精品解析：安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

定远县育才学校2025-2026学年九年级（上）期末 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．据此逐一判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，故该选项符合题意， B．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， D．不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 2. 对于线段，，如果，那么下列四个选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A、由，得，故本选项错误，不符合题意； B、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意； C、由，设， ∴，故C错误， D、，故D正确 故选：D． 3. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由旋转的性质可得，，由等边对等角可得，运用三角形内角和定理可得，最后依据同角的余角相等即可证明结论． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 4. 如图，、、、是在上的四个点，是直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 由是直径，可得，再根据直角三角形的性质得到，再根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 5. 如图，有一个亭子，它的地基是正六边形，其外接圆的半径为，则该亭子地基的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接、，过点作于，由正六边形的性质可得，，即得为等边三角形，得到，，即得到，进而求出，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，过点作于，则， ∵是正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，连接、相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，过点B作于H，先证明，进而解直角三角形得到，，再证明得到，则，利用勾股定理求出，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作于H， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故选：B． 7. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数），其中正确结论的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①由图象可知：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，为最小值， 当时，， ∴， 整理得：，故⑤正确． 综上，正确的有②④⑤共三个， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定． 8. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用直尺和圆规作角平分线，线段垂直平分线的性质定理的逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．由作法可知，，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，可得，，又因为，根据直角三角形两锐角互余，可求得，即，再求出的度数，即得答案． 【详解】以点A为圆心，的长为半径作弧， ， 分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P， ，且，， ， ， ， ， ， ， ． 故选D． 9. 如图，在中，延长至点E，使，连接交于点F，交于点G，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设DE=x,由得出AD=2x，AE=3x，利用平行四边形的性质知AE∥BC，BC=AD=2x，据此得出，利用相似三角形的性质得即可得出答案． 【详解】解:设DE=x，由知AD=2x, 则AE=3x, ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE//BC，BC=AD=2x， ∴ ∴ 故选: A． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形和相似三角形的判定与性质． 10. 如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数与一次函数图象交点问题．过点A作轴，过点B作轴，得到矩形，将一次函数与反比例函数解析式联立，求出点A，B坐标，根据求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，得到矩形， 联立，得：， 联立，得：， ，， ，， ， ， 点，在函数图象上， ， ， 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知抛物线，若抛物线的函数值为，则x的取值范围是_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；求出抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为；再求出当函数值分别为2与3时的自变量取值，结合二次函数的图象与性质即可求得自变量的取值范围． 【详解】解：，则抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当，且时，；当，且时，； 综上，当，则x的取值范围是或； 故答案为：或． 12. 如图，线段的长是，点和点均为线段的黄金分割点，那么线段的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点，熟练掌握黄金分割比是解题的关键． 根据黄金分割点的定义得到，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵点和点均为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，内接于，，D为上一动点，直线于E，当点D从B点沿运动到C点时，点E所经过的路径长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，弧长公式等，正确作辅助线，找出点E的运动轨迹是解题关键． 连接，取的中点，连接，过点作于点，由直径所对的圆周角是直角，得出点在以为直径的圆上运动，当点运动到点时，根据三线合一的性质和角的正弦值，求出，从而求出半径，再计算出点E经过的路径对应的圆心角度数，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，过点作于点， 直线于E， ， 点在以为直径的圆上运动， 当点运动到点时， ， ， ，， ，，， ， ， ，， ， 点E经过的路径对应的圆心角度数为， 点E所经过的路径长为， 故答案为：． 14. 如图，将一把矩形直尺和一块等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，在轴上，点与点重合，点在上，交于点，反比例函数的图象恰好经过点，，若直尺的宽，三角板的斜边，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征． 利用等腰直角三角形特殊性质可求出，，，设，用含有的代数式表示点、点的坐标，再代入反比例函数关系式即可求出的值，进而确定的值． 【详解】解：过点作，垂足为，则， 在中，，， ， 又， ， 设，则， 点，， 又反比例函数的图象恰好经过点，． ， 解得，，， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，代入特殊角的三角函数值，计算即可得出结果，熟练掌握特殊角的三角函数值是解此题的关键． 【详解】解： ． 16. 如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点），为过网格线的一条直线． （1）画出关于直线对称的； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出； （3）填空：的面积为______． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、旋转的性质以及割补法求三角形面积，掌握轴对称和旋转的全等变换性质是解题的关键． （1）利用轴对称变换的性质分别作出、、的对应点、、，再顺次连接、、即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出、、的对应点、、，再顺次连接、、即可； （3）用矩形面积减去三个小三角形面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：． 17. 月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能．如图是某园林中的一处月洞门，门洞的形状为圆弧形．如图是该月洞门的几何示意图，设该弧所在圆的圆心为，过点作，为垂足，与该弧交于点，测得弦，，求这个月洞门所在圆的半径． 【答案】这个月洞门所在圆的半径为 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 连接，设的半径为，则，，根据垂径定理可得，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：如图2，连接， 设的半径为，则，， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得． 答：这个月洞门所在圆的半径为． 18. 如图，是的直径，C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质得到，因此，判定平分； （2）由圆周角定理得到，由平行线的性质推出，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由平行线的性质，等腰三角形的性质推出；由垂径定理，勾股定理求出的长． 19. 株洲市清水塘大桥于2023年8月28日正式通车，弧形设计的清水塘大桥在两岸公园的映衬下，被株洲市民称之为“湘江最美大桥”，它是株洲市内第八座跨江大桥，桥梁的跨度为米，也称“八桥”，某天小红和小明在“八桥”左岸边点处游玩，如图2此时他们发现桥梁左岸支座点在正西方向，桥梁的右岸支座点在北侧西方向：然后他们继续沿着河岸方向游玩到达点，这时他们观测到桥梁的右岸支座点在北偏西方向．求此过程中他们游玩路径的长度？（结果精确到1米，参考数据：，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查方向角以及解直角三角形的应用，理解题意是解答本题的关键．根据题意得是等腰直角三角形，得到米，在中，求出由列出等式，即可求出的长度． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴米， ∴在中，， 又， ∴， ∴， ∴米， 答：他们游玩的路径的长度为米． 20. 如图，在中，，点D在边上，以为直径作，交的延长线于点E，连接，若切于点E． （1）求证：； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1） 证明：切于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质可得，由半径相等可得，再通过导角即可得证； （2）根据正切的定义可求，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，则， 设， ， ， 解得：， 半径的长为． 21. 和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点． （1）如图①，当点在线段上，且时，求证：； （2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时的长． 【答案】（1）见解析； （2）证明见解析，． 【解析】 【分析】（1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得的长，即可得的长， 【小问1详解】 证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质，掌握相似三角形的性质与判定，是解题的关键． 22. 已知：如图，抛物线经过轴上的两点和轴上的点的圆心在轴上，且经过，两点．若， （1）求抛物线的解析式． （2）设点在抛物线上，且，两，点关于抛物线的对称轴对称，问直线是否经过圆心，并说明理由． （3）设直线交于另一点，求经过点的的切线的解析式． 【答案】（1） （2）直线经过圆心P，详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，令根据根与系数的关系以及，得出的值，进而得出解析式； （2）已知点坐标，可求直线的解析式，连接，设的半径为，求出，的值即可． （3）过点作轴于，可求得，求出点的坐标．然后由相似三角形的性质求得，记经过点的的切线交轴于点，进而得出的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 又， ∴令 ，， 解得 ， ∴抛物线的解析式是． 【小问2详解】 直线经过圆心P． 理由：由（1）得抛物线的对称轴为直线， 令， 解得 ， 设直线的解析式为 ∴ 解得：, ∴直线的解析式为． 连结．设的半径为R． 在中，， 解得， ∵点P的坐标满足， ∴直线经过圆心P． 【小问3详解】 如图，过，点E作轴于点F，则． ∵ ∴， ． 记经过点的的切线交轴于点，则， 又 ， ， 即， 解得． ∵ 设过点E的的切线为． 将代入， 得 解得 ∴过点E的的切线的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，一元二次方程根与系数的关系，切线的性质，垂径定理，勾股定理，切线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 在中，将绕点B顺时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，若，，，求的长； （2）如图2，连接，点F为中点，连接，过点C作，垂足为G．过点B作的垂线交直线于点H，猜想与之间的数量关系，并证明； （3）如图3，连接，点F为中点，点E是的中点，连接，点P是直线上一动点，连接．当取最大值时，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．若，，直接写出此条件下的最小值． 【答案】（1） （2） 在上取一点，使得，连接， 由题可知,, ∴ 在和中， ∴, , ∵点F为中点， ∴, , , , ∵， , 在和中， ∴, , （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，通过勾股定理可知，由直角三角形可知，进而可求解； （2）在上取一点，使得，证明，，可根据全等三角形的性质即可求解； （3）根据三角形的中位线，可以推断出取最大值时，,,三点共线，可知，根据勾股定理可知的长度，当，，三点共线的时候，取得最小值． 【小问1详解】 解：过点作， 由题可知：,, 则根据勾股定理：, 得：, , ∵，，, ∴, ∴, 则根据勾股定理:, , 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意可得，，, ∴,， 取的中点,连接,, ∴为的中位线， ∴, ∴为的中位线， ∴, 在，, 当,,三点共线时，取最大值，， 如图所示， 此时，, , , 过点作的延长线交于点，过点作,过点作, , , , , , , 在中， , , ∵点F为中点， . , , 由题可知， 和全等， 当，，三点共线的时候，取得最小值， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远县育才学校2025-2026学年九年级（上）期末 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于线段，，如果，那么下列四个选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，、、、是在上的四个点，是直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，有一个亭子，它的地基是正六边形，其外接圆的半径为，则该亭子地基的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，连接、相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到的值等于（　　） A. B. C. D. 7. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数），其中正确结论的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 2个 8. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为( ) A. B. C. D. 9. 如图，在中，延长至点E，使，连接交于点F，交于点G，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（ ） A. B. 3 C. D. 4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知抛物线，若抛物线的函数值为，则x的取值范围是_____________． 12. 如图，线段的长是，点和点均为线段的黄金分割点，那么线段的长是______． 13. 如图，内接于，，D为上一动点，直线于E，当点D从B点沿运动到C点时，点E所经过的路径长为________． 14. 如图，将一把矩形直尺和一块等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，在轴上，点 与点重合，点在上，交于点，反比例函数的图象恰好经过点，，若直尺的宽，三角板的斜边，则___________． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 16. 如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点），为过网格线的一条直线． （1）画出关于直线对称的； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出； （3）填空：的面积为______． 17. 月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能．如图是某园林中的一处月洞门，门洞的形状为圆弧形．如图是该月洞门的几何示意图，设该弧所在圆的圆心为，过点作，为垂足，与该弧交于点，测得弦，，求这个月洞门所在圆的半径． 18. 如图，是的直径，C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 19. 株洲市清水塘大桥于2023年8月28日正式通车，弧形设计的清水塘大桥在两岸公园的映衬下，被株洲市民称之为“湘江最美大桥”，它是株洲市内第八座跨江大桥，桥梁的跨度为米，也称“八桥”，某天小红和小明在“八桥”左岸边点处游玩，如图2此时他们发现桥梁左岸支座点在正西方向，桥梁的右岸支座点在北侧西方向：然后他们继续沿着河岸方向游玩到达点，这时他们观测到桥梁的右岸支座点在北偏西方向．求此过程中他们游玩路径的长度？（结果精确到1米，参考数据：，） 20. 如图，在中，，点D在边上，以为直径作，交的延长线于点E，连接，若切于点E． （1）求证：； （2）若，，求半径的长． 21. 和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点． （1）如图①，当点在线段上，且时，求证：； （2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时的长． 22. 已知：如图，抛物线经过轴上的两点和轴上的点的圆心在轴上，且经过，两点．若， （1）求抛物线的解析式． （2）设点在抛物线上，且，两，点关于抛物线的对称轴对称，问直线是否经过圆心，并说明理由． （3）设直线交于另一点，求经过点的的切线的解析式． 23. 在中，将绕点B顺时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，若，，，求的长； （2）如图2，连接，点F为中点，连接，过点C作，垂足为G．过点B作的垂线交直线于点H，猜想与之间的数量关系，并证明； （3）如图3，连接，点F为中点，点E是的中点，连接，点P是直线上一动点，连接．当取最大值时，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．若，，直接写出此条件下的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $