第15讲 几何图形初步（复习讲义，6考点20题型2重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 三角形 第15讲 几何图形初步 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一 立体图形 题型01生活中常见的立体图形 题型02从不同方向看几何图形 题型03几何图形的展开图 题型04求展开图两点折点后的距离 题型05平面图形旋转后得到的立体图形 命题点二 线段中相关计算 题型01 两点之间线段最短 题型02 线段的中点 题型03 最短路径问题 命题点三 角的概念与计算 题型01 钟面角相关计算 题型02 方位角相关计算 题型03 角的度量 题型04 三角板中角度计算问题 题型05 与角平分线相关的计算 题型06 余角和补角问题 命题点四 相交线与平行线 题型01 平行线中三角板问题 题型02 根据平行线的性质与判定求角度 题型03 平行线的性质与判定实际应用 题型04 利用平行线的性质与判定证明 题型05 平行线中折叠问题 题型06 点到直线的距离 05·重难突破·思维进阶难 35 突破一 线段上的动点问题 突破二 几何图形初步中实践探究 06·优题精选·练能提分 39 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 认识平面图形和立体图形 长沙卷 T2 湖南省卷 T3 能识别简单几何体的三视图，理解立体图形与平面图形的转化关系。 直线、射线与线段 / 湖南省卷 T6 掌握“两点确定一条直线”“两点之间线段最短”等基本事实，能进行线段长度的计算。 角 / / 理解角的概念，掌握角的度量与计算，能运用角平分线性质解决问题。 相交线与平行线 长沙卷 T7 湖南省卷T11 长沙卷 T8 掌握对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角的概念，能运用平行线的性质和判定解决问题。 命题预测 2026年湖南中考图形初步命题趋势 将以基础题为主，聚焦核心概念、简单计算与直观应用，重点考查正方体展开图、线段中点、角的和差与余补角、平行线判定与性质、相交线相关角度计算，题型以选择、填空为主，偶有简单解答，难度稳定在易到中档，注重空间观念与基础逻辑推理，不涉及复杂证明，常结合生活情境与简单图形综合考查。 备考建议 备考时紧扣课标核心，夯实基础概念与计算，强化高频考点训练，熟练掌握正方体展开图判断、线段与角的计算、平行线判定与性质应用，规范几何语言与解题步骤，针对性突破易错点（如分类讨论、度分秒换算、三线八角识别），结合典型例题与真题训练，提升图形直观分析与简单推理能力，确保基础题不丢分。 考点一 认识平面图形和立体图形 一、基本概念 1.平面图形 定义：所有点都在同一平面内的图形，是二维图形，只有长度和宽度，无厚度。 常见类型：线段、角、三角形、四边形(正方形、长方形、平行四边形、梯形)、圆、扇形、多边形等。 2.立体图形 定义：各部分不都在同一平面内的图形，是三维图形，有长度、宽度、高度(厚度)。 常见类型： 柱体：棱柱(三棱柱、四棱柱/长方体、正方体)、圆柱； 锥体：棱锥(三棱锥、四棱锥)、圆锥； 球体：球； 台体：棱台、圆台(初中较少涉及)。 二、立体图形的分类与特征 1.棱柱(以长方体、正方体为核心) 结构：由两个互相平行且全等的多边形底面+若干长方形侧面围成，侧棱平行且相等。 正方体：6个面都是正方形，12条棱长度相等，8个顶点。 长方体：6个面都是长方形(特殊情况2个面为正方形),相对面完全相同，12条棱分长、宽、高三组，每组 4条相等，8个顶点。 2.圆柱 结构：由两个大小相等的圆形底面+1个曲面侧面围成，侧面展开是长方形(长=底面圆周长，宽=圆柱高)。 3.棱锥(以四棱锥为核心)结构：1个多边形底面+若干三角形侧面，所有侧面交于1个顶点。 4.圆锥结构：1个圆形底面+1个曲面侧面，侧面展开是扇形，有1个顶点。 5.球结构：由1个曲面围成，无顶点、无棱、无平面。 三、点、线、面、体的关系（几何基础） 1.点动成线：笔尖移动形成线（直线/曲线）； 2.线动成面：长方形绕一边旋转形成圆柱（面动成体的基础）； 3.面动成体：直角三角形绕直角边旋转形成圆锥，半圆绕直径旋转形成球； 4.体由面围成：立体图形的表面是平面或曲面，面与面相交成线，线与线相交成点。 1.（2025·湖南长沙宁乡·一模）篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·湖南岳阳湘一·模拟）如图，封闭玻璃容器里装有液体（单位：），竖放时液体刚好成正方体的形状，横放时液体高（    ）． A．1.6 B．2 C．6 D．6.4 3.（2025·湖南永州·模拟）下列几何体是棱锥的是(  ) A． B． C． D． 考点二 几何图形的展开图 1.展开与折叠(判断能否围成立体图形) 正方体展开图：共11种，分4类： “一四—”型(6种)：中间4个正方形，上下各1个； “一三二”型(3种)：中间3个，上1下2; “三三”型(1种)：两行各3个； “二二二”型(1种)：三行各2个。 【易错】出现“田”字、“凹”字结构的展开图不能围成正方体。 圆柱展开图：2个圆(底面)+1个长方形(侧面)。 圆锥展开图：1个圆(底面)+1个扇形(侧面)。 2.从不同方向看(三视图，中考高频) 定义：从正面、左面、上面三个方向观察立体图形，得到的平面图形分别叫主视图、左视图、俯视图，合称三视图。 1.（2025·湖南长沙·中考真题）下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·湖南省卷·中考真题）如图，该纸杯的主视图是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南常德·三模）将“做最好的自己”六个汉字分别写在某正方体的表面上，右图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“己”字所在面相对的面上的汉字是（   ） A．做 B．最 C．好 D．己 4.（2025·湖南永州·二模）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（    ） A． B． C． D． 考点三 直线、射线和线段 一、直线、射线、线段的相关概念 直线 射线 线段 概念 直线是几何图形基础，是一个不做定义的原始概念. 直线上一点和它一旁的部分叫做射线. 直线上两点和它们之间的部分叫做线段. 图形 表示方法 直线AB或直线BA 直线m 射线OA 射线n 线段AB 线段l 端点个数 无 1个 2个 延伸、度量情况 可向两方无限延伸 不可度量 只能以一方无限延伸 不可度量 不能延伸，可以度量 不同点 线段向一方延伸就成为射线，向两方延伸就成为直线 相同点 都是直的线 直线的性质： 1）直线公理: 经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线； 2）经过一点的直线有无数条，过两点的直线只有一条，过三点就不一定了. 两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离. 线段的性质：两点的所有连线中，线段最短. 简称：两点之间，线段最短. 线段的长度比较方法：1)度量法:分别用刻度尺测量线段AB、线段CD的长度，再进行比较 2)叠加法:让线段某一段端点重合，比较另一边两端点的位置. 线段中点的概念：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点. 1.（2025·湖南武冈·模拟）下列说法正确的是（    ） ①连接两点之间的线段叫做两点间的距离； ②若，则点C是AB的中点； ③线段AB和线段BA是同一条线段； ④木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点之间，线段最短． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.（2025·湖南岳阳湘一·一模）在直线l上顺次取三点A、B、C，使线段，，则线段的长为（   ） A． B．或 C． D． 3.（2025·湖南永州·模拟）如图，、两点把线段分成了三部分，且，为的中点，若，则长为 ． 考点四 角 一、角的基本概念与表示 1.角的定义 静态定义：由有公共端点的两条射线组成的图形，公共端点是顶点，两条射线是边。 动态定义：一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，起始边为始边，终止边为终边。 2.角的表示方法(中考常考规范) ①用三个大写字母：顶点字母在中间，如∠AOB(0为顶点); ②用一个大写字母：顶点处只有一个角时，如∠O; ③用数字：如∠1、∠2; ④用希腊字母：如∠α、∠β、∠Y。 3.角的分类： ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 4.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制. 度、分、秒的运算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（）′；1″=（）° 1周角=2平角=4直角=360°. 5.角的大小的比较：1）叠合法：使两个角的顶点及一边重合，比较另一边的位置； 2）度量法：分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较. 6.角的平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线. 【性质】①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC． ②角平分线上的点到角两边的距离相等． 7.余角的概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角. 8.补角的概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角. 【性质】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等. 1.（2025·湖南武冈·模拟）如果和互余，且，则下列表示的补角的式子中：①，②，③，④，⑤，正确的有（    ） A．①② B．③④ C．①②⑤ D．②③④ 2.（2025·湖南张家界·二模）已知，，则 （填“”，“”或“”）． 3.（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，是外角的平分线，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点五 相交线与垂直 一、相交线 直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行. 垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足. 垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 二、相交线中的角 第一种 对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 （∠1与∠2） 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 ∠1=∠2 邻补角 （∠3与∠4） 有公共顶点 ∠3与∠4有一条公共边，另一边互为反向延长线. ∠3+∠4=180° 第二种 同位角、内错角与同旁内角 同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（同旁同侧）如：∠1和∠5. 内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（内部异侧）如：∠3和∠5. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系的一对叫同旁内角.（同旁内侧）如：∠3和∠6. 【速记同位角、内错角与同旁内角】 三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对. 正确认识这八个角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同侧”;内错角要抓住“内部和异侧”;同旁内角要抓住“同旁和内部”. 1.（2025·湖南娄底·二模）下列命题中，不正确的是（   ） A．对顶角相等 B．菱形的四条边都相等 C．平移不改变图形的形状和大小 D．任意多边形的内角和等于 2.（2025·湖南·三模拟预测）如图示，，．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 3.（2025·湖南衡阳·一模）如图，直线、相交于点O，，平分，射线，则 ． 4.（2025·湖南张家界·一模）如图，已知与，其中与相交，下列结论中错误的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是对顶角 C．与是内错角 D．与是同位角 考点六 平行线的性质与判定 一、平行线的基本概念 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2.符号：平行用“∥”表示，读作“平行于”，如直线a∥b。 二、平行公理及推论(基础) 1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 2.推论(平行线的传递性):如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 符号语言：若a∥b，b ∥c则a∥c。 三、平行线的判定(由“角的关系”推“线的平行”) 判定的核心是三线八角，即两条直线被第三条直线所截，通过角的关系判断平行。 ①同位角相等，两直线平行 ②内错角相等，两直线平行 ③同旁内角互补，两直线平行 四、平行线的性质(由“线的平行”推“角的关系”) 性质与判定互为逆过程，是中考几何计算与证明的核心工具。 ①两直线平行，同位角相等 ②两直线平行，内错角相等 ③两直线平行，同旁内角互补 五、平行线间的距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线间的距离。 2.性质：平行线间的距离处处相等。 1.（2025·湖南长沙·中考真题）如图，，直线与直线，分别交于点E，F，直线与直线交于点G．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·湖南省卷·中考真题）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则 ． 3.（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 命题点一 立体图形 ►题型01 生活中常见的立体图形 【典例】（2025·湖南株洲·模拟）如图的几何体素描作品中，不存在的几何体为（    ） A．棱锥 B．球 C．圆柱 D．棱柱 【变式1】（2025·湖南永州·模拟）下列物品的形状可以近似地看作圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南邵阳·模拟）如图是常见的一种“斗笠”，用数学的眼光可将“斗笠”近似地看成（   ） A．棱柱 B．球 C．圆锥 D．圆柱 ►题型02 从不同方向看几何图形 “从不同方向看”(三视图)是中考几何基础题的高频易错点，核心错因集中在空间想象不足、规则理解不清、细节忽略。以下按概念、画图、计算、综合应用四大模块，梳理最易丢分的易错点及避坑策略。 一、核心概念混淆(基础错因) 1.混淆“视图”与“图形本身” 易错点：认为“主视图是立体图形的正面”,忽略视图是平面图形，是投影结果，而非立体图形的某个面。 例：圆柱的主视图是长方形(平面),不是圆柱的侧面(曲面);圆锥的俯视图是“圆+圆心”,不是单纯的圆。 避坑：视图是正投影，只反映长、宽、高中的两个维度，无厚度、无曲面。 2.忽略“三视图的对应规则”(长对正、高平齐、宽相等) 易错点：画图或判断时，长、宽、高对应混乱，导致视图比例/位置错误。 例：主视图的“长”≠俯视图的“长”,左视图的“高”≠主视图的“高”。 避坑：牢记口诀——主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等(主视图和俯视图的长一致，主视图和左视图的高一致，俯视图和左视图的宽一致)。 3.误解“看得见与看不见的枝” 易错点：所有棱都画实线，或看不见的棱漏画、画成实线。 规则：看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线（虚线不能省略，否则视图不完整）。 例：正方体挖去一个小正方体后，内部看不见的楼必须用虚线表示。 避坑：画图前先判断棱的可见性，复杂图形可先想象“透明立体”，再区分虚实线。 【典例】（2025·湖南祁阳·一模）如图，这是由6个大小相同的小正方体搭成的几何体，则（   ） A．从正面看和从左面看到的形状图相同 B．从上面看和从左面看到的形状图相同 C．从正面看和从上面看到的形状图相同 D．从正面看、从左面看和从上面看到的形状图都相同 【变式1】（2025·湖南永州·模拟）如图从三个不同的方向看，不可能的形状图是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南娄底·模拟）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式3】（2026·湖南益阳·月考）某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．长方体 ►题型03 几何图形的展开图 【典例】（2025·湖南永州·模拟预测）2025年3月20日驻华外交官“发现中国之美”活动启动仪式在北京大兴国际机场举行．贯穿全年、跨越六省区，将带领驻华外交官们走进云南、江西等省份，“发现中国之美”活动有利于感悟中华文化、感知时代中国．将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（　　） A．发 B．现 C．之 D．美 【变式1】（2025·湖南长沙·一模）如图是一个等边三角形连接各边中点形成的图形，则它是下列哪种几何体的表面展开图（    ） A．正方体 B．三棱柱 C．三棱锥 D．圆锥 【变式2】（2025·湖南岳阳湘一·一模）“堑堵”是一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的立体，即两底面为直角三角形的三棱柱（如下图所示）．最早的文字记载见于《九章算术》“商功”章．下列选项中是“堑堵”的侧面展开图是（   ） A．B． C． D． 【变式3】（2025·湖南永州宁远·模拟冲刺）小红想设计制作一个圆柱形的礼品盒，下列展开图中设计正确的是（    ） A．B． C． D． ►题型04 求展开图两点折点后的距离 【典例】（2025·湖南湘西·模拟）如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点M在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点M爬到盒顶的点D，则蚂蚁要爬行的最短路程是（     ）． A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南湘潭·模拟）如图，若圆柱的底面圆的周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南怀化·模拟）如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是，和，、是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想去点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是（   ） A． B． C． D． ►题型05 平面图形旋转后得到的立体图形 【典例】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·陕西·中考真题）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）下列几何体中，不能由平面图形绕某直线旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 命题点二 线段中相关计算 ►题型01 两点之间线段最短 【典例】（2025·湖南永州·模拟预测）下列生活实例中，能用两点之间，线段最短这一数学原理解释的是（   ） A．木工师傅用墨斗画线 B．墙上固定木条 C．建筑工人砌墙 D．弯曲河道改直 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）下列说法错误的是（   ） A．过两点有且只有一条直线 B．连接两点间线段的长度叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线和射线是同一条射线 【变式2】（2025·湖南湘西·模拟）毛泽东主席在《水调歌头•游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如创下了四项“世界之最”的临猗黄河大桥，采用步履式顶推技术在空中‘穿针引线’，建成后，运城通往西安的车程将缩短至2小时．用所学数学知识解释这一现象恰当的是（    ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．连接两点之间线段的长度是两点之间的距离 【变式3】（2025·湖南邵阳·模拟）如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ）． A．垂线段最短 B．经过两点有且只有一条直线 C．线段可以向两个方向延长 D．两点之间，线段最短 ►题型02 线段的中点 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟）如图，点D把线段从左至右依次分成两部分，点C是的中点，若，则线段的长是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，点在线段上，点，分别为线段，的中点，点是线段的中点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【变式2】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则（    ）． A．16 B．12 C．8 D．6 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（   ） A． B． C．或 D．或 ►题型03 最短路径问题 【典例】（2025·湖南株洲·模拟）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为 度． 【变式1】（2025·湖南永州·一模）如图，在菱形中，，，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 【变式2】（2025·湖南·模拟冲刺）如图，中，，，，线段长是5，且两个端点、分别在边，上滑动，点、分别是、的中点，求的最小值（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【变式3】（2025·湖南湘潭·一模）如图是一个圆锥的三视图，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发沿表面爬到的中点D，则这只蚂蚁爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 命题点三 角 ►题型01 钟面角相关计算 核心基础(必记) 1.钟面基本参数 钟面为360°圆周，共12大格、60小格。 每大格：360°÷12=30° 每小格：360°÷60=6° 2.时针、分针转速(关键) 分针：每分钟转6°(360°÷60),每小时转360°。 时针：每小时转30°(360°÷12),每分钟转0.5°(30°÷60)。 3.核心公式(万能) 设时间为H时M分(H取0～11,M取0～59),则： 夹角=|30H-5.5M| 【典例】（2025·湖南长沙·模拟）现代人常常受到颈椎不适的困扰，其症状包括：酸胀、隐痛、发紧、僵硬等，而将两臂向上抬，举到10点10分处，每天连续走200米，能有效缓解此症状．这里的10点10分指的是时钟在10点10分时时针和分针的夹角，请问：此时时针与分针的夹角度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南岳阳湘一·模拟）上午10时整点，钟表的时针和分针所成锐角的度数是(　　) A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南长沙·自主招生）一个挂钟在3点15分的时候，时针与分针的最小夹角是 度． 【变式3】（2025·湖南衡阳·开学考试）生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段交于点B、C，O为表盘圆心． (1)若为，，B是中点，求手表全长的长度． (2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ①求的度数； ②作射线，使，求此时的度数． ►题型02 方位角相关计算 【典例】（2025·湖南常德·二模）已知货轮在海上以每小时50海里的速度沿南偏东的方向航行，当货轮在处时，测得灯塔在其北偏东的方向上，航行2小时后货轮到达处，此时测得灯塔在其北偏东的方向上，则货轮到达处时与灯塔的距离是（　　） A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．50海里 【变式1】（2024·湖南长沙长郡·模拟）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（    ）    A．南偏西方向 B．南偏东方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向 【变式2】（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西方向，C在B的南偏东方向，且B，C到A的距离相等，则小岛A相对于小岛C的方向是（　　） A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西 【变式3】（2024·湖南衡阳·联考模拟）如图，一航班沿北偏东方向从A地飞往C地，到达C地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西方向，则其改变航向时的度数为（    ） A． B． C． D． ►题型03 角的度量 【典例】（2025·湖南长沙长沙县·模拟）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南岳阳·开学考试）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南·模拟）中华秋沙鸭是第三纪冰川期后残存下来的物种，距今已有一千多万年，属我国一级重点保护动物，全球仅存不足只．如图，一只中华秋沙鸭张开嘴的角度为，则 度 分 秒． ►题型04 三角板中角度计算问题 基础：标准三角板角度(必记) 中考只考一副(2块)三角板，角度固定： 等腰直角三角板：45°、45°、90° 细长三角板：30°、60°、90° 口诀：等腰45、细长三角30/60,直角都有90。 【典例】（2025·湖南永州·模拟）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，其中符合的图形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟）如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，那么的度数为 ． 【变式2】（2025·湖南邵阳·模拟）一副三角板如图所示方式摆放在一起，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南岳阳·模拟）如图1，点为直线上点，过点作射线，使．现将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)_____； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足，如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． ►题型05 与角平分线相关的计算 【典例】（2025·湖南·三模）如图，直线，直线分别与交于点E，F，平分，交于点G，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南邵阳·三模）如图，，交于点平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·湖南·二模）如图，，是的平分线，是的平分线，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）如图，在五边形中，， 分别平分和，则的度数为（   ） A． B． C． D． ►题型06 余角和补角问题 【典例】（2025·湖南武冈·模拟冲刺）如果和互余，则下列式子中表示补角是（    ） ①180°－；②＋2；③2＋；④＋90° A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【变式1】（2025·湖南长沙长郡·模拟）已知一个角的度数是，则它的余角的度数是 . 【变式2】（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，在中，，若剪去得到四边形，则的度数为 ． 【变式3】（2025·甘肃兰州·中考真题）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·湖南湘西·学业考试）如图，直线、相交于点O，，平分，射线，则 ． 命题点四 相交线与平行线 ►题型01 平行线中三角板问题 【典例】（2025·湖南娄底·三模）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果．那么的度数为（    ） A． B． C． D．125° 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，一个直角三角形的直角顶点和一个锐角顶点分别叠放在一矩形的一组对边上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）一副三角板和如图所示放置．，点在边上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）将一块等腰直角三角板按如图方式摆放，其中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·湖南常德·二模）如图，把一块含角的直角三角板放置于两条平行线间，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式5】（2025·湖南张家界·三模）已知直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，试求的度数． ►题型02 根据平行线的性质与判定求角度 【典例】（2025·湖南长沙·三模）如图，直线，被射线，所截，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南长沙·二模）如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南衡阳·一模）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南长沙·一模）如图，直线，等边的顶点分别在上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·湖南永州·一模）如图，下列条件：①；②；③；④；其中能判断的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①④ D．①②③ ►题型03 平行线的性质与判定实际应用 【典例】（2025·湖南·模拟预测）自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成的，其工作原理如图所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． ∵ 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南岳阳·一模）一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·湖南衡阳·二模）凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线交于点，点为焦点．若，，则的度数为 ． ►题型04 利用平行线的性质与判定证明 【典例】（2025·湖南怀化·模拟）如图，在和中，，，，、相交于点F，    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式1】（2025·湖南郴州·模拟）如图，点分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟）已知：，一块直角三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． (1)如图1，若，则___________°； (2)若的平分线交边于点F， ①如图2，当，且时，试说明：； ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 【变式3】（2025·湖南长沙·二模）【知识技能】 （）如图，在中，平分，，求证：． 【场景迁移】 （）如图，四边形为平行四边形，平分交于，延长交于，若，求的值． ►题型05 平行线中折叠问题 【典例】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，将长方形纸片沿折叠折线交于点，交于点，点、的对应点分别是，，交于点，再将四边形沿折叠，点，的对应点分别是、，交于点，给出下列结论： ；；若，则；．上述正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·湖南湘西·模拟）如图，将一张等宽的纸条按图中方式折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南郴州·模拟）如图，将一张长方形纸条沿折叠、点C，D分别折叠至点、的位置．若，则等于 度． 【变式3】（2025·湖南怀化·模拟）如图，长方形纸片的边缘互相平行，将纸片沿折叠，使得点分别落在点处．若，则的度数为 ． ►题型06 点到直线的距离 【典例】（2025·湖南娄底·三模）如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而 .（填“增大”、“保持不变”或“减小”） 【变式1】（2025·湖南株洲·模拟）反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南永州·模拟）已知直线在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是 ． 【变式3】（2025·湖南湘潭·模拟）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（    ） A．与一定相等 B．与一定不相等 C．与一定相等 D．与一定不相等 突破一 线段上的动点问题 【典例】已知，点P从点A以秒的速度向点B方向出发，点Q从点B以秒的速度向点A方向出发，两点同时出发，运动时间为t秒（t大于0且小于等于10）． (1)当秒时，的长度为_______； (2)当时，求t的值； (3)若点P，Q，B，其中一点是其他两点所连线段的中点，求t的值． 【变式1】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【变式2】材料阅读：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”这首词是我国数学家华罗庚先生所著，也是第一次提出“数形结合”这一说法，如何将代数式和几何图形结合一直是解决数学问题的重要思想方法．利用数形结合解决下列题目： 数轴上有两点，点表示的数为，表示的数为，且．点是线段的中点． (1)点表示的数是______： (2)动点从点向右边运动，速度为2个单位长度/秒，动点从点向左运动，速度为1个单位长度/秒，设运动时间为秒．当点到达点时，运动同时停止，则： ①点表示的数分别是______，______（用表示）： ②若在运动过程中，存在，请求出的值． (3)如果我们把线段和角度做类比：如图，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转．射线同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出的值． 【变式3】综合与实践 【特例感知】 （1）如图1，线段， ，分别是的中点，则______cm． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求的度数． ②请你猜想，和之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【类比探究】 （3）如图3，在的内部转动，若，，，，求的度数．（用含的式子表示） 突破二 几何图形初步中实践探究 【典例】如图，点为直线外一点，过点作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线上，且点在点的右侧， ，设． (1)填空： ． (2)若的平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当 秒时，． 【变式1】除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【变式2】在学习完《平面内的两条直线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，直线，D、A分别在、上，点E为两平行线内部一点．探究的数量关系，并说明理由；   以下是小明的解题过程，请补充完整：（请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据，符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”） 解：过点E作 ∵（已知） ∴ ∴ ， （ ） ∴ 即 ． (2)【拓展探究】路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ； (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆 与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【变式3】小宁与小波两位同学在学习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供：“两块相同直角三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图2所示摆放，其中，，，点A，B在直线上，点D，E在直线上． 动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 问题解决：小宁将三角板向右平移． (1)如图1，当点F落在线段上时，求的度数． (2)如图2，在三角板向右平移过程中，连结（初始状态E，F，B三点在同一直线上），记． ①当点F在右侧时，试探究与的数量关系． ②小宁发现，当点F在左侧时，与的数量关系将发生改变，那么此时与的数量关系是______． (3)思维拓展：小宁和小波一起将两块三角板旋转，如图3，小宁将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小波将三角板绕点D以每秒的速度逆时针旋转，设时间为t秒，，且，若边与三角板的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的t的值． 1.（2025·湖南·一模）王维名句：“桃红复含宿雨，柳绿更带朝烟”，描绘了田园生活的美好．将“桃”“红”“柳”“绿”“烟”“雨”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“桃”字所在面相对面上的汉字是（    ） A．红 B．柳 C．烟 D．雨 2.（2025·湖南株洲·模拟）墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（    ） A．垂线段最短 B．线段有两个端点 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 3.（2025·湖南·一模）哈齐高铁于2015年开通，是我国目前最北端的高速铁路，开通8年时间，方便了千千万万大庆市民出行，也推动了龙江经济发展．从大庆西站到哈尔滨站中间有4个车站，共有 种票价．（注：拟设每两个城市之间的票价相同） 4.（2025·湖南怀化·一模）如图，在中，已知，，D为边上一点，且．则（   ） A． B． C． D． 5.（2025·湖南株洲·三模）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是一种常见的吸管杯的截面示意图，已知杯口和杯底平行，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7.（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，由下列条件能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 8.（2025·湖南·二模）已知直线，嘉嘉和淇淇想画出的平行线，他们的作法如下（图1和图2）： 嘉嘉： ①将直尺紧贴直线； ②含角的三角板的顶点C落在直尺上； ③使三角板斜边与量角器的刻度线重合，则． 淇淇： ①作射线； ②在射线上任取点A，用尺规作与相等的角，即； ③连接，则． 下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉的作法正确，淇淇的作法不正确 B．嘉嘉的作法不正确，淇淇的作法正确 C．嘉嘉和淇淇的作法都正确 D．嘉嘉和淇淇的作法都不正确 9.（2025·湖南邵阳·三模）如图，点是正五边形边上一点，过点作直线，则的度数为 ． 10.（2025·湖南·模拟预测）A，B，C，D四个车站的位置如图所示．求： (1)A，D两站的距离； (2)C，D两站的距离； (3)若，C为的中点，求b的值． 11.（2025·湖南·模拟）如图，在中，按以下步骤作图：①延长到D；②以A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N；③分别以点M和点N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；④作射线． (1)由作图可知，射线是的______； (2)若，求证：． 12.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 13.（2025·湖南·模拟预测）为迎接第三届北斗规模应用国际峰会，在某高速公路上建筑了“天上星星参北斗”（如图所示）宣传路标，为了测量路标（右侧部分）最高点的高度，某数学兴趣小组进行了相关测量． 项目主题 测量路标建筑最高点的高度 测量工具 皮尺，测角仪，计算器等 活动过程 路标与模型 测绘过程 如图，表示地面，满足，，在同一平面内，且． 第一步：在处测得． 第二步：在地面上，从处出发，沿方向前进7.5米到达处，在处测得点的仰角． 第三步：返回处，从处出发，沿方向前进2米到达处，测得点恰好在点的正上方，即，（参考数据：，） 某同学作了如下辅助线来尝试解答：过点作，交于点．根据以上信息，解决下列问题（结果精确到1米）： (1)求的度数和点的高度； (2)求路标最高点距离地面的高度是多少米． 14.（2025·湖南张家界·二模）材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传． (1)在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点、点，把河岸抽象为直线，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________． A．        B．  C．       D． (2)如图所示，牧童在处放牛，其家在处，米，米，米，牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米． (3)已知，求的最小值．（可结合图形） 1.（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3.（2025·贵州·中考真题）下列图中能说明一定成立的是（  ） A． B． C． D． 4.（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5.（2025·江苏常州·中考真题）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 6.（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 7.（2025·四川·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（   ） A． B． C． D． 8.（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 9.（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为 °． 10.（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 ． 11.（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 12.（2025·海南·中考真题）现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第15讲 几何图形初步 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 18 命题点一 立体图形 题型01生活中常见的立体图形 题型02从不同方向看几何图形 题型03几何图形的展开图 题型04求展开图两点折点后的距离 题型05平面图形旋转后得到的立体图形 命题点二 线段中相关计算 题型01 两点之间线段最短 题型02 线段的中点 题型03 最短路径问题 命题点三 角的概念与计算 题型01 钟面角相关计算 题型02 方位角相关计算 题型03 角的度量 题型04 三角板中角度计算问题 题型05 与角平分线相关的计算 题型06 余角和补角问题 命题点四 相交线与平行线 题型01 平行线中三角板问题 题型02 根据平行线的性质与判定求角度 题型03 平行线的性质与判定实际应用 题型04 利用平行线的性质与判定证明 题型05 平行线中折叠问题 题型06 点到直线的距离 05·重难突破·思维进阶难 74 突破一 线段上的动点问题 突破二 几何图形初步中实践探究 06·优题精选·练能提分 90 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 认识平面图形和立体图形 长沙卷 T2 湖南省卷 T3 能识别简单几何体的三视图，理解立体图形与平面图形的转化关系。 直线、射线与线段 / 湖南省卷 T6 掌握“两点确定一条直线”“两点之间线段最短”等基本事实，能进行线段长度的计算。 角 / / 理解角的概念，掌握角的度量与计算，能运用角平分线性质解决问题。 相交线与平行线 长沙卷 T7 湖南省卷T11 长沙卷 T8 掌握对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角的概念，能运用平行线的性质和判定解决问题。 命题预测 2026年湖南中考图形初步命题趋势 将以基础题为主，聚焦核心概念、简单计算与直观应用，重点考查正方体展开图、线段中点、角的和差与余补角、平行线判定与性质、相交线相关角度计算，题型以选择、填空为主，偶有简单解答，难度稳定在易到中档，注重空间观念与基础逻辑推理，不涉及复杂证明，常结合生活情境与简单图形综合考查。 备考建议 备考时紧扣课标核心，夯实基础概念与计算，强化高频考点训练，熟练掌握正方体展开图判断、线段与角的计算、平行线判定与性质应用，规范几何语言与解题步骤，针对性突破易错点（如分类讨论、度分秒换算、三线八角识别），结合典型例题与真题训练，提升图形直观分析与简单推理能力，确保基础题不丢分。 考点一 认识平面图形和立体图形 一、基本概念 1.平面图形 定义：所有点都在同一平面内的图形，是二维图形，只有长度和宽度，无厚度。 常见类型：线段、角、三角形、四边形(正方形、长方形、平行四边形、梯形)、圆、扇形、多边形等。 2.立体图形 定义：各部分不都在同一平面内的图形，是三维图形，有长度、宽度、高度(厚度)。 常见类型： 柱体：棱柱(三棱柱、四棱柱/长方体、正方体)、圆柱； 锥体：棱锥(三棱锥、四棱锥)、圆锥； 球体：球； 台体：棱台、圆台(初中较少涉及)。 二、立体图形的分类与特征 1.棱柱(以长方体、正方体为核心) 结构：由两个互相平行且全等的多边形底面+若干长方形侧面围成，侧棱平行且相等。 正方体：6个面都是正方形，12条棱长度相等，8个顶点。 长方体：6个面都是长方形(特殊情况2个面为正方形),相对面完全相同，12条棱分长、宽、高三组，每组 4条相等，8个顶点。 2.圆柱 结构：由两个大小相等的圆形底面+1个曲面侧面围成，侧面展开是长方形(长=底面圆周长，宽=圆柱高)。 3.棱锥(以四棱锥为核心)结构：1个多边形底面+若干三角形侧面，所有侧面交于1个顶点。 4.圆锥结构：1个圆形底面+1个曲面侧面，侧面展开是扇形，有1个顶点。 5.球结构：由1个曲面围成，无顶点、无棱、无平面。 三、点、线、面、体的关系（几何基础） 1.点动成线：笔尖移动形成线（直线/曲线）； 2.线动成面：长方形绕一边旋转形成圆柱（面动成体的基础）； 3.面动成体：直角三角形绕直角边旋转形成圆锥，半圆绕直径旋转形成球； 4.体由面围成：立体图形的表面是平面或曲面，面与面相交成线，线与线相交成点。 1.（2025·湖南长沙宁乡·一模）篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从不同方向看几何体；画出从正面看这个印章的平面图形，进行作答即可． 【详解】解：这个组合体从正面看，得到的平面图形如图所示： 故选：B． 2.（2025·湖南岳阳湘一·模拟）如图，封闭玻璃容器里装有液体（单位：），竖放时液体刚好成正方体的形状，横放时液体高（    ）． A．1.6 B．2 C．6 D．6.4 【答案】D 【分析】本题考查的是认识立体图形，解题的关键是灵活运用正方体、长方体的体积公式．根据体积的意义可知，这个容器无论横放还是竖放，容器内水的体积不变，根据正方体的体积公式：，长方体的体积公式，那么，把数据代入公式解答． 【详解】解： （厘米）， 答：横放时液体高厘米． 故选：D． 3.（2025·湖南永州·模拟）下列几何体是棱锥的是(  ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析：根据棱锥的概念判断即可. A是三棱柱，错误; B是圆柱，错误； C是圆锥，错误; D是四棱锥,正确. 故选D. 点睛：本题考查了立体图形的识别，关键是根据棱锥的概念判断. 考点二 几何图形的展开图 1.展开与折叠(判断能否围成立体图形) 正方体展开图：共11种，分4类： “一四—”型(6种)：中间4个正方形，上下各1个； “一三二”型(3种)：中间3个，上1下2; “三三”型(1种)：两行各3个； “二二二”型(1种)：三行各2个。 【易错】出现“田”字、“凹”字结构的展开图不能围成正方体。 圆柱展开图：2个圆(底面)+1个长方形(侧面)。 圆锥展开图：1个圆(底面)+1个扇形(侧面)。 2.从不同方向看(三视图，中考高频) 定义：从正面、左面、上面三个方向观察立体图形，得到的平面图形分别叫主视图、左视图、俯视图，合称三视图。 1.（2025·湖南长沙·中考真题）下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图，左视图即为从左面看到的图形，据此即可解答． 【详解】 解：它的左视图是． 故选：A． 2.（2024·湖南省卷·中考真题）如图，该纸杯的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接依据主视图即从几何体的正面观察，进而得出答案． 此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键． 【详解】解：该纸杯的主视图是选项A， 故选：A． 3.（2025·湖南常德·三模）将“做最好的自己”六个汉字分别写在某正方体的表面上，右图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“己”字所在面相对的面上的汉字是（   ） A．做 B．最 C．好 D．己 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．根据正方体表面展开图的特征进行判断即可得到答案． 【详解】解：与“己”字所在面相对面上的汉字是“做”， 故选：A． 4.（2025·湖南永州·二模）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键；由几何体的展开图可知有两个三角形和三个矩形所构成的平面图，然后可知该几何体是三棱柱，进而问题可求解． 【详解】解：由图可知：该几何体是三棱柱； 故选C． 考点三 直线、射线和线段 一、直线、射线、线段的相关概念 直线 射线 线段 概念 直线是几何图形基础，是一个不做定义的原始概念. 直线上一点和它一旁的部分叫做射线. 直线上两点和它们之间的部分叫做线段. 图形 表示方法 直线AB或直线BA 直线m 射线OA 射线n 线段AB 线段l 端点个数 无 1个 2个 延伸、度量情况 可向两方无限延伸 不可度量 只能以一方无限延伸 不可度量 不能延伸，可以度量 不同点 线段向一方延伸就成为射线，向两方延伸就成为直线 相同点 都是直的线 直线的性质： 1）直线公理: 经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线； 2）经过一点的直线有无数条，过两点的直线只有一条，过三点就不一定了. 两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离. 线段的性质：两点的所有连线中，线段最短. 简称：两点之间，线段最短. 线段的长度比较方法：1)度量法:分别用刻度尺测量线段AB、线段CD的长度，再进行比较 2)叠加法:让线段某一段端点重合，比较另一边两端点的位置. 线段中点的概念：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点. 1.（2025·湖南武冈·模拟）下列说法正确的是（    ） ①连接两点之间的线段叫做两点间的距离； ②若，则点C是AB的中点； ③线段AB和线段BA是同一条线段； ④木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点之间，线段最短． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据两点间的距离，线段中点的定义，线段的表示法，以及两点确定一条直线逐项分析即可． 【详解】①连接两点之间的线段的长度叫做两点间的距离，故原说法错误； ②若C在线段上，，则点C是AB的中点，故原说法错误； ③线段和线段是同一条线段，正确； ④木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点确定一条直线，故原说法错误． 故选B． 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的表示法，以及直线的性质，熟练掌握相关定义和性质是解答本题的关键． 2.（2025·湖南岳阳湘一·一模）在直线l上顺次取三点A、B、C，使线段，，则线段的长为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差运算，根据在直线上顺次取三点A、B、C，得出，再代数计算，即可作答． 【详解】∵在直线l上顺次取三点A、B、C， ， ，， ， 故选: D． 3.（2025·湖南永州·模拟）如图，、两点把线段分成了三部分，且，为的中点，若，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，解题关键是根据求出各线段的长，再利用中点求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 考点四 角 一、角的基本概念与表示 1.角的定义 静态定义：由有公共端点的两条射线组成的图形，公共端点是顶点，两条射线是边。 动态定义：一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，起始边为始边，终止边为终边。 2.角的表示方法(中考常考规范) ①用三个大写字母：顶点字母在中间，如∠AOB(0为顶点); ②用一个大写字母：顶点处只有一个角时，如∠O; ③用数字：如∠1、∠2; ④用希腊字母：如∠α、∠β、∠Y。 3.角的分类： ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 4.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制. 度、分、秒的运算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（）′；1″=（）° 1周角=2平角=4直角=360°. 5.角的大小的比较：1）叠合法：使两个角的顶点及一边重合，比较另一边的位置； 2）度量法：分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较. 6.角的平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线. 【性质】①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC． ②角平分线上的点到角两边的距离相等． 7.余角的概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角. 8.补角的概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角. 【性质】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等. 1.（2025·湖南武冈·模拟）如果和互余，且，则下列表示的补角的式子中：①，②，③，④，⑤，正确的有（    ） A．①② B．③④ C．①②⑤ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查余角和补角的有关计算，根据互余的两角之和为，再分别代入计算即可． 【详解】解：∵和互余， ∴， ∴表示的补角的式子：①，故正确； ②，故正确； ③，故错误； ④，故错误； ⑤，故正确； ∴符合题意的有①②⑤， 故选：C． 2.（2025·湖南张家界·二模）已知，，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，首先根据把化成，再比较和的大小即可． 【详解】解：， ． 故答案为： ． 3.（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，是外角的平分线，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质；由角平分线可求得，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵是外角的平分线，， ∴； ∵，， ∴； 故选：B． 考点五 相交线与垂直 一、相交线 直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行. 垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足. 垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 二、相交线中的角 第一种 对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 （∠1与∠2） 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 ∠1=∠2 邻补角 （∠3与∠4） 有公共顶点 ∠3与∠4有一条公共边，另一边互为反向延长线. ∠3+∠4=180° 第二种 同位角、内错角与同旁内角 同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（同旁同侧）如：∠1和∠5. 内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（内部异侧）如：∠3和∠5. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系的一对叫同旁内角.（同旁内侧）如：∠3和∠6. 【速记同位角、内错角与同旁内角】 三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对. 正确认识这八个角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同侧”;内错角要抓住“内部和异侧”;同旁内角要抓住“同旁和内部”. 1.（2025·湖南娄底·二模）下列命题中，不正确的是（   ） A．对顶角相等 B．菱形的四条边都相等 C．平移不改变图形的形状和大小 D．任意多边形的内角和等于 【答案】D 【分析】本题主要考查几何基本概念的理解，包括对顶角性质、菱形的定义、平移性质以及多边形内角和公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据对顶角性质、菱形的定义、平移性质以及多边形内角和公式，逐个选项判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，此命题正确，不符合题意； B、菱形的四条边都相等，此命题正确，不符合题意； C、平移不改变图形的形状和大小，此命题正确，不符合题意； D、根据多边形的内角和公式为，其中为边数，可以判定“任意多边形的内角和等于”命题错误，符合题意； 故选：D． 2.（2025·湖南·三模拟预测）如图示，，．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角的特征，掌握同角的余角相等是解题关键．由垂直可得，进而得出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C 3.（2025·湖南衡阳·一模）如图，直线、相交于点O，，平分，射线，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查了角平分线的定义、垂线的定义、几何图中角度的计算、邻补角的定义，先求出，再由角平分线的定义得出，由垂线的定义得出，即可得解． 【详解】解：由邻补角定义得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4.（2025·湖南张家界·一模）如图，已知与，其中与相交，下列结论中错误的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是对顶角 C．与是内错角 D．与是同位角 【答案】C 【分析】此题主要考查了同位角，同旁内角，内错角和对顶角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角；据此分别进行分析可得答案． 【详解】解：A、与是同旁内角，原说法正确，不符合题意； B、与是对顶角，原说法正确，不符合题意； C、与不是内错角，原说法错误，符合题意； D、与是同位角，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 考点六 平行线的性质与判定 一、平行线的基本概念 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2.符号：平行用“∥”表示，读作“平行于”，如直线a∥b。 3.前提：必须在同一平面内，空间中不相交的直线不一定平行(异面直线)。 二、平行公理及推论(基础) 1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 2.推论(平行线的传递性):如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 符号语言：若a∥b，b ∥c则a∥c。 三、平行线的判定(由“角的关系”推“线的平行”) 判定的核心是三线八角，即两条直线被第三条直线所截，通过角的关系判断平行。 ①同位角相等，两直线平行 ②内错角相等，两直线平行 ③同旁内角互补，两直线平行 四、平行线的性质(由“线的平行”推“角的关系”) 性质与判定互为逆过程，是中考几何计算与证明的核心工具。 ①两直线平行，同位角相等 ②两直线平行，内错角相等 ③两直线平行，同旁内角互补 五、平行线间的距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线间的距离。 2.性质：平行线间的距离处处相等。 1.（2025·湖南长沙·中考真题）如图，，直线与直线，分别交于点E，F，直线与直线交于点G．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．根据平行线的性质得到，进而根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B 2.（2025·湖南省卷·中考真题）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，运用两直线平行，内错角相等是解题关键 ． 根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 3.（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 由三角形内角和定理可得，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴, ∵， ∴． 故选：C． 命题点一 立体图形 ►题型01 生活中常见的立体图形 【典例】（2025·湖南株洲·模拟）如图的几何体素描作品中，不存在的几何体为（    ） A．棱锥 B．球 C．圆柱 D．棱柱 【答案】A 【分析】本题考查的是简单几何体的识别，熟练掌握几何体的特征是解题的关键； 根据棱柱，球，棱锥的特点分析即可． 【详解】解：由题意可得：该作品中有棱柱，球，圆柱，没有棱锥， 故选：A． 【变式1】（2025·湖南永州·模拟）下列物品的形状可以近似地看作圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形的识别，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，柱体又分为圆柱和棱柱，锥体又分为圆锥和棱锥．依次观察图形，即可得出答案． 【详解】解：A、形状类似棱柱，故不符合题意； B、形状是球体，故不符合题意； C、形状是长方体，故不符合题意； D、形状是圆柱，故符合题意． 故选：D． 【变式2】（2025·湖南邵阳·模拟）如图是常见的一种“斗笠”，用数学的眼光可将“斗笠”近似地看成（   ） A．棱柱 B．球 C．圆锥 D．圆柱 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的认识，根据“斗笠”的形状即可解答． 【详解】解：“斗笠”近似地看成圆锥． 故选：C． ►题型02 从不同方向看几何图形 “从不同方向看”(三视图)是中考几何基础题的高频易错点，核心错因集中在空间想象不足、规则理解不清、细节忽略。以下按概念、画图、计算、综合应用四大模块，梳理最易丢分的易错点及避坑策略。 一、核心概念混淆(基础错因) 1.混淆“视图”与“图形本身” 易错点：认为“主视图是立体图形的正面”,忽略视图是平面图形，是投影结果，而非立体图形的某个面。 例：圆柱的主视图是长方形(平面),不是圆柱的侧面(曲面);圆锥的俯视图是“圆+圆心”,不是单纯的圆。 避坑：视图是正投影，只反映长、宽、高中的两个维度，无厚度、无曲面。 2.忽略“三视图的对应规则”(长对正、高平齐、宽相等) 易错点：画图或判断时，长、宽、高对应混乱，导致视图比例/位置错误。 例：主视图的“长”≠俯视图的“长”,左视图的“高”≠主视图的“高”。 避坑：牢记口诀——主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等(主视图和俯视图的长一致，主视图和左视图的高一致，俯视图和左视图的宽一致)。 3.误解“看得见与看不见的枝” 易错点：所有棱都画实线，或看不见的棱漏画、画成实线。 规则：看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线（虚线不能省略，否则视图不完整）。 例：正方体挖去一个小正方体后，内部看不见的楼必须用虚线表示。 避坑：画图前先判断棱的可见性，复杂图形可先想象“透明立体”，再区分虚实线。 【典例】（2025·湖南祁阳·一模）如图，这是由6个大小相同的小正方体搭成的几何体，则（   ） A．从正面看和从左面看到的形状图相同 B．从上面看和从左面看到的形状图相同 C．从正面看和从上面看到的形状图相同 D．从正面看、从左面看和从上面看到的形状图都相同 【答案】A 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，从正面看底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形，从左边看底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形，从上面看有三层，底层和中层有两个小正方形，上层有一个正方形，再逐项分析即可得解． 【详解】解：从正面看底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形， 从左边看底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形， 从上面看有三层，底层和中层有两个小正方形，上层有一个正方形， 故从正面看和从左面看到的形状图相同，从上面看和从左面看到的形状图不同，从正面看和从上面看到的形状图不同，从正面看、从左面看和从上面看到的形状图不同， 故选：A． 【变式1】（2025·湖南永州·模拟）如图从三个不同的方向看，不可能的形状图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握简单组合体三视图的画法和形状．根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可． 【详解】解：这个组合体的三视图如下： 故选：D． 【变式2】（2025·湖南娄底·模拟）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了三视图的知识，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键．从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】 解：从上面看，得到的图形是   故选：B． 【变式3】（2026·湖南益阳·月考）某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．长方体 【答案】D 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，根据常见几何体的三视图可得出答案，掌握常见几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：根据主视图和左视图是长方形可知，该几何体是柱体，俯视图判断几何体的底面形状是正方形，说明几何体是长方体， 故选：． ►题型03 几何图形的展开图 【典例】（2025·湖南永州·模拟预测）2025年3月20日驻华外交官“发现中国之美”活动启动仪式在北京大兴国际机场举行．贯穿全年、跨越六省区，将带领驻华外交官们走进云南、江西等省份，“发现中国之美”活动有利于感悟中华文化、感知时代中国．将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（　　） A．发 B．现 C．之 D．美 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点即可得答案． 【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“国”字所在的面相对的面上的字是“现”， 故选：B． 【变式1】（2025·湖南长沙·一模）如图是一个等边三角形连接各边中点形成的图形，则它是下列哪种几何体的表面展开图（    ） A．正方体 B．三棱柱 C．三棱锥 D．圆锥 【答案】C 【分析】此题考查了几何体的表面展开图，熟记掌握常见几何体的表面展开图是关键．根据常见几何体的表面展开图进行判断即可． 【详解】解：一个等边三角形连接各边中点形成的图形是三棱锥的表面展开图， 故选：C 【变式2】（2025·湖南岳阳湘一·一模）“堑堵”是一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的立体，即两底面为直角三角形的三棱柱（如下图所示）．最早的文字记载见于《九章算术》“商功”章．下列选项中是“堑堵”的侧面展开图是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了棱柱的侧面展开图．根据直三棱柱的侧面展开图形状进行解答即可． 【详解】 解：根据题意可得，“堑堵”的侧面展开图是， 故选：B 【变式3】（2025·湖南永州宁远·模拟冲刺）小红想设计制作一个圆柱形的礼品盒，下列展开图中设计正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆柱形的侧面展开图进行解答即可． 【详解】解：圆柱有两个底面是圆，侧面展开图为长方形或正方形， ∴圆柱的平面展开图为， 故选：C． 【点睛】本题考查了几何图形的平面展开图，题目比较简单，属于基础题型． ►题型04 求展开图两点折点后的距离 【典例】（2025·湖南湘西·模拟）如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点M在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点M爬到盒顶的点D，则蚂蚁要爬行的最短路程是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．将盒子分情况展开，根据勾股定理求出线段的长度比较即可． 【详解】解：如图，把侧面展平，侧面展开即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径，则， 如图，把底面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径，则， 如图，把侧面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径，则， ， 蚂蚁爬行的最短路程是， 故选：A． 【变式1】（2025·湖南湘潭·模拟）如图，若圆柱的底面圆的周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆柱侧面展开可得到长为圆柱的底面周长，宽为的矩形，根据勾股定理即可求出的长，即为所求． 【详解】解：如图，圆柱侧面展开图是矩形， 矩形的长为，宽为圆柱的底面周长， 根据勾股定理得：（）， 根据两点之间线段最短，可得丝线的最小长度为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将圆柱体展开为矩形，在矩形中求解是解题的关键． 【变式2】（2025·湖南怀化·模拟）如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是，和，、是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想去点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面展开—最短距离问题，勾股定理的应用，把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键． 【详解】解：展开图为： 则，， 在中， ， ∴蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是. 故选：B． ►题型05 平面图形旋转后得到的立体图形 【典例】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体，面动成体，根据题意作出图形，即可进行判断． 【详解】解：直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥， 故选：A． 【变式1】（2025·陕西·中考真题）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体分别判断各选项即可得到图中所示的立体图形，解题的关键是掌握面动成体． 【详解】解：、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆柱，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆台，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到图中所示的立体图形，故符合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是球体，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）下列几何体中，不能由平面图形绕某直线旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点、线、面、体，理解“点动成线”“线动成面”“面动成体”是正确判断的前提． 根据“面动成体”逐项进行判断即可． 【详解】解：A．正方体不能由平面图形绕某直线旋转一周得到，因此选项A符合题意； B．球体可以看作圆绕着直径所在的直线，旋转一周所形成的几何体，因此选项B不符合题意； C．圆锥体可以看作一个直角三角形，绕着一条直角边所在的直线，旋转一周所形成的几何体，因此选项C不符合题意； D．圆台可以看作一个直角梯形，绕着直角腰所在的直线，旋转一周所形成的几何体，因此选项D不符合题意； 选：A． 命题点二 线段中相关计算 ►题型01 两点之间线段最短 【典例】（2025·湖南永州·模拟预测）下列生活实例中，能用两点之间，线段最短这一数学原理解释的是（   ） A．木工师傅用墨斗画线 B．墙上固定木条 C．建筑工人砌墙 D．弯曲河道改直 【答案】D 【分析】本题主要考查了“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”，解题的关键是理解以上知识点．直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案． 【详解】解：A、选项中的现象可用“两点确定一条直线”来解释，故不符合题意； B、选项中的现象可用“两点确定一条直线”来解释，故不符合题意； C、选项中的现象可用“两点确定一条直线”来解释，故不符合题意； D、选项中的现象可用“两点之间线段最短”来解释，故符合题意； 故选：D． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）下列说法错误的是（   ） A．过两点有且只有一条直线 B．连接两点间线段的长度叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线和射线是同一条射线 【答案】D 【分析】本题主要考查了射线的定义，两点确定一条直线，据此可判断A；连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离且两点之间线段最短，据此可判断B、C；射线与射线的方向不同，据此可判断D． 【详解】解：A、过两点有且只有一条直线，说法正确，不符合题意； B、连接两点间线段的长度叫做两点的距离，说法正确，不符合题意； C、两点之间，线段最短，说法正确，符合题意； D、射线与射线不是同一条射线，原说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】（2025·湖南湘西·模拟）毛泽东主席在《水调歌头•游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如创下了四项“世界之最”的临猗黄河大桥，采用步履式顶推技术在空中‘穿针引线’，建成后，运城通往西安的车程将缩短至2小时．用所学数学知识解释这一现象恰当的是（    ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．连接两点之间线段的长度是两点之间的距离 【答案】C 【分析】本题考查了线段的性质，明确两点之间线段最短是解题关键，根据两点之间线段最短解答本题即可． 【详解】解：用数学知识解释这一现象产生的原因：两点之间线段最短． 故选：C． 【变式3】（2025·湖南邵阳·模拟）如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ）． A．垂线段最短 B．经过两点有且只有一条直线 C．线段可以向两个方向延长 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的性质，解题的关键是掌握两点之间，线段最短．利用线段的性质可得答案． 【详解】解：用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短， 故选：D． ►题型02 线段的中点 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟）如图，点D把线段从左至右依次分成两部分，点C是的中点，若，则线段的长是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】本题主要考查线段的中点及线段的和差关系，熟练掌握线段的中点及线段的和差关系是解题的关键．根据题意易得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：∵点D把线段从左至右依次分成两部分， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：A． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，点在线段上，点，分别为线段，的中点，点是线段的中点，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查两点间的距离，根据中点，得到各线段之间的数量关系，分别分析判断即可． 【详解】因为点M，N分别是线段，的中点，点O是线段的中点， ∴，，， 因为， 所以，①正确； 因为， 所以②正确； 因为，，但不能保证， 所以③不正确； 因为， 所以④正确． 故正确的结论有①②④． 故选A． 【变式2】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，点B、D在线段上，且，E、F分别是的中点，，则（    ）． A．16 B．12 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的相关计算，根据的关系，可用表示，表示，根据线段的和差，可得长，根据线段中点的性质，可得的长，再根据线段的和差，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由，得． 由线段的和差，得，． 由线段的中点E、F，得： 由线段的和差，得， 解得：， （）， 故选：A． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查求线段长，读懂题意，分类讨论是解决问题的关键． 根据题意，分两种情况：①当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、；②当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、；再根据剪断后的各段绳子中最长的一段为，列式求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： ①当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、， ， ，即线段是最长的一段， 最长的一段为， ， 解得， 这条绳子的原长为； ②当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、， ， 线段是最长的一段， 最长的一段为， ， 解得， ， 这条绳子的原长为； 故选C． ►题型03 最短路径问题 【典例】（2025·湖南株洲·模拟）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查最短路线问题．点和点在直线的同旁，需要作点关于点的对称点，连接交直线于点，的值最小．由轴对称的性质可得，，进而可得的度数．易得为等腰三角形，那么可得的度数．解题的关键是掌握下面两个知识点：当两个定点在动点所在直线的同旁，求两个定点和动点的距离和的最小值，需要作其中一点关于动点所在直线的对称点，连接对称点和另一个点的线段与动点所在直线相交即可得到动点的位置；两个图形关于某条直线成轴对称，对应线段相等，对应角相等． 【详解】解：∵点和点在直线的同旁， ∴作点关于点的对称点，连接交直线于点，则的值最小． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（2025·湖南永州·一模）如图，在菱形中，，，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】10 【分析】由菱形的性质，找出N点关于的对称点E，连接，则就是的最小值，即的长就是． 【详解】由菱形的性质，找出N点关于的对称点E，连接，如图： 此时即为的最小值，与的交点是此时P的位置， 又，M，N分别是的中点， ∴E也是的中点， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又， 则， 故答案为：10． 【点睛】此题是有关最短路线问题，有关直线同侧的折线段相加的值最小问题，常转化为直线两侧两点之间线段最短问题． 【变式2】（2025·湖南·模拟冲刺）如图，中，，，，线段长是5，且两个端点、分别在边，上滑动，点、分别是、的中点，求的最小值（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，最短距离等知识，连接、,由勾股定理求得,再由直角三角形斜边上的中线性质得出，当在同一直线上时，取最小值，即可得出答案，熟练掌握其性质得出三点在同一直线上时，取最小值是解决此题的关键． 【详解】解：如图，连接, 在中，, 由勾股定理得：, ,点、分别是、的中点， ,, 当在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：, 故选：． 【变式3】（2025·湖南湘潭·一模）如图是一个圆锥的三视图，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发沿表面爬到的中点D，则这只蚂蚁爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆锥的侧面展开，得到扇形，点C的对应点为，的中点为D，线段的长即为最短路线的长． 本题考查了平面展开-最短路径问题，由三视图判断几何体，解题时注意把立体图形转化为平面图形的思维． 【详解】解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形， 设， ∵弧底面圆周长， ∴， ∴，即， ∵为弧中点， ∴， ∴是等边三角形， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴这只蚂蚁爬行的最短路程是． 故选：C． 命题点三 角 ►题型01 钟面角相关计算 核心基础(必记) 1.钟面基本参数 钟面为360°圆周，共12大格、60小格。 每大格：360°÷12=30° 每小格：360°÷60=6° 2.时针、分针转速(关键) 分针：每分钟转6°(360°÷60),每小时转360°。 时针：每小时转30°(360°÷12),每分钟转0.5°(30°÷60)。 3.核心公式(万能) 设时间为H时M分(H取0～11,M取0～59),则： 夹角=|30H-5.5M| 【典例】（2025·湖南长沙·模拟）现代人常常受到颈椎不适的困扰，其症状包括：酸胀、隐痛、发紧、僵硬等，而将两臂向上抬，举到10点10分处，每天连续走200米，能有效缓解此症状．这里的10点10分指的是时钟在10点10分时时针和分针的夹角，请问：此时时针与分针的夹角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了钟面角，解答此题要注意时针，分针都在移动，只是速度不一样． 由题意知，时针每小时走分钟走5度；分针每小时走，1分钟走；当10点整时，时针，分针的夹角是，当10点10分时，时针和分针的夹角，可用分针和时针的速度差加上60即可求得． 【详解】解：当时间为10点整时，时针、分针的夹角是； 当10点10分时，时针走了，分针正好走了， 此时时针和分针的夹角是：， 故选：C． 【变式1】（2025·湖南岳阳湘一·模拟）上午10时整点，钟表的时针和分针所成锐角的度数是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于钟表的指针恰好是10点整，时针指向10，分针指向12，根据钟面被分成12大格，每大格为30度即可求出结果． 【详解】解：钟表的指针恰好是10点整，时针指向10，分针指向12，所以此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数=2×30°=60°． 故选：C． 【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格为30度；分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，弄清这些基本量是解答的关键． 【变式2】（2025·湖南长沙·自主招生）一个挂钟在3点15分的时候，时针与分针的最小夹角是 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了钟面上角的计算，解题的关键是熟练掌握钟表上一个大格之间的夹角为．根据钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，钟面上3点15时，时针和分针之间的最小角度正好为时针在15分钟的时间内转过的角度，根据时针60分钟转动，即可得出答案． 【详解】解：钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，则每一份是， ∴3点15分，时针和分针所夹的角是：． 故答案为：． 【变式3】（2025·湖南衡阳·开学考试）生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型：如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段交于点B、C，O为表盘圆心． (1)若为，，B是中点，求手表全长的长度． (2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ①求的度数； ②作射线，使，求此时的度数． 【答案】(1)14 (2)①；②在内部时，，在外部时 【分析】本题考查了线段的和差问题，角平分线的性质和钟面角，以及分类讨论的思想． （1）利用中点和，求出和，求和即可得； （2）①利用分针和时针每分钟走过的角度即可计算；②分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：是中点． ； ； ； ； ； （2）解：①分针的速度为（每分）； 时针的速度为（每分）； 30分钟时针走的路程为，即时针从8点到走了， ； ②当在内部时，， ； 当在外部时，． ►题型02 方位角相关计算 【典例】（2025·湖南常德·二模）已知货轮在海上以每小时50海里的速度沿南偏东的方向航行，当货轮在处时，测得灯塔在其北偏东的方向上，航行2小时后货轮到达处，此时测得灯塔在其北偏东的方向上，则货轮到达处时与灯塔的距离是（　　） A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．50海里 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，平行线性质，等边三角形性质和判定，解题的关键在于推出为等边三角形． 根据方向角，平行线性质，推出为等边三角形，再结合等边三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：由题知，，（海里）， 如图，由两直线平行，内错角相等可知，， ， 为等边三角形， 海里， 故选：A． 【变式1】（2024·湖南长沙长郡·模拟）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（    ）    A．南偏西方向 B．南偏东方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向 【答案】D 【分析】根据方向角的定义可得答案． 【详解】解：如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向， ∴淇淇家位于西柏坡的北偏东方向．    故选D． 【点睛】本题主要考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键． 【变式2】（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西方向，C在B的南偏东方向，且B，C到A的距离相等，则小岛A相对于小岛C的方向是（　　） A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西 【答案】C 【分析】根据题意可得，，，再根据等腰三角形的性质可得，从而求出的度数，然后利用平行线的性质可得，从而求出的度数，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东， 小岛A相对于小岛C的方向是南偏西． 故选C 【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式3】（2024·湖南衡阳·联考模拟）如图，一航班沿北偏东方向从A地飞往C地，到达C地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西方向，则其改变航向时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点C作，，再证明，得，得到，即可求得的度数． 【详解】解：如图，过点C作，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】此题考查了方向角，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． ►题型03 角的度量 【典例】（2025·湖南长沙长沙县·模拟）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的单位与角度制，角度的四则运算，解题关键是掌握度分秒的换算． 根据度分秒的换算和运算，对四个选项中的式子逐一判断即可． 【详解】解：， 故A错误． ∵， ∴， 故B正确． ， 故C错误． ∵， ∴， 故D错误． 故选：B． 【变式1】（2025·湖南岳阳·开学考试）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的度数大小比较，熟练掌握和是解题关键．根据和将进行化简，再比较大小即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故选：A． 【变式2】（2025·湖南·模拟）中华秋沙鸭是第三纪冰川期后残存下来的物种，距今已有一千多万年，属我国一级重点保护动物，全球仅存不足只．如图，一只中华秋沙鸭张开嘴的角度为，则 度 分 秒． 【答案】 【分析】本题考查了角度的换算，掌握各个角度间的进率是解题的关键．根据，求解即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：，，． ►题型04 三角板中角度计算问题 基础：标准三角板角度(必记) 中考只考一副(2块)三角板，角度固定： 等腰直角三角板：45°、45°、90° 细长三角板：30°、60°、90° 口诀：等腰45、细长三角30/60,直角都有90。 【典例】（2025·湖南永州·模拟）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，其中符合的图形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查三角板中的角度计算，根据余角和补角的性质计算出各个角的度数，即可判断． 【详解】解：第1个图中：，，符合； 第2个图中：如图， ，，因此； 第3个图中：，符合； 第4个图中：，，不符合； 综上可知，共有3个图形符合， 故选：B． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟）如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，那么的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，三角形外角的计算，理解图示，掌握三角形外角的计算是关键．由题意得：，求出，得即可． 【详解】解：由题意得：， ∴； ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·湖南邵阳·模拟）一副三角板如图所示方式摆放在一起，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，先根据题意求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， 由题意得：， 则， 故选：D． 【变式3】（2025·湖南岳阳·模拟）如图1，点为直线上点，过点作射线，使．现将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)_____； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足，如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平面内直角三角板在直线上旋转．熟练掌握余角定义，平角定义，角平分线计算，角的和差倍分计算，分类讨论，是解决问题的关键．两个角的和等于，这两个角叫做互为余角． （1）根据，，即得； （2）根据是的平分线，，得到，根据，即得； （3）当在内部，根据，，得到， ，根据，得到，即得；当在外部，得到， 得到，即得． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴； （3）解：当在内部，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在外部，如图2，， ∴， ∴． 故的度数为：或． ►题型05 与角平分线相关的计算 【典例】（2025·湖南·三模）如图，直线，直线分别与交于点E，F，平分，交于点G，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的意义等知识；由平行线的性质得，由平分得，则由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】（2025·湖南邵阳·三模）如图，，交于点平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，平行线的性质，掌握平行线的性质是关键． 根据对角相等，角平分线的定义得到，再根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 【变式2】（2024·湖南·二模）如图，，是的平分线，是的平分线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的相关计算，根据角平分线的定义依次求出，，即可求出的度数. 【详解】解：∵，是的平分线， ∴ ∵是的平分线， ∴， ∴ 故选：D． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）如图，在五边形中，， 分别平分和，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义求出，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 分别平分和， ∴， ∴， ∴ 故选：B． ►题型06 余角和补角问题 【典例】（2025·湖南武冈·模拟冲刺）如果和互余，则下列式子中表示补角是（    ） ①180°－；②＋2；③2＋；④＋90° A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据补角和余角的定义逐项判断即可． 【详解】∵， ∴是的补角，故①正确． ∵互余， ∴． ∴是的补角，故②正确． ∵互余， ∴， ∵无法判断的大小， ∴无法判断是否为的补角，故③无法确定． ∵互余， ∴． ∴是的补角，故④正确． 综上可知：①②④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查补角和余角的定义．掌握两个角互余，那么这两个角相加等于；两个角互补，那么这两个角相加等于是解答本题的关键． 【变式1】（2025·湖南长沙长郡·模拟）已知一个角的度数是，则它的余角的度数是 . 【答案】 【分析】此题考查了余角．根据两个角的和为，这两个角互为余角，即可求得答案． 【详解】解：， 故答案：． 【变式2】（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，在中，，若剪去得到四边形，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题主要考查了三角形内角和，关键是掌握三角形内角和为．根据三角形内角和为180度可得的度数，然后再根据邻补角定义可得的度数． 【详解】解：中，， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（2025·甘肃兰州·中考真题）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直的定义，余角的性质．由题意得，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵集热板与太阳光线垂直， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式4】（2025·湖南湘西·学业考试）如图，直线、相交于点O，，平分，射线，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查了角平分线的定义、垂线的定义、几何图中角度的计算、邻补角的定义，先求出，再由角平分线的定义得出，由垂线的定义得出，即可得解． 【详解】解：由邻补角定义得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 命题点四 相交线与平行线 ►题型01 平行线中三角板问题 【典例】（2025·湖南娄底·三模）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果．那么的度数为（    ） A． B． C． D．125° 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键．先由平行线的性质得到，再由三角形外角的性质求得，即可求解． 【详解】解，如图， 由题意知：， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）如图，一个直角三角形的直角顶点和一个锐角顶点分别叠放在一矩形的一组对边上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的和差计算和平行线的性质，属于基础题目，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先据平行线的性质可得，再根据角的和差求出，进而可得答案． 【详解】解：如图， 根据题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）一副三角板和如图所示放置．，点在边上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用平行线的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而利用对顶角相等可得，即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ， ， ， ， 故选：A． 【变式3】（2025·湖南·模拟预测）将一块等腰直角三角板按如图方式摆放，其中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 作出直线的平行线，利用对顶角，等腰直角三角形和平行线的性质，进而求出的大小，即可得解． 【详解】解：作直线的平行线，即，如图所示： 为等腰直角三角形， ∴，， ，， ， ， 又， ， 故选：． 【变式4】（2025·湖南常德·二模）如图，把一块含角的直角三角板放置于两条平行线间，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质计算即可得到答案． 【详解】解：如图， ， ， ， ， 故选：C． 【变式5】（2025·湖南张家界·三模）已知直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，试求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，理解并掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的可得，根据平角的性质即可求解． 【详解】如图所示，， ， ， ， ， ． 答：的度数为． ►题型02 根据平行线的性质与判定求角度 【典例】（2025·湖南长沙·三模）如图，直线，被射线，所截，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行时同位角、内错角、同旁内角的关系是解题的关键．利用平行线的性质，找到与、相关的角的关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图， ，， ， ． 故选： ． 【变式1】（2025·湖南长沙·二模）如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由邻补角的定义得，由角平分线的定义得，最后根据得，即可得解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 故选：B． 【变式2】（2025·湖南衡阳·一模）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质定理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理． 利用求出的度数，利用求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式3】（2025·湖南长沙·一模）如图，直线，等边的顶点分别在上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，过A作，得到，推出，，由等边三角形的性质推出，求出，即可得到． 【详解】解：过A作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式4】（2025·湖南永州·一模）如图，下列条件：①；②；③；④；其中能判断的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角相等、平行线的判定．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定，依次判断各个条件即可． 【详解】解：①，根据内错角相等，两直线平行，可判断； ②，根据同位角相等，两直线平行，可判断，不能判断； ③，不能判断； ④∵，， ∴， 根据同旁内角互补，两直线平行，可判断； 综上，能判断的是①④， 故选：C． ►题型03 平行线的性质与判定实际应用 【典例】（2025·湖南·模拟预测）自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成的，其工作原理如图所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线性质，垂直定义等．根据题意先作，再利用平行线性质得，继而再利用平行线性质即可得到答案． 【详解】解：作， ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】（2025·湖南·模拟预测）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行； 故选：A． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】（2025·湖南岳阳·一模）一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据邻补角的定义求解即可得． 【详解】解：如图，∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式4】（2025·湖南衡阳·二模）凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线交于点，点为焦点．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质、三角形的外角性质是解题的关键． 先求出，再根据三角形的外角性质求得即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型04 利用平行线的性质与判定证明 【典例】（2025·湖南怀化·模拟）如图，在和中，，，，、相交于点F，    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的性质，解决本题的关键是证明． （1）根据题意利用证明，即可得结论； （2）根据平行线的性质求出，结合（1）中结论，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 【变式1】（2025·湖南郴州·模拟）如图，点分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 【答案】(1)；见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线定义． （1）由平行线的性质得，从而得，从而； （2）由邻补角的性质得到，由角平分线定义求出，于是得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ∴； （2）解：， ， 平分， ， 由（1）知． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟）已知：，一块直角三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． (1)如图1，若，则___________°； (2)若的平分线交边于点F， ①如图2，当，且时，试说明：； ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 【答案】(1)46 (2)①见解析，② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作，根据，可得，根据平行线的性质可得； （2）①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明；②当保持不变时，总有，在直角三角形中，，可得，根据和角平分线的定义，即可求出与α之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：46； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵当保持不变时，总有， 在直角三角形中，， ∴， ∵， ∴，且， ∵平分， ∴， ∴． 【变式3】（2025·湖南长沙·二模）【知识技能】 （）如图，在中，平分，，求证：． 【场景迁移】 （）如图，四边形为平行四边形，平分交于，延长交于，若，求的值． 【答案】（）证明见解析；（） 【分析】（）由角平分线的定义和平行线的性质可得，进而即可求证； （）由角平分线的定义和平行线的性质可得，由相似三角形的判定和性质可得，即得，，进而可得，再代入计算即可求解． 【详解】（）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （）∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，等腰三角形的 判定和性质，平行线的判定和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． ►题型05 平行线中折叠问题 【典例】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，将长方形纸片沿折叠折线交于点，交于点，点、的对应点分别是，，交于点，再将四边形沿折叠，点，的对应点分别是、，交于点，给出下列结论： ；；若，则；．上述正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线性质、折叠的性质、三角形外角的性质、一元一次方程的应用等知识，弄清角之间的关系并运算所学知识求解成为解题的关键． 由折叠性质得到、，根据平行线性质得到，再由三角形外角性质确定，设，，则，只有当时结论才成立；由得到，结合折叠性质求证即可得到正确；在的求证过程中可知，设，则，从而由折叠性质表示出角度关系列方程求解即可得到正确；在的证明过程中，结合外角性质即可得到正确． 【详解】解：由折叠性质得、， ， ， ，则， 是一个外角， ， 设，，则， 当时，， 但题中并未明确、的度数，故错误； ∵， ， 由折叠性质可知， ∴，故正确； 由折叠性质得，． 由的证明过程可知，， 设，则， ， ， ，解得：， ∴，故正确； 由知， 是的一个外角， ，故正确； 综上，题中正确的结论是． 故选：B． 【变式1】（2025·湖南湘西·模拟）如图，将一张等宽的纸条按图中方式折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 如图，由平行线的性质可求得，由折叠的性质可求得，再由平行线的性质可求得 【详解】解：如图， ，， 又由折叠的性质可知，且， ， ， 故选：C． 【变式2】（2025·湖南郴州·模拟）如图，将一张长方形纸条沿折叠、点C，D分别折叠至点、的位置．若，则等于 度． 【答案】115 【分析】根据折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，计算即可． 本题考查了折叠的性质，长方形的性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质，得，， ∵长方形纸片， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：115． 【变式3】（2025·湖南怀化·模拟）如图，长方形纸片的边缘互相平行，将纸片沿折叠，使得点分别落在点处．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据“两直线平行，同位角相等”，得出，根据平角的定义求得，再由折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：因为， 所以． 所以， 由折叠可知， 故答案为：． ►题型06 点到直线的距离 【典例】（2025·湖南娄底·三模）如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而 .（填“增大”、“保持不变”或“减小”） 【答案】保持不变 【分析】本题考查三角形的面积、平行线的性质，掌握三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等是解题的关键．根据三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等判断即可． 【详解】解：设平行线与之间的距离为，则， 而， ， 在点运动过程中，的面积随着的增大而保持不变． 故答案为：保持不变． 【变式1】（2025·湖南株洲·模拟）反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，反比例函数比例系数的几何意义，延长交轴于点，连接，，根据平行线间的距离得，又，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵轴， ∴轴，， ∵， ∴， 故选：． 【变式2】（2025·湖南永州·模拟）已知直线在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了平行线间的距离，分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】解：如图1，直线c在a、b外时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 如图2，直线c在直线a、b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 综上所述，a与c的距离为或． 故答案为：或． 【变式3】（2025·湖南湘潭·模拟）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（    ） A．与一定相等 B．与一定不相等 C．与一定相等 D．与一定不相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到，由平行线间间距相等可知，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵点P在的平分线上， ∴， 由平行线间间距相等可知， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：A， 突破一 线段上的动点问题 【典例】已知，点P从点A以秒的速度向点B方向出发，点Q从点B以秒的速度向点A方向出发，两点同时出发，运动时间为t秒（t大于0且小于等于10）． (1)当秒时，的长度为_______； (2)当时，求t的值； (3)若点P，Q，B，其中一点是其他两点所连线段的中点，求t的值． 【答案】(1)9 (2)或 (3)t的值为3或 【分析】本题考查了线段动点问题，一元一次方程的应用； （1）当秒时，求出，，再根据计算即可； （2）先求出，，再根据当点P在点Q左边或右边分情况讨论，根据列方程求解即可； （3）分Q为线段的中点，P为线段的中点，B为线段的中点三种情况分类讨论，根据中点线段相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴， 故答案为：9； （2）解：由题意，得：，， 分以下两种情况讨论： 当点P在点Q左边时，， 解得：； 当点P在点Q右边时，， 解得：； （3）解：分以下三种情况讨论： ①Q为线段的中点时， 由题意得， 解得； ②当P为线段的中点时，， 解得； ③当B为线段的中点时，，， ∵， ∴（舍去）， ∴当t的值为3或时，点P，Q，B，其中一点是其他两点所连线段的中点． 【变式1】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①，3；   ②， (2)点在运动过程中，线段的长度不变，线段的长为5 【分析】（1）①利用数轴上两点间的距离公式可求出的长，利用线段的中点表示的数，可求出线段的中点表示的数； ②根据点，的出发点、运动方向、运动速度及运动时间，即可用含t的代数式表示出点，表示的数； （2）当运动时间为t秒时，用t表示出点表示的数，用t表示出点表示的数，结合“点M为的中点，点为的中点”，可得出点M表示的数，点表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，可求出，进而可得出结论． 【详解】（1）解：①根据题意得：， 线段的中点表示的数为． 故答案为：，3： ②t秒后，点表示的数， 点表示的数为． 故答案为：，； （2）当运动时间为t秒时，点表示的数，点表示的数为， ∵点M为的中点，点为的中点， ∴点M表示的数为， 点表示的数为， ∴， ∴点在运动过程中．线段的长度不变，线段的长为5． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，用数轴上的点表示有理数，列代数式，动点问题（一元一次方程的应用）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【变式2】材料阅读：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”这首词是我国数学家华罗庚先生所著，也是第一次提出“数形结合”这一说法，如何将代数式和几何图形结合一直是解决数学问题的重要思想方法．利用数形结合解决下列题目： 数轴上有两点，点表示的数为，表示的数为，且．点是线段的中点． (1)点表示的数是______： (2)动点从点向右边运动，速度为2个单位长度/秒，动点从点向左运动，速度为1个单位长度/秒，设运动时间为秒．当点到达点时，运动同时停止，则： ①点表示的数分别是______，______（用表示）： ②若在运动过程中，存在，请求出的值． (3)如果我们把线段和角度做类比：如图，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转．射线同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出的值． 【答案】(1) (2)①点P表示的数为，Q表示的数为；②或 (3)t的值为4或或8 【分析】本题考查的是绝对值的非负性、数轴上的动点问题、线段的和差计算及一元一次方程的应用， （1）先求出，再求出，即可求出结论； （2）①由题意得，即可写出结论；②根据列方程解决即可； （3）当时，,；当时，，根据其中一个角是另一个角的3倍列出关于t的方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 点表示的数为，表示的数为， ， 点是线段的中点， ， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：①由题意得， 点A表示的数为，表示的数为， 点P表示的数为，Q表示的数为； ②当点P到达点B时，运动同时停止， ，即， ， 解得：或； （3）∵，平分， ∴， ∵射线到达时只需用时秒，此时射线到达， 如下图，当时，, , 显然， ∴， 则， 解得； 当时，， 如图， 若， 则， 解得 ； 如图， 若， 则， 解得； 综上所述，t的值为4或或8． 【变式3】综合与实践 【特例感知】 （1）如图1，线段， ，分别是的中点，则______cm． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求的度数． ②请你猜想，和之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【类比探究】 （3）如图3，在的内部转动，若，，，，求的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）①；②，见解析；（3）． 【分析】本题考查了线段中点和角平分线的定义，熟练掌握线段和角的计算是解题的关键，注意角转动后角的位置变化； （1）根据线段中点，得出，，再根据的关系得出，最后求得的长度； （2）①由和已知条件，需要求出，由和分别平分和，得出，进而求出此题； ②与①同理； （3）由，，可得，，所以，根据即可得出结论． 【详解】解：（1）∵，分别是的中点， ∴，， ∴， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）①∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②． 理由：∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴ ． （3）∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 突破二 几何图形初步中实践探究 【典例】如图，点为直线外一点，过点作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线上，且点在点的右侧， ，设． (1)填空： ． (2)若的平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当 秒时，． 【答案】(1)90 (2)①；②20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关键，第（2）②问是动点问题，找到模型即可解答． （1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答； （2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系， ②动点问题，先画出图形，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， ， 故答案为：90； （2）解：①， ， 平分， ， 又， ，， ， 解得； ②如图2，当射线旋转到时，旋转至,延长至点Q， ， ， ， ， 由题意知，， 未旋转前，， ， ， 解得：； 当与在直线同侧且平行时， 由，得， 故答案为：20或80． 【变式1】除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在某一时刻，使得，此时 (2)存在某一时刻，使得，此时 (3)存在某一时刻，使得，此时或27 【分析】（1）根据题意得：，连接，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （2）根据题意得：，设射线交于点G，过点G作，则，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （3）分两种情况讨论：当和相遇前时；当和相遇后时，结合一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：存在， 根据题意得：， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （2）解：存在， 根据题意得：， 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （3）解：存在， 根据题意得：，， 当和相遇前时，， ∴， 解得：； 当和相遇后时，， ∴， 解得：； 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． 【变式2】在学习完《平面内的两条直线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，直线，D、A分别在、上，点E为两平行线内部一点．探究的数量关系，并说明理由；   以下是小明的解题过程，请补充完整：（请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据，符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”） 解：过点E作 ∵（已知） ∴ ∴ ， （ ） ∴ 即 ． (2)【拓展探究】路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ； (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆 与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】(1)；；两直线平行，内错角相等； (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键： （1）根据平行线的判定和性质，作答即可； （2）作，则，根据平行线的性质进行求解即可； （3）过点E作，根据平行线的判定定理和性质定理求解． 【详解】（1）解：过点E作 ∵（已知） ∴ ∴， （两直线平行，内错角相等） ∴ 即． （2）解：如图，作，则， ，， ， 故答案为：； （3）过点E作， 由题意可知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：与所成锐角的度数为． 【变式3】小宁与小波两位同学在学习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供：“两块相同直角三角板，两条平行线”．三角板与三角板如图2所示摆放，其中，，，点A，B在直线上，点D，E在直线上． 动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 问题解决：小宁将三角板向右平移． (1)如图1，当点F落在线段上时，求的度数． (2)如图2，在三角板向右平移过程中，连结（初始状态E，F，B三点在同一直线上），记． ①当点F在右侧时，试探究与的数量关系． ②小宁发现，当点F在左侧时，与的数量关系将发生改变，那么此时与的数量关系是______． (3)思维拓展：小宁和小波一起将两块三角板旋转，如图3，小宁将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时小波将三角板绕点D以每秒的速度逆时针旋转，设时间为t秒，，且，若边与三角板的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)30或40或50 【分析】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质． （1）延长交直线于点，由平行线的性质得，再根据三角形外角性质可得结论； （2）①延长交于点G，根据平行线的性质和三角形内角和定理可得出结论； ②延长交于点，根据平行线的性质和三角形内角和定理可得出结论； （3）分、和三种情况，根据平行线的性质和三角形内角和定理即可． 【详解】（1）解：延长交直线于点，如图， ， ∵，且， ∴， 又， ∴， （2）解：①延长交于点G，如图， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴； ②延长交于点，如图， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：①当时，延长交于点，交于点，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时，延长交于，交于点，如图， 则， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：； ③当时，作直线分别交于点，如图， ， 则， ∴， 又， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， 综上，的值为30或40或50． 1.（2025·湖南·一模）王维名句：“桃红复含宿雨，柳绿更带朝烟”，描绘了田园生活的美好．将“桃”“红”“柳”“绿”“烟”“雨”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“桃”字所在面相对面上的汉字是（    ） A．红 B．柳 C．烟 D．雨 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．根据正方体表面展开图的特征进行判断即可得到答案． 【详解】解：由正方体的展开图可知， 与“桃”字所在面相对面上的汉字是“雨”， 故选：D． 2.（2025·湖南株洲·模拟）墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（    ） A．垂线段最短 B．线段有两个端点 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】D 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线； 故选D． 【点睛】本题主要考查两点确定一条直线，熟练掌握这一知识点是解题的关键． 3.（2025·湖南·一模）哈齐高铁于2015年开通，是我国目前最北端的高速铁路，开通8年时间，方便了千千万万大庆市民出行，也推动了龙江经济发展．从大庆西站到哈尔滨站中间有4个车站，共有 种票价．（注：拟设每两个城市之间的票价相同） 【答案】15 【分析】把中途4站看作线段上的4个点，数出线段的数量即可求解． 【详解】把中途4站看作线段上的4个点． 线段共有：（条）， 所以有15种不同的票价． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了线段数量问题，将问题转化是解题的关键． 4.（2025·湖南怀化·一模）如图，在中，已知，，D为边上一点，且．则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形性质，外角定理等．根据题意可得，再利用角度计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5.（2025·湖南株洲·三模）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，解题关键是利用平行线的性质求出相应的角度． 先利用平行线的性质求得，再由垂直的定义求出，最后利用平角的意义求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ． 故选：C． 6.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是一种常见的吸管杯的截面示意图，已知杯口和杯底平行，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是关键； 先根据邻补角的定义求出，再根据平行线的性质即可求解. 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵杯口和杯底平行， ∴； 故选：D. 7.（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，由下列条件能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、由能判定，本选项符合题意； B、由不能判定，本选项不符合题意； C、由能判定，本选项不符合题意； D、由能判定，本选项不符合题意． 故选：A． 8.（2025·湖南·二模）已知直线，嘉嘉和淇淇想画出的平行线，他们的作法如下（图1和图2）： 嘉嘉： ①将直尺紧贴直线； ②含角的三角板的顶点C落在直尺上； ③使三角板斜边与量角器的刻度线重合，则． 淇淇： ①作射线； ②在射线上任取点A，用尺规作与相等的角，即； ③连接，则． 下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉的作法正确，淇淇的作法不正确 B．嘉嘉的作法不正确，淇淇的作法正确 C．嘉嘉和淇淇的作法都正确 D．嘉嘉和淇淇的作法都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题意，嘉嘉利用同旁内角互补得出两直线平行，淇淇利用同位角相等得出两直线平行． 【详解】解：嘉嘉： 斜边与量角器的刻度线重合， ∴ 又∵直角板， ∴， ∴， ∴， 则嘉嘉的作法正确， 淇淇：∵， ∴， 则淇淇的作法正确， 故选：C． 9.（2025·湖南邵阳·三模）如图，点是正五边形边上一点，过点作直线，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，平行线的性质，根据正多边形内角和定理求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10.（2025·湖南·模拟预测）A，B，C，D四个车站的位置如图所示．求： (1)A，D两站的距离； (2)C，D两站的距离； (3)若，C为的中点，求b的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的加减，线段和差关系； （1）根据题意列出关系式，合并即可得到结果； （2）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果； （3）根据中点的定义列出方程计算即可求解． 【详解】（1） ∴A，D两站的距离是； （2） ∴C，D两站的距离为； （3）由（2）得：C，D两站的距离为， ∵A，C两站的距离为， ∵C为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 11.（2025·湖南·模拟）如图，在中，按以下步骤作图：①延长到D；②以A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N；③分别以点M和点N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；④作射线． (1)由作图可知，射线是的______； (2)若，求证：． 【答案】(1)角平分线 (2)见解析 【分析】（1）连接、，根据作图过程可得，，即可证明，即可得出结果； （2）根据、，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，连接、， 由作图过程可得：，， 在和中， ， ， ， 平分， 故答案为：角平分线； （2）解：，， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查基本作图−角平分线、角平分线的判定和性质、平行线的判定、全等三角形的判定和性质及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键． 12.（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用证明，即可作答． （2）根据全等三角形的性质得，结合平行线的性质得，则，即是等边三角形，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵，，． ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴ 即是等边三角形， 则． 13.（2025·湖南·模拟预测）为迎接第三届北斗规模应用国际峰会，在某高速公路上建筑了“天上星星参北斗”（如图所示）宣传路标，为了测量路标（右侧部分）最高点的高度，某数学兴趣小组进行了相关测量． 项目主题 测量路标建筑最高点的高度 测量工具 皮尺，测角仪，计算器等 活动过程 路标与模型 测绘过程 如图，表示地面，满足，，在同一平面内，且． 第一步：在处测得． 第二步：在地面上，从处出发，沿方向前进7.5米到达处，在处测得点的仰角． 第三步：返回处，从处出发，沿方向前进2米到达处，测得点恰好在点的正上方，即，（参考数据：，） 某同学作了如下辅助线来尝试解答：过点作，交于点．根据以上信息，解决下列问题（结果精确到1米）： (1)求的度数和点的高度； (2)求路标最高点距离地面的高度是多少米． 【答案】(1)， (2)路标最高点距离地面的高度是7米． 【分析】（1）根据平行线的性质得到；然后解直角三角形求出即可； （2）如图所示，过点D作于点G，证明出四边形是平行四边形，得到，然后由得到，勾股定理求出，，然后利用求解，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：如图所示，过点D作于点G ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵，即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴（米）． ∴路标最高点距离地面的高度是7米． 【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用仰角问题，平行线的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 14.（2025·湖南张家界·二模）材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传． (1)在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点、点，把河岸抽象为直线，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________． A．        B．  C．       D． (2)如图所示，牧童在处放牛，其家在处，米，米，米，牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米． (3)已知，求的最小值．（可结合图形） 【答案】(1)D (2)50米 (3)10 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系，勾股定理等知识，解题的关键是理解轴对称的性质． （1）如图，根据轴对称的性质作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，根据三角形三边关系可解本题； （2）如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．过点作，与的延长线交于点．根据勾股定理求得即可求解； （3）如图，设线段，作，取，，的值可看作的值． 【详解】（1）解：选：D， 理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接， 由轴对称的性质可得：， ，， 在中，， ， 故选：D． （2）如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程． 过点作，与的延长线交于点， 则． 在中，米，米． （米）． （3）如图，设线段， 作，取，， 的值可看作的值． 当三点共线时，的值最小， 即的最小值为的长． 作于点， ∴ 则， ， 的最小值为10． 1.（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方体的平面展开图上的图案的相对位置，理解把展开图折叠后，各个面上图案的相对位置，是解题的关键．由展开图中，被分割为两个小长方形的面为相对的面，进一步分析各选项即可得到答案． 【详解】解：由展开图中，被分割为两个小长方形的面为相对的面，三个被分成两个小长方形的面为相邻的面，且中间的分割线互相平行，有对角线的一面与三个分成两个小长方形的面相邻， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选：B 2.（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行判断即可． 【详解】解：由题意，路程缩短的原因是两点之间，线段最短； 故选C． 3.（2025·贵州·中考真题）下列图中能说明一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对顶角，三角形的外角，比较角的大小，根据相关知识点逐一进行判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，故，符合题意； B、根据三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角可得：，不符合题意； C、平角的定义得到，直角大于锐角，故，不符合题意； D、由图可知，，不符合题意； 故选A 4.（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，先根据平分，得，故，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 5.（2025·江苏常州·中考真题）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 6.（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 7.（2025·四川·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质（两直线平行，同位角相等），解题的关键是根据“水中光线平行、空气中光线平行”的条件，准确识别与、与的同位角关系，进而计算两角之和． 先根据空气中光线平行的条件，结合与是同位角，利用平行线性质得出；再根据水中光线平行的条件，结合与是同位角，得出；最后将已知角度代入，计算的结果，匹配选项即可． 【详解】解：∵水中的光线互相平行，空气中的光线互相平行，且与为同位角，与为同位角， ∴，， ∵，， ∴，, ∴. 故选：C． 8.（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 9.（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为 °． 【答案】43 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10.（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得． 【详解】解：如图，延长，交直线于点， 由题意得：， 设，则， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11.（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 【答案】(1)；全等三角形的对应角相等 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等边对等角，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据作角平分线的方法可得对甲同学和工人师傅的作法其判定全等的方法是，对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等，选取全等三角形的判定方法证明，即可求解； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【详解】（1）解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等 证明如下：根据作图可得， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； 故答案为：；全等三角形的对应角相等． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 12.（2025·海南·中考真题）现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】(1)64；53； (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）过点C作，根据平行线的判定和性质求角度即可； （2）过点D作，过点E作，利用矩形的判定得出四边形为矩形，四边形为矩形，再结合图形，利用三角函数求解即可． 【详解】（1）解：过点C作， ∵垂直于， ∴， ∴， ∵与水平线平行， ∴， ∴， ∴， 故答案为：64；53； （2）解：过点D作，过点E作，如图所示： ∴四边形为矩形， 同理得：四边形为矩形， ∴， ∵为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $