第十九章 二次根式重难点检测卷（压轴卷）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第十九章 二次根式重难点检测卷（压轴卷） （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A．6 B．4 C．2 D．1 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·四川泸州·月考）下列根式：、、、、、中，最简二次根式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）若，则化简（    ） A．m B．-m C．n D．-n 5．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如果最简二次根式和是同类最简二次根式，那么a，b的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）设+···+，则不超过m的最大整数为（ ） A．2024 B．2025 C．2026 D．前三个选项都不对 7．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）若规定为的整数部分，即，为的小数部分，即，计算的结果为（    ） A．2 B．5 C． D． 8．（24-25八年级下·山东临沂·期中）将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第2个数是（   ） 第一行         第二行       2            第三行               …… A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·重庆·月考）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①； ②比较大小：； ③计算： ④变形：. 以上结论中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25八年级下·山东东营·期末）已知三角形的三边长分别为，，，求其面积问题，中外数学家曾经进行深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式，其中，我国南宋时期数学家秦九韶（约）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（      ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25八年级下·云南红河·期末）若式子有意义，则x的取值范围是 ． 12．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）已知最简二次根式与可以合并，则x的值是 ． 13．（25-26八年级上·全国·课前预习）化简： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， ； （5） ， ； （6） ， ． 14．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）设，其中n为正整数，则 ． 15．（2025八年级下·湖南衡阳·模拟预测）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，……，．则 ． 16．（25-26八年级下·福建漳州·期末）某小区做园林规划设计时，将图纸上的一块长为，宽为的长方形的花坛改成等面积的圆形，则这个圆形花坛的半径是 ． 17．（2025·天津西青·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 18．（24-25八年级下·浙江·期中）读取表格中的信息，解决下列问题 … … … … 已知，求 ． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（24-25八年级下·甘肃定西·月考）已知，． (1)求的值； (2)若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求的值． 21．（24-25八年级下·甘肃平凉·月考）你能找到规律吗？ (1)计算：___________；___________；___________；___________； (2)由（1）的结果猜想：___________； (3)请按照找到的规律计算： ①； ② (4)已知：，则___________．（用含的式子表示） 22．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程：    (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 23．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）【观察规律】 观察下列式子：，，，…， 【类比分析】 （1）按照上述式子的书写格式，再写出两个同类型的式子． 【推理证明】 （2）用含（的正整数）的式子表示上述规律，并给出证明． 【创新应用】 （3）按此规律，若（，为正整数），求的值． 24．（24-25八年级下·云南大理·期中）阅读与思考 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化，通常把分子、分母同时乘一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简． 解：． (1)化简； (2)请根据你的猜想，归纳，运用规律计算：． 25．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解） 26．（25-26八年级上·山东济南·期末）某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米． (1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？ (2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 二次根式重难点检测卷（压轴卷） （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质与化简，掌握相应的运算法则是解题的关键． 根据二次根式乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴ ， 故选：C． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式性质． 根据二次根式的性质，逐项计算判断即可. 【详解】解： A、 ，计算错误，不符合题意； B、 ，计算正确，符合题意； C、 ，计算错误，不符合题意； D 、，计算错误，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级下·四川泸州·月考）下列根式：、、、、、中，最简二次根式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义进行判断即可． 本题考查最简二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：，无法再开方，它们是最简二次根式； ，，，中被开方数中含有分母，它们都不是最简二次根式； 则最简二次根式共2个， 故选：A 4．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）若，则化简（    ） A．m B．-m C．n D．-n 【答案】B 【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可． 【详解】解：由已知条件可得： m<0，n<0， ∴原式= = = =|m| =-m， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．　 5．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如果最简二次根式和是同类最简二次根式，那么a，b的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式、最简二次根式，理解其定义是解题的关键． 根据同类二次根式与最简二次根式的定义求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得． 故选：B． 6．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）设+···+，则不超过m的最大整数为（ ） A．2024 B．2025 C．2026 D．前三个选项都不对 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，能正确化简是解题的关键． 首先将化简，可得，然后再代入原式计算，即可得答案． 【详解】解： ， ， 不超过m的最大整数是2026， 故选：C． 7．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）若规定为的整数部分，即，为的小数部分，即，计算的结果为（    ） A．2 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的乘法，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．先根据无理数的估算可得，则可得，，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∴， 故选：B． 8．（24-25八年级下·山东临沂·期中）将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第2个数是（   ） 第一行         第二行       2            第三行               …… A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第2个数是第30个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第2个数是， 故选：D． 9．（25-26八年级上·重庆·月考）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①； ②比较大小：； ③计算： ④变形：. 以上结论中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化的应用，解题的关键是熟练运用分母有理化的方法对式子进行变形、计算和比较．依次对四个结论进行分析，通过分母有理化、根式的性质及大小比较方法来判断对错即可． 【详解】解：① ，故①错误； ② ， ， 因为，根据分子相同，分母越大分数越小， 所以，即，故②正确； ③ ，故③正确； ④ ，故④正确． 综上分析可知，正确的有3个． 故选：C． 10．（24-25八年级下·山东东营·期末）已知三角形的三边长分别为，，，求其面积问题，中外数学家曾经进行深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式，其中，我国南宋时期数学家秦九韶（约）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用，设，，，则，再根据计算即可得出答案． 【详解】解：设，，， ∴， ∴， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25八年级下·云南红河·期末）若式子有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式的定义，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：由二次根式的意义，得，解得． 故答案为． 12．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）已知最简二次根式与可以合并，则x的值是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 由最简二次根式与可以合并可知二次根式与是同类二次根式，然后根据被开方数相同列式求解即可． 【详解】∵最简二次根式与可以合并， ∴二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：4． 13．（25-26八年级上·全国·课前预习）化简： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， ； （5） ， ； （6） ， ． 【答案】 12 18 【分析】本题考查了化简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可得解； （2）利用二次根式的性质化简即可得解； （3）利用二次根式的性质化简即可得解； （4）利用二次根式的性质化简即可得解； （5）利用二次根式的性质化简即可得解； （6）利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：（1），， 故答案为：12，； （2），， 故答案为：，18； （3），， 故答案为：，； （4），， 故答案为：，； （5），， 故答案为：，； （6），， 故答案为：，． 14．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）设，其中n为正整数，则 ． 【答案】 【分析】计算通项公式，将n=1，2，3，…，2022代入可得结论． 【详解】∵n为正整数， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分式裂项，再寻找抵消规律求和． 15．（2025八年级下·湖南衡阳·模拟预测）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，……，．则 ． 【答案】15 【分析】本题考查的是数字的变化规律，以及二次根式的混合运算，根据，，可计算出，因此． 【详解】解：∵，， ， ， 故答案为：15． 16．（25-26八年级下·福建漳州·期末）某小区做园林规划设计时，将图纸上的一块长为，宽为的长方形的花坛改成等面积的圆形，则这个圆形花坛的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算、长方形和圆的面积公式，解题的关键是根据面积相等建立方程求解半径． 先计算长方形的面积，再根据圆的面积公式列出方程，求解半径． 【详解】解：长方形的面积为 设圆的半径为，则圆的面积为， 由题意可知，即， ， ∴（半径为正数，舍去负根） 故答案为：． 17．（2025·天津西青·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．先分母有理化，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·浙江·期中）读取表格中的信息，解决下列问题 … … … … 已知，求 ． 【答案】7 【分析】先分别求出，，的值，再归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：由题意得：， ， ， 归纳类推得：，其中为正整数， 当时， 则，即， 解得， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了二次根式运算的规律问题等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据平方差公式，结合二次根式混合运算法则，进行计算即可； （3）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可； （4）根据二次根式混合运算法则，结合二次根式性质，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．（24-25八年级下·甘肃定西·月考）已知，． (1)求的值； (2)若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，无理数的估算，掌握二次根式的化简方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式，进行计算即可解答； （2）先估算出与的值的范围，从而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是0，小数部分， ∴， ∴， ∴的值为． 21．（24-25八年级下·甘肃平凉·月考）你能找到规律吗？ (1)计算：___________；___________；___________；___________； (2)由（1）的结果猜想：___________； (3)请按照找到的规律计算： ①； ② (4)已知：，则___________．（用含的式子表示） 【答案】(1)；；； (2) (3)①；②2 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算： （1）根据二次根式的运算法则计算即可； （2）由（1）的规律得出(，)； （3）根据（2）的结论即可求解； （4）利用（2）的结论的逆运算即可求解． 【详解】（1）解：；； ；； 故答案为：；；；； （2）由（1）得：；； 猜想： 故答案为：； （3）解；①；   ②； （4）解：∵，， ∴； 故答案为：． 22．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程：    (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2)当时， (3)2 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的． 故答案为：小亮； （2）错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：当时，． 故答案为：当时，； （3）， ． 原式． 23．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）【观察规律】 观察下列式子：，，，…， 【类比分析】 （1）按照上述式子的书写格式，再写出两个同类型的式子． 【推理证明】 （2）用含（的正整数）的式子表示上述规律，并给出证明． 【创新应用】 （3）按此规律，若（，为正整数），求的值． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）2069 【分析】本题考查了二次根式的性质、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干所给例子即可得解； （2）根据题干所给例子即可得出，再根据二次根式的性质进行证明即可； （3）由规律可知，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】解：（1）由题意可得：，． （2）由题意可得：， 证明：左边， 右边， ∴左边=右边，等式成立； （3）由规律可知，， ． 24．（24-25八年级下·云南大理·期中）阅读与思考 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化，通常把分子、分母同时乘一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简． 解：． (1)化简； (2)请根据你的猜想，归纳，运用规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分母有理化，涉及平方差公式的运用． （1）原式各项仿照题中分母有理化的方法计算即可得到结果； （2）先把原式各项进行分母有理化，再计算，即可得到结果． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 25．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的应用，熟练的计算与化简二次根式的解本题的关键； （1）先求解，再代入公式计算即可； （2）先求解，，，再代入公式计算即可． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为5，6，7，即，，． ∴． 根据海伦公式，得该三角形的面积． （2）∵三角形的三边长分别为，，，即，，， ∴，，． 根据秦九韶公式，得该三角形的面积． 26．（25-26八年级上·山东济南·期末）某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米． (1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？ (2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？ 【答案】(1)花坛的周长与小喷水池的周长一共是米； (2)花坛的绿化面积变成平方米． 【分析】本题考查了二次根式的应用，主要利用了正方形的面积和周长公式，要注意二次根式的化简． （1）根据正方形的面积求出喷水池的边长和花坛的边长，然后根据正方形的周长公式列式计算即可得解； （2）先求得新喷水池的面积为，则花坛的绿化面积变成，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知喷水池的边长为米， 花坛的边长为米． 所以周长一共是：（米） 答：花坛的周长与小喷水池的周长一共是米； （2）解：新喷水池的边长为米， 新喷水池的面积为（平方米）， 花坛的绿化面积变成（平方米）， 答：花坛的绿化面积变成平方米． 学科网（北京）股份有限公司 $