精品解析：江苏如皋市2025-2026学年度高二年级第一学期期末考试数学试题

2025-2026学年度高二年级第一学期期末考试 数学 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线.若，则实数值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线一般式的平行关系列式求解即可. 【详解】因为已知直线，且， 所以，解得， 当时，的方程为，即，此时满足. 故选：B 2. 已知和是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间直线，平面的位置关系依次判断各选项即可得答案. 【详解】对于A选项，若，则或，故错误； 对于B选项，若，则与关系可以是平行、相交或在平面内，不一定满足，故错误； 对于C选项，若，则或，故错误； 对于D选项，若，则，正确. 故选：D 3. 2个女生和2个男生站成一排合影，2个男生相邻的不同排法总数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】根据相邻问题捆绑法求解即可. 【详解】把2个男生看作一个整体，内部有种排列方式 将这个男生整体和2个女生一起排列，相当于3个元素，有种排列方式, 所以，根据乘法原理，总的排法有：种不同排法. 故选：A 4. 双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化为标准方程，再结合关系求解即可. 【详解】将双曲线化为标准方程得： 所以双曲线的焦点在轴上，且， 因为双曲线的一个焦点坐标为， 所以，即，解得 故选：C 5. 已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求圆心到直线的距离，再结合半径关系判断即可. 【详解】由题知圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为，， 所以圆上到直线的距离等于1的点的个数为2. 故选：B 6. 已知等比数列的公比大于0，，，若，则正整数的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为. 由可得，，即， 又，所以，解得或（舍去）. 由可得，， 即，所以. 所以，解得. 故选：C 7. 已知圆台的上底半径和下底半径分别为1和2，侧面积为，则圆台外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得圆台的母线，高，再根据几何体的外接问题求解即可. 【详解】设圆台的上底面的半径为，下底面半径为，母线长为，则， 因为圆台的侧面积为， 所以，解得 所以圆台的高为， 设圆台的外接球的半径为，则球心到圆台两底面的距离分别为， 因为圆台外接球的球心可能在上、下底面圆心所连的线段上，也可能在其延长线上 所以或， 方程得，平方整理得，解得， 同理解方程得该方程无解， 所以圆台的外接球的半径为， 所以圆台外接球的表面积为. 故选：C 8. 设是椭圆：和双曲线：的公共焦点，是它们在第一象限的公共点，与双曲线的右支交于另一个点，若以为直径的圆过点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，可得，再由可得,代入后得即可求解答案. 【详解】椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，若以为直径的圆过点，则满足， 所以，可得， 所以，化简得出， 又因为，所以， 所以，即得， 所以，代入，可得， 则椭圆的离心率. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 除以2的余数为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式定理直接计算判断A；令直接求解判断B；令，结合时的情况，求得，再根据求解判断C；直接计算判断D. 【详解】对于A选项，根据二项式定理可知，，故正确； 对于B选项，令得，故正确； 对于C选项，令得；令得， 两式相加得：，即， 令得，所以，故错误； 对于D选项，，除以2的余数为1，故正确. 故选：ABD 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则时取最小值 D. 若，则使的的最小整数为14 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可得，结合等差数列的性质和前项和的公式判断A，通过讨论公差d的正负，结合等差数列的性质对B，C，D选项进行判断即得. 【详解】由可得，，故选项A正确； 因为， 若，不合题意， 若，则，则， 若，则，则，B选项错误； 若，则，则时取最小值，C选项错误； 若，则，， ，则当时，， 则使的的最小整数为14，D选项正确； 故选：AD 11. 边长为2的正方体中，动点满足，.则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 四面体的体积为 C. 设直线与所成角为，则的最大值为 D. 若直线与平面所成角的正弦值为，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据向量关系得点的轨迹在内（包括边界），根据平面平面判断A；根据判断B；设与平面相交于点，证明平面，求得．根据为异面直线与所成的角，判断C；根据线面角求得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，再求轨迹长度即可. 【详解】如图所示，连接， 因为动点满足，， 所以，即， 所以，即点的轨迹在内（包括边界） 对于A，因为在中，，，，， 所以四边形，均为平行四边形， 所以，， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 因为，平面， 所以平面平面 因为平面，所以平面，故A选项正确； 对于B，由平面平面，点的轨迹在内（包括边界） 所以四面体的体积，故B选项错误； 在正方体中，易知平面，平面， 所以，， 又，，，， 所以平面，平面， 所以，， 因为，所以平面， 设与平面相交于点， 由于，， 则点到平面的距离为． 对于C，因为，所以为异面直线与所成的角， 因为，所以，故C正确． 对于D，因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得， 所以 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 如图所示， 在中，，同理， 即点为等边外接圆圆心， 又，设， 由余弦定理得，解得或 当时，如图，即，此时不在内， 故只需考虑的情况即可， 所以，则 所以的轨迹长度为，故D正确． 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 运动会期间，将甲､乙､丙､丁四名志愿者分配到三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要一名志愿者，则不同的安排方法数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先分组，从4名志愿者中选2个人为一组，其余2个人各为一组，再排列，将分好的3组全排列，对应3个场地，根据分步乘法计数原理计算得解. 【详解】从4名志愿者中选2个人为一组，其余2个人各为一组，共有种选法， 将分好3组全排列，对应3个场地，共有种排法， 则满足题意的不同的安排方法数为种. 故答案为：. 13. 在平行六面体中，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，再根据向量运算求解即可. 详解】设，则， 所以 因为， 所以 故答案为： 14. 已知抛物线是的焦点，是上一个动点，点，动点满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得点的轨迹，进而得，再根据抛物线的定义转化求解即可. 【详解】设，因为点，动点满足， 所以，整理得， 即， 所以，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 因为抛物线，焦点，准线方程为， 过点准线的垂线，垂足为，则， 因为，当且仅当三点共线且在点之间时等号成立， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆过点，与直线相切于点. （1）求圆的方程； （2）若斜率为1的直线与圆交于，两点，，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆与直线相切于点，求出直线的方程，设出圆心坐标，进而求出圆心坐标及半径，即可得到圆的方程. （2）设出直线的方程，根据余弦定理及垂径定理求出圆心到直线的距离，进一步求解即可. 【小问1详解】 设圆的圆心为. 由题意可知，直线与直线垂直，所以. 所以直线的方程为，即. 可设圆心坐标为，则，即. 整理得，解得，则圆心坐标为，半径. 所以圆的方程为. 【小问2详解】 在中， ， 则. 设圆心到直线的距离为，根据垂径定理可知. 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离. 所以，即，解得或. 所以直线的方程为或. 16. 已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前20项的和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比中项解关于公差的方程得，再求解通项公式即可； （2）先根据累加法得，再结合等差数列求和公式，根据分组求和法求解即可. 【小问1详解】 解：根据题意，设是公差为，且, 因为，且成等比数列， 所以，即，即，解得. 所以，即的通项公式为. 【小问2详解】 解：因为，， 所以，，，…，， 所以，根据累加法得， 所以 又，满足， 所以， 所以数列的前20项的和为 ， 这是一个首项为3，末项为39，项数为10的等差数列求和， 所以数列的前20项的和为. 17. 如图，四棱锥中，与都是等腰直角三角形，，平面平面，，点在棱上. （1）证明：平面； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据几何关系证明，再结合面面垂直性质定理即可证明结论； （2）结合（1），建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【小问1详解】 与都是等腰直角三角形，，，， 所以，，， 所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面 【小问2详解】 因为平面，， 所以两两垂直，故如图建立空间直角坐标系， 则，， 由点在棱上，， 所以， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即，故， 因为平面， 所以，解得， 所以 设平面的一个法向量为， 因为，， 所以，即，故， 设直线与平面所成角为，因为 所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 18. 已知数列满足： （1）求的值； （2）若，证明：等比数列； （3）若，数列的前项和为，求不等式的解集. 【答案】（1）；； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系式直接计算可得结果； （2）先由递推关系可得，进而可得，再通过构造即可证明结论； （3）先由（2）的解析可得，进而可得及，从而可得并用裂项求和可得，再代入不等式可得不等式的解集. 【小问1详解】 因为，所以， ，所以. 【小问2详解】 因为，所以. 所以，所以，又因为， 所以，，故是等比数列是以2为公比，以4为首项的等比数列. 【小问3详解】 由（2）知是等比数列是以2为公比，以4为首项的等比数列. 所以，即，所以， ， . 所以. 代入不等式得， 即，，， 所以，因为，所以，即， 由指数函数的单调性可得，即，又因为，所以或. 故不等式的解集为. 19. 在平面直角坐标系中，已知动圆，动圆，.记动圆和动圆的公共点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）分别过作两平行直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，在轴上方. ①若四边形的面积为3，求直线的方程； ②将沿着轴翻折至，若三棱锥体积的最小值为，求二面角的大小. 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据题意得，进而根据双曲线的定义求解即可； （2）①先讨论斜率不存在时的情况得，再讨论斜率存在时的情况得，解方程即可得答案； ②设二面角的大小为，，进而求得三棱锥体积，再分斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由题知动圆的圆心为，半径为， 动圆的圆心为，半径为， 公共点满足，， 因为， 所以 所以，根据双曲线的定义得点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的双曲线. 所以焦距，，即，，， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 解：①当直线的斜率不存在时， 直线的方程分别为，，对应的，， 四边形为矩形，面积为； 所以直线的斜率存在，设为， 此时直线的方程为，直线的方程为， 四边形为梯形，面积，其中表示平行线之间的距离. 联立方程得， 因为在轴上方，则在轴下方， 所以，且，， 即，，， 所以，， 所以， 根据双曲线的对称性，， 所以， 因为到直线的距离为，即， 所以， 整理得，解得，即，满足， 所以直线的方程为. ②如图1，设，，垂足分别为，则，， 如图2，设二面角的大小为，， 则，，，， 在平面中，过点作，则， 所以是二面角的平面角，即， 所以到平面的距离为， 所以三棱锥体积为： 当直线的斜率存在时， ， 因为，，所以， 所以， 当直线的斜率不存在时，， 所以三棱锥体积， 因为三棱锥体积的最小值为， 所以，即， 因为，所以或. 综上所述，二面角的大小为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二年级第一学期期末考试 数学 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线.若，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 已知和是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 2个女生和2个男生站成一排合影，2个男生相邻的不同排法总数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 72 4. 双曲线一个焦点坐标为，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知等比数列的公比大于0，，，若，则正整数的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知圆台的上底半径和下底半径分别为1和2，侧面积为，则圆台外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设是椭圆：和双曲线：的公共焦点，是它们在第一象限的公共点，与双曲线的右支交于另一个点，若以为直径的圆过点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 除以2的余数为1 10. 已知等差数列公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B C. 若，则时取最小值 D. 若，则使的的最小整数为14 11. 边长为2的正方体中，动点满足，.则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 四面体的体积为 C. 设直线与所成角为，则的最大值为 D. 若直线与平面所成角的正弦值为，则点的轨迹长度为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 运动会期间，将甲､乙､丙､丁四名志愿者分配到三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要一名志愿者，则不同安排方法数为__________. 13. 在平行六面体中，，则__________. 14. 已知抛物线是的焦点，是上一个动点，点，动点满足，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆过点，与直线相切于点. （1）求圆的方程； （2）若斜率为1的直线与圆交于，两点，，求直线的方程. 16. 已知是公差不为0等差数列，，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前20项的和. 17. 如图，四棱锥中，与都是等腰直角三角形，，平面平面，，点在棱上. （1）证明：平面； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知数列满足： （1）求的值； （2）若，证明：是等比数列； （3）若，数列的前项和为，求不等式的解集. 19. 在平面直角坐标系中，已知动圆，动圆，.记动圆和动圆的公共点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）分别过作两平行直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，在轴上方. ①若四边形的面积为3，求直线的方程； ②将沿着轴翻折至，若三棱锥体积的最小值为，求二面角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $