精品解析：湖南岳阳市平江县2025-2026学年第一学期期末检测九年级数学试卷

2025－2026学年度第一学期期末检测卷 九年级数学 温馨提示：时量120分钟，满分120分，请将答案填写在答题卡上． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列函数是y关于x的反比例函数的是（　　） A. y＝ B. y＝ C. y＝﹣ D. y＝﹣ 2. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（ ） A. 周长 B. 面积 C. 每个内角的度数 D. 每条边的长度 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，，，线段的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 6. 如图，在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知与位似，且位似比为，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 8. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（ ） A. y＝x（40－x） B. y＝x（18－x） C. y＝x（40－2x） D. y＝2x（40－x） 9. 已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 函数表达式为 B. 在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 10. 二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④（为任意实数） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共8小题，满分24分） 11. 如果，那么___________． 12. 甲、乙、丙三名学生参加仰卧起坐体育项目测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下：，则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是 ___________． 13. 抛物线与轴只有一个交点，则________． 14. 河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是_____米． 15. 已知是方程的实数根，则_____． 16. 若线段上的点满足，则称点为线段的黄金分割点．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台长为，试计算主持人应走到离点至少_____处？ 17. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为____________米． 18. 如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的正切值为___． 三、解答题（共8小题，满分66分） 19. 计算：． 20. 如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 21. 如图，塔的高度为，塔的底部与桥位于同一条水平直线上．由塔顶测得和的俯角，分别为和，求，的长（结果精确到，参考数据：） 22. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下： 课外阅读时间(单位：小时) 频数（人数) 频率 请根据图表信息回答下列问题： （1）频数分布表中的____，____； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）学校将每周课外阅读时间在小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校名学生中评为“阅读之星”的有多少人? 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）分别求出反比例函数与一次函数的关系式； （2）观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时的取值范围； 24. 某市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，平均每天可售出件． （1）求平均每次降价每件盈利减少的百分率； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，若商场每天要盈利元，每件应降价多少元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）连接，交于点，求的最大值． 26. 如图，正方形的边长为是边上的点，将绕点顺时针旋转得，交于点，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）当的长最大时，求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期末检测卷 九年级数学 温馨提示：时量120分钟，满分120分，请将答案填写在答题卡上． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列函数是y关于x的反比例函数的是（　　） A. y＝ B. y＝ C. y＝﹣ D. y＝﹣ 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用反比例函数的定义分别判断得出答案． 【详解】解：A、y＝是y与x+1成反比例，故此选项不合题意； B、y＝，是y与x2成反比例，不符合反比例函数的定义，故此选项不合题意； C、y＝﹣，符合反比例函数的定义，故此选项符合题意； D、y＝﹣是正比例函数，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，正确把握定义是解题的关键． 2. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】把a=3，b=-2，c=-1代入判别式Δ=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断根的情况． 【详解】解：对于方程3x2-2x-1=0， ∵a=3，b=-2，c=-1， ∴Δ=b2-4ac=（-2）2-4×3×（-1）=16＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ=b2-4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 3. 如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（ ） A. 周长 B. 面积 C. 每个内角的度数 D. 每条边的长度 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相关结论即可解答． 【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形是相似的关系， 用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了， 每个内角的度数保持不变， 故选：C． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线顶点坐标．根据抛物线顶点式顶点坐标公式可直接得到答案．抛物线顶点式顶点坐标为． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 5. 如图，已知，，，线段的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到即可求解． 【详解】解：∵, ∴， ∵，， ∴， 解得， 故选：A． 6. 如图，在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值．根据锐角三角函数正弦=，代入数据求值即可. 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：D. 7. 已知与位似，且位似比为，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质．根据三角形相似的性质进行解答即可． 【详解】解：与位似，且位似比为， 与的相似比为， 与的面积比为相似比的平方，即， 故选：D． 8. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（ ） A. y＝x（40－x） B. y＝x（18－x） C. y＝x（40－2x） D. y＝2x（40－x） 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直于墙的一边的长为x米，用含x的式子表示平行于墙的边的长度，再利用面积公式即可求出． 【详解】设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，所以平行于墙的边的长度为（40-2x）米， 由题意则有：y=x(40-2x)， ∴y关于x的函数关系式为y=x(40-2x)， 故选择：C． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用问题，掌握几何问题的函数解析式的求法，解题时应注意用墙长限制自变量的范围． 9. 已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 函数表达式为 B. 在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．将代入求出U的值，根据反比例函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：设，将代入可得，故A正确，不符合题意； ∵，∴电流I随着电阻R的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，，故C错误，符合题意； 观察图象得，当时，，故D正确，不符合题意； 故选：C． 10. 二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④（为任意实数） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质等知识．由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到，则可对①进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数，可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则可对③进行判断；由于时，y有最小值，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， 即，所以③正确； ∵时，y有最小值， ∴（m为任意实数）， ∴，所以④错误； 综上，①②③正确， 故选：C． 二、填空题（共8小题，满分24分） 11. 如果，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】设 ，则 ，原式可化为 ，化简求值即可 【详解】解：∵， 设 ，则 ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，根据比例设出，是解题的关键． 12. 甲、乙、丙三名学生参加仰卧起坐体育项目测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下：，则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是 ___________． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题主要考查了利用方差判断稳定性，解题的关键是熟练掌握方差的意义． 根据方差的意义，方差越小数据越稳定进行判定即可． 【详解】解：∵甲、乙、丙三名学生的平均数相同，， ∴ ∴甲、乙、丙三位同学中成绩最稳定的是丙． 故答案为：丙． 13. 抛物线与轴只有一个交点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，令，计算，即可求解． 【详解】解：令，则 依题意， 解得：． 故答案为：． 14. 河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是_____米． 【答案】 【解析】 【分析】根据迎水坡AB的坡比是1：，可得＝，即可求得AC的长． 【详解】∵堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1：， ∴＝， ∴AC＝BC＝（米）． 故答案为：米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡比的概念． 15. 已知是方程的实数根，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由题可知， ∴， 故答案为：1． 16. 若线段上的点满足，则称点为线段的黄金分割点．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台长为，试计算主持人应走到离点至少_____处？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义及应用． 先确定黄金分割比，计算离点较近的黄金分割点距离原线段长减去较长线段长，即． 【详解】解：黄金分割比为，设离点较近的黄金分割点为． 离点的距离 ， 故答案为：． 17. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为____________米． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知可知CD与AB平行，所以可利用解决． 【详解】解：（米）， ∴AB∥DC． （米）． 故答案为：3 【点睛】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实际问题中发现问题、解决问题是关键． 18. 如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的正切值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数几何意义，正切的定义，解题的关键在于理解相似三角形面积比等于相似比的平方．过点作轴于点，过点作轴于点，证明，再根据相似三角形性质，反比例函数几何意义结合正切的定义求解，即可解题． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， 顶点，分别在反比例函数与的图象上， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值；利用零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质计算后再算加减即可． 【详解】解： ． 20. 如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ， ， 又， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据边长得出对应边成比例，依据对顶角相等得到，即可证明． 【详解】略 21. 如图，塔的高度为，塔的底部与桥位于同一条水平直线上．由塔顶测得和的俯角，分别为和，求，的长（结果精确到，参考数据：） 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形．在直角中，先求得，然后利用三角函数求得的长，在直角中，先求得，然后利用三角函数求得的长，根据即可求解． 【详解】解：在中，，， 由，得： ， 在中，，， 由，得 ， 所以， 答：；． 22. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下： 课外阅读时间(单位：小时) 频数（人数) 频率 请根据图表信息回答下列问题： （1）频数分布表中的____，____； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）学校将每周课外阅读时间在小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校名学生中评为“阅读之星”的有多少人? 【答案】（1）； （2）补全条形统计图，如图所示： （3）150 【解析】 【分析】（1）从频数分布表中可知，0＜t≤2的频数为2人，占出人数的4%，根据频率＝，进而求出a、b的值； （2）求出各组频数，补全频数分布直方图； （3）求出样本中“每周课外阅读时间在8小时以上的学生”所占的百分比，即可估计总体“每周课外阅读时间在8小时以上的学生”所占的百分比，进而求出相应人数． 【详解】（人）， （人）， ， 答案为：； 阅读时间为的学生有人． 根据题意得：（人）， 则该校名学生中评为“阅读之星”的有人． 【点睛】本题考查频数分布表、频数分布直方图，掌握频率＝是解决问题的关键． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）分别求出反比例函数与一次函数的关系式； （2）观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时的取值范围； 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法． （1）先用待定系数法求出反比例函数关系式，再把代入反比例函数关系式求出点B的坐标，然后再用待定系数法求出一次函数的表达式即可； （2）利用图象得出反比例函数图象在一次函数图象上面时，x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 则反比例函数的解析式为， 将点代入得：，即， 将点，代入得：， 解得， 则一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围是或． 24. 某市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，平均每天可售出件． （1）求平均每次降价每件盈利减少的百分率； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，若商场每天要盈利元，每件应降价多少元？ 【答案】（1）平均每次降价每件盈利减少的百分率为 （2）若商场每天要盈利元，每件应降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，进行列式计算，即可作答． （2）结合每件盈利元，平均每天可售出件，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，若商场每天要盈利元，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设平均每次降价每件盈利减少的百分率为， 根据题意，得， 解得（舍去）或， 答：平均每次降价每件盈利减少的百分率为． 【小问2详解】 解：设每件应降价元， 根据题意，得， 解得，， 尽快减少库存，且一件女款上衣每降价元，每天可多售出件 答：若商场每天要盈利元，每件应降价元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）连接，交于点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为：，可得出，，从而可得，再求出自变量取值范围即可； （3）分四种情形：当时，作，交于，可得出，从而，进而得出，进一步得出结果；当，和时，可得出没有最大值． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 该抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：二次函数中，令，则， ， 设直线的解析式为：．将，代入得到： ，解得， 直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t， ，， ， 点在直线下方的抛物线上， ； 【小问3详解】 解：如图1， 当时， 作，交于， ， ， 把代入得， ， ， ， 当时，， ， ， 如图2， 当时， 此时， ， 时，随着的增大而增大， 没有最大值， 没有最大值， 如图3， 当时， ， 当时，随着的增大而减小， 没有最大值， 没有最大值， 如图4， 当时， 由上可知， 没有最大值， 综上所述：当时，． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 26. 如图，正方形的边长为是边上的点，将绕点顺时针旋转得，交于点，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）当的长最大时，求出的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴； （2） （3）当的长最大为1时，的长为 ． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和等角的余角相等即可得结论； （2）在上截取，连接，证明，可得； （3）证明，求得，由二次函数的性质结合，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，在上截取，连接， 在正方形中，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）知：， ∵ ， ∴， ∴，即， ∴， ∴当时，最大为1， 由（2）知： ， ∴， ∵， ∴， ∴当长最大为1时，的长为． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $