21.3.1 第2课时 矩形的判定 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版8年级下册培优精做课件 21.3.1 第2课时 矩形的判定 第二十一章 四边形 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年2月27日 2026年2月27日星期五7时11分23秒 2026年2月27日星期五7时11分25秒 1. 掌握运用矩形的定义和判定定理判定四边形是矩形的方法.(重点) 2. 经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力. 3. 能应用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力.(难点) 学习目标 问题1：矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 矩形 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 问题2：矩形有哪些性质？ 思考：工人师傅在做门窗时，为了确保所做的门窗是矩形，需要测量哪些数据呢？ 想一想：怎样判断四边形 ABCD 是矩形？ 实际问题 几何问题 A B C D O 根据定义，可以判定一个四边形是不是矩形. 除了矩形的定义，还有其他的判定方法吗？ 推理论证 矩形的判定 提出逆命题 矩形的性质 定义 性质 判定 提出猜想 推理论证 推出 推出 问题1：上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？ 我猜想：对角线相等的四边形是矩形. 不对，等腰梯形的对角线也相等. 不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分. 探究点1: 对角线相等的平行四边形是矩形 同学们，拿出一张白纸，在纸上画出一个如图平行四边形，然后写出已知和求证的条件，想一想怎么去证明？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 A B C D 探究点1: 对角线相等的平行四边形是矩形 证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC = ∠DCB. ∵ AB∥CD， ∴∠ABC + ∠DCB = 180°. ∴ ∠ABC = 90°. ∴ □ ABCD 是矩形(矩形的定义). 【证一证】已知：如图，在□ABCD 中，AC， DB 是它的两条对角线，AC = DB. 求证：□ABCD 是矩形. A B C D 探究点1: 对角线相等的平行四边形是矩形 矩形的判定定理 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在□ABCD 中，∵ AC = BD， ∴ □ ABCD 是矩形. A B C D 探究点1: 对角线相等的平行四边形是矩形 例1 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 上的一点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形. B C D E F G H O A 分析： 逆向思维 四边形 ABCD 是矩形 AO = BO = CO = DO AE = BF = CG = DH OE = OF = OG = OH，EG = FH 求证：四边形 EFGH 是矩形 求证：四边形 EFGH 是平行四边形 + EG = FH 探究点1: 对角线相等的平行四边形是矩形 例1 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 上的一点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形. B C D E F G H O A 证明： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD（矩形的对角线相等)， AO = BO = CO = DO (矩形的对角线互相平分). ∵ AE = BF = CG = DH， ∴ OE = OF = OG = OH. ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形， 且 EG = FH. ∴ 四边形 EFGH 是矩形. 探究点1: 对角线相等的平行四边形是矩形 1. 如图，在▱ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 ▱ABCD 是矩形的是 （　　） A．AC = BD B．AC = BC C．AD = BC D．AB = AD A A D C B O 【练一练】 探究点1: 对角线相等的平行四边形是矩形 2. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数． 　 A　 B　 C　 D　 O 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， 又∵ OA = OD， ∴ AC = BD. ∴四边形 ABCD 是矩形. ∴∠BAD = 90°. 又∵∠OAD = 50°， ∴∠OAB = 40°. ∴ OA = OC = AC， OB = OD = BD. 探究点1: 对角线相等的平行四边形是矩形 问题2： 前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗? 即四个角都是直角的四边形是矩形吗? 进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形? 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立. 探究点2: 有三个角是直角的四边形是矩形 至少有一个角是直角的四边形是矩形吗？ 【想一想】 (1) 有一个角是直角的四边形是矩形吗？ (2) 有两个角是直角的四边形是矩形吗？ (3) 有三个角是直角的四边形是矩形吗？ 不是矩形 不是矩形 矩形 探究点2: 有三个角是直角的四边形是矩形 【证一证】 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°. ∴ AD∥BC，AB∥CD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∴ 四边形 ABCD 是矩形. A B C D 探究点2: 有三个角是直角的四边形是矩形 矩形的判定定理 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵∠A =∠B =∠C = 90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形. A B C D 探究点2: 有三个角是直角的四边形是矩形 例2 如图，▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E，F，G，H. 求证：四边形 EFGH 是矩形. 同理可证∠H，∠AEB 也为直角 分析： 从而证明四边形 EFGH 是矩形 AE 与 DF 分别为∠BAD、∠ADC 的平分线 ∠BAD +∠ADC = 180° AB∥CD ∠F = 90° ∠BAD +∠ADC = 90° 探究点2: 有三个角是直角的四边形是矩形 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠BAD +∠ADC = 180°. 又 AE 与 DF 分别为∠BAD、 ∠ADC 的平分线， ∴ 四边形 EFGH 为矩形. 同理 ∠H =∠AEB = 90°， ∴∠F = 90°. ∴∠DAF +∠ADF = ∠BAD + ∠ADC ∴∠FEH =∠AEB = 90°. ∴ AB∥CD. = (∠BAD +∠ADC) = 90°. 探究点2: 有三个角是直角的四边形是矩形 【练一练】 3. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC， 垂足为 D，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形 ADCE 为矩形． ∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM. ＝ (∠BAC＋∠CAM )＝90°. 证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC. 又∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°. ∴ 四边形 ADCE 为矩形． 探究点2: 有三个角是直角的四边形是矩形 矩形 角 ______________的四边形是矩形 _________的平行四边形是矩形 有一个角是直角 有三个角是直角 对角线 的平行四边形是矩形 对角线相等 __________________ 判定定理 矩形的定义 课堂小结 1. 如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件 是(　C　) A. AB＝BC B. AC⊥BD C. ∠ABC＝90° D. ∠ABD＝∠CBD 第1题图 C 随堂练习 2. 下列命题是真命题的是(　C　) A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 一组对边平行且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C 随堂练习 3. 如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是 否符合设计要求(即门框是否为矩形)，在确保两组 对边分别相等的前提下，只要测量出对角线AC， BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这 种做法的根据是 . 对角线相等的平行四边形为矩形 随堂练习 4. [教材变式]如图，四边形ABCD的对角线相交于 点O，且OA＝OB＝OC＝OD，则该四边形 是 .若∠AOB＝60°， 则AB∶AC＝ . 矩形　 1∶2　 随堂练习 5. 如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC， CE⊥AE，垂足为E. (1)求证：△DCA≌△EAC； (1)证明：在△DCA和△EAC中， ∴△DCA≌△EAC(SSS). (1)证明：在△DCA和△EAC中， ∴△DCA≌△EAC(SSS). 随堂练习 (2)只需添加一个条件，即 ，可使四边形ABCD为矩形，请说明理由.一). AD＝BC　 (2)解：∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵CE⊥AE，∴∠E＝90°. ∵△DCA≌△EAC， ∴∠D＝∠E＝90°. ∴四边形ABCD为矩形(此题答案不唯一). 随堂练习 $