专题01 二次根式及其性质重难点题型专训（3个知识点+5大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题01 二次根式及其性质重难点题型专训 （3个知识点+5大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 二次根式的识别 题型二 求二次根式的值 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 求二次根式中的参数 题型五 利用二次根式的性质化简 拓展训练一 二次根式非负性综合问题 拓展训练二 二次根式的含隐条件问题 知识点一：二次根式的相关概念 1、二次根式的概念：形如(a≥0) 的式子叫做二次根式． 2、最简二次根式和同类二次根式的概念 最简二次根式是指满足下列条件的二次根式：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 3、二次根式的主要性质 （1）；（2）； （3）； （4）积的算术平方根的性质：； （5）商的算术平方根的性质：. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·广东广州·期中）化简的结果是（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的化简，核心是运用二次根式的性质进行计算． 先计算，再化简二次根式即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质（）及积的乘方、分式乘方的运算，熟练掌握二次根式的平方运算规则是解题的关键． （1）利用二次根式性质（），先去掉负号的平方，再化简结果． （2）直接应用二次根式性质（）计算． （3）利用积的乘方公式，分别计算系数和根式的平方，再相乘． （4）利用分式的平方公式，分别计算分子和分母的平方，再化简． 【详解】（1） ， 答案为：． （2）， 故答案为：． （3） ， 故答案为：． （4） ， 故答案为：． 知识点二：二次根式有意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即时训练】 1．（2025九年级·江西·专题练习）若有意义，则m的值可以是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，掌握分式分母不为且二次根式被开方数非负，据此确定的取值范围是解题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件，确定的取值范围，再逐一分析选项是否符合． 【详解】解：有意义， ， 解得， 的值可以是2，选项D符合要求， 故选：D． 2．（2025八年级下·福建龙岩·学业考试）已知a，b，c为正整数且满足，则a，b，c的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，实数的大小比较，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件即可求得答案． 【详解】解：∵a，b，c为正整数且满足， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点三：二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 【即时训练】 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）若是二次根式，则的值不能是（　　） A． B．3.14 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据是二次根式，则，即可得到答案． 【详解】解：若是二次根式，则被开方数需满足， 选项A、B、D均满足，此时属于二次根式，不符合题意； 选项C为负数，不满足，此时没有意义，不属于二次根式． 故选：C． 2．（2026·四川遂宁·一模）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的被开方数大于等于0，确定的值，然后代入求，最后计算． 【详解】解：由二次根式的定义可得：， 解得：， 将代入可得：， ． 故答案为：． 【经典例题一 二次根式的识别】 【例1】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列式子是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的判断，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；因此此题根据二次根式的定义“形如”可进行求解． 【详解】解：A：被开方数为负数，在实数范围内无意义，不是二次根式； B：根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式的定义； C：根指数为2，且被开方数恒大于0（无论取何值），满足二次根式的条件； D：根指数为2，但被开方数需满足才有意义，由于题目未限定的范围，无法保证其恒为非负数，因此不能直接判定为二次根式； 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·云南曲靖·开学考试）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的判断，根据形如，这样的式子叫做二次根式，根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于”，进行判断即可． 【详解】解：A、对于，被开方数是，当时，在实数范围内无意义，不满足被开方数是非负数这一条件，所以不一定是二次根式，不符合题意； B、对于，被开方数是，当，即时，在实数范围内无意义，不满足被开方数是非负数这一条件，所以不一定是二次根式，不符合题意； C、对于，被开方数是，因为任何实数的平方都大于等于，即，所以，无论取何实数，被开方数都为正数，满足二次根式被开方数是非负数的定义，所以一定是二次根式，符合题意； D、对于，被开方数是，当，即时，在实数范围内无意义，不满足被开方数是非负数这一条件，所以不一定是二次根式，不符合题意． 故选：C． 1．（24-25八年级下·上海·假期作业）下列各式中，二次根式的个数有 （        ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的定义：式子叫做二次根式，逐一判断即可． 【详解】解：被开方数1.2是正数，满足条件，属于二次根式； 被开方数为，当时，无论y取何值，；当时，无论x取何值，被开方数为0，但若且，被开方数为负数，无意义，因此，该式子不属于二次根式； 无论m、n取何值，，恒成立，属于二次根式； 被开方数为，需才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式； 配方得，被开方数恒为正，属于二次根式； 被开方数为，需才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式； 故二次根式的个数有3个， 故选：B． 2．（24-25八年级下·四川内江·期中）式子，，，中二次根式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．据此进行判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可得，式子，是二次根式，中，的取值范围不确定，不能保证，故不一定是二次根式； 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列判断正确的是（   ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A．带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误； B．当时，，不一定是二次根式，故此选项错误； C．一定是二次根式，故此选项正确；     D．二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误．     故选：C． 【经典例题二 求二次根式的值】 【例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）若a=5，则下列各式是二次根式的是(      ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义进行判断． 【详解】A、当a=5时，3-a＜0，该式子不是二次根式，故本选项错误； B、当a=5时，5-a=0，符合二次根式的定义，故本选项正确； C、该代数式不是二次根式，故本选项错误； D、该代数式不是二次根式，故本选项错误； 故选B． 【点睛】此题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． 【例2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）当x=-时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【分析】把x=-代入已知二次根式，通过开平方求得答案． 【详解】解：把x=-代入中，得==2， 故答案为2． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值．此题利用代入法求得二次根式的值． 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 2．（24-25八年级下·四川自贡·期末）观察分析下列数据：，则第17个数据是 . 【答案】 【详解】分析：将原数变形为：1×，2×，3×，4×…，根据规律可以得到答案． 详解：将原数变形为：1×，2×，3×，4×…，所以第17个数据是：17×＝51． 故答案为51． 点睛：本题考查了算术平方根，解题的关键是将所得二次根式变形，找到规律解答． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 【答案】冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 【分析】本题主要考查了代入求值，再根据二次根式的计算，求出结果即可； 【详解】解：把代入，得． 解得． 冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 【经典例题三 二次根式有意义的条件】 【例1】（24-25八年级下·河南商丘·期末）在函数 中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的定义的知识，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，由此建立不等式求解即可． 【详解】函数中，被开方数必须满足非负条件， 即： 解得：， 因此，自变量的取值范围是， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·福建莆田·月考）若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件求出x的值，即可得出y的值，再计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴， 故答案为：3． 1．（24-25八年级下·四川南充·期中）二次根式有意义，则x的值不可以是（   ） A．3 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行判断即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， ． 故x的值不可以是． 故选D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知为实数，则式子的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，即可求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得： ，即， ，即， 故二次根式有意义时， 当时，原式． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知为有理数，求式子的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件—被开方数大于等于，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出的值，再把代入原式即可解答． 【详解】解：， ， 原式． 【经典例题四 求二次根式中的参数】 【例1】（24-25八年级下·山东临沂·月考）若是整数，则正整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式性质将化简成，再根据是整数，需要让能开方为整数，即可求出的最小值． 【详解】解：， 是整数， 是整数， 正整数的最小值是， 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确分解因式是解答本题的关键． 【例2】（24-25八年级·全国·单元测试）已知是整数，则自然数的值是 ；若是整数，则正整数的最小值是 . 【答案】 2、9、14、17、18 2 【分析】先根据二次根式的定义求出x的取值范围，再根据和的值是整数这一条件对x的值进行讨论即可； 【详解】解：由题意得：18-x≥0，解得，x≤18， 当x=0时，原式=，不合题意； 当x=1时，原式=，不合题意； 当x=2时，原式=，符合题意； 当x=3时，原式=，不合题意； 当x=4时，原式=，不合题意； 当x=5时，原式=，不合题意； 当x=6时，原式=，不合题意； 当x=7时，原式=，不合题意； 当x=8时，原式=，不合题意； 当x=9时，原式=，符合题意； 当x=10时，原式=，不合题意； 当x=11时，原式=，不合题意； 当x=12时，原式=，不合题意； 当x=13时，原式=，不合题意； 当x=14时，原式=，符合题意； 当x=15时，原式=，不合题意； 当x=16时，原式=,不合题意 当x=17时，原式=1；符合题意 当x=18时，原式=0，符合题意 综上所述，x=2、9、14、17或18． 故答案为：2、9、14、17或18． ∵是整数，且为正整数 ∴当n=1时，原式=，不合题意； 当n=2时，原式=，符合题意 ∴若是整数，则正整数的最小值是2 故答案为：2. 【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质及自然数的定义： 概念：式子（a≥0）叫二次根式； 性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 1．（24-25八年级上·北京平谷·期末）已知是正偶数，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果实数n取最大值，那么12－n有最小值，又知是正偶数，而最小的正偶数是2，则＝2，从而得出结果． 【详解】解：当等于最小的正偶数2时， n取最大值,则n＝8， 故选：C 【点睛】本题考查二次根式的有关知识，解题的关键是理解“是正偶数”的含义． 2．（24-25八年级下·河南洛阳·月考）已知y=++2，那么xy= ． 【答案】 【分析】先根据二次根式的定义求出x的值，继而可得出y的值，再代入求解即可． 【详解】解：由题意得出：， 解得：， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义，比较基础，熟记定义内容即可． 3．（24-25八年级·全国·假期作业）已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 【答案】n的最小值是15 【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而得出n的最小值． 【详解】解：∵＝3，n是一个正整数， ∴n的最小值是15． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键． 【经典例题五 利用二次根式的性质化简】 【例1】（25-26八年级上·上海黄浦·月考）已知a，b为任意实数，则下列等式成立的是() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的化简与性质，逐一判断各选项．A项忽略的符号可能为负；C项平方根结果应为非负数，不应有±；D项需、均非负才成立；B项因且，等式恒成立． 【详解】解：A．当时，，不成立； B．∵对于任意实数，， ．又，，故恒成立． C．，结果为非负数，而表示两个值，且当时，不成立； D．当且时，、无实数意义，等式不成立． ∴只有B正确． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·上海·期中）若 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据已知条件，得到，将转化为，利用二次根式的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）实数，在数轴上对应的位置如图，化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 化简二次根式为绝对值后再化简绝对值即可． 【详解】解：由题意可得： 原式 ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）已知：当a取某一范围内的实数时，代数式的值是一个常数（确定值），则这个常数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质：，分情况讨论即可确定a的取值范围． 【详解】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 综上知，当时，的值是一个常数，这个常数为1； 故答案为：1． 3．（25-26八年级下·山西长治·期中）先化简，再求值：，其中． 下面是小亮和小悦的解答过程： 小亮： 解：原式， 当时，原式． 小悦： 解：原式， 当时，， 原式． (1)上述解答过程中，_____的解法是错误的． (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮； (2)，． 【分析】本题主要考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简以及化去绝对值的方法是解题的关键． 化简要根据的取值范围进行化简，小亮没有考虑的取值范围，所以小亮的计算错误； 首先把代数式整理可得：原式，再根据的取值范围去掉绝对值即可． 【详解】（1）解：， 化简时要分情况， 当时，， 当时，， 当时，原式， 小亮的解答错误； （2）解： ， ， 原式． 【拓展训练一 二次根式非负性综合问题】 【例1】 （25-26八年级上·四川眉山·月考）已知是实数，且满足，则相应的的值为(        ) A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式的有意义的条件，得出，根据，得到的值，再代入计算． 【详解】解：根据二次根式的有意义的条件，得 或或 解得或或 当时，； 当时，； 当时，． 的值为或或． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·四川达州·月考）如果，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是根据被开方数大于等于求出的取值范围，从而确定的值，再代入求出的值；易错点是忽视被开方数的非负性，或未理解两个根式同时有意义时必须满足的隐含条件，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，从而确定的值，再代入求的值，最后计算． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件， ， 则，代入原式得 则 故答案为：． 1．（24-25八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 2．（24-25八年级下·新疆阿克苏·月考）若，求的值 【答案】 【分析】根据二次根式的非负性，绝对值的非负性，得出二元一次方程组，解方程组求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得： ∴ 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，解二元一次方程组，得出方程组是解题的关键． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)9901 【分析】本题考查二次根式的双重非负性，二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，根据题意，利用的双重非负性灵活运用是解决问题的关键． （1）利用二次根式非负性，，，当时，只有才能满足题意，解出代入代数式即可得到答案； （2）由二次根式有意义的条件得到，从而确定，将代入代数式即可得到答案； （3）由二次根式有意义的条件得到，从而可化为，即，两边同时平方即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ，解得， ， 故答案为：； （2）解：中；中； ，则，即， 当时，；当时，； （3）解：中， ， 可化为，即， 将两边同时平方可得，则． 【拓展训练二 二次根式的含隐条件问题】 【例1】（24-25八年级下·福建龙岩·月考）如果，，那么m和n的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简，化简m的值，然后比较m和n的值即可解答． 【详解】解：，， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】根据互为相反数得到相加为零，再由绝对值与二次根式的非负性求出的数值，最后代入代数式即可． 【详解】解：与互为相反数 ， 解得：， 将，代入中 得： 故答案为： 【点睛】本题考查了求代数式的值，相关知识点有：绝对值与二次根式的非负性、有理数的运算等，绝对值与二次根式的非负性的利用是解题关键． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互为相反数的两数之和为，结合二次根式有意义的条件与绝对值的非负性，得到两个非负数相加为0的等式，从而建立二元一次方程组求解． （2）将（1）中求得的的值代入代数式，进行计算求值． 【详解】（1）解：与互为相反数， ． ，， 解得 （2）解：由（1）得，， ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件与绝对值的非负性、二元一次方程组的解法以及代数式求值，掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为的性质是解题的关键． 2．（25-26八年级上·四川达州·期末）在解决数学问题时，有时信息不太明显，需要结合图形特殊式子成立的条件、实际问题等发现，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 例如：化简． 解：由，得，∴，∴原式． 按照上面的解法，试化简：． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，求出，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：隐含条件， 解得：， ∴． 3．（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得，所以， 所以原式． (1)试化简：； (2)已知a，b满足，，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，算术平方根的非负性的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先求得隐含条件，得到，然后根据二次根式化简知识，即可求解； （2）先根据题意得到，再根据，求得或，然后即可求解； 【详解】（1）解：隐含条件，解得，所以， ∴原式． （2）解：∵，若，则，显然不成立，故． ∴，解得． ∵， ∴或． 当时，解得：，则； 当时，解得：，则． 综上所述，的值为或． A基础训练 1．（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，需满足根指数为2且被开方数非负．逐一分析各选项即可． 【详解】①：根指数为2，被开方数，符合二次根式定义． ②：被开方数为，无意义，不是二次根式． ③：根指数为2，且恒成立，无论取何值均成立，一定是二次根式． ④：根指数为2，但被开方数需满足，即．由于的取值未限定，无法保证恒成立，故不一定是二次根式． ⑤：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 故选B． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如果成立，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式有意义的条件列不等式组求解． 【详解】解：由题意可得， 解得： ， 故B正确． 故选：B． 3．（24-25八年级下·宁夏吴忠·月考）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴第个数为， ∴第10个数是， 故选C． 4．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 5．（24-25八年级下·重庆秀山·期末）观察下列各式：，，，…请你找出其中规律，则第2021个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数字的变化规律，根据所给等式，可得出一般规律，即第n个等式为，其中n为正整数，当时，代入计算即可． 【详解】解：根据上述等式，可知：第n个等式为，其中n为正整数， ∴第2021个等式为， 故选：C． B 提高训练 6．（24-25八年级上·全国·课前预习）一般地，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做 ．强调条件： ，也就是说二次根式具有双重非负性． 【答案】 被开方数 a≥0、≥0 【解析】略 7．（24-25八年级下·湖北荆门·月考）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论 【详解】求解． 解：∵， ∴与同号， ①当，时， 原式 ； ②当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件． 8．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出不等式，分别求出、，根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：根据二次根式有意义得， 解得， ， 解得， ， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 10．（25-26八年级上·广东深圳·期中）算术平方根有如下运算：，，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的结果； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若，（n为正整数），则当时，． 以上说法中正确的为 （ 填序号即可 ） 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了数字变化规律，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．分别根据算术平方根的意义化简各式后，再进行判断即可． 【详解】解：①， 所以，有4种不同的结果，故①正确； ② ∵， ∴， 当时，原式； 当，原式； 当，原式； ∴②错误； ③∵， ∴ 前8项为从开始依次减2直到1，故前8项的和为64； 从第9项起为从1开始依次加2，直到，和为， 则， 当时，； ； （n为正整数，舍去负值）； ，故③正确； 故③正确， 所以，正确的结论是①③， 故答案为：①③． C 培优训练 11．（24-25八年级·上海·假期作业）设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1)； (2)． 【答案】(1)任意实数 (2) 【分析】（1）根据，可知，x为一切实数； （2）根据二次根式的定义得出，解不等式即可 【详解】（1）解：恒成立，可知为任意实数， ∴x为任意实数； （2）解：，当且仅当，即时该式可以成立， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）当时，求二次根式的值． 【答案】1 【分析】根据二次分式的性质即可求解． 【详解】解：当时， ． 【点睛】本题考查了二次分式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质进行求解． 13．（24-25八年级·全国·假期作业）（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为． 【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可； （2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可． 【详解】（1）∵是整数， ∴，，，，， 解得：，，，，， 则自然数的值为2，9，14，17，18； （2）∵是整数，为正整数， ∴正整数的最小值为． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键． 14．（24-25八年级上·吉林长春·月考）我们学习二次根式时，掌握了它的两条性质： （为任意实数）． 利用上述两条性质解决下列问题． (1)化简，当______时，______；当______时，______． (2)解方程； (3)方程的解是______； (4)方程的解是______． 【答案】(1)，；，； (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可； （2）结合（1）分类讨论求解即可； （3）由二次根式有意义的条件可求出，从而得出，即可将原方程化简，再求解即可； （4）根据二次根式的性质分类讨论求解即可，注意舍去不合题意的解． 【详解】（1）解：化简，当，即时，； 当，即时，． 故答案为：，；，； （2）解：， 由（1）可知当时，原方程可化为， 解得：； 当时，原方程可化为， 解得：． ∴原方程的解为或； （3）解：∵方程成立， ∴， ∴， ∴， ∴原方程可化为， 解得：； （4）解： 分类讨论：当时，即，， ∴原方程可化为， 解得：； 当时，即，， ∴原方程可化为， 解得：； 当时，即，， ∴原方程可化为， 解得：（舍）． 综上可知该方程的解为或． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质解方程．熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）老师在黑板上写出下面一道题作为练习：已知，用含a，b的代数式表示．两位同学展示了自己的解答过程： 同学甲： ． 同学乙： ． (1)你认为这两位同学的解答过程正确吗？ (2)同学丙得出的结果为，老师说是正确的．你知道他是怎样做的吗？请你写出同学丙的解答过程． 【答案】(1)这两位同学的解答过程都正确 (2)见解析， 【分析】本题考查二次根式的化简求值、二次根式的乘除法，解题的关键是明确题意，由结论可以写出推导过程． （1）根据甲乙两同学的解答过程可以判断甲乙两同学的解答是否正确； （2）根据结果可以推导出丙同学的解答过程，从而本题得以解决． 【详解】（1）解：这两位同学的解答过程都正确． （2）同学丙的解答过程是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式及其性质重难点题型专训 （3个知识点+5大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 二次根式的识别 题型二 求二次根式的值 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 求二次根式中的参数 题型五 利用二次根式的性质化简 拓展训练一 二次根式非负性综合问题 拓展训练二 二次根式的含隐条件问题 知识点一：二次根式的相关概念 1、二次根式的概念：形如(a≥0) 的式子叫做二次根式． 2、最简二次根式和同类二次根式的概念 最简二次根式是指满足下列条件的二次根式：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 3、二次根式的主要性质 （1）；（2）； （3）； （4）积的算术平方根的性质：； （5）商的算术平方根的性质：. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·广东广州·期中）化简的结果是（   ） A． B．3 C． D．9 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 知识点二：二次根式有意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即时训练】 1．（2025九年级·江西·专题练习）若有意义，则m的值可以是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2025八年级下·福建龙岩·学业考试）已知a，b，c为正整数且满足，则a，b，c的大小关系为 ． 知识点三：二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 【即时训练】 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）若是二次根式，则的值不能是（　　） A． B．3.14 C． D．0 2．（2026·四川遂宁·一模）已知，则的值为 ． 【经典例题一 二次根式的识别】 【例1】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列式子是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·云南曲靖·开学考试）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·上海·假期作业）下列各式中，二次根式的个数有 （        ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级下·四川内江·期中）式子，，，中二次根式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列判断正确的是（   ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 【经典例题二 求二次根式的值】 【例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）若a=5，则下列各式是二次根式的是(      ) A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）当x=-时，二次根式的值是 ． 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25八年级下·四川自贡·期末）观察分析下列数据：，则第17个数据是 . 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 【经典例题三 二次根式有意义的条件】 【例1】（24-25八年级下·河南商丘·期末）在函数 中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·福建莆田·月考）若，则的值为 ． 1．（24-25八年级下·四川南充·期中）二次根式有意义，则x的值不可以是（   ） A．3 B． C．0 D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知为实数，则式子的值为 ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知为有理数，求式子的值． 【经典例题四 求二次根式中的参数】 【例1】（24-25八年级下·山东临沂·月考）若是整数，则正整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级·全国·单元测试）已知是整数，则自然数的值是 ；若是整数，则正整数的最小值是 . 1．（24-25八年级上·北京平谷·期末）已知是正偶数，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南洛阳·月考）已知y=++2，那么xy= ． 3．（24-25八年级·全国·假期作业）已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 【经典例题五 利用二次根式的性质化简】 【例1】（25-26八年级上·上海黄浦·月考）已知a，b为任意实数，则下列等式成立的是() A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·上海·期中）若 1．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）实数，在数轴上对应的位置如图，化简等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）已知：当a取某一范围内的实数时，代数式的值是一个常数（确定值），则这个常数是 ． 3．（25-26八年级下·山西长治·期中）先化简，再求值：，其中． 下面是小亮和小悦的解答过程： 小亮： 解：原式， 当时，原式． 小悦： 解：原式， 当时，， 原式． (1)上述解答过程中，_____的解法是错误的． (2)先化简，再求值：，其中． 【拓展训练一 二次根式非负性综合问题】 【例1】 （25-26八年级上·四川眉山·月考）已知是实数，且满足，则相应的的值为(        ) A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 【例2】（25-26八年级上·四川达州·月考）如果，那么的值是 ． 1．（24-25八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 2．（24-25八年级下·新疆阿克苏·月考）若，求的值 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 【拓展训练二 二次根式的含隐条件问题】 【例1】（24-25八年级下·福建龙岩·月考）如果，，那么m和n的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 【例2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若与互为相反数，则 ． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 2．（25-26八年级上·四川达州·期末）在解决数学问题时，有时信息不太明显，需要结合图形特殊式子成立的条件、实际问题等发现，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 例如：化简． 解：由，得，∴，∴原式． 按照上面的解法，试化简：． 3．（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得，所以， 所以原式． (1)试化简：； (2)已知a，b满足，，求的值． A基础训练 1．（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如果成立，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D．为一切实数 3．（24-25八年级下·宁夏吴忠·月考）观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 5．（24-25八年级下·重庆秀山·期末）观察下列各式：，，，…请你找出其中规律，则第2021个等式为（    ） A． B． C． D． B 提高训练 6．（24-25八年级上·全国·课前预习）一般地，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做 ．强调条件： ，也就是说二次根式具有双重非负性． 7．（24-25八年级下·湖北荆门·月考）已知，则 ． 8．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知，则 ． 9．（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 10．（25-26八年级上·广东深圳·期中）算术平方根有如下运算：，，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的结果； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若，（n为正整数），则当时，． 以上说法中正确的为 （ 填序号即可 ） C 培优训练 11．（24-25八年级·上海·假期作业）设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1)； (2)． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）当时，求二次根式的值． 13．（24-25八年级·全国·假期作业）（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 14．（24-25八年级上·吉林长春·月考）我们学习二次根式时，掌握了它的两条性质： （为任意实数）． 利用上述两条性质解决下列问题． (1)化简，当______时，______；当______时，______． (2)解方程； (3)方程的解是______； (4)方程的解是______． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）老师在黑板上写出下面一道题作为练习：已知，用含a，b的代数式表示．两位同学展示了自己的解答过程： 同学甲： ． 同学乙： ． (1)你认为这两位同学的解答过程正确吗？ (2)同学丙得出的结果为，老师说是正确的．你知道他是怎样做的吗？请你写出同学丙的解答过程． 学科网（北京）股份有限公司 $