9 专题1 微点突破2 导数中函数的构造问题（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

微点突破2　导数中函数的构造问题　▶ 对应学生用书P17 【考情分析】　导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题. 1.(2022·全国甲卷)已知a＝，b＝cos，c＝4sin，则(　　) A.c＞b＞a B.b＞a＞c C.a＞b＞c D.a＞c＞b 解析：选A.因为＝4tan，因为当x∈，sin x＜x＜tan x， 所以tan＞，即＞1，所以c＞b； 设f(x)＝cos x＋x2－1，x∈(0，＋∞)， f'(x)＝－sin x＋x＞0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增， 则f＞f(0)＝0，所以cos－＞0， 所以b＞a，所以c＞b＞a. 2.(2022·新高考Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则(　　) A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.c＜a＜b D.a＜c＜b 解析：选C.设f(x)＝ln(1＋x)－x(x＞－1)，因为f'(x)＝－1＝－， 当x∈(－1，0)时，f'(x)＞0，当x∈(0，＋∞)时，f'(x)＜0， 所以函数f(x)＝ln(1＋x)－x在(0，＋∞)上单调递减，在(－1，0)上单调递增， 所以f＜f(0)＝0，所以ln－＜0，故＞ln＝－ln 0.9，即b＞c； 所以f＜f(0)＝0，所以ln＋＜0，故＜，所以＜，故a＜b； 设g(x)＝xex＋ln(1－x)(0＜x＜1)，则g'(x)＝(x＋1)ex＋＝， 令h(x)＝ex(x2－1)＋1，h'(x)＝ex(x2＋2x－1)， 当0＜x＜－1时，h'(x)＜0，函数h(x)＝ex(x2－1)＋1单调递减， 当－1＜x＜1时，h'(x)＞0，函数h(x)＝ex(x2－1)＋1单调递增， 又h(0)＝0， 所以当0＜x＜－1时，h(x)＜0， 所以当0＜x＜－1时，g'(x)＞0，函数g(x)＝xex＋ln(1－x)单调递增， 所以g(0.1)＞g(0)＝0，即0.1e0.1＞－ln 0.9，所以a＞c. 3.(2021·全国乙卷)设a＝2ln 1.01，b＝ln 1.02，c＝－1.则(　　) A.a＜b＜c B.b＜c＜a C.b＜a＜c D.c＜a＜b 解析：选B.a＝2ln 1.01＝ln 1.012＝ln(1＋0.01)2＝ln(1＋2×0.01＋0.012)＞ln 1.02＝b，所以b＜a； 下面比较c与a，b的大小关系. 记f(x)＝2ln(1＋x)－＋1，则f(0)＝0，f'(x)＝－＝， 由于1＋4x－(1＋x)2＝2x－x2＝x(2－x)， 所以当0＜x＜2时，1＋4x－(1＋x)2＞0， 即＞1＋x，f'(x)＞0， 所以f(x)在[0，2]上单调递增， 所以f(0.01)＞f(0)＝0，即2ln 1.01＞－1，即a＞c； 令g(x)＝ln(1＋2x)－＋1，则g(0)＝0，g'(x)＝－＝， 由于1＋4x－(1＋2x)2＝－4x2， 在x＞0时，1＋4x－(1＋2x)2＜0， 所以g'(x)＜0，即函数g(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以g(0.01)＜g(0)＝0，即ln 1.02＜－1，即b＜c； 综上，b＜c＜a. 重点1　导数型构造函数 抽象函数的构造技巧 已知函数 构造函数 f(x)＋f'(x) g(x)＝exf(x) f(x)－f'(x) g(x)＝ f(x)＋xf'(x) g(x)＝xf(x) f(x)－xf'(x) g(x)＝ nf(x)＋f'(x) g(x)＝enxf(x) nf(x)－f'(x) g(x)＝ nf(x)＋xf'(x) g(x)＝xnf(x) nf(x)－xf'(x) g(x)＝ ＋f'(x)ln x g(x)＝f(x)ln x －f'(x)ln x g(x)＝ (ln a)f(x)＋f'(x) g(x)＝axf(x) (ln a)f(x)－f'(x) g(x)＝ f'(x)cos x－f(x)sin x g(x)＝f(x)cos x f'(x)sin x＋f(x)cos x g(x)＝f(x)sin x f(x)＋f'(x)tan x g(x)＝f(x)sin x f'(x)－f(x)tan x g(x)＝f(x)cos x 角度1　利用f(x)与x构造 已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x＞0时，xf'(x)－f(x)＜0，且f(－2)＝0，则不等式＞0的解集是(　　 ) A.(－2，0)∪(0，2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞) C.(－2，0)∪(2，＋∞) D.(－∞，－2)∪(0，2) 解析：选D.设g(x)＝，x≠0.因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x). 因为g(－x)＝＝－＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(－2)＝－g(2). 因为f(－2)＝0，所以g(－2)＝g(2)＝0. 当x＞0时，g'(x)＝＜0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，此时不等式＞0的解集是(0，2). 因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称， 所以g(x)在(－∞，0)上单调递减， 所以当x＜0时，不等式＞0的解集是(－∞，－2). 综上所述，不等式＞0的解集是(－∞，－2)∪(0，2). 角度2　利用f(x)与ex构造 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＜f'(x)－2，则(　　 ) A.f(2 025)－ef(2 024)＜2(e－1) B.f(2 025)－ef(2 024)＞2(e－1) C.f(2 025)－ef(2 024)＞2(e＋1) D.f(2 025)－ef(2 024)＜2(e＋1) 解析：选B.令g(x)＝，则g'(x)＝＞0，因此函数g(x)是增函数，于是得g(2 025)＞g(2 024)，即＞，整理得f(2 025)－ef(2 024)＞2(e－1). 角度3　利用f(x)与sin x，cos x构造 设f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f'(x)，且当x∈(0，π)时，f'(x)sin x－f(x)cos x＜0，则关于x的不等式f(x)＜2f()sin x的解集为　　　　. 解析：令g(x)＝，x∈(－π，0)∪(0，π)， 则g'(x)＝， ∵当x∈(0，π)时，f'(x)sin x－f(x)cos x＜0， ∴在(0，π)上，g'(x)＜0， ∴函数g(x)在(0，π)上单调递减. ∵y＝f(x)，y＝sin x是奇函数， ∴函数g(x)是偶函数， ∴函数g(x)在(－π，0)上单调递增. 当x∈(0，π)时，sin x＞0，则不等式f(x)＜2f()sin x可化为＜，即g(x)＜g()， ∴＜x＜π；当x∈(－π，0)时，sin x＜0， 则不等式f(x)＜2f()sin x可化为＞＝， 即g(x)＞g(－)，∴－＜x＜0.综上可得，不等式的解集为(－，0)∪(，π). 答案：(－，0)∪(，π) [规律方法]　(1)根据条件中关于f'(x)的不等式结构，逆用导数的运算法则构造原函数，进而利用其单调性. (2)熟悉抽象函数的构造技巧，以便于构造原函数. 对点练1.(1)已知定义域为{x｜x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f'(x)，对任意正实数x满足xf'(x)＞2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)＜0的解集是(　　 ) A.(－∞，1) B.(－1，1) C.(－∞，0)∪(0，1) D.(－1，0)∪(0，1) 解析：选D.令g(x)＝且x≠0，则g'(x)＝， 又对任意正实数x满足xf'(x)＞2f(x)， 即当x＞0时，g'(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 由f(x)为偶函数，则g(－x)＝＝＝g(x)， 所以g(x)也为偶函数，故g(x)在(－∞，0)上单调递减， 则g(－1)＝g(1)＝＝0，且f(x)＜0等价于g(x)＝＜＝g(1)， 所以x∈(－1，0)∪(0，1). (2)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且3f(x)＋f'(x)＜0，f(ln 2)＝1，则不等式e3xf(x)＞8的解集为(　　 ) A.(－∞，2) B.(－∞，ln 2) C.(ln 2，＋∞) D.(2，＋∞) 解析：选B.令g(x)＝f(x)，函数g(x)的定义域为R， 因为3f(x)＋f'(x)＜0，所以g'(x)＝[f(x)]'＝e3x[3·f(x)＋f'(x)]＜0， 故g(x)为减函数，又因为f(ln 2)＝1，所以g(ln 2)＝e3ln 2·f(ln 2)＝8， 所以不等式e3xf(x)＞8可化为g(x)＞g(ln 2)，所以x＜ln 2，所以e3xf(x)＞8的解集为(－∞，ln 2). 重点2　根据数值特征构造函数 根据数值特征构造函数的类型： (1)构造相同的函数，利用其单调性解决问题； (2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值确定大小. 已知a＝etan 0.2－1，b＝－1，c＝2ln 1.1，则(　　 ) A.a＞b＞c B.c＞a＞b C.a＞c＞b D.c＞b＞a 解析：选C.令f(x)＝tan x－x，x∈， 则f'(x)＝－1＞0， 即函数f(x)在上单调递增，所以f(x)＞tan 0－0＝0， 即当x∈时，tan x＞x，又y＝ex是增函数，所以a＞e0.2－1. 令g(x)＝ex－，x∈， 则g'＝ex－≥0， 即函数g(x)在上单调递增， 所以g＞g＝0， 则e0.2＞，即e0.2－1＞－1，所以a＞b. 令h＝2ln－，x∈[0，0.1]， 则h'＝－＝≥＝0， 即函数h在上单调递增， 所以h＞h＝0，即2ln 1.1＞－1，即c＞b. 令t＝e2x－1－2ln(1＋x)，x∈， 则t'＝2e2x－， 显然t'在[0，0.1]上单调递增，且t'＝0，所以当x∈时，t'≥0，即t在上单调递增， 所以t＞t＝0， 即e0.2－1＞2ln 1.1，即a＞c. 综上可知，a＞c＞b. [规律方法]　(1)观察实数的结构，对实数适当变形寻找实数间的联系. (2)放缩法的应用：①用基本初等函数单调性放缩；②用切线不等式：ex≥x＋1，ln x≤x－1(x＞0)，sin x＜x＜tan x(0＜x＜)等放缩；③用二项展开式放缩. 对点练2.已知a＝ln 1.1，b＝e0.1－1，c＝sin 0.1，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.b＞c＞a D.c＞b＞a 解析：选C.令f(x)＝ex－1－sin x，∴f'(x)＝ex－cos x， 当x＞0时，ex＞1，∴ex－cos x＞0，∴f'(x)＞0，f(x)单调递增， ∴f＞f，即e0.1－1－sin 0.1＞0，∴e0.1－1＞sin 0.1，即b＞c； 令g(x)＝ln(x＋1)－sin x， ∴g'＝－cos x＝＝， 令h＝1－xcos x－cos x， ∴h'＝sin x－cos x， 令φ＝sin x－cos x， ∴φ'＝2sin x＋cos x， 当0＜x＜时，φ'＞0，∴h'单调递增， ∴h'＜h'＝sin－cos＝＜0， ∴h在x∈上单调递减，∴h＜h＝0， ∴g'＜0，∴g(x)在x∈上单调递减， ∴g＜g＝0，即ln 1.1－sin 0.1＜0，∴c＞a. 综上所述，b＞c＞a. 学科网（北京）股份有限公司 $