21.3.3 第2课时 正方形的判定 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版8年级下册培优精做课件 21.3.3 第2课时 正方形的判定 第二十一章 四边形 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月27日 2026年2月27日星期五7时19分26秒 2026年2月27日星期五7时19分27秒 1. 用类比方法归纳正方形的判定方法，培养数学表达能力.(重点) 2. 探究并证明正方形的判定定理，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的判定方法之间的区别和联系. (难点) 3. 灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思维能力. 学习目标 问题1：什么是正方形？正方形有哪些性质？ A B C D 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. O 正方形性质：①四个角都是直角； ②四条边都相等； ③对角线相等且互相垂直平分. 问题2：你是如何判定矩形、菱形的？ 思考：怎样判定一个四边形是正方形呢？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 四个判定定理 定义 对角线相等 定义 对角线垂直 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 正方形 猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 探究点: 正方形的判定 5 已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角 线，AC⊥DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 对角线互相垂直的矩形是正方形. A B C D O 【证一证】 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°. ∵ AC⊥DB， ∴ AD = AB = BC = CD. ∴ 四边形 ABCD 是正方形. 探究点: 正方形的判定 活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形. 正方形 菱形 猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 探究点: 正方形的判定 已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. A B C D O 【证一证】 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB. ∵ AC = DB， ∴ AO = BO = CO = DO. ∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形. ∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°. ∴ 四边形 ABCD 是正方形. 探究点: 正方形的判定 常用的正方形判定方法： 定义法 矩形法 菱形法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相互垂直的矩形是正方形. 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 【归纳总结】 探究点: 正方形的判定 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角/ 一组邻边相等/ 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等， 且一内角是直角 【归纳总结】 探究点: 正方形的判定 1.在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A．AC = BD，AB∥CD，AB = CD B．AD∥BC，∠BAD =∠BCD C．AO = BO = CO = DO，AC⊥BD D．AO = CO，BO = DO，AB = BC C A B C D O 【练一练】 探究点: 正方形的判定 例2 在正方形 ABCD 中，点 E、F、M、N 分别在各边上，且 AE = BF = CM = DN．求证：四边形 EFMN 是正方形． 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD = DA，∠A =∠B =∠C =∠D = 90°. ∵ AE = BF = CM = DN，∴ AN = BE = CF = DM. 分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌ △CMF≌△DNM，得四边形 EFMN 是菱形，再证有一个角是直角即可. 探究点: 正方形的判定 在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM 中， AE = BF = CM = DN， ∠A =∠B =∠C =∠D， AN = BE = CF = DM， ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM. ∴ EN = FE = MF = NM，∠ANE =∠BEF. ∴ 四边形 EFMN 是菱形. 又∵∠NEF = 180° - (∠AEN +∠BEF) = 180° - (∠AEN+∠ANE) = 180° - 90° = 90°. ∴ 四边形 EFMN 是正方形. 探究点: 正方形的判定 证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠DEC =∠DFC = 90°. 又∵∠C = 90°， ∴ 四边形 CEDF 是矩形. 过点 D 作 DG⊥AB 于点 G. ∵ AD 是∠CAB 的平分线， ∴ DE = DG. 同理，DG = DF，∴ DE = DF. ∴ 四边形 CEDF 为正方形. 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A、∠B 的平分线交于点 D，DE⊥AC 于点 E，DF⊥BC 于点 F. 求证：四边形 CEDF 为正方形. A B C D E F G 探究点: 正方形的判定 【练一练】2.如图，EG，FH 过正方形 ABCD 的对角线交点 O，且 EG⊥FH. 求证：四边形 EFGH 是正方形. B A C D O E H G F 证明：∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ OB = OC，∠ABO =∠BCO = 45°， ∠BOC = 90° = ∠COH +∠BOH. ∵ EG⊥FH， ∴∠BOE +∠BOH = 90°. ∴∠COH =∠BOE. ∴△CHO≌△BEO. ∴ OE = OH. 同理可证：OE = OF = OG. 探究点: 正方形的判定 ∴ OE = OF = OG = OH， 即 EG 与 FH 互相垂直平分. ∴ 四边形 EFGH 为菱形. ∵ EO + GO = FO + HO，即 EG = HF， ∴ 四边形 EFGH 是正方形. B A C D O E H G F 探究点: 正方形的判定 例4 如图，正方形 ABCD 中，动点 E 在 AC 上，AF⊥AC，垂足为 A，AF = AE． (1) 求证：BF = DE； (2) 当点 E 运动到 AC 中点时 (其他条件都保持不变)， 问四边形 AFBE 是什么特殊四边形？说明理由. (1) 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = AD，∠BAD = 90°. ∵ AF⊥AC，∴∠EAF =∠BAD = 90°. ∴∠BAF =∠DAE. 在△ABF 和△ADE 中， AB = AD，∠BAF =∠DAE，AF = AE， ∴△ABF≌△ADE (SAS). ∴ BF = DE. 探究点: 正方形的判定 (2) 解：当点 E 运动到 AC 的中点时，四边形 AFBE 是正方形. 理由：∵ 点 E 运动到 AC 的中点，AB = BC， ∴ BE⊥AC，BE = AE = AC. ∵ AF = AE，∴ BE = AF = AE. 又∵ BE⊥AC，∠FAE =∠BEC = 90°， ∴ BE∥AF. ∵ BE = AF， ∴ 四边形 AFBE 是平行四边形. ∵∠FAE = 90°，AF = AE， ∴ 四边形 AFBE 是正方形． 探究点: 正方形的判定 思考：前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形. 顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？ A B C D A B C D A B C D 矩形 正方形 任意四边形 菱形 正方形 E F G H E F G H E F G H 平行四边形 探究点: 正方形的判定 5 种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 或对角线垂直且相等 1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于 点O，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件 是(　A　) A. AC＝BD B. AC⊥BD C. OA＝OC D. ∠AOB＝60° A 中考考法 2. 甲、乙、丙、丁四位同学到工厂实习，工人师傅 拿一把尺子要他们帮助检测一个四边形构件是否为 正方形，他们各自做了如下检测： 甲量得构件四边都相等； 乙量得构件的两条对角线相等； 丙量得构件的一组邻边相等； 丁量得构件的四边相等且两条对角线也相等. 检测后，他们都说是正方形，你认为说得最有把握 的是(　D　) D A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 中考考法 3. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD， AD∥BC，AC＝BD，在不添加任何辅助线的前提 下，若使四边形ABCD是正方形，只需添加的一个 条件是 . 第3题图 AC⊥BD(答案不唯一)　 中考考法 4. 有下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝ 90°，③AC＝BD，④AC⊥BD. 从中选取两个作 为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图).现在文文 选择了②③，你认为文文选择的 (填“对” 或“不对”). 第4题图 不对　 中考考法 5. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，BE平分 ∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形. 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC， CE平分∠DCB， ∴∠EBC＝∠ECB＝ ×90°＝45°. ∴∠BEC＝90°，BE＝CE. ∴四边形BECF是正方形. 中考考法 $