精品解析：湖南常德市澧县2025年下学期期末教学质量监测八年级数学试卷

2025年下学期期末教学质量监测八年级 数学试卷考 试时间：90分钟，满分100分 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 如图，在中，是斜边上的中线，，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， 故选：D． 2. 下列分式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 在中，的对边分别为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，或者根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形，即可求解． 【详解】解：A．时，，能判定为直角三角形； B．时，，不能判定为直角三角形； C．，，能判定为直角三角形； D．，则，能判定为直角三角形； 故选B． 4. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0．根据二次根式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：A． 5. 在下列条件中，不能判断两个直角三角形全等的是（ ） A. 已知两个锐角 B. 已知一条直角边和一个锐角 C. 已知两条直角边 D. 已知一条直角边和斜边 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有．根据判定方法依次进行判断即可． 【详解】解：A、两个锐角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故A符合题意； B、一个锐角和一条直角对应相等，利用可以判定两个直角三角形全等，故B不符合题意； C、两条直角边对应相等，利用可以判定两个直角三角形全等，故C不符合题意； D、一条直角边和斜边对应相等，利用可以判定两个直角三角形全等，故D不符合题意； 故选：A． 6. 把多项式因式分解结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先通过变形提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 7. 如图，要使木架（用5根木条钉成）不变形，至少需要再钉木条（ ） A. 2根 B. 3根 C. 4根 D. 5根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，多边形对角线分三角形问题，三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成两个角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条，据此可得答案． 【详解】解：过五边形的一个顶点作对角线，有条对角线， ∴至少要钉上2根木条． 故选：A． 8. 对于命题“已知实数，则”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了假命题的概念，通过举反例判断命题真假是解题的关键． 命题成立的条件是，进行判定即可． 【详解】解：要说明该命题是假命题，只需举出一个反例． 当时，，而此时， 所以， 故是该命题的一个反例． 故选：A． 9. 如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵，， A、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； B、添加，则，利用能判定，故该选项不符合题意； C、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； D、添加，利用不能判定，故该选项符合题意； 故选：D． 10. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项式的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 … …. 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（ ） A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索．观察可知把看成常数，从左往右数，的第二项的系数为，据此规律求解即可． 【详解】解；把看成常数， 从左往右数，的第二项的系数为， 从左往右数，的第二项的系数为， 从左往右数，的第二项的系数为， 从左往右数，的第二项的系数为， ……， 以此类推，从左往右数，的第二项的系数为， 而中，项就是第二项， 展开式中含项的系数是6， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】3 【解析】 【详解】根据分式的有意义的条件，分母不能为0，可知x-3≠0，解得x≠3， 因此符合题意的x的取值范围为x≠3． 故答案为：x≠3． 【点睛】本题考查分式的意义条件，熟练掌握分母不为0是分式有意义的条件是解题的关键． 12. 如图，在中，，平分，，则的面积为 _________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质．过点作，得到，再利用面积公式进行计算即可．掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 【详解】解：过点作， ∵，平分， ∴， ∴的面积为． 故答案为：12． 13. 计算（﹣2）÷（﹣）的结果为_____． 【答案】5 【解析】 【详解】分析：用括号中的每一项分别与-相除，然后把所得结果相加即可． 详解： （﹣2）÷（﹣） =. 故答案是：5. 点睛：考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的顺序是解题的关键． 14. 若，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解与乘法运算的关系，掌握因式分解与乘法运算是两个互逆的过程是解答本题的关键． 先根据多项式与多项式的乘法法则把化简，然后根据对应项相等即可求解． 【详解】解：已知等式整理得：， ， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，中，、的平分线相交于，过点且与平行．的周长为，的周长为，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，及平行线的性质，由为角平分线，得到一对角相等，再由平行于，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，等量代换可得出，利用等角对等边得到，同理得到，而三角形的周长等于三边相加，即，其中，，等量代换后可得出三角形的周长等于三角形的周长与的和，即等于两三角形的周长之差，将两三角形的周长代入，即可求出的长． 【详解】解：平分， ， 又， ， ， ， 同理可得， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，作于点，且为的中点．若，则__ ． 【答案】90 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质． 根据等腰三角形的判定得出，根据垂直平分线的性质得出，又根据等边对等角得出，再根据三角形的外角的性质得出，再根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出答案． 【详解】解：∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共7小题，满分52分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 因式分解： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可； （2）原式先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知：直线及直线上一点. 求作：直线，使得. 作法：①以点为圆心，任意长为半径画弧，交直线于两点； ②分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在直线一侧相交于点； ③作直线. 所以直线就是所求作的垂线. 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：∵___________，___________， ∴（__________________）.（填推理的依据） 【答案】 （1） 如图： （2），；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（或三线合一）. 【解析】 【分析】（1）根据已知步骤作图即可． （2）根据作图，直接利用“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”即可得到答案.. 【详解】解：（1） 略 （2）略 【点睛】此题主要考查了基本作图，正确掌握垂直平分线性质是解题关键． 20. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇OC生长在AB的中点D处，高出水面的部分尺，将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）． 【答案】水池深度为12尺，芦苇的长度是尺 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水池深度为尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：设水池深度为尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； (尺) ∴水池深度为12尺，芦苇的长度是尺． 21. 如图，在中，点在边上，过点作，垂足为的延长线交的延长线于点，且． （1）求证：是等边三角形： （2）连接，若是的角平分线，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等边三角形； （2） 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形，是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）等边对等角，结合三角形的外角的性质，得到，三角形的内角和定理得到，进而求出，即可得证； （2）根据等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 列方程解下列问题： 十五运会和残特奥会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受人们喜爱，其周边商品持续热销．甲顾客在某专卖店购买了3个喜洋洋挂件和2个乐融融摆件，共花费310元．已知喜洋洋挂件的销售单价比乐融融摆件的销售单价少10元． （1）求该专卖店中喜洋洋挂件和乐融融摆件的销售单价分别是多少？ （2）为回馈顾客，该专卖店决定，每个喜洋洋挂件的销售单价降m元，每个乐融融摆件的销售单价降2m元．乙顾客购买喜洋洋挂件花费了560元，购买乐融融摆件花费了1280元，且购买乐融融摆件的数量是购买喜洋洋挂件的数量的2倍．求m的值． 【答案】（1）喜洋洋挂件的销售单价为58元，乐融融摆件的销售单价为68元． （2）m的值为2． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，可化为一元一次方程的分式方程的应用，根据题目条件找出等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设喜洋洋挂件的销售单价为元，根据喜洋洋挂件单价比乐融融摆件的销售单价少10元，可表示出乐融融摆件的销售单价．再根据购买3个喜洋洋挂件和2个乐融融摆件共花费310元，列出方程求解； （2）先分别表示出降价后喜洋洋挂件和乐融融摆件的单价，再根据乙顾客购买两种商品的数量关系列出方程求解． 【小问1详解】 解：设喜洋洋挂件的销售单价为元，则乐融融摆件的销售单价为元．根据题意，得 ， 解得， ， 答：喜洋洋挂件的销售单价为58元，乐融融摆件的销售单价为68元； 【小问2详解】 降价后喜洋洋挂件的单价为元，乐融融摆件的单价为元．根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：的值为2． 23. 如图①，在中，是直角，，分别是的平分线，相交于点F，且于G，于H． （1）求证：； （2）请你判断并与之间的数量关系，并证明； （3）如图②，在中，如果不是直角， ，分别是的平分线，相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵是直角，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2） ，证明如下： 如图，连接， ∵分别是的平分线， ∴也是角平分线， ∵，， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴； （3） （2）中所得结论成立，证明如下： 如图，过点F作于M．作于N，连接， ∵分别是的平分线， ∴也是角平分线， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出的度数，再结合角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理即可解答； （2）根据角平分线的性质可得，可证明，即可解答； （3）过点F作于M．作于N，连接，角平分线的性质可得，再由四边形内角和定理可得，然后根据三角形内角和定理可得，从而得到，进而得到，可证明，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期末教学质量监测八年级 数学试卷考 试时间：90分钟，满分100分 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 如图，在中，是斜边上的中线，，则( ) A. B. C. D. 2. 下列分式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，的对边分别为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 在下列条件中，不能判断两个直角三角形全等的是（ ） A. 已知两个锐角 B. 已知一条直角边和一个锐角 C. 已知两条直角边 D. 已知一条直角边和斜边 6. 把多项式因式分解结果为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，要使木架（用5根木条钉成）不变形，至少需要再钉木条（ ） A. 2根 B. 3根 C. 4根 D. 5根 8. 对于命题“已知实数，则”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 10. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项式的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 … …. 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（ ） A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 12. 如图，在中，，平分，，则的面积为 _________． 13. 计算（﹣2）÷（﹣）的结果为_____． 14. 若，则的值为______________． 15. 如图，中，、的平分线相交于，过点且与平行．的周长为，的周长为，则的长为_______． 16. 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，作于点，且为的中点．若，则__ ． 三、解答题（共7小题，满分52分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 因式分解： （1）； （2） 19. 下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知：直线及直线上一点. 求作：直线，使得. 作法：①以点为圆心，任意长为半径画弧，交直线于两点； ②分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在直线一侧相交于点； ③作直线. 所以直线就是所求作的垂线. 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：∵___________，___________， ∴（__________________）.（填推理的依据） 20. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇OC生长在AB的中点D处，高出水面的部分尺，将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）． 21. 如图，在中，点在边上，过点作，垂足为的延长线交的延长线于点，且． （1）求证：是等边三角形： （2）连接，若是的角平分线，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 22. 列方程解下列问题： 十五运会和残特奥会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受人们喜爱，其周边商品持续热销．甲顾客在某专卖店购买了3个喜洋洋挂件和2个乐融融摆件，共花费310元．已知喜洋洋挂件的销售单价比乐融融摆件的销售单价少10元． （1）求该专卖店中喜洋洋挂件和乐融融摆件的销售单价分别是多少？ （2）为回馈顾客，该专卖店决定，每个喜洋洋挂件的销售单价降m元，每个乐融融摆件的销售单价降2m元．乙顾客购买喜洋洋挂件花费了560元，购买乐融融摆件花费了1280元，且购买乐融融摆件的数量是购买喜洋洋挂件的数量的2倍．求m的值． 23. 如图①，在中，是直角，，分别是的平分线，相交于点F，且于G，于H． （1）求证：； （2）请你判断并与之间的数量关系，并证明； （3）如图②，在中，如果不是直角， ，分别是的平分线，相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $