精品解析：江苏省徐州市汇文学校2025-2026学年上学期九年级数学期末试卷

汇文中学汇文学校2025～2026学年度第一学期期末素质评估 九年级数学 试题卷 一、单选题 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，掌握图形形状是解决问题的关键．根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】解：根据旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形可得： A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是中心对称图形，故C符合题意； D．不是中心对称图形，故D不符合题意； 故选：C． 2. 据统计，2024年我国新能源汽车产量超过万辆，其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，确定的整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决． 【详解】解：万， ， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式、同底数幂的除法运算法则、二次根式的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】，无法合并，故此选项不合题意； B.，故此选项不合题意； C.，故此选项不合题意； D.，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式、同底数幂的除法运算、二次根式的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“小于向左，大于向右”且“边界点属于解集为实心点，不属于解集即为空心圆”在数轴上表示（写出解集）即可． 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示为： ． 5. 若扇形的半径为3，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，直接使用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵半径，圆心角， ∴弧长． 故选：A． 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，关键是熟悉三视图的定义．根据三视图的定义即可求解． 【详解】解：主视图和左视图：都是中间有一条竖线的矩形，说明这是一个柱体，且有两个侧面在视图中被一条棱分隔开． 俯视图：是一个正方形（菱形），说明底面是正方形． 对选项进行判断： A 选项：是四棱锥，三视图与题目不符． B 选项：是三棱柱，俯视图应为三角形，与题目不符． C 选项：是底面为正方形的四棱柱，三视图与题目完全吻合． D 选项：是六棱柱，俯视图应为正六边形，与题目不符． 所以，该几何体为C 选项的四棱柱， 故选：C 7. 下列说法正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 相等的圆心角所对的弧也相等 C. 等弧所对的弦相等 D. 过平面上三点可以画一个圆 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，包括垂径定理、圆心角与弧的关系、等弧的性质以及确定圆的条件． 根据圆的基本性质，垂径定理、圆心角与弧的关系，逐一判断即可． 【详解】解：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，A错误； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误； 等弧是指在同圆或等圆中长度相等的弧，则等弧所对的弦相等，C正确； 不在同一直线上的三点确定一个圆，D错误； 故选：C． 8. 已知是正△内一点，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键．将三角形绕点逆时针旋转得三角形，连接，得出三角形是等边三角形，推出三角形是直角三角形，再根据勾股定理求解． 【详解】解：如图，将三角形绕点逆时针旋转得三角形，连接， 则，，，， △是等边三角形， ，， ， ， 故选：． 9. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象．根据一次函数与反比例函数图象找出、的正负，再根据抛物线的对称轴为，得出二次函数对称轴在轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数图象过第一、二、三象限， ∴， 对于二次函数， ∴对称轴为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧；排除选项A和B； ∵反比例函数的图象在第二象限内， ∴，则， ∴二次函数的图象与轴交点在轴下方， 满足上述条件的函数图象只有选项D． 故选：D． 10. 如图，在四边形中，，，，为边上一点（不与点，重合），连接，，，且，，为的中点，连接，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则四边形的周长为33.6 C. 的面积最大为25 D. 的面积恒为12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，，根据相似三角形的性质即可判断A，证明、、、四点共圆，得出，再证明，得出，从而即可判断B；设，则，，表示出，由此即可判断C；证明，求出，表示出，作于，于，由等面积法得出，结合勾股定理得出，证明，求出，再由的面积为计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，即，故A正确； 当时，，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的周长为，故B正确； 设，则，，即， ∴， ∴当时，的面积最大为，故C错误； ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵为的中点， ∴， 如图，作于，于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为，故D正确； 故选：C． 二、填空题 11. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，可利用设参数法，根据已知比例关系用含同一参数的代数式表示与，再代入所求分式化简计算，也可通过分式变形结合已知条件求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：因为， 所以设（），则， 将，代入得：， 故答案为：． 12. 小明在做抛掷质地均匀硬币试验时，前10次试验中正面朝上的次数是7，则第11次抛掷硬币正面朝上的概率为 ______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查的是概率的公式，注意抛硬币只有两种情况，每次抛出的概率都是一致的，与次数无关．根据一枚硬币只有正反两面，抛掷硬币正反出现的概率是相同的即可得到答案． 【详解】解：∵ 抛掷质地均匀硬币每次试验是独立事件，正面朝上的概率均为 ， ∴ 第11次正面朝上的概率为 ． 故答案为：． 13. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点，将直线向上平移3个单位长度与反比例函数的图象相交于点，轴于点，交于点，，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，正比例函数，平移的性质，平行线分线段成比例，中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键；过点作轴于点，根据平行线分线段成比例可得，是的中位线，进而得出，，代入，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵轴于点， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴，则 ∴是的中位线， ∵， ∵ ∴ ∴ 解得： 故答案为：． 14. 如图，矩形中，，，动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿、向终点B、D运动，过点E、F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G． （1）当四边形是矩形时，线段的长为______； （2）在整个运动过程中的最大值为______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查矩形性质，全等三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关性质和定理，是解题的关键． （1）根据矩形的性质，得到，，进而得到的长即为的长即可； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，圆周角定理得到点G在以为直径的圆上，进而得到当为直径时最大，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿、向终点B、D运动， ∴， 当四边形是矩形时，则：，， ∴， ∴， ∵， ∴E，G两点重合， ∴； 故答案为：4； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点G在以为直径圆上， ∴当为直径时，最大，此时为， 故答案为：． 三、解答题 15. 计算题：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂的混合运算，先计算特殊角的三角函数值，零指数幂运算，然后合并计算即可，熟记特殊角的三角函数值及掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 16. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车：若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】共有人，辆车 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据“每人共乘一车，最终剩余辆车：若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 详解】解：设共有人，辆车， 依题意得：， 解得：． 答：共有人，辆车． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点） （1）以点为位似中心，将放大到原来的倍，在第四象限内画出，则点的对应点的坐标为______； （2）______． 【答案】（1）画图见解析，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，画位似图形，相似三角形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． （）根据位似变换的性质解答即可求解； （）根据位似图形和相似三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ∴点， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵点为位似中心，将放大到原来的倍， ∴与的相似比为， ∴， 故答案为：． 18. 如图，反比例函数图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围； （3）连接，，求的面积． 【答案】（1）； （2）或 （3）4 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合题，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象、数形结合的思想方法的运用是解题的关键． （1）将代入反比例函数表达式求出的值，进而求出B点坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）根据图象中的交点求解即可； （3）求出点C的坐标，再根据计算求解即可． 【小问1详解】 解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数表达式为， 将代入得：， ， 将和代入一次函数得： ， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由图象可知：当或时，反比例函数的值小于一次函数的值； 【小问3详解】 解：将代入得：， ， 、、， ， 即． 19. 图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点转动，测得． （1）在图2中，过点作，垂足为．求的长度（结果保留根号）； （2）在（1）的条件下，求点到的距离．（结果保留一位小数，参考数据：， 【答案】（1） （2）点C到AD的距离为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用： （1）在中，利用锐角三角函数，即可求出的长； （2）过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为G，则，，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：如图： 在中，， ∴； 【小问2详解】 解：过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为G，则，， ∵， ∴； 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴点C到AD的距离为． 20. 如图，在中，，点D是边上一点，以为直径的⊙O与边相切于点E，与边交于点F，过点E作于点H，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，易证，继而结合已知证明，然后利用角平分线的性质即可证得； （2）由，可求出，再通过证明，利用相似三角形的性质求出，再根据求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵⊙O与边相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∵， , ∴，即， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的性质、解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关的性质定理是解题的关键． 21. 某校为了解初中学生每天在校体育活动时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：     （1）本次接受调查的初中学生人数为___________人，图①中m的值为___________． （2）这组数据的众数为___________，中位数为___________． （3）若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数． （4）本次调查中体育活动时间最长的3人为2名女生和一名男生，这3名同学将和另一个学校选出的1名男生组成一个“运动”小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，请用树状图法或列表法求出这两人恰为一男一女的概率． 【答案】（1） （2） （3）估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数约为720名 （4） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、中位数、众数，用样本估计总体，用树状图或列表法求概率，通过统计图获取必要的信息是解题的关键． （1）用样本中“”的人数除以它的百分比即可求出调查人数，进而求出“”所占的百分比，即可确定的值； （2）根据加权平均数、中位数、众数的定义，分别求出即可； （3）求出大于的学生所占的百分比，即可求出答案； （4）画出树状图，根据树状图即可求解； 【小问1详解】 解：本次接受调查的初中学生人数为， ， ， 故答案为：40，25 ； 【小问2详解】 解：∵所占百分比最多， ∴众数； ∵本次接受调查的初中学生人数为 40 人， ∴把数据从小到大排序后，中位数为第 20 和第 21 位的平均数， ∴中位数为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：（名）． 估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数约为720名． 【小问4详解】 解：将2名女生分别记为，2名男生分别记为， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中这两人恰为一男一女的结果有：，，共8种， 这两人恰为一男一女的概率为． 22. 如图，抛物线过点和． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知该抛物线与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C． ①若点P是该抛物线位于第一象限部分上的一动点，过点P作x轴的垂线交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； ②若点M是抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请在备用图上画出符合条件的图形，并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①最大值为，点P坐标为； ②点M的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）将点和代入，得到方程组，解方程组即可． （2）①设点，求出直线表达式，则，再用a的代数式表达出，最后转化为二次函数求最值即可； ②设点M的坐标为，而点B、C坐标已知，用两点之间距离公式求出以及表示出、，分类三种情况讨论，由勾股定理建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点和， ，解得， 抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，，点C的坐标为； 当时，，解得或， ∵点A位于点B的左侧，点A的坐标为，点B的坐标为． ①设点P的横坐标为，则点P的纵坐标为， 设直线的函数表达式为， 根据题意得，解得， 直线的函数表达式为，点Q的纵坐标为，， ，此抛物线的开口向下， ，当时，有最大值，此时点P的坐标为； ②存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形． 抛物线的对称轴为直线，设点M的坐标为． 分两种情况：i）以为直角边，如图，则或， 或，解得或， 点的坐标为，点的坐标为； ii）以为斜边，如图，则，，整理得，解得，点的坐标为，点的坐标为， 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，配方法求最值，勾股定理的运用，其中直角三角形的存在性问题和分类讨论的思想是函数综合题常考题型． 23. 如图，矩形中，点是对角线上的一个动点(不包含两点)，过点作分别交射线，射线于点， 求证：； 若为中点，求的值； 若，且与相似，则 ． 【答案】见解析；；或 【解析】 【分析】（1）根据两个角相等的三角形相似证明即可； （2）设，根据相似求出x，即可得到结果； （3）设，则，分当时，则，当时，则两种情况计算即可； 【详解】证明：（1）∵矩形ABCD，且， ∴， ∴， 在△AEF和△BCA中， ， ∴． ∵， ∴， 可得到：， ∴， 由（1）得： 设， ∴ ，F是DC的中点， ∴， ∴， ∴， 由题可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 设，则， ， 设， 则； ①当时，则， ， ， ， ， ， ， ②当时，则， ， ， ， ， ， 综上所述：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的综合，准确计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汇文中学汇文学校2025～2026学年度第一学期期末素质评估 九年级数学 试题卷 一、单选题 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 据统计，2024年我国新能源汽车产量超过万辆，其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B. C. D. 5. 若扇形的半径为3，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 相等的圆心角所对的弧也相等 C. 等弧所对的弦相等 D. 过平面上三点可以画一个圆 8. 已知是正△内一点，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 9. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，，为边上一点（不与点，重合），连接，，，且，，为的中点，连接，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则四边形的周长为33.6 C. 的面积最大为25 D. 的面积恒为12 二、填空题 11. 若，则的值为______． 12. 小明在做抛掷质地均匀硬币试验时，前10次试验中正面朝上的次数是7，则第11次抛掷硬币正面朝上的概率为 ______． 13. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点，将直线向上平移3个单位长度与反比例函数的图象相交于点，轴于点，交于点，，若，则的值为_____． 14. 如图，矩形中，，，动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿、向终点B、D运动，过点E、F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G． （1）当四边形是矩形时，线段的长为______； （2）在整个运动过程中的最大值为______． 三、解答题 15. 计算题：． 16. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车：若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点） （1）以点为位似中心，将放大到原来的倍，在第四象限内画出，则点的对应点的坐标为______； （2）______． 18. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出使反比例函数值小于一次函数值的取值范围； （3）连接，，求的面积． 19. 图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点转动，测得． （1）在图2中，过点作，垂足为．求的长度（结果保留根号）； （2）在（1）条件下，求点到的距离．（结果保留一位小数，参考数据：， 20. 如图，在中，，点D是边上一点，以为直径的⊙O与边相切于点E，与边交于点F，过点E作于点H，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 某校为了解初中学生每天在校体育活动时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：     （1）本次接受调查的初中学生人数为___________人，图①中m的值为___________． （2）这组数据的众数为___________，中位数为___________． （3）若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数． （4）本次调查中体育活动时间最长的3人为2名女生和一名男生，这3名同学将和另一个学校选出的1名男生组成一个“运动”小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，请用树状图法或列表法求出这两人恰为一男一女的概率． 22. 如图，抛物线过点和． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知该抛物线与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C． ①若点P是该抛物线位于第一象限部分上一动点，过点P作x轴的垂线交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； ②若点M是抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请在备用图上画出符合条件的图形，并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 如图，矩形中，点是对角线上的一个动点(不包含两点)，过点作分别交射线，射线于点， 求证：； 若为中点，求的值； 若，且与相似，则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $