专题04 二次根式49道计算题专项训练（7大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第04讲 二次根式49道计算题专项训练（7大题型） 题型一 二次根式的加减计算 题型二 二次根式的乘除计算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 同类二次根式 题型五 二次根式的化简求值 题型六 最简二次根式 题型七 分母有理化 【经典计算题一 二次根式的加减计算】 1．（24-25八年级上·上海·期中）计算： 2．（25-26八年级上·上海·月考）计算：． 3．（24-25八年级下·新疆和田·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 5．（25-26八年级下·全国·单元测试）阅读下面的解题过程，判断其是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 已知为实数，化简：． 解：原式． 6．（25-26八年级上·河北保定·月考）下面是嘉嘉在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式第一步 　　　　　第二步 ．　　　　　　　　　第三步 (1)计算步骤中，第　　　　　　步开始出现错误． (2)请写出正确的计算过程． 7．（25-26八年级上·宁夏中卫·期中）下列是二次根式进行分母有理化的计算过程： ； ； ． (1)请根据题目，化简； (2)从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 【经典计算题二 二次根式的乘除计算】 8．（24-25八年级下·陕西西安·期末）计算：． 9．（25-26八年级上·上海·月考）化简：． 10．（24-25八年级下·全国·单元测试）运算能力计算： (1)； (2)． 11．（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简下列各式： (1) (2) 12．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（24-25八年级下·广东珠海·期中）观察式子：， 反过来：， ∴， 仿照上面的例子： (1)化简 ①； ②； (2)如果，且，化简． 【经典计算题三 二次根式的混合运算】 15．（25-26九年级上·福建泉州·期末）计算：． 16．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）计算： (1) (2) 17．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）计算： (1)； (2) 18．（24-25八年级下·广西河池·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 19．（25-26八年级上·上海崇明·期末）已知，求的值． 20．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）计算： (1) (2) (3) 21．（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）阅读材料： 双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．当然也可以利用得，故 像这样，通过分子、分母同乘以（或除以）一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)化简： (2)计算： (3)若求的值． 【经典计算题四 同类二次根式】 22．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）；     （2）． 23．（24-25八年级上·陕西西安·期中）若最简二次根式与可以合并，求的值． 24．（24-25八年级上·全国·单元测试）如果最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 25．（24-25八年级上·全国·单元测试）合并同类二次根式：． 26．（24-25八年级下·江西赣州·期中）（1）计算：； （2）已知最简二次根式与可以合并，求的值． 27．（24-25八年级下·河北石家庄·月考）已知最简二次根式和可以合并，你能求出使有意义的的取值范围吗？ 28．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并， 求的值； 求与的乘积． 【经典计算题五 二次根式的化简求值】 29．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）先化简再求值：，其中． 30．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）化简：，并求出时式子的值． 31．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）设．求和的值． 32．（24-25八年级下·山东烟台·期末）先化简，再求值：已知y=，求的值． 33．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一道练习题：对式子先化简，再求值，其中a． 小明的解法如下： ． 把代入，得原式． 小明的解法对吗？如果不对，请帮他改正． 34．（25-26九年级上·福建漳州·期中）阅读材料： 已知，，求的值． 小迪同学是这样解答的： ∵， ∴． ∵， ∴． 结合以上材料，解答问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 35．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，这种化简的过程叫做分母有理化． 材料二：换元思想是非常重要的一种数学思想，它可以简化我们的计算；比如解方程，小毛是这样计算的， 原方程变形为：，设，原方程变为： ，解得；即，，解得或． (1)化简：． (2)已知是正整数，，，，求． (3)已知，求的值． 【经典计算题六 最简二次根式】 36．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)． (2)． (3)． (4)． 37．（24-25八年级下·北京朝阳·月考）把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 38．（24-25八年级上·全国·课后作业）化简： （1）；（2）；（3）；（4）． 39．（25-26八年级上·上海宝山·月考）化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 40．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 41．（24-25八年级上·广东茂名·期中）我们有时会碰上形如 的式子，我们需要将其化简为最简二次根式，我们用以下方法化简： (1)请参照以上方法化简； (2)化简： 42．（24-25八年级下·云南曲靖·月考）观察下列各式，通过分母有理化把不是最简二次根式的化成最简二次根式： ； ． 按照以上的过程，解答以下问题： (1)分母有理化： (2)计算：． 【经典计算题七 分母有理化】 43．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）已知；，求：的值 44．（25-26八年级上·河北承德·期末）（1）计算： （2）分母有理化： 45．（24-25八年级下·广西崇左·期中）阅读理解题： 已知，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的： 请你参考小明的化简方法，化简下面式子 46．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式运算时，形如一样的式子，我们可以将其进一步化简：＝＝，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）请用上述的方法化简； （2）利用上面的解法，化简：． 47．（24-25八年级下·山东德州·期中）先阅读，后解答： ，，像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)将下列式子进行分母有理化： ① ；②______； (2)计算： 48．（24-25八年级下·湖北恩施·月考）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)若a是的小数部分，求的值； (3)比较与的大小． 49．（24-25八年级上·山东菏泽·月考），……如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的结果各不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，如与互为有理化因式，与互为有理化因式．利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式这个过程称为分母有理化．例如： (1)分母有理化的结果是______，分母有理化的结果是______； (2)分母有理化的结果是______，分母有理化的结果是______； (3)利用以上知识计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 二次根式49道计算题专项训练（7大题型） 题型一 二次根式的加减计算 题型二 二次根式的乘除计算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 同类二次根式 题型五 二次根式的化简求值 题型六 最简二次根式 题型七 分母有理化 【经典计算题一 二次根式的加减计算】 1．（24-25八年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是将各项二次根式化为最简二次根式后再合并同类二次根式． 先把每一项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】解：． ． 2．（25-26八年级上·上海·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减法．根据二次根式的加减法的计算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 3．（24-25八年级下·新疆和田·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】本题主要考查实数的运算和二次根式的加减法，熟练掌握合并同类二次根式是解答本题的关键． （1）原式直接合并同类二次根式即可； （2）原式先去绝对值呈，再进行加减运算即可； （3）原式直接合并同类二次根式即可； （4）原式先去括号，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式化简二次根式，去括号，再合并即可； （2）原式化简二次根式，再合并即可； （3）原式化简二次根式，去括号，再合并即可； （4）原式化简二次根式，再合并即可； （5）原式化简二次根式，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 5．（25-26八年级下·全国·单元测试）阅读下面的解题过程，判断其是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 已知为实数，化简：． 解：原式． 【答案】不正确，正解过程见详解 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的非负性．先确定m的取值范围，再化简原式即可得出最终化简结果． 【详解】解：不正确； 正确解答：由题意得：，， ∴， ∴原式， ， ， ． 6．（25-26八年级上·河北保定·月考）下面是嘉嘉在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式第一步 　　　　　第二步 ．　　　　　　　　　第三步 (1)计算步骤中，第　　　　　　步开始出现错误． (2)请写出正确的计算过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】（）根据二次根式的性质判断即可； （）根据二次根式的性质和运算法则计算即可； 本题考查了二次根式的减法运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：计算步骤中，第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）解： ． 7．（25-26八年级上·宁夏中卫·期中）下列是二次根式进行分母有理化的计算过程： ； ； ． (1)请根据题目，化简； (2)从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式分母有理化，涉及平方差公式、二次根式性质及二次根式加减运算等知识，读懂题意，掌握分母有理化的计算步骤是解决问题的关键． （1）由题中二次根式进行分母有理化的计算过程直接求解即可得到答案； （2）由题中二次根式进行分母有理化的计算过程先逐项分母有理化，再消去中间项，最后由二次根式性质化简即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【经典计算题二 二次根式的乘除计算】 8．（24-25八年级下·陕西西安·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，再结合二次根式的乘除混合运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解： 9．（25-26八年级上·上海·月考）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的运算法则和有意义的条件化简即可，掌握二次根式的运算法则及有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴原式 ． 10．（24-25八年级下·全国·单元测试）运算能力计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 11．（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除混合化简，核心是利用二次根式的运算法则、，并结合分式约分、分母有理化完成化简． 【详解】（1）解：由有意义，得到，， ； （2）解：由，，有意义，得到， ． 12．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除运算法则及二次根式性质计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键，注意需要把结果化为最简二次根式． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)3y 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算． （1）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （3）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （4）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： • • ． 14．（24-25八年级下·广东珠海·期中）观察式子：， 反过来：， ∴， 仿照上面的例子： (1)化简 ①； ②； (2)如果，且，化简． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）①由，再化简即可；②由，再化简即可； （2）由，且，可得，，，再化简即可． 【详解】（1）解：①∵， ； ②∵， ∴． （2）∵，且， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘方运算，二次根式的化简，熟练地把二次根式化为最简二次根式是解本题的关键． 【经典计算题三 二次根式的混合运算】 15．（25-26九年级上·福建泉州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简绝对值和二次根式、二次根式的除法运算，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 16．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先计算乘法并化简，再进行加减计算； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键； （1）根据二次根式的乘除法可进行求解； （2）根据二次根式的混合运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 18．（24-25八年级下·广西河池·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)/ 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．将，代入各式进行化简求值即可求出答案． 【详解】（1）解（1） ． （2）解：（2） ． 19．（25-26八年级上·上海崇明·期末）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定，进而确定，再运用二次根式的混合运算法则化简，最后将、代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ． 当时，原式． 20．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再按照二次根式的混合运算法则求解即可； （3）运用二次根式的混合运算法则计算即可； 本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 21．（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）阅读材料： 双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．当然也可以利用得，故 像这样，通过分子、分母同乘以（或除以）一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)化简： (2)计算： (3)若求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）给分子分母同乘分母的有理化因式，结合平方差公式进行分母有理化化简； （2）对每个分式分别分母有理化后，利用中间项抵消的规律简便计算； （3）先将分母有理化，再利用完全平方公式变形所求式子后代入计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ∴ 【经典计算题四 同类二次根式】 22．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）；     （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先将二次根式化为最简，再合并同类二次根式即可； （2）先将二次根式化为最简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，涉及最简二次根式、分母有理化、合并同类二次根式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 23．（24-25八年级上·陕西西安·期中）若最简二次根式与可以合并，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式的概念列方程，解方程即可． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ， ． 24．（24-25八年级上·全国·单元测试）如果最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查同类二次根式，根据两个最简二次根式的被开方数相同，则这两个最简二次根式为同类二次根式，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：． 25．（24-25八年级上·全国·单元测试）合并同类二次根式：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，先化简各数，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 26．（24-25八年级下·江西赣州·期中）（1）计算：； （2）已知最简二次根式与可以合并，求的值． 【答案】（1）   （2） 【分析】本题考查同类二次根式和二次根式和加减： （1）先化简二次根式，然后合并解题即可； （2）根据同类二次根式的定义得到，从而可确定a的值． 【详解】解：（1） ； （2）∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得． 27．（24-25八年级下·河北石家庄·月考）已知最简二次根式和可以合并，你能求出使有意义的的取值范围吗？ 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解二元一次方程组，最简二次根式，理解最简二次根式和二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：根据已知可得， 解得， 有意义， 则，解得． 28．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并， 求的值； 求与的乘积． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可； （2）根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案； 根据所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可； 本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴， 解得：； （2）， ∵与可以合并， ∴， 解得：； 由得：， ， ． 【经典计算题五 二次根式的化简求值】 29．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，已知字母的值求代数式的值．正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，则，化简，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ； 把代入， 得． 30．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）化简：，并求出时式子的值． 【答案】； 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先根据二次根式的性质进行化简，再将代入原式即可求解，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 将代入原式得：． 31．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）设．求和的值． 【答案】，4 【分析】本题主要考查二次根式的加减与乘除，解题的关键是能够熟练地运用二次根式的运算法则以及熟练地运用完全平方公式． 分别将a，b代入中计算；先利用完全平方公式整理，再将a，b代入计算即可． 【详解】解： 32．（24-25八年级下·山东烟台·期末）先化简，再求值：已知y=，求的值． 【答案】-，- 【分析】根据二次根式性质得到x=，y=，再根据完全平方差公式和二次根式的性质化简原式，最后将x，y的值代入求解即可． 【详解】解：根据已知，得1-3x≥0且3x-1≥0， ∴x=，y=， ∵ =2x-+y-（2x+y） =2x-+y-2x-y = - ∴当x=，y=，原式= -=-2． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 33．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一道练习题：对式子先化简，再求值，其中a． 小明的解法如下： ． 把代入，得原式． 小明的解法对吗？如果不对，请帮他改正． 【答案】小明的解法不对．见解析 【分析】根据二次根式的性质，再判断的值的正负性即可. 【详解】解：小明的解法不对．改正如下： ， ， 原式. 把代入，得原式． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是判断正误的关键. 34．（25-26九年级上·福建漳州·期中）阅读材料： 已知，，求的值． 小迪同学是这样解答的： ∵， ∴． ∵， ∴． 结合以上材料，解答问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方差公式的应用，涉及到二次根式的运算，掌握分母有理化以及二次根式的运算是解题的关键． （1）利用平方差公式对分母有理化：将分母中的根号相减，分子分母同乘以共轭根式，化简分式； （2）利用平方差公式，设未知数，通过方程组求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：设，， 则， ，而，， ， ，解得， 即． 35．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，这种化简的过程叫做分母有理化． 材料二：换元思想是非常重要的一种数学思想，它可以简化我们的计算；比如解方程，小毛是这样计算的， 原方程变形为：，设，原方程变为： ，解得；即，，解得或． (1)化简：． (2)已知是正整数，，，，求． (3)已知，求的值． 【答案】(1)44 (2) (3) 【分析】（1）先分母有理化，再相加即可； （2）先对a、b分母有理化，计算出的值，再整体代入后，解方程即可求解； （3）设，则；对原式进行化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：，，…，， 原式 ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， 则， 解得． （3）解：设，则； 原式= ； ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与混合运算，分母有理化，求代数式的值等知识，正确运算是解题的关键． 【经典计算题六 最简二次根式】 36．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了最简二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据最简二次根式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 37．（24-25八年级下·北京朝阳·月考）把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质化简即可． （2）根据二次根式的性质化简即可． （3）根据二次根式的性质化简即可． （4）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 38．（24-25八年级上·全国·课后作业）化简： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】根据二次根式的性质以及最简二次根式的定义求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟知二次根式的性质以及最简二次根式的定义是解题的关键． 39．（25-26八年级上·上海宝山·月考）化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查化简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可； （3）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 40．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【答案】(1)①  ②  ③ (2) 【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简； （2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简． 【详解】（1）解：①． ②． ③． （2）解：把中根号外的因式移到根号内： 由有意义，得，即． 将变形为，再平方移入根号内： 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简． 41．（24-25八年级上·广东茂名·期中）我们有时会碰上形如 的式子，我们需要将其化简为最简二次根式，我们用以下方法化简： (1)请参照以上方法化简； (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照所给的解法和思路，计算即可； （2）先把每个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． 42．（24-25八年级下·云南曲靖·月考）观察下列各式，通过分母有理化把不是最简二次根式的化成最简二次根式： ； ． 按照以上的过程，解答以下问题： (1)分母有理化： (2)计算：． 【答案】(1)2 (2)2020 【分析】（1）把分子分母都乘以2，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：2； （2）解：原式＝（12•••）×（1） ＝（1）×（1） ＝2021﹣1 ＝2020． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、分母有理化和平方差公式是解决问题的关键． 【经典计算题七 分母有理化】 43．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）已知；，求：的值 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，分母有理数化，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 44．（25-26八年级上·河北承德·期末）（1）计算： （2）分母有理化： 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查二次根式的加减混合运算，分母有理化，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）首先化简二次根式，然后合并即可； （2）分子分母同时乘以，然后分母利用平方差公式求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 45．（24-25八年级下·广西崇左·期中）阅读理解题： 已知，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的： 请你参考小明的化简方法，化简下面式子 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化．分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解： 46．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式运算时，形如一样的式子，我们可以将其进一步化简：＝＝，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）请用上述的方法化简； （2）利用上面的解法，化简：． 【答案】（1）；（2）27． 【分析】（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，提取公因数3，然后合并即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 47．（24-25八年级下·山东德州·期中）先阅读，后解答： ，，像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)将下列式子进行分母有理化： ① ；②______； (2)计算： 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）根据阅读材料，分子分母同时乘，即可； （2）根据以上的结论，将原式各项都进行分母有理化，然后直接相加即可． 【详解】（1）①； ②； 故答案为：； （2） ． 【点睛】本题考查了分母有理化，解题的关键是利用平方差公式进行分母有理化，而且需注意符号问题． 48．（24-25八年级下·湖北恩施·月考）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)若a是的小数部分，求的值； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法与加法、分母有理化等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）分子分母同乘以即可得； （2）先根据无理数的估算求出a的值，再代入进行分母有理化即可得； （3）根据题意得到，，然后由即可求解． 【详解】（1）， ， ； （2）， ， 的小数部分是，即， 则 ， ； （3）根据题意得， ， ∵ ∴． 49．（24-25八年级上·山东菏泽·月考），……如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的结果各不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，如与互为有理化因式，与互为有理化因式．利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式这个过程称为分母有理化．例如： (1)分母有理化的结果是______，分母有理化的结果是______； (2)分母有理化的结果是______，分母有理化的结果是______； (3)利用以上知识计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）的分子与分母都乘以即可；的分子与分母都乘以即可； （2）的分子与分母都乘以即可；的分子与分母都乘以即可； （3）根据（2）的提示，把每个分母都有理化，再合并即可． 本题考查的是二次根式的除法运算，分母有理化，二次根式的加减运算，掌握“分母有理化的方法”是解本题的关键． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）， ， 故答案为：，； （3）++…+ ． 学科网（北京）股份有限公司 $