3.4.2 力的合成和分解 导学案 -2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第一册

第2课时　力的合成和分解 学习目标　 1.知道力的合成与力的分解的关系。 2.进一步理解力的合成和分解遵循的规律——平行四边形定则，能应用平行四边形定则求合力或分力。 3.会根据具体问题进行力的分解。 4.能区别矢量和标量。 知识点一　力的合成 1.力的合成规律：两个力合成时，如果以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，这个规律叫作平行四边形定则。 2.合力与分力的大小关系 两分力大小不变时，合力F随两分力夹角θ的增大而减小，随θ的减小而增大(0°≤θ≤180°)。 (1)两分力同向(θ＝0°)时，合力最大，F＝F1＋F2，合力与分力同向。 (2)两分力反向(θ＝180°)时，合力最小，F＝|F1－F2|，合力的方向与较大的一个分力的方向相同。 (3)合力的取值范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。 (4)合力大小可能大于某一分力，可能小于某一分力，也可能等于某一分力。 3.多个共点力的合力的求法 先求出任意两个力的合力，再求出这个合力与第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。 【思考】 自制一个平行四边形模型(如图)，结合模型讨论以下问题： (1)合力的大小怎样随两个分力夹角的改变而改变？ (2)合力是否总是大于两个分力？合力何时达到最大值？何时达到最小值？ (3)当两个分力之间的夹角分别为0°和180°时，它们的合力大小如何计算？ 提示　(1)在两个分力的大小不变的情况下，两分力的夹角越小，合力的大小越大；两分力的夹角越大，合力的大小越小。 (2)在两个分力的夹角为钝角时，合力的大小就可能比分力小；当两个分力的夹角为0°时，合力最大；两个分力的夹角为180°时，合力最小。 (3)当两分力的夹角为0°时，F合＝F1＋F2；当两个分力的夹角为180°时，F合＝|F1－F2|。 例1 关于共点力的合成，下列说法正确的是(　　) A.两个分力的合力一定比分力大 B.两个分力大小一定，夹角越大，合力越小 C.两个力合成，其中一个力增大，另外一个力不变，合力一定增大 D.现有三个力，大小分别为3 N、6 N、8 N，这三个力的合力最小值为1 N 答案　B 解析　两个分力的合力不一定比分力大，如两个分力的方向相反时，合力一定小于分力，A错误；两个分力的合力大小为F＝，分力大小一定，θ越大，合力越小，保持θ不变，使其中一个力增大，合力不一定增大，如当θ＝180°时，较小的分力增加，合力减小，B正确，C错误；3 N与6 N两力的合力大小范围为3 N≤F≤9 N，当两力的合力大小为8 N且与第三个8 N的力方向相反时，三个力的合力为0，D错误。 总结 合力的大小范围的确定方法 (1)两个分力合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。 (2)三个分力的合力范围 ①最大值：三个力方向相同时，合力最大，Fm＝F1＋F2＋F3。 ②最小值：若|F1－F2|≤F3≤F1＋F2，则合力的最小值为零；若F3不在|F1－F2|～(F1＋F2)范围内，则合力的最小值不可能为零，等于三个力中最大的力减去另外两个力的大小之和。　　 例2 上海市的杨浦大桥是我国自行设计建造的双塔双索面叠合梁斜拉桥，如图甲所示。挺拔高耸的208 m主塔似一把利剑直刺苍穹，塔的两侧32对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，如图乙所示，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？(计算结果保留2位有效数字) 答案　5.2×104 N　方向竖直向下 解析　法一：作图法(如图1所示) 自O点引两根有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°。取单位长度为1×104 N，则OA和OB的长度都是3个单位长度。量得对角线OC长为5.2个单位长度，所以合力的大小为 F＝5.2×1×104 N＝5.2×104 N。 法二：计算法(如图2所示) 根据这个平行四边形是一个菱形，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB、OD＝OC。对于直角三角形AOD，∠AOD＝30°，而OD＝OC，则有F＝2F1cos 30°＝2×3×104× N＝5.2×104 N。 方法总结　合力的求解方法 (1)作图法 根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，然后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下： (2)计算法 ①两分力共线时，直接相加减 ②两分力不共线时 可以根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力。以下为求合力的三种特殊情况： 类型 作图 合力的计算 两分力相互垂直 大小： F＝ 方向：tan θ＝ 两分力等大，夹角为θ 大小：F＝2F1cos 方向：F与F1夹角为 (当θ＝120°时，F＝F2＝F1) 合力与其中一个分力垂直 大小：F＝ 方向：sin θ＝ 训练1 两个大小相等的共点力F1和F2，当它们之间的夹角为90°时，合力大小为10 N，则当它们之间的夹角为120°时，合力的大小为(　　) A.10 N B.10 N C.15 N D.20 N 答案　A 解析　当两个力之间的夹角为90°时，如图甲所示，根据平行四边形定则可知F1＝F2＝10 N。当这两个力的夹角为120°时，如图乙所示，根据平行四边形定则可知F合＝10 N，A正确。 知识点二　力的分解 1.如图甲所示，由平行四边形定则可知，两个已知力进行合成时，这两个力的合力是唯一的。如图乙，如果将一个已知力分解成两个分力，结果是否也是唯一的呢？ 提示　将一个力可以分解为两个分力，如图所示，若没有限制，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力，结果并不是唯一的。也可以说，如果没有限制，对于同一条对角线，可以作出无数个不同的平行四边形 2.按下列要求作图。 (1)已知力F及其一个分力F1，在图甲中画出另一个分力F2。 (2)已知力F及其两个分力的方向，在图乙中画出两个分力F1和F2。 提示　 1.力的分解规律：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵从平行四边形定则。 2.无条件限制的力的分解 如果没有限制，同一个力F可以分解为无数对大小、方向不同的分力。因为以同一条线段为对角线的平行四边形有无数多个(如图甲、乙所示)。 　 由图乙知，将已知力F分解为两个等大的分力时，两分力间的夹角越大，两分力越大。 3.有条件限制的力的分解 (1)已知合力和两个分力的方向时，有唯一解。如图(1)(2)所示。 (2)已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解。如图(3)(4)所示。 (3)已知合力F以及一个分力F2的大小和另一个分力F1的方向时，有下面几种可能： ①当Fsin θ<F2<F时，F1有两解[如图(5)]； ②当F2＝Fsin θ时，F1有唯一解[如图(6)]； ③当F2<Fsin θ时，F1无解[如图(7)]； ④当F2>F时，F1有唯一解[如图(8)]。 例3 按下列两种情况把一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力(已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)。 (1)一个分力水平向右，并等于240 N，求另一个分力的大小和方向； (2)一个分力在水平方向上，另一个分力与竖直方向的夹角为30°斜向下(如图所示)，求两个分力的大小。 答案　(1)300 N　与竖直方向成53°角斜向左下方 (2)水平方向分力的大小为60 N，斜向左下方的分力的大小为120 N 解析　(1)力的分解如图甲所示。 甲 F2＝＝300 N 设F2与F的夹角为θ， 则tan θ＝＝，解得θ＝53°。 (2)力的分解如图乙所示。 乙 F1＝Ftan 30°＝180× N＝60 N F2＝＝ N＝120 N。 训练2 如图所示，将一个已知力F分解为F1和F2，已知F＝10 N，F1与F的夹角为37°，则F2的大小不可能是(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　) A.4 N B.6 N C.10 N D.100 N 答案　A 解析　根据平行四边形定则知，当F2与F1垂直时，F2最小，此时F2＝Fsin 37°＝10×0.6 N＝6 N，所以F2的大小不可能是4 N，故A正确。 知识点三　矢量和标量 1.矢量：既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则的物理量。 2.标量：只有大小，没有方向，相加时遵从算术法则的物理量。 3.三角形定则：把两个矢量首尾相接，从第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端的有向线段就表示合矢量的大小和方向，如图所示。 例4 关于矢量和标量，下列说法不正确的是(　　) A.矢量是既有大小又有方向的物理量 B.标量只有大小没有方向 C.－10 m的位移比5 m的位移小 D.－10 ℃的温度比5 ℃的温度低 答案　C 解析　由矢量和标量的定义可知A、B项正确；－10 m的位移比5 m的位移大，负号不表示大小，仅表示方向与规定的正方向相反，故C错误；温度是标量，负数表示该温度比0 ℃低，正数表示该温度比0 ℃高，故－10 ℃的温度比5 ℃的温度低，D正确。 例5 下列各图中三角形的三边各代表一个力，以下说法中正确的是(　　) A.图甲中三个力的合力为零 B.图乙中三个力的合力为2F3 C.图丙中三个力的合力为2F1 D.图丁中三个力的合力为2F2 答案　C 解析　根据三角形定则可知，题图甲中F1和F2的合力为F3，故三个力的合力为2F3，A错误；题图乙中F1和F3的合力为F2，故三个力的合力为2F2，B错误；题图丙中F2和F3的合力为F1，故三个力的合力为2F1，C正确；题图丁中F1和F2的合力为－F3，故三个力的合力为零，D错误。 随堂对点自测 1.(矢量和标量)关于矢量和标量，下列说法不正确的是(　　) A.标量只有正值，矢量可以取负值 B.位移、速度、加速度都是矢量 C.矢量和标量遵从的运算法则不一样 D.矢量的加法满足平行四边形定则 答案　A 2.(力的合成)两个共点力F1和F2的合力大小为6 N，则F1和F2的大小不可能是(　　) A.F1＝2 N，F2＝9 N B.F1＝4 N，F2＝8 N C.F1＝2 N，F2＝8 N D.F1＝2 N，F2＝7 N 答案　A 解析　选项A中两个力的合力范围为7～11 N，选项A不可能；选项B中两个力的合力范围为4～12 N，选项B可能；选项C中两个力的合力范围为6～10 N，选项C可能；选项D中两个力的合力范围为5～9 N，选项D可能。 3.(力的分解)物体静止于光滑水平面上，力F作用于物体上的O点，现要使合力沿着OO′方向，如图所示，则必须同时再加一个力F′，若F和F′在同一水平面上，则这个力的最小值为(　　) A.Fcos θ B.Fsin θ C.Ftan θ D.Fcot θ 答案　B 解析　过力F的最右端，向OO′的方向作垂线，则垂足与力F右端的距离即为最小力F′的大小，故该最小力为F′＝Fsin θ，选项B正确。 4.(力的合成)(多选)小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，如图所示，已知两人手臂上的拉力大小相等且为F，两人手臂间的夹角为θ，水和水桶的总重力为G，则下列说法中正确的是(　　) A.当θ＝120°时，F＝G B.不管θ为何值，都有F＝ C.当θ＝0°时，F＝ D.θ越大，则F越小 答案　AC 解析　由力的合成可知，在两分力大小相等，当θ＝120°时，F合＝F＝G；θ＝0°时，F合＝2F＝G，所以F＝，故选项A、C正确，B错误；在合力一定时，两分力间的夹角θ越大，则分力F越大，故选项D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $