第十九章 二次根式重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第十九章 二次根式重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）计算：（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，运用二次根式的除法法则直接计算即可求解． 【详解】解：∵二次根式的除法法则为（，）， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东淄博·期末）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的化简的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3．（25-26八年级下·重庆开州·期末）估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘法、无理数的估算，将原式化简为，然后估计的近似值，从而确定范围． 【详解】解：∵， 又∵ ∴ ∵ ∴的值在3和4之间， 故选：A． 4．（25-26八年级下·全国·周测）实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与绝对值的化简，掌握二次根式化简，及根据数的符号化简绝对值是解题的关键． 先从数轴确定的符号及的正负，再利用二次根式的性质化简，最后结合绝对值的化简规则计算式子结果． 【详解】解：由数轴可知，，且，因此， 故， ∵， ∴ 原式 ． 故选：A． 5．（24-25八年级下·天津和平·月考）已知，，则的值为（   ）． A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由，，判断，，化简原式再代入计算即可得解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 6．（24-25八年级下·安徽铜陵·期中）若式子在实数范围内有意义，则m的值可能为（  ） A．2025 B．2023 C． D．2022 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出的范围． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， 故选：A． 7．（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）观察下列等式： ①； ②； ③； … 化简：（    ）（n为正整数）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 根据条件所给的例子，将二次根式分母有理化即可． 【详解】解：． 故选：D． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期中）张老师在黑板上出了一道计算题：，要求同学们在“○”中填入适当的运算符号，使得计算结果是有理数，“○”中可以填的符号是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，分别计算加减乘除每种运算的结果，进而即可求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：加法时：，为有理数； 减法时：，为无理数； 乘法时：，为有理数； 除法时：，为无理数； ∴ “”中填“”或“”时，结果为有理数， 故选：． 9．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的单项式，，，，…，第（为正整数）个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每一项的系数、字母指数的变化规律得出答案． 【详解】解：a＝（−1）2×1×a1， ＝（−1）3×2× a2， ＝（−1）4×3× a3， ＝（−1）5×4× a4， …， 第n（n为正整数）为 故选：B． 【点睛】本题考查算术平方根，数字的变化美，探索和发现每一项的系数、字母指数的变化规律是得出正确答案的关键． 10．（24-25八年级下·浙江温州·期中）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，整式的加减运算，二次根式加减运算等知识，根据题意列出关系式，去括号合并同类二次根式即可得到结果，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键． 【详解】解：设图1小长方形卡片的长为，宽为，根据题意得， 则图2中两块阴影部分周长和是 ， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25八年级上·上海长宁·期中）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，据此化简作答即可，会利用二次根式的性质正确化简是解答的关键． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·安徽池州·期末）当时， ． 【答案】2024 【分析】将代数式根据完全平方公式化简，再代入，根据二次根式的性质进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，根据代数式的特点利用完全平方公式化简是解题的关键． 13．（24-25八年级下·甘肃天水·月考）计算 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，平方差公式，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 将化为，再由积的乘方逆运算和平方差公式求解． 【详解】解： 故答案为：． 14．（24-25八年级下·四川内江·月考）若式子有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，由二次根式和分式有意义的条件得且，即可求解． 【详解】解：由题意得且， 解得：且， 故答案为：且． 15．（25-26八年级上·湖南永州·期中）化简的结果是 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，从最内层平方根开始，逐步化简嵌套平方根表达式，利用完全平方公式将根式化为简单形式． 【详解】解：首先，化简最内层． 设，则，， 解得，， 故． 代入原式，得． 其次，化简． 设，则，， 解得，， 故． 代入，得． 最后，化简． 设，则，， 解得，， 故． 故答案为． 16．（24-25八年级下·湖北荆州·月考）已知实数x，y满足，则的小数部分是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及无理数的估算，结合已知条件求得的值是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求得的值，然后求出，利用无理数的估算求得小数部分． 【详解】解：由题意可得：， 则， 则， ， ， 则的小整数部分是2，小数部分是， 故答案为：． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）对于任意两个实数，，定义运算“”：若，则；若，则，其他运算符号的意义不变．按照上述定义，计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，涉及二次根式的性质和加减运算，明确新定义运算的法则是解题的关键． 先化简每个根式，比较大小以确定运算规则，再计算每个“”运算的结果，最后相减即可． 【详解】解：化简根式：，，， 计算：由于，根据规则， 计算：由于，根据规则， 整体计算： 故答案为：． 18．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）小明学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请利用小明发现的方法，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了完全平方公式的运用及二次根式的混合运算，能根据完全平方公式展开是解此题的关键． 根据完全平方公式先将变形为，由 即可求解． 【详解】解：， ， 故答案为：． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25八年级下·河北·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)-30 (2) 【分析】（1）直接利用平方差公式进行计算即可； （2）利用除法分配律先去括号，然后进行化简，最后进行加减即可． 【详解】（1）解：原式= =20-50 =-30； （2）解：原式= = = =． 【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算及平方差公式，熟练掌握运算法则是解题关键． 20．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】1 【分析】题目主要考查同类二次根式及最简二次根式的定义，二元一次方程组的应用等，理解题意，根据同类二次根式及最简二次根式列出方程组是解题关键． 根据同类二次根式及最简二次根式的意义，列方程组解答即可． 【详解】解：二次根式与是同类二次根式， ， 解得：，此时，不符合题意， 或， 解得：， 符合题意， ． 所以的值为1． 21．（2025八年级下·全国·专题练习）当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． （1）根据二次根式的性质化简即可求出答案； （2）根据二次根式的性质化简即可求出答案； （3）根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可求出答案． 【详解】（1）解：小亮的解法中：， 当时，， ∴小亮的解法是错误的； 故答案为：小亮. （2）解：由（1）知，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； 故答案为：. （3）解：∵， ∴，， ∴原式 ． 22．（2026八年级下·全国·专题练习）小东在学习了后，认为也成立，因此他认为一个化简过程是正确的．你认为这个化简过程正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程． 【答案】不正确．，过程见解析 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、二次根式的乘除法，熟知二次根式除法法则适用的条件是解题的关键．根据二次根式的被开方数的非负性即可解答． 【详解】解：不正确．． 正确的解答过程：． 23．（25-26八年级上·四川达州·期末）在解决数学问题时，有时信息不太明显，需要结合图形特殊式子成立的条件、实际问题等发现，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 例如：化简． 解：由，得，∴，∴原式． 按照上面的解法，试化简：． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，求出，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：隐含条件， 解得：， ∴． 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）将化简，如果你能找到两个数m，n，使，且，那么将变成，即变成，从而使得方便化简． 例如：，所以 ． 请仿照上例解决下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知，求的值． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的化简与性质，熟练应用完全平方公式是解题关键． （1）根据完全平方公式得出，进而求出即可； （2）根据完全平方公式得出，进而求出即可． 【详解】（1）（1）①． ②． （2）∵， ∴， ∴，， ∴． 25．（24-25八年级下·全国·单元测试）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)比较大小：_______．（用“＞”“＜”或“=”填空） (2)已知，，求的值； (3)解方程：．（利用“对偶式”相关知识，提示：令）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，，，可得，进而可得结果； （2）由题意知，，，根据，代值求解即可； （3）令，则，即，可求，则，，整理得，，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：由题意知，，， ∴， ∴的值为； （3）解：令， ∴，即， 解得，， ∵， ∴，整理得，， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题考查了分母有理化，无理数的大小比较，代数式求值，平方差等知识．熟练掌握分母有理化，无理数的大小比较，代数式求值，平方差是解题的关键． 26．（2025八年级下·山东·专题练习）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 【答案】(1)6，3 (2)， (3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （3）① = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， 当时取等号，即时，原式有最小值4． ② = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， ∴当时取等号，即时，原式有最小值5． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 二次根式重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）计算：（    ） A． B． C．3 D．2 2．（24-25八年级下·山东淄博·期末）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·重庆开州·期末）估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 4．（25-26八年级下·全国·周测）实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·天津和平·月考）已知，，则的值为（   ）． A． B．5 C． D． 6．（24-25八年级下·安徽铜陵·期中）若式子在实数范围内有意义，则m的值可能为（  ） A．2025 B．2023 C． D．2022 7．（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）观察下列等式： ①； ②； ③； … 化简：（    ）（n为正整数）． A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期中）张老师在黑板上出了一道计算题：，要求同学们在“○”中填入适当的运算符号，使得计算结果是有理数，“○”中可以填的符号是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的单项式，，，，…，第（为正整数）个单项式是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·浙江温州·期中）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是（　　） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25八年级上·上海长宁·期中）化简： ． 12．（24-25八年级下·安徽池州·期末）当时， ． 13．（24-25八年级下·甘肃天水·月考）计算 ． 14．（24-25八年级下·四川内江·月考）若式子有意义，则x的取值范围是 ． 15．（25-26八年级上·湖南永州·期中）化简的结果是 16．（24-25八年级下·湖北荆州·月考）已知实数x，y满足，则的小数部分是 ． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）对于任意两个实数，，定义运算“”：若，则；若，则，其他运算符号的意义不变．按照上述定义，计算的值为 ． 18．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）小明学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请利用小明发现的方法，化简 ． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25八年级下·河北·期中）计算： (1) (2) 20．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知二次根式与是同类二次根式，求的值． 21．（2025八年级下·全国·专题练习）当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (3)当时，求的值． 22．（2026八年级下·全国·专题练习）小东在学习了后，认为也成立，因此他认为一个化简过程是正确的．你认为这个化简过程正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程． 23．（25-26八年级上·四川达州·期末）在解决数学问题时，有时信息不太明显，需要结合图形特殊式子成立的条件、实际问题等发现，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 例如：化简． 解：由，得，∴，∴原式． 按照上面的解法，试化简：． 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）将化简，如果你能找到两个数m，n，使，且，那么将变成，即变成，从而使得方便化简． 例如：，所以 ． 请仿照上例解决下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知，求的值． 25．（24-25八年级下·全国·单元测试）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)比较大小：_______．（用“＞”“＜”或“=”填空） (2)已知，，求的值； (3)解方程：．（利用“对偶式”相关知识，提示：令）． 26．（2025八年级下·山东·专题练习）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 学科网（北京）股份有限公司 $