专题05 二次根式章末易错必刷题型专训（45题15个考点）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

该初中数学讲义通过15个易错专题系统构建二次根式知识体系，以框架图梳理求二次根式的值、有意义的条件等核心考点的内在联系，清晰呈现各知识点的重难点分布和易错类型。 讲义亮点在于“易错必刷”分层练习设计，如“二次根式的应用”专题通过长方形内正方形面积问题培养应用意识，“比较大小”专题用“作差法”发展推理能力。基础题巩固概念，综合题提升思维，助力学生自主复习，也为教师提供精准教学依据。

专题05 二次根式章末易错必刷题型专训（45题15个考点） 【易错必刷一 求二次根式的值】 1．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 【易错必刷二 求二次根式中的参数】 4．（2025八年级下·江苏·专题练习）已知是正整数，则自然数的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）已知有理数满足等式，则 ； ． 6．（24-25八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值． 【易错必刷三 二次根式有意义的条件】 7．（25-26九年级上·河南周口·月考）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）使代数式有意义的x的取值范围是 ． 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）当x为何值时，的值最小？最小值是多少？ 【易错必刷四 利用二次根式的性质化简】 10．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·上海·期中）计算： ． 12．（2025八年级上·北京·专题练习）化简，其中． 【易错必刷五 复合二次根式的化简】 13．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·山东青岛·单元测试）当时，化简： ． 15．（24-25八年级下·山东泰安·月考）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【易错必刷六 二次根式的乘除混合运算】 16．（2025八年级上·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·广东广州·期末）计算：①×＝ ，②＝ ，③＝ ． 18．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）计算： (1)； (2)． 【易错必刷七 化为最简二次根式】 19．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级上·北京顺义·期中）化简与计算： ， ， ． 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式．若不是，请化简． ，，，，． 【易错必刷八 已知最简二次根式求参数】 22．（24-25八年级下·山东德州·月考）最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·广东茂名·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 24．（24-25八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【易错必刷九 同类二次根式】 25．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）下列二次根式与是同类二次根式的是（  ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 27．（24-25八年级下·上海·假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ (1)和； (2)和． 【易错必刷十 二次根式的混合运算】 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B．4 C． D． 29．（2025·内蒙古乌海·一模）计算： ． 30．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【易错必刷十一 分母有理化】 31．（24-25八年级下·江苏南通·期中）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按照上述规律，计算：（   ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级下·天津东丽·月考）化简：（1） ；（2） ：（3） ． 33．（24-25八年级下·山东聊城·月考）小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： (1)分母有理化：______， (2)计算：； (3)若，求的值． 【易错必刷十二 二次根式化简求值】 34．（24-25九年级上·河南洛阳·月考）若，则代数式的值为（   ） A．7 B．4 C．3 D．3-2 35．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）已知，则 ． 36．（24-25八年级下·江西赣州·期末）已知x=，y=，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【易错必刷十三 比较二次根式的大小】 37．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 38．（24-25八年级下·全国·课后作业）比较大小： ， ． 39．（25-26八年级下·全国·课后作业）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． ，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． 【易错必刷十四 二次根式的应用】 40．（24-25八年级下·广西崇左·月考）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为25和20的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级上·广西贵港·期末）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和16，则图中阴影部分的面积和为 ． 42．（24-25八年级下·广东惠州·月考）如图，有一块长方形的木板，木工师傅采用如图的方式，在木板上裁出两个面积分别为和的正方形木板，求剩余木板（阴影部分）的周长和面积． 【易错必刷十五 二次根式的新定义运算】 43．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）规定一种新运算：．例如：．则的计算结果是（   ） A．10 B． C． D． 44．（24-25八年级下·河北邢台·月考）对于正整数a、b定义新运算“◎”，规定，则的运算结果为 ． 45．（24-25八年级下·云南昭通·月考）请观察下列式子： ；；； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：___________；___________； (2)猜想规律：___________（n为正整数）； (3)若定义（a，b都是正整数），利用上述定义及规律计算的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次根式章末易错必刷题型专训（45题15个考点） 【易错必刷一 求二次根式的值】 1．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、的被开方数，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、，∵，∴，是二次根式，故本选项符合题意； C、的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； D、当时，，∴不是二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简． 将代入二次根式，即可计算求值． 【详解】解：， ． 故答案为：3． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据算术平方根把公式变形即可； （）把，代入即可求解； 本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当，时， ∴． 【易错必刷二 求二次根式中的参数】 4．（2025八年级下·江苏·专题练习）已知是正整数，则自然数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质以及结果为整数可确定的值． 【详解】解：∵是正整数，是整数， ∴的最小值是． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）已知有理数满足等式，则 ； ． 【答案】 【分析】根据有理数的定义以及等式的性质即可求出答案． 【详解】解：由于， ， 由于与是有理数， ，， ，． 故答案为：；． 【点睛】本题考查实数，解题的关键是将等式进行适当的变形，本题属于中等题型． 6．（24-25八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值． 【答案】10，9，6，1 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解． 【详解】由题意得， 又n为自然数， ∴， ∵是整数 ， ∴，，，， ∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1． 【易错必刷三 二次根式有意义的条件】 7．（25-26九年级上·河南周口·月考）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的概念，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零，由此求解即可． 【详解】解：有意义， ， ． 故选：B． 8．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）使代数式有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负求解即可． 【详解】根据题意得， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）当x为何值时，的值最小？最小值是多少？ 【答案】，5 【分析】本题目考查二次根式的非负性的运用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键； 根据二次根式的非负性，可知，当时，式子即可求出最小值． 【详解】解：有意义． ， ∴当，即时，式子的值最小， 最小值为5． 【易错必刷四 利用二次根式的性质化简】 10．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是根据二次根式性质化简，先计算平方运算，再取算术平方根，注意平方根的非负性． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 11．（25-26八年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质，，再比较和的大小，取绝对值． 【详解】解： 故答案为． 12．（2025八年级上·北京·专题练习）化简，其中． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，根据，则，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则 ∴． 【易错必刷五 复合二次根式的化简】 13．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 14．（24-25八年级下·山东青岛·单元测试）当时，化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 15．（24-25八年级下·山东泰安·月考）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 【易错必刷六 二次根式的乘除混合运算】 16．（2025八年级上·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式的乘除法则得到原式，然后化简即可． 【详解】解：原式 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，灵活应用二次根式的乘法法则和除法法则是解决此类问题的关键． 17．（24-25八年级下·广东广州·期末）计算：①×＝ ，②＝ ，③＝ ． 【答案】 5 【分析】①利用二次根式的乘法法则运算，最后化成最简二次根式即可；②利用二次根式的乘法法则运算，最后化成最简二次根式即可；③利用算术平方根的意义化简即可． 【详解】解：①； ②； ③． 故答案为：；5；． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，算术平方根的意义．二次根式的乘除法的结果一定要化成最简二次根式，这是解题的关键． 18．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键， （1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【易错必刷七 化为最简二次根式】 19．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母，对各选项逐一判断即可. 【详解】解：选项A：，被开方数含分母，需化简为，不符合最简二次根式条件； 选项B：，被开方数，不含平方因数，且无分母，符合最简二次根式条件； 选项C：，被开方数，含平方因数，可化简为，不符合条件； 选项D：，被开方数含平方因数，可化简为，不符合条件； 综上，只有选项B是最简二次根式； 故选：B 20．（25-26八年级上·北京顺义·期中）化简与计算： ， ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查二次根式的化简和计算，解题的关键是掌握以上运算法则． 第一题根据二次根式的化简法则进行化简即可；第二题先化简根号内的分数，再有理化分母；第三题应用积的乘方公式计算． 【详解】解： ； ； ． 故答案为：，，． 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式．若不是，请化简． ，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是二次根式的化简、掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据题意判断即可． 【详解】解：是最简二次根式； 不是最简二次根式，化简为； 是最简二次根式； 不是最简二次根式，化简为； 不是最简二次根式，化简为． 【易错必刷八 已知最简二次根式求参数】 22．（24-25八年级下·山东德州·月考）最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式与的被开方数相同，得，解出，即可． 【详解】∵最简二次根式与的被开方数相同， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的知识，解题的关键是理解最简二次根式的概念． 23．（25-26八年级上·广东茂名·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握“同类最简二次根式的被开方数相同”是解题的关键． 根据同类最简二次根式的定义，令被开方数相等，列方程求解的值． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 24．（24-25八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 【易错必刷九 同类二次根式】 25．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）下列二次根式与是同类二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：是最简二次根式，被开方数为． 选项A：，被开方数为，不符合题意． 选项B：，被开方数为，符合题意． 选项C：，被开方数为，不符合题意． 选项D：，被开方数为，不符合题意． 故选：B． 26．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式．据此列方程进行解答即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 移项、合并同类项，得， 解得：． 故答案为：1． 27．（24-25八年级下·上海·假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ (1)和； (2)和． 【答案】(1)不是； (2)不是． 【分析】本题主要考查二次根式的性质及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键． （1）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案． （2）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】（1）解：； ． ∴和不是同类二次根式； （2）解：； ． ∴和不是同类二次根式． 【易错必刷十 二次根式的混合运算】 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【详解】本题需要运用二次根式的乘法法则来计算，然后得出结果并与选项进行对比． 故答案选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握二次根式的乘法法则以及乘法分配律是解题的关键． 29．（2025·内蒙古乌海·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： 故答案为：． 30．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 对于（1），先分母有理化，再通分合并； 对于（2），先分母有理化，再通分计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【易错必刷十一 分母有理化】 31．（24-25八年级下·江苏南通·期中）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按照上述规律，计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用已知运算规律得出，进而利用二次根式的加减运算法则得出答案． 【详解】解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第个等式：， ∴按照上述规律，． 故选：A． 32．（24-25八年级下·天津东丽·月考）化简：（1） ；（2） ：（3） ． 【答案】 12 3 / 【分析】本题考查二次根式的性质和运算； （1）根据二次根式的乘方运算法则求解即可； （2）根据二次根式的性质求解即可； （3）分母有理化即可 【详解】解：（1）12， 故答案为：12； （2）， 故答案为：3： （3）， 故答案为： 33．（24-25八年级下·山东聊城·月考）小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： (1)分母有理化：______， (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)9 【分析】本题考查的是分母有理化，构建整体代入求解代数式的值，熟练运算方法是解题的关键. （1）分子与分母都乘以，再利用平方差公式计算即可得到答案； （2）先把每一项都分母有理化，再合并同类二次根式即可得到答案； （3）先求解，再变形可得：，再整体代入即可得到答案. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴，即． ∴， ∴． 【易错必刷十二 二次根式化简求值】 34．（24-25九年级上·河南洛阳·月考）若，则代数式的值为（   ） A．7 B．4 C．3 D．3-2 【答案】A 【分析】将代数式化简为，然后再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，能够灵活运用完全平方公式是解答本题的关键． 35．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）已知，则 ． 【答案】2 【分析】先根据题目所给等式得到，，再推出即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次根式的求值，正确得到，是解题的关键． 36．（24-25八年级下·江西赣州·期末）已知x=，y=，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）24；（2）． 【分析】（1）先求得x+y=2，xy=2，再利用完全平方公式变形，将x+y与xy的值代入计算即可求出值； （2）直接将x=，y=代入计算即可． 【详解】解：（1）∵x+y=2，xy=2， ∴， （2）∵x=，y=， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是解题的关键． 【易错必刷十三 比较二次根式的大小】 37．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 38．（24-25八年级下·全国·课后作业）比较大小： ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据即可得到答案；求出，，再由即可得到答案． 【详解】解：； ∵，，且， ∴， 故答案为：；． 39．（25-26八年级下·全国·课后作业）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． ，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，掌握作差法比较大小是解题的关键． 将两数相减，差与比较大小，从而得到原数的大小． 【详解】解：． ， ， ， ， ． 【易错必刷十四 二次根式的应用】 40．（24-25八年级下·广西崇左·月考）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为25和20的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件可以求出长方形的长和宽，从而求出长方形的面积，最后即可求出空白部分的面积．本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的意义和长方形、正方形的面积公式是解题关键． 【详解】解：由题意得：正方形纸片的边长分别为：，， ∴，， ∴长方形为： 两个正方形纸片的面积为：， ∴图中空白部分的面积为： 故选：B． 41．（24-25八年级上·广西贵港·期末）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和16，则图中阴影部分的面积和为 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式的混合运算和正方形，长方形的面积，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．根据图形可以求得图中两个小正方形的边长，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 大正方形的边长为4，小正方形的边长为2， 图中阴影部分的面积为：， 故答案为：4． 42．（24-25八年级下·广东惠州·月考）如图，有一块长方形的木板，木工师傅采用如图的方式，在木板上裁出两个面积分别为和的正方形木板，求剩余木板（阴影部分）的周长和面积． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式的化简和运算法则是解题的关键． 先求出两个正方形的边长，即可求出剩余木板的周长和面积． 【详解】解：由题意得两个正方形的分别边长为（），（）， 所以剩余木板（阴影部分）的周长为（）， 剩余木板（阴影部分）的面积为 （）． 【易错必刷十五 二次根式的新定义运算】 43．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）规定一种新运算：．例如：．则的计算结果是（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，新定义，根据新定义可得原式等于，据此根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 故选：B． 44．（24-25八年级下·河北邢台·月考）对于正整数a、b定义新运算“◎”，规定，则的运算结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，二次根式的乘法运算，根据新运算的法则，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 45．（24-25八年级下·云南昭通·月考）请观察下列式子： ；；； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：___________；___________； (2)猜想规律：___________（n为正整数）； (3)若定义（a，b都是正整数），利用上述定义及规律计算的值． 【答案】(1)5，6 (2)n (3)102 【分析】本题考查数字变化的规律． （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）提取之后，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， ， ， 故答案为：5，6． （2）由（1）知，从1开始连续n个奇数的和等于n的平方， 又∵ ∴． 故答案为：n． （3）原式 学科网（北京）股份有限公司 $