= 2, c=-2 抛物线解析式为y=x_3x x-2: 22 1 (3)解：设Em,2m-2 10/59 培优06 二次函数中的线段（和差）、周长、面积的最值问题 题型1线段的最值问题 1．如图，直线与抛物线相交于和，点P是线段上异于A、B的动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点C (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； 2．如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线在第一象限的一个动点，点Q在线段上，且点Q始终在点P正下方，求线段的最大值． 3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于、C两点，与y轴交于点，直线AC的函数表达式为．    (1)求二次函数的表达式及顶点坐标； (2)求时，x的取值范围； (3)点E是线段上任意一点（不含端点），过点E作y轴的平行线交二次函数图象交于点F，若点E的横坐标m，求m为何值时，线段有最大值，最大值是多少． 4．如图，抛物线（a，b为常数，且）与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点M在x轴下方的抛物线上，连接交x轴于点D，若，求点M的横坐标； (3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上运动（不与点B、C重合），过点P作于点D，当动点P在什么位置时，线段的值最大，求线段的最大值，并求此时点P的坐标． 5．如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)如图b，设点Q是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值和点Q的坐标 6．已知抛物线与轴相交于A、B两点，并与直线交于B、C两点，其中点是直线与轴的交点，连接． (1)点的坐标是______，点的坐标是______． (2)求抛物线的解析式； (3)设点是线段上的一个动点（不与点B、C重），直线轴，交抛物线与点，问点运动到何处时，线段的长最大？并求出的长的最大值， 题型2线段和差的最值问题 7．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 8．如图，在四边形中，，，，若线段在边上运动，且，则的长为 ，的最小值是 .    9．如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作轴交轴于点，线段的延长线交于点，连接、交于点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）当时，求点的坐标及； （3）在（2）的条件下，点是轴上一个动点，求的最小值．    10．已知抛物线过点，两点，与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)过点作，垂足为，求证：四边形为正方形； (3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 11．已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． (1)若， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； (2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标． 12．抛物线顶点为，抛物线与y轴交于点B，直线经过点 (1)求b，c，d的值； (2)已知点和，且点P在抛物线上． （i）判断点是否在抛物线上，说明理由； （ii）过点P、Q分别向x轴作垂线，交直线于点D、E，当时，求的最大值． 题型3三角形周长的最值问题 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点．直线交轴于点，点是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作于点，轴，交于点．当的周长取得最大值时，求点的坐标和的周长的最大值； 14．如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由； (3)已知点，若点是抛物线上任意一点，分别连接、、，则的周长有最小值吗？如果有请求出最小值，若没有，请说明理由． 15．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点和点 B， 与y轴交于点 C． (1)求a的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，， 求点M的坐标； (3)在直线上方的抛物线上有一动点 P，过点P作于点E， 作交于点 F．当的周长有最大值时，求点 P 的坐标和的周长． 16．如图，抛物线经过点，点，且． (1)求抛物线的解析式及其对称轴； (2)如图，连接，过点作的平行线交抛物线于点，为线段上一动点，连接交抛物线于点，连接交于点，连接，的面积是否有最大值，若有，求出最大值，若无，请说明理由． (3)如图，以为直角顶点，为直角边边向右作等腰直角，将沿射线线平移得到，连接、，的周长是否有最小值，若有，求的周长的最小值，若无，请说明理由． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点B，与y轴交点C，抛物线经过B，C两点，与轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点．过点P作轴交于M． (1)求抛物线的解析式； (2)当是直角三角形时，求P点坐标； (3)若点P是直线上方抛物线上一动点（不与B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点M， 作于点N， 当的周长最大时，请在轴上找到一点Q，使的周长最小，并求出最小值． 题型4四边形周长的最值问题 18．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)抛物线的解析式为______________； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 19．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点的坐标为，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式与顶点坐标； (2)若点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，过作轴，交直线于点，以为边作矩形，设矩形的周长为，求当点在何位置时，周长有最大值，并求出最大值． 20．如图1，已知矩形中，，，在、边上选取适当的点E、F，将沿对折，使O点落在边上的D点． (1)当点E取在点A上，得图2，直接写出的长为______； (2)在图3中过点D作交于点T，交于点G，连接， ①证明四边形是菱形； ②设长为x，请你利用所学的函数及其图象的有关知识判断，当x取什么值时，菱形的周长L取最大值并求出周长L的最大值． 21．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点 (1)求b，c，m的值； (2)如图，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标． (3)若第（2）问中的D点的横坐标为n，，则四边形的周长是否有最大值或最小值，若有，直接写出这个值；若没有，填写“不存在”．最小值：_____最大值：______． 22．已知，如图二次函数的图象与y轴交于点与x轴交于点A、B，点，抛物线的对称轴为直线．直线交抛物线于点． (1)求二次函数的解析式并写出D点坐标； (2)点Q是线段上的一动点，过点Q作交于E，连接，当的面积最大时，求点Q的坐标； (3)抛物线与y轴交于点C，直线与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形周长取最小值时，求出满足条件的点M的坐标和周长的最小值． 题型5面积的最值问题 23．如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，、两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为． (1)几秒后四边形的面积是？ (2)若用表示四边形的面积，求经过多长时间取得最小值，并求出的最小值． 24．如图，在中，，，．若动点从点出发，沿线段运动到点为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为． (1)求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求出的面积与之间的函数关系式； (3)当x为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差； (3)若为抛物线的顶点，直线交抛物线于，两点，求面积的最小值． 26．记二次函数的图像为抛物线，一次函数的图像为直线，与交于点、． (1)设与轴交于点，点在上运动，求的最小值及此时点的坐标； (2)作点关于轴的对称点，记为，连接交轴于点． （I）求点的坐标； （II）设坐标原点为，记与的面积之和为，求的最小值． 27．现有一块矩形板材，，，点为边上一点，连接，过点在矩形板材上作，且． (1)如图1，若点恰好落在边上，则线段的长为_____； (2)如图2，连接，求线段长度的最小值； (3)如图3，连接，工人师傅能否在这块矩形板材上裁出面积最小的四边形？若能，请求出四边形面积的最小值；若不能，请说明理由． 28．如图，二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点B，直线经过A，B两点，点P为二次函数在第一象限的图象上的动点，连接，． (1)求二次函数的解析式． (2)是否存在点P，使得的面积存在最大值？若存在，求出点P的坐标，并求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 29.如图，直线l：与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与抛物线交于点B． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时二次函数的最大值与最小值的差为 (3)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第三象限内，连接、，设点M的横坐标为m，四边形的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值； 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $