考试中导数试题特点分析(一)讲义-2026届高三数学二轮专题复习

考试中导数试题特点分析(一) 导数是研究函数的锐利工具,借助导数可以研究曲线的切线和切线的斜率、函数的单调性、函数的极值和最值、函数的零点、函数图像的位置等；最重要的是利用导数研究函数单调性，借助函数的单调性比较大小、解不等式、证明不等式.由于导数是高等数学的基础知识，所以这部分内容成为高考命题的热点，每年必考,花样新颖多变,且一般难度较大.因而研究高考试题中有关导数试题的特征及规律,对于有效开展高三课堂教学与指导复习备考显得尤为重要. 题型一、导数的几何意义 导数的几何意义是曲线上某点处切线的斜率，因此在涉及函数或曲线的有关切线和切线的斜率问题时如果用导数来处理，就能避免解题中的一些繁琐的计算而使问题迅速获解. 例1.(1)曲线在点处的切线方程为___________．(2)曲线经过点的切线方程为___________． 【解析】(1)设，则，所以切线的斜率.故曲线在点处的切线方程为，即． (2)设切点,则,且,则切线斜率,从而得切线方程为,将点坐标代入上式并化简得,解得或,于是得切线方程为或． 例2.已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是________． 【解析】因为偶函数,设，则，于是．则当时,有，则切线斜率为，故所求的切线方程为，即．故填． 【点评】上面的问题是求曲线的切线方程或斜率,这是导数的一个重要应用.用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．要注意例1中两个问题的区别,是“在某点处的切线”还是“过某点的切线”,前者是切点,而后者不一定是切点. 题型二、利用导数研究函数的单调性及求参数范围 在利用导数求函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解题过程中只能在定义域内讨论；当求得的单调区间不止一个时,单调区间要用“，”或“和”字等隔开,不要用符号“∪”连接．在已知单调性的情况下求参数值或参数取值范围时,通常要运用化归与转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法. 例3.设函数,其中,若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】设,由题知存在唯一的整数,使得成立,等价于存在唯一的整数,使得点在直线的下方.因为；则当时，，当时，，所以当时，.而,,,直线恒过点，且斜率为.如图,结合图象及斜率大小关系知存在唯一的整数满足条件,则必有,且,且,解得.故选C. 例4.已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若,求的取值范围. 【解析】(1)因的定义域为,而. 下面分情况讨论:①若,得,故在上单调递增．②若，则由，解得．当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增．③若，则由，解得．当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增． 综上所述：当时,在上单调递增；当时,在上单调递减，在上单调递增；当时,在上单调递减，在上单调递增． (2)依题意，则有：①若，则，所以恒成立．②若,由(1)得,当时，有最小值为，从而只需 ，且，解得．③若,由(1)得,当时，有最小值为，从而只需，且，解得 ．综上所述,得的取值范围为． 【点评】上面两题主要考查导数在函数解题中两大方面的应用.(1)函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先要考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间；(2)函数的极值(最值)或参数取值范围的求法：由确认的单调区间，结合图象(当有多个极值和区间的端点值时)与极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值(最值)或参数的取值范围． 题型三、利用导数研究函数的极值(最值) 利用导数研究函数的单调性与极值(最值)问题，试题往往设计为求函数的单调区间、极值、最值等,其处理方法一般是先确定单调区间,再通过分析、比较求出极值或最值.在考查导数研究函数性质的同时也考查分类与整合、化归与转化、数形结合等数学思想方法. 例5.若是函数的极值点，则的极小值为( ) A． B． C． D． 【解析】由题可得，依题意有，解得，则，从而，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，则的极小值为.故选A． 例6.(1)讨论函数的单调性，并证明当时，； (2)证明：当时,函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域. 【解析】(1)易知的定义域为.而 对恒成立,当且仅当时,.故在和上均单调递增.由上可知在上单调递增,则当时,有,所以,即成立. (2)因；由(1)知,在上单调递增，且对任意因此,存在唯一使得即.当时，， 单调递减；当时，，单调递增.因此,在处取得最小值为.则， 因对成立,则在上单调递增.所以，由得反过来,因为单调递增，对任意存在唯一的有, 使得所以的值域是.综上所述,当时,有最小值为,的值域是. 【点评】上面两题是利用导数解决函数的单调性与函数的极值或最值问题.一般情况下,用导数处理函数单调性与极值问题需注意以下两点：(1)可导函数在点处取得极值的充要条件是,且在的左侧与右侧的符号不同,即在的左侧与右侧的单调性相反；若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 【变式训练题与解析】 1.设曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 1.解:因为，所以切线的斜率为，解得.故选D. 2.设函数是奇函数的导函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.解:设函数,则；由于当时，，即,则在上递减；又为奇函数,则,得.从而知,当时,,则；当时,,则.再由为奇函数得,当时,.综上所述,使得成立的的取值范围是.故选A. 3.设函数，曲线在点处的切线方程为(1)求的值；(2)证明： 3.解:(1)函数的定义域为,．因切点既在曲线上又在切线上,由题意可得,斜率为．故得． (2)由(1)知，，从而等价于，设函数，则．所以当时，；当时，．故在递减，在递增，从而在的最小值为．设，则．所以当时，；当时，．故在递增，在递减，从而在上的最大值为．综上,当时,，且它们不同时取得；即证得对成立，即 学科网（北京）股份有限公司 $