第19章二次根式 单元测试卷2025-2026学年人教版数学八年级下册

保密★启用前 人教版2025-2026学年下学期八年级数学第19章二次根式单元测试卷答案解析 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，不是二次根式，故不符合题意；     B．∵，∴不是二次根式，故不符合题意；     C．是二次根式，故符合题意；     D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意； 故选C． 2．（本题3分）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握乘法法则是解答本题的关键． 二次根式相乘，把系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，并化为最简二次根式即可． 【详解】解：． 故选B． 3．（本题3分）下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的判定，需先明确同类二次根式的定义，再将各选项中的二次根式化为最简形式，对比被开方数是否与的被开方数相同即可． 【详解】∵同类二次根式的定义是：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式． ∴对各选项化简： A选项：，被开方数为5，与的被开方数2不同，不是同类二次根式． B选项：，被开方数为2，与的被开方数相同，是同类二次根式． C选项：，被开方数为6，与的被开方数2不同，不是同类二次根式． D选项：，被开方数为5，与的被开方数2不同，不是同类二次根式． 故选：B． 4．（本题3分）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，根据同类二次根式的加减法则及二次根式的乘除法则逐一判断选项即可． 【详解】解：∵同类二次根式才能合并，与不是同类二次根式，不能直接相加为 ∴A选项错误． ∵==≠ ∴B选项错误． ∵===≠ ∴C选项错误． ∵==，= ∴D选项正确． 故选：D． 5．（本题3分）a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，利用二次根式的性质化简，化简绝对值等知识点，解题的关键是正确从数轴得到的大小关系以及符号． 由数轴可得，则可化为，再化简绝对值进行整式的加减计算即可． 【详解】解：由数轴可得 ∴ ， 故选：C． 6．（本题3分）估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘法、无理数的估算，将原式化简为，然后估计的近似值，从而确定范围． 【详解】解：∵， 又∵ ∴ ∵ ∴的值在3和4之间， 故选：A． 7．（本题3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的判定，依据最简二次根式的定义：被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵的被开方数不含分母，且7不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义， ∴A选项符合题意， ∵，被开方数含分母，不是最简二次根式， ∴B选项不符合题意， ∵，被开方数含分母，不是最简二次根式， ∴C选项不符合题意， ∵，被开方数能开得尽方，不是最简二次根式， ∴D选项不符合题意， 故选：A 8．（本题3分）如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得余下部分的面积． 【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长是， ∴大正方形的面积是， ∴余下的面积是． 故选：A． 9．（本题3分）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，绝对值非负性，运用完全平方公式进行运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据二次根式性质转化等式，结合绝对值非负性，通过平方化简推导，判断选项正确性． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵绝对值具有非负性， ∴， 即， 对等式两边平方： ， ∴， ∴， ∴， 验证其他选项： 取，，满足， 此时， 故A错误； 取，，， 故B错误； 取，，， 故D错误， 故选：C． 10．（本题3分）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查流程图与实数运算，二次根式的混合运算，正确理解流程图是关键． 根据流程图的计算公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意，当输入时，， ∵， ∴循环计算； 当输入时，， ∵， ∴输出的结果为． 故选：C． 11．（本题3分）已知为实数，且满足，下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，正确掌握非负性的性质得到a、b的值是解题的关键． 先根据，得出，再逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， A．∵，∴，此时算式无意义，故不正确； B．∵，∴，，故不正确； C．∵，∴，故正确； D．∵，∴，∴无意义，故不正确； 故选：C． 12．（本题3分）计算：（   ） A． B． C．2026 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式与幂的运算，解题关键是通过拆分指数，结合平方差公式简化高次幂的计算． 利用同底数幂的运算法则，将指数拆分后结合平方差公式简化计算． 【详解】解：原式 ． 故选：A． 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）二次根式在实数范围内有意义的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题的关键，根据二次根式有意义的条件得到，进而解出不等式得到的取值范围． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数大于或等于零，即，解得． 故答案为． 14．（本题4分）比较大小： ． 【答案】＞ 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，掌握通过比较两个正数的平方大小来确定原数的大小关系是解题的关键． 【详解】解：计算 ，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 15．（本题4分）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握，是解题的关键． 先根据有意义求出x的取值范围，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 16．（本题4分）观察下列等式： ，，…，则前10个等式的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了裂项相消法的应用，掌握将等式展开后，抵消中间重复的正负项来简化计算是解题的关键． 先写出前 10 个等式的具体展开形式，再通过裂项相消，计算最终的和． 【详解】解：​第1个等式： 第2个等式： …… 第9个等式： ​第10个等式： 故答案为：． 三、解答题（共98分） 17．（本题10分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．（本题10分）计算：“”，其中“”部分印刷不清楚． (1)若“”代表的数是，下图是嘉淇的运算过程，他是从第___________步开始出错的，正确的结果应该是___________； (2)若原式的计算结果为，求“”代表的数． 【答案】(1)二、 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）嘉淇的运算过程第二步出错，按照先计算乘除，再计算减法求解即可； （2）由题意得到方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：他是从第二步开始出错的， ， ∴正确的结果应该是， 故答案为：二、； （2）解：若原式的计算结果为， 则， ∴ 19．（本题10分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及平方差公式、完全平方公式、立方根、算术平方根、绝对值的运算，关键是熟练掌握各类运算规则与乘法公式，严格遵循运算顺序计算． （1）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式展开，最后去括号进行减法运算； （2）依次计算立方根、算术平方根、绝对值，再将所有结果进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（本题10分）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． （2）解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 21．（本题10分）“数形结合”是数学学习中的一种重要数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式．现用四个同样长为、宽为的长方形拼成一个正方形． (1)观察图形，请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积： 方法： ；方法： ； 由此你可以得到，，之间的等量关系为： ； (2)根据（1）题中的等量关系，解决下面的问题： 已知，且，，求的值； 已知，求的值． 【答案】(1)；； (2)； 【分析】本题考查了完全平方公式和几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）方法：利用表示出阴影部分的面积，方法：先表示出小正方形的边长，再利用正方形的面积公式表示出阴影部分的面积即可； （2）利用（1）中所得等量关系式对式子变形求解即可；利用（1）中所得等量关系式对式子变形求解即可． 【详解】（1）解：方法：； 方法：阴影部分的边长为，故， 由上面两种算面积的方法可得： 故答案为：；；； （2）解：，， ，          ， ， ， ； ， ． 22．（本题12分）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______，______． (2)已知：，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)；；； (2)16 (3)2024 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，解题关键是熟练掌握如何把二次根式分母有理化． （1）各个算式分别把分子和分母乘以分母的有理化因式，把分母中的根号去掉进行化简即可； （2）先根据已知条件，把x，y化简，再利用完全平方公式把所求代数式分解因式，然后直接把化简后的x，y代入进行计算即可； （3）把括号内的每个分式进行分母有理化，然后进行简便计算，最后再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：；；；； （2）解：， ， ； （3）解： ． 23．（本题12分）观察下列各式： ， ， ． 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)___________． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知，探索发现变化规律，写出答案，并验证即可； （2）根据发现规律，写出第n个式子即可； （3）根据规律计算即可． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． 故答案为： ． （2）解：∵①； ②； ③． ………… ∴按照上面各等式反映的规律，第个等式（为正整数）为 ． （3）解：． 24．（本题12分）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两个小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】（1）①；；②；；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：①；；②；； （2）； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 25.（本题12分）【课本再现】 一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为． 0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数． 【探究新知】 （1）若，则的取值范围是____________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 25.【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得 ，再解方程组，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数确定a的取值范围，进而化简绝对值，再解方程即可得出答案． （1）解： （2）解：由， 得 解得 ． （3）解：， ，即， ， 则原方程可化为， ，即， ． 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元一次方程组的解法．解决本题的关键是熟练掌握以上知识点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 人教版2025-2026学年下学期八年级数学第19章二次根式单元测试卷 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每题3分，共36分） 1．（本题3分）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 7．（本题3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）若，则（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（    ） A． B． C． D． 11．（本题3分）已知为实数，且满足，下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（本题3分）计算：（    ） A． B． C．2026 D．2025 二、填空题（每题4分，共16分） 13．（本题4分）二次根式在实数范围内有意义的条件是 ． 14．（本题4分）比较大小： ． 15．（本题4分）化简： ． 16．（本题4分）观察下列等式： ，，…，则前10个等式的和是 ． 三、解答题（共有9个大题，共98分） 17．（本题10分）计算： (1)； (2)． 18．（本题10分）计算：“ ”，其中“”部分印刷不清楚． (1)若“”代表的数是，下图是嘉淇的运算过程，他是从第________步开始出错的，正确的结果应该是________； (2)若原式的计算结果为，求“”代表的数． 19．（本题10分）计算： (1)； (2)． 20．（本题10分）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 21．（本题10分）“数形结合”是数学学习中的一种重要数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式．现用四个同样长为、宽为的长方形拼成一个正方形． (1)观察图形，请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积： 方法： ；方法： ； 由此你可以得到，，之间的等量关系为： ； (2)根据（1）题中的等量关系，解决下面的问题： 已知，且，，求的值； 已知，求的值． 22．（本题12分）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______ ，______ ． (2)已知：，求的值． (3)计算：． 23．（本题12分）观察下列各式： ， ， ． 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)___________． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 24．（本题12分）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两个小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 25.（本题12分）【课本再现】 一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为． 0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数． 【探究新知】 （1）若，则的取值范围是____________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $