21.3.3 第1课时 正方形的定义与性质 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版8年级下册培优精做课件 21.3.3 第1课时 正方形的定义与性质 第二十一章 四边形 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月27日 2026年2月27日星期五7时17分34秒 2026年2月27日星期五7时17分35秒 1. 理解正方形的概念，体会特殊平行四边形之间的关系.(重点) 2. 通过观察、比较、动手操作探究正方形边、角、对角线、对称的性质，培养归纳探究能力和数学表达能力. 3.利用正方形的性质定理进行计算或证明，培养分析问题和解决问题的能力.(难点) 学习目标 矩形 前面我们已经学过了，平行四边形，矩形，菱形，想一想，矩形是由什么图形怎样变化而来？ 平行四边形 菱形 邻边相等 菱形是由什么图形怎样变化而来？ 矩 形 〃 〃 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？ 正方形 探究点1: 正方形的定义 问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？ 正方形 探究点1: 正方形的定义 一组邻边相等 一个角是直角 一组邻边相等 一个角是直角 正方形的定义 对于一个平行四边形，如果它不仅有一组邻边相等，而且有一个角是直角，那么它就是正方形. 【归纳总结】 探究点1: 正方形的定义 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 【归纳总结】 探究：从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论。 探究点2: 正方形的性质 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角. A B C D 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义). 又∵ 正方形是平行四边形， ∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)， 正方形是菱形 (菱形的定义). ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD. 探究点2: 正方形的性质 【证一证】 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD. A B C D O 证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形， ∴ AO = BO = CO = DO. ∵ 正方形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. 探究点2: 正方形的性质 思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 4条 A B C D 探究点2: 正方形的性质 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： 性质：1.正方形的四个角都是直角，四条边相等； 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 【归纳总结】 探究点2: 正方形的性质 例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形 分成四个全等的等腰直角三角形. A D C B O 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 相交于点 O. 求证： △ABO，△BCO，△CDO，△DAO 是全等的等腰直角三角形. 探究点2: 正方形的性质 A D C B O 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC = BD，AC⊥BD， ∴ ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠AOD = 90°， AO = BO = CO = DO. ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都 是等腰直角三角形，并且 △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 探究点2: 正方形的性质 例2 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形， 求证： ∠EAD =∠EDA = 15°. 证明：∵ △BEC 是等边三角形， ∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°. ∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°. ∴△ABE，△DCE 是等腰三角形. ∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°. ∴∠EAD =∠EDA = 90°-75° = 15°. 探究点2: 正方形的性质 【变式题1】四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边为边作等边△ADE，求∠BEC 的大小． 解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°. ∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°； 探究点2: 正方形的性质 当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°. 易错提醒：因为等边△ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以它们的边相等．本题分点 E 在正方形的外部和在正方形的内部两种情况． 探究点2: 正方形的性质 【变式题2】 如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP = AB，PB = PC，连接 AC、PD． （1）求证：△APB≌△DPC； 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC =∠DCB = 90°． ∵ PB = PC，∴∠PBC =∠PCB． ∴∠ABC -∠PBC =∠DCB -∠PCB， 即∠ABP =∠DCP． 又∵ AB = DC，PB = PC， ∴△APB≌△DPC． 探究点2: 正方形的性质 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAC =∠DAC = 45°． ∵△APB≌△DPC，∴ AP = DP． 又∵AP = AB = AD， ∴ DP = AP = AD， 即 △APD 是等边三角形． ∴∠DAP = 60°． ∴∠PAC =∠DAP -∠DAC = 15°， ∠BAP =∠DAB -∠DAP = 30°． ∴∠BAP = 2∠PAC． （2）求证：∠BAP = 2∠PAC． 探究点2: 正方形的性质 例3 如图，在正方形 ABCD 中，P 为 BD上一点，PE⊥BC 于 E，PF⊥DC 于 F. 试说明：AP = EF. A B C D P E F 解: 连接 PC，AC. 又∵ PE⊥BC，PF⊥DC， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠FCE = 90°，BD 垂直平分 AC. ∴ 四边形 PECF 是矩形. ∴ PC = EF. ∴ AP = PC. ∴ AP = EF. 归纳：在正方形的背景下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线、角平分线、等腰三角形等图形的性质来推导. 探究点2: 正方形的性质 1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等 2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 B D 【练一练】 探究点2: 正方形的性质 3.如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OA＝2，求该正方形的周长与面积． 解：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得 ∴ 该正方形的周长为 4AD＝ ， 面积为 AD2＝8. 探究点2: 正方形的性质 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 对于一个平行四边形，如果它不仅有一组邻边相等，而且有一个角是直角，那么它就是正方形 课堂小结 1. ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝ BC且AB⊥BC，则▱ABCD是(　B　) A. 菱形 B. 正方形 C. 矩形 D. 一般平行四边形 B 中考考法 2. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交 于点O. (1)∠ABO＝ °，∠AOB＝ °； 45　 90　 (2)若正方形ABCD的面积为9，则AB＝ ，对 角线BD的长为 ⁠； (3)图中共有 个等腰直角三角形. 3　 3 　 8　 中考考法 3. 如图，在正方形ABCD的对角线AC上取点E， 使得AE＝AB，连接BE，则∠CBE的度数 为 . 第3题图 22.5°　 中考考法 4. 如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三 角形，连接AE，DE. (1)求证：AE＝DE； (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°. ∵△BCE是等边三角形， ∴BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60° 中考考法 ∴∠ABE＝∠DCE. 在△ABE和△DCE中， ∴△ABE≌△DCE(SAS). ∴AE＝DE. ∴∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠ECB. 中考考法 (2)解：由(1)得∠ABE＝∠ABC－∠EBC ＝90°－60°＝30°. 又AB＝BC＝BE， ∴∠BEA＝∠BAE＝ (180°－∠ABE)＝75°. 同理∠CED＝75°. 又∠BEC＝60°， ∴∠AED＝360°－∠AEB－∠BEC－∠CED ＝150°. (2)求∠AED的度数. 中考考法 $