数学一模提分卷02（福建专用）学易金卷：2026年中考第一次模拟考试

2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 12. 13 14 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分) 18.(8分) E D A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 20.(8分) 扇形统计图 条形统计图 +人数人 40 40 非常 了解 不了 了解 很少 30 解 20 20 m 基本 了解50% 10 4 非常基本了解不了了解程度 了解了解很少解 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) D E 22.(10分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 0 B B x 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(13分) 25(13分) B 0↑ C G M E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分）》 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 9.[A1[B][C1[D] 2.[A][B][C][D] 6.A][B][CJ[D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[C1[D1 4.A][B1[CI[D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共24分） 12. 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(8分) 18.(8分) E F A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 20.(8分) 扇形统计图 条形统计图 人数/人 40 40 非常 不了 了解 了解 30 很少 20 20 m 基本 10 了解50% 非常基本了解不了了解程度 了解了解很少解 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) D B E 22.(10分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) o A O 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(13分) 25(13分) B 01 G M E y D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A． B． C． D． 2. 各学科的图形都蒀含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3．若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 4．如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（    ）    A． B．   C．   D．   5．关于的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（    ）    A．3 B．2 C．1 D．0 6．为增强班级凝聚力，老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为，大圆半径为，每个扇形的圆心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（    ）    A． B． C． D． 7．将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（    ）    A． B． C．或 D． 9．《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　）    A． B． C． D． 10．抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C．或 D．或 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11．因式分解：________． 12．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是__________．    13．为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是______分． 14．如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则_________．    15．如图，点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为______．    16．如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则___________________．    三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： 18．（8分）已知：如图，，，．求证：．    19．（8分）先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值． 20．（8分）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．    根据图中信息回答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________； (2)若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为___________人； (3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率． 21．（8分）如图，点E是矩形的边上的一点，且．    (1)尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 22．（10分）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．    (1)已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算； (2)求风叶的长度． 23．（10分）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．    (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标． 24．（13分）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 25．（13分）如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长； (3)若，求证：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A． B． C． D． 2. 各学科的图形都蒀含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3．若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 4．如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（    ）    A． B．   C．   D．   5．关于的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（    ）    A．3 B．2 C．1 D．0 6．为增强班级凝聚力，老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为，大圆半径为，每个扇形的圆心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（    ）    A． B． C． D． 7．将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（    ）    A． B． C．或 D． 9．《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　）    A． B． C． D． 10．抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C．或 D．或 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11．因式分解：________． 12．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是__________．    13．为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是______分． 14．如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则_________．    15．如图，点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为______．    16．如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则___________________．    三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： 18．（8分）已知：如图，，，．求证：．    19．（8分）先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值． 20．（8分）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．    根据图中信息回答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________； (2)若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为___________人； (3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率． 21．（8分）如图，点E是矩形的边上的一点，且．    (1)尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 22．（10分）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．    (1)已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算； (2)求风叶的长度． 23．（10分）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．    (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标． 24．（13分）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 25．（13分）如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长； (3)若，求证：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正数负数，即可进行解答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴比1小的正无理数是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了比较实数是大小，无理数的估算，解题的关键是掌握正数负数． 2. 各学科的图形都蒀含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解： A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意， 故选：C． 3．若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得且， 故选：D. 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（    ）    A． B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据左视图的意义判断即可． 【详解】根据题意，该几何体的左视图为：   ， 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的画法，熟练掌握三视图的空间意义是解题的关键． 5．关于的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（    ）    A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先求出不等式的解集，然后对比数轴求解即可． 【详解】解：解得， 由数轴得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】题目主要考查求不等式的解集及参数，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键． 6．为增强班级凝聚力，老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为，大圆半径为，每个扇形的圆心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形面积公式求出免一次作业对应区域的面积，再根据投中“免一次作业”的概率免一次作业对应区域的面积大圆面积进行求解即可. 【详解】解：由题意得，大圆面积为， 免一次作业对应区域的面积为， ∴投中“免一次作业”的概率是， 故选B． 【点睛】本题主要考查了几何概率，扇形面积，正确求出大圆面积和免一次作业对应区域的面积是解题的关键． 7．将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行内错角相等即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 8．如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（    ）    A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去）， ∴小路宽为5m． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可． 【详解】连接，根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，，    得， ∴点M，N，O三点共线， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 10．抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线有交点，则有实数根，得出或，分类讨论，分别求得当和时k的范围，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴有交点， ∴有实数根， ∴ 即 解得：或， 当时，如图所示，    依题意，当时，， 解得：， 当时，，解得， 即， 当时， 当时，， 解得： ∴    综上所述，或， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11．因式分解：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握因式分解的方法与步骤是解本题的关键． 12．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是__________．    【答案】4 【分析】由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 13．为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是______分． 【答案】93 【分析】利用加权平均数的计算方法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：（分）； ∴该参赛队的最终成绩是93分， 故答案为：93 【点睛】本题考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法，是解题的关键． 14．如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则_________．    【答案】 【分析】由，，是边上的中线，可知，则，由翻折的性质可知，，，则，如图，记与的交点为，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵，，是边上的中线， ∴， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， 如图，记与的交点为，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正切．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 15．如图，点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为______．    【答案】 【分析】如图：由题意可得，再根据进行计算即可解答． 【详解】解：如图：    ∵点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上， ∴ ∵四边形是面积为9的正方形， ∴，即，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数图像线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值． 16．如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则___________________．    【答案】6 【分析】连接，交于点O，由题意易得，，，，则有，然后可得，设，则有，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，交于点O，如图所示：    ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 设，则有， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得，即， ∴， ∴； 故答案为6． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： 【答案】6 【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 18．（8分）已知：如图，，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质得出，然后证明，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴ 即 在与中 ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 19．（8分）先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】根据分式的运算法则先化简，然后再由分式有意义的条件代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， 当时 原式． 【点睛】题目主要考查分式的化简求值及其有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 20．（8分）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．    根据图中信息回答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________； (2)若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为___________人； (3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率． 【答案】(1)80，16， (2)40 (3)恰好抽到2名女生的概率为 【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的人数，求出“了解很少”的人数；用乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的比例即可； （2）用总人数800乘以“不了解”的人数所占的比例即可； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到2名女生的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：接受问卷调查的学生共有（人， （人， 扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为； 故答案为：80，16，； （2）解：根据题意得： （人， 答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为40人； 故答案为：40； （3）解：由题意列树状图：    由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名女生的结果有2种， ∴恰好抽到2名女生的概率为． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21．（8分）如图，点E是矩形的边上的一点，且．    (1)尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）四边形是菱形； 理由：∵矩形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 22．（10分）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．    (1)已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算； (2)求风叶的长度． 【答案】(1) (2)风叶的长度为米 【分析】（1）根据题中公式计算即可； （2）过点A作，连接，，先根据题意求出，再根据等腰对等边证明，结合第一问的结论用三角函数即可求，再证明四边形是矩形，即可求出． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴； （2）解：过点A作，连接，，如图所示，    由题意得：米，， ∴米，， ∵三片风叶两两所成的角为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴米， ∵，， ∴， 由（1）得：， ∴米， ∴米， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴米， ∵三片风叶两两所成的角为，且三片风叶长度相等， ∴， ∴米， ∴风叶的长度为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键． 23．（10分）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．    (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标． 【答案】(1)；(2)30；(3) 【分析】（1）用两点式设出二次函数的解析式，然后求得C点的坐标，并将其代入二次函数的解析式，求得a的值，再将a代入解析式中即可． （2）先将二次函数变形为顶点式，求得顶点坐标，然后利用矩形、三角形的面积公式即可求得答案． （3）根据各点的坐标的关系及同角三角函数相等的结论可以求得相关联的函数解析式，最后联立一次函数与二次函数的解析式，求得点P的坐标． 【详解】（1）∵二次函数的图象与轴交于两点． ∴设二次函数的表达式为 ∵， ∴，即的坐标为 则，得 ∴二次函数的表达式为； （2） ∴顶点的坐标为 过作于，作于， 四边形的面积 ；    （3）如图，是抛物线上的一点，且在第一象限，当时， 连接，过作交于，过作于，    ∵，则为等腰直角三角形，． 由勾股定理得：， ∵， ∴， 即， ∴ 由，得， ∴． ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴的坐标为 所以过的直线的解析式为 令 解得，或 所以直线与抛物线的两个交点为 即所求的坐标为 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的性质以及与坐标系几何图形的综合证明计算问题，解题的关键是将所学的知识灵活运用． 24．（13分）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析 【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可； 任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； 任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值； （2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可； 任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素． 【详解】解：任务1：变化量分别为，；； ；； 任务2：设， ∵时，，时，； ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． 任务3：（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． （2）设，则 ． 当时，w最小． ∴优化后的函数解析式为． 任务4：时间刻度方案要点： ①时间刻度的0刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大； ③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键． 25．（13分）如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长； (3)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由是的直径得到，则，由得到，则，结论得证； （2）证明，则，可得，解得或3，由即可得到的长； （3）先证明，则，得到，由得到，则，由同角的余角相等得到，则，得，进一步得到，则，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 解得或3， 当时，， 当时，， ∵，即， ∴； （3）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第一次模拟考试 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 2 3 4 6 7 8 D 第IⅡ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.a(x-1)2 12.4 13.93 14.25 15.-616.6 三、解答题（本大题共9个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分) 【详解】解：原式=1-(5-+3×5+4 3 =1-V3+1+3+4 =6。 18.(8分) 【详解】证明：：AB∥DE, ∠A=∠D, .AF=DC, .AF+CF =DC+CF 即AC=DF 在△ABC与△DEF中 AC=DF ∠A=∠D, AB=DE △ABC≌△DEF(SAS, ∠B=∠E. 1/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(8分) 【详解】解：原式= (x-1)(x+1) 31(x+1)2 x+1 x+1」x2-4 =2-4x+1 x+1x2-4 =x+1, :x≠-1，x≠2， 当x=1时 原式=1+1=2. 20.(8分) 【详解】(1)解：接受问卷调查的学生共有40÷50%=80（人)， m=80-20-40-4=16（人)， 扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为360° 20≥90°； 8 故答案为：80,16,90°； (2)解：根据题意得： 80奇=40（人， 答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为40人： 故答案为：40； (3)解：由题意列树状图： 开始 男 男 女 男女女男女女男男女 男男女 由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名女生的结果有2种， :恰好抽到2名女生的概率为2=」 126 21.(8分) 【详解】(1)解：如图所示： D E C 2/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)四边形AEFD是菱形： 理由：：矩形ABCD中，AD∥BC, ∴.∠DAF=∠AFE, :AF平分∠DAE, ∠DAF=∠EAF, ∴.∠EFA=∠EAF, ∴.AE=EF, AE AD, :AD =EF, :AD∥EF, :四边形AEFD是平行四边形， 又：AE=AD, :.平行四边形AEFD是菱形. 22.(10分) 【详解】(1)解：由题意可得：cos75°=cos45°+30)， .cos(45°+30）=cos45°cos30°-sin45°sin30°= 2,52x是.6-巨 2222 4 (2)解：过点A作AF⊥DE,连接AC,OG⊥AC,如图所示， B . 由题意得：DE=60米，∠0ED=45°， OE=- DE 60 =605米，D0E=45°， 2 :三片风叶两两所成的角为120°， .∠D0A=120°， .∠A0E=120°-45°=75°， 3/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 又：∠0EA=30°， ∠0AE=180°-75°-30°=75°， ∠OAE=LAOE, .0E=AE=602米， .∠0EA=30°，∠0ED=45°， .∠AED=75°， 由(1)得：cos75°=6-V2 4 .EF=4Exc0s75°=30V5-30米， :.DF=DE-EF=60-(30N3-30)=90-30V3米， :AF⊥DE,OG⊥AC,OD⊥DE, .四边形DFAG是矩形， .AG=DF=90-30√5米， :三片风叶两两所成的角为120°，且三片风叶长度相等， ∴.∠0AG=30°， OA=AG 90-30√3 cos30° √3 =(605-60)米， 2 :风叶0A的长度为60V3-60米 23.(10分) 【详解】(1)：二次函数的图象与x轴交于A-1,0),B(5,0)两点. .设二次函数的表达式为y=a(x+(x-5) EA0=l,tan∠AC0=, ∴.OC=5,即C的坐标为(0,5 则5=a(0+1)(0-5),得a=-1 .二次函数的表达式为y=-(x+1(x-5): (2)y=-（x+1(x-5)=-(x-2)2+9 ∴.顶点的坐标为2,9 4/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 过D作DN⊥AB于N,作DM⊥OC于M, 四边形ACDB的面积=S△MOc+S矩彩oWDN-S△cDM+S△DN =二×1×5+2×9-二×2×(9-5)+二×(5-2)×9=30； 2 D N B (3)如图，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当∠AC0=∠PBC时， 连接PB,过C作CE⊥BC交BP于E,过E作EF⊥OC于F, y D B :0C=0B=5,则a0CB为等腰直角三角形，∠0CB=45°. 由勾股定理得：CB=5√2， :LACO=∠PBC, tan∠ACO=tan /PBC, 48器号 :CE=2 由CH⊥BC,得∠BCE=90°， .∠ECF=180°-∠BCE-L0CB=180°-90°-45°=45°. 5/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.△EFC是等腰直角三角形 :FC=FE=1 :E的坐标为1,6) 所以过B、￡的直线的解析式为y=-3x+15 2t+ 2 315 y=- 令 2x+2 y=-(x+1)(x-5) 〔1 x=5 x= 解得 (少=0或 2 7 Ps. 4 所以BE直线与抛物线的两个交点为B5,0,P),27 2’4 127 即所求P的坐标为P 2'4 24.(13分) 【详解】解：任务1：变化量分别为，29-30=-1(cm);28.1-29=-0.9(cm); 27-28.1=-1.1cm);25.8-27=-1.2(cm; 任务2：设h=t+b, :t=0时，h=30,t=10时，h=29; 「b=30, 10k+b=29. :.水面高度h与流水时间t的函数解析式为h=-0.1t+30. 任务3：(1)当t=0时，h=-0.1t+30=30, 当1=10时，h=-0.1t+30=29, 当t=20时，h=-0.11+30=28, 当t=30时，h=-0.lt+30=27, 当1=40时，h=-0.1t+30=26, :w=(30-30)2+(29-29)2+(28-28.1)2+(27-27)2+(26-25.8)2 =0.05. (2)设h=kt+30,则 6/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 w=(30-30)2+(10k+30-29)2+(20k+30-28.1)2+(30k+30-27)2+(40k+30-25.8)2 =(10k+1)2+(20k+1.9)2+(30k+3)2+(40k+4.2)2 =3000k2+612k+12+1.92+32+4.22. 612 当k= =-0.102时，w最小. 2×3000 ∴.优化后的函数解析式为h=-0.102t+30. 任务4：时间刻度方案要点： ①时间刻度的0刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大： ③每0.102cm表示1min(1cm表示时间约为9.8min). 25.(13分) 【详解】(1)证明：：AB是⊙0的直径， ∠ACB=90°， .LBAC+LABC=90°， ∠BAC=∠BDA, .∠BDA+∠ABC=90°， .LBAD=90°， :ED是OO的切线； (2):∠BAC=∠BDA,∠ACB=∠DCA=90°， ∴△ACB∽aDCA, BC ACAC AC DC BD-BC' BC 6 :65-Bc' 解得BC=2或3， 当BC=2时，CD=BD-BC=3, 当BC=3时，CD=BD-BC=2, :AC>CD,即V6>CD, BC=3; (3)证明：：AB是O0的直径， 7/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠ACB=LDCA=90°， ∠BAC=∠BDA, .△ABC∽△DAC, D AC AB AC·AD=CD·AB, :DE·AM=AC·AD, DE·AM=CD·AB, AM AB DC DE .∠BAM=∠CDE, .△AMBn△DCE, ∠E=∠ABM, :∠EGA=LBGN, .∠EGA+∠E=LABM+∠BGN=90°， .∠BNG=90°， BM⊥CE. 8/8