考试中导数试题特点分析(二)讲义-2026届高三数学二轮专题复习

考试中导数试题特点分析(二) 导数是研究函数的锐利工具,借助导数可以研究曲线的切线和切线的斜率、函数的单调性、函数的极值和最值、函数的零点、函数图像的位置等；最重要的是利用导数研究函数单调性，借助函数的单调性比较大小、解不等式、证明不等式.由于导数是高等数学的基础知识，所以这部分内容成为高考命题的热点，每年必考,花样新颖多变,且一般难度较大.因而研究高考试题中有关导数试题的特征及规律,对于有效开展高三课堂教学与指导复习备考显得尤为重要. 题型四、利用导数研究函数的零点问题 对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值来破解. 例7.已知函数有唯一零点，则实数( ) A． B． C． D．1 【解析】依题意,令,可得.设，则，由，得.所以，当时，，则函数在上单调递减；当时，，则函数在上单调递增；则当时，函数取得最小值为.又设 ，则当时，函数取得最小值为.(1)若,可得函数有两个零点,不合题意.(2)若,由于,得函数的图象关于直线对称,从而知两函数与的图象均关于直线对称,且它们在对称轴处无交点,则函数与函数的图象要么没有交点,要么有偶数个交点,显然也不合.(3)若,当且仅当时，函数和有一个交点，即，解得.综上所述,得满足题意.故选C.(法2,本题若注意到两函数与的图象均关于直线对称,它们有唯一交点的情况只能在对称轴处,则必有,解得.故选C.) 例8.已知函数有两个零点. (1)求的取值范围；(2)设是的两个零点,证明：. 【解析】(1)．下面分情况讨论:(i)设,则,只有一个零点,不合题意.(ii)设,则当时,；当时,．所以在上单调递减,在上单调递增．又,,取满足且,则 ,故存在两个零点．(iii)设,由得或．①若,则,故当时,,因此在上单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．②若,则,故当时,；当时,．因此在单调递减,在单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．综上,的取值范围为． (2)不妨设,由(1)知,,在上单调递减,所以,即等价于,即需证． 由于,而,所以 ．设,则．所以当时,,而,故当时,． 从而,故． 【点评】上面两题考查利用导数处理函数的零点问题,函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. 题型五、利用导数证明不等式 在近几年高考题中,使用导数证明不等式是高考试卷命题的一大亮点,同时也是整份考卷所设置的最大难点与热点.利用导数证明不等式,主要是通过研究函数的单调性、极值、最值以及构造辅助函数来达到证明不等式的目的. 例9.已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，证明. 【解析】(1)因的定义域为,而．①当时,则对恒成立，得在上单调递增.②当时,令,且,解得；令,且,解得.得在上单调递增,在上单调递减.综上所述:当时,在上单调递增；当时,在上单调递增,在上单调递减. (2)由(1)知,当时，在处取得最大值为.从而知等价于,即. 又设,则.易知,当时，；当时,.所以得在上单调递增，在上单调递减.故当时，取得最大值；所以当时，总有,即得成立.从而当时,只需取，可得，即证得成立. 例10.已知函数.(1)若,求实数的值；(2)设为整数，且对于任意正整数,有恒成立，求的最小值. 【解析】(1)因为的定义域为.下面分情况讨论：①若，由于，显然不满足题意；②若，因，则当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增，得是在的唯一最小值点.由于，当或时,由单调性知总有，显然不符合题意.所以要使对时恒成立，当且仅当时满足条件.故得. (2)由(1)知,若,则当时，有成立,即；则令,得.从而有 ,得；而 .故要使恒成立,可得整数的最小值为. 【点评】上面两题考查利用导数求函数的单调性和利用导数证明不等式.利用导数证明不等式的常见类型及解题策略如下：(1)构造辅助函数.把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，但如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的难点与关键所在.(2)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式(即确定与的大小关系).(3)根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 【变式训练题与解析】 4.已知函数.(1)当为何值时，轴为曲线 的切线；(2)用表示中的最小值，设函数 ,讨论零点的个数. 4.解:(1)设曲线与轴相切于点.则且,即得且,解得.故当时，轴为曲线 的切线. (2)当时,,从而,知在上无零点.又当时,若,则,则,故是的零点；若,则,则,故不是的零点. 当时,,所以只需考虑在内的零点个数. (ⅰ)若或，则在内无零点，故在内单调，而，，所以当时，在内有一个零点；当0时，在内无零点. (ⅱ)若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=. ①若＞0，解得，此时在内无零点.②若=0，即，则在内有唯一零点；③若＜0，解得，由于，，所以当时，在内有两个零点；当时，在内有一个零点. 综上所述，当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点. 5.设函数．(1)讨论的单调性；(2)若，证明：对任意． 5.解析：(1)的定义域为，． 当时，，故在单调递增； 当时，，故在单调递减； 当时，令，解得．由于的定义域为,则当时，，故在单调递增； 当时，，故在单调递减． (2)证明：不妨假设．由于，故在单调递减． ∴等价于． 即．令，则．因,于是．从而在单调递减，故，即， 故对任意． 学科网（北京）股份有限公司 $