精品解析：河南省新乡市辉县市第一民族学校2025-2026学年八年级上学期2月期末数学试题

2025-2026学年上学期阶段性期末评价 八年级数学（HS） 测试范围：上册全部 （满分：120分 考试时间：100分钟） 一、选择题．（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解． 【详解】的相反数是． 故选：A． 2. Lost time is never found again（岁月既往，一去不回）．在这句谚语的所有英文字母中，字母“i”出现的频数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了频数的定义：某一数据在一组特定数据中出现的次数，叫做在这组数据中出现的频数，掌握频数的定义是解题的关键． 根据频数的定义即可求解． 【详解】解：Lost time is never found again（岁月既往，一去不回）．在这句谚语的所有英文字母中，字母“i”出现了3次， ∴频数为3， 故选：C． 3. 阳光初级中学要调查在校1200名学生的睡眠情况，下列抽样方式合适的是（ ） A. 选取该校各班班长 B. 选取该校100名七年级的学生 C. 选取该校100名女生 D. 选取该校各班座位号尾数为5的学生 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抽样调查时收集数据的过程与方法，利用数据调查应具有随机性是解题的关键．抽样调查时要随机抽取，尽量使抽取的样本具有代表性和广泛性，由此可判断出符合题意的答案． 【详解】解：A. 选取该校各班班长，该抽取方式不合适，本选项不符合题意； B. 选取该校100名七年级的学生，该抽取方式不合适，本选项不符合题意； C. 选取该校100名女生，该抽取方式不合适，本选项不符合题意； D. 选取该校各班座位号尾数为5的学生，该抽取方式合适，本选项符合题意． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单项式乘以单项式法则，整式的加减，积的乘方，幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：因为，所以A正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D不正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，合并同类项，积的乘方，幂的乘方，理解结算法则是解题的关键． 5. 如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理计算斜边长度，从而得到两棋子之间的距离． 【详解】解：根据题意得，“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为：． 故选：C． 6. 在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（ ） A. SAS B. AAS C. ASA D. HL 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定解答．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段， 第二步为作线段， 在与中， ， ∴， 故选：D． 7. 如图，在边长均为个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积，关键是灵活应用知识点解题；先求出，然后利用三角形的面积的不同表示方法得到等积式求出边上的高. 【详解】解：设边上的高为，边上的高为， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 故选：D ． 8. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 9. 《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知、长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，则门的高度是（ ） A. 7尺 B. 8尺 C. 9尺 D. 10尺 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和一元二次方程，设门的高度为，门的宽度为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设门的高度为，则竹竿高为， 门的宽度比竹竿的长度少四尺， 门的宽度为：， 沿对角线斜着进，恰好通过，据此列方程： ， 即， 解得：或（舍）． 故选：B． 10. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质，关键是勾股定理的应用；根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵图①中所有正方形的面积和为：； 第一次操作后所有正方形的面积和为：； 第二次操作后所有正方形的面积和为：； …… 第次操作后所有正方形的面积和为：； ∴当时，， 故选：C ． 二、填空题（每小题3分，共15分）． 11. 若，则整数可以是________（写出满足条件的一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据二次根式的概念把原式变形为即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴整数可以是5． 故答案为：5（答案不唯一）． 12. 如图是甲、乙两组同学根据本组最近次数学平均成绩分别绘制成的折线统计图，由统计图可知______组进步较大（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，关键是正确识别图形信息；根据图形反馈信息进行判断即可. 【详解】解：∵甲组的成绩变化从到，乙组的成绩变化是从到， ∴乙组进步更大； 故答案为：乙． 13. 爱护森林人人有责，如图1，这是山西某中学森林小队为该地区森林鸟类安装的木屋，木屋为轴对称图形，木屋的相关数据（单位：cm）如图2所示，则屋顶A到地面B的距离为____________cm． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，等腰三角形的性质，勾股定理．根据等腰三角形的性质结合图形求得，利用勾股定理求得，结合图形即可求解． 【详解】解：∵木屋为轴对称图形， ∴是等腰三角形， 作，垂足为， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴屋顶A到地面B的距离为， 故答案为：40． 14. 如图，在中，，，，，点E为上一点，交于点F，当时，图中阴影部分的面积为______． 【答案】54 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积计算方法等知识点，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．先证明，则，由勾股定理求出，再利用割补法即可得到阴影部分面积． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴图中阴影部分面积． 故答案为：54． 15. 如图，在中，，，是边上的一个动点，连结，将沿折叠得到，点的对应点为．当为直角三角形时，的长为______． 【答案】1或7 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及折叠的性质． 先通过等腰三角形三线合一求出相关线段的长度，再根据折叠的性质得到，，．由于当为直角三角形，且，因此只能，分点在上方或者下方来讨论即可． 【详解】解：过点作于点，延长交于点． ，， ， ， 由折叠可得，，． 当为直角三角形时，只能， ∴， 当点在上方时： ，， ， ， ， ； 当点在下方时： ，， ， ， ， ； 综上所述，的长为1或7， 故答案为：1或7．　 三、解答题．（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）化简：． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法和整式的混合运算： （1）直接开方求解； （2）先去括号再合并同类项． 【详解】解：（1）， ， 即或， 解得：或． （2） ． 17. 某校在寒假期间开展“心怀感恩，孝敬父母”的实践活动，并随机抽取了部分学生就寒假“平均每天帮助父母干家务所用时长”进行了调查，列出了下面的频数分布表： 时长（分钟） 频数 百分比 （1）求在本次随机抽取的样本中调查的学生人数； （2）求表中，的值． 【答案】（1）人 （2）， 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，用样本估计总体，从统计表中获取正确的信息是解决问题的关键． （1）根据时长的频数与百分比，即可求出调查的学生人数； （2）用调查的学生人数减去已知的各组的频数，即可求得的值，用除以调查的学生人数即可得到的值． 【小问1详解】 解：在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是（人）． 答：调查的学生人数为人． 【小问2详解】 解：由题意得， ． 18. 如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点两点嵌有一圈长度最短的金属丝． （1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______； （2）求该金属丝的长． 【答案】（1）C （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求金属丝的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：因为圆柱的侧面展开图为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故答案为：C； 【小问2详解】 如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度， ∵圆柱底面的周长为， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，得， ∴该金属丝的长． 19. 如图，已知． （1）用尺规利用作，使得，且和在直线的同一侧（不写作图过程，保留作图痕迹）； （2）连接，求证：． 【答案】（1） 解：如图， （2） 证明：∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定，关键是熟练应用知识点解题； （1）以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求； （2）由可得，，，结合即可论证得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 学校为了响应国家“五育并举”的号召，增强学生体质，计划开展阳光体育锻炼活动．学校准备开设以下四个球类项目：（羽毛球），（乒乓球），（篮球），（排球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目，某数学兴趣小组想了解全校学生对四个项目的选择情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下统计图，请你结合图中信息解答下列问题： （1）本次调查的学生人数是______人； （2）求本次调查的学生中选择（乒乓球）的人数，并把条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，对应的圆心角为______度； （4）已知该学校共有名学生，请根据样本估计全校选择篮球的人数是多少． 【答案】（1）； （2）人， 补全条形统计图如图所示； （3）； （4）人． 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据选择的人数和所占的百分比，求出调查的总学生； （2）用总学生减去其他学生数，求出选择的学生， 即可补全统计图； （3）根据（2）中选择的人数，用乘以所占总人数的百分比即可得出部分所对应的圆心角度数； （4）用乘以所占总人数的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：（名）， 即本次调查的学生人数是人， 故答案为：； 【小问2详解】 本次调查的学生中选择（乒乓球）的人数为（人） 【小问3详解】 图②中部分所对应的圆心角度数是：， 故答案为：； 【小问4详解】 （人）， 答：估计全校选择篮球的人数是人． 21. 《国务院关于印发全民健身计划（2021—2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处．已知m，m 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 【答案】m 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，先计算，再计算，最后相减即可得到． 【详解】解：由题意可知， 在中， ，， ， 在中， ，， ， ∴． 22. 综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 阅读材料1：初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容， 在数与代数领域也有推理或证明的内容．有很多小学数学学习过的结论，初中阶段可以论证结论的正确性，让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理能力，培养科学精神．（阅读材料来源于2022年版义务教育《数学课程标准》144页） 阅读材料2：华东版教材50页有一道练习题：两个连续整数的平方差必是奇数，请说明理由．师生一起研讨，理由如下： 设这两个连续整数为n、，其中n为整数． ∴______． ∴它必是奇数． （1）任务一：填空：上面横线上所缺内容是______； （2）任务二：证明：两个连续偶数的平方差必是4的倍数． （3）任务三：设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：设两个连续偶数为  和 （ 为整数）， ∴ 是 4 的倍数； （3） 解：四位数  可表示为： 其中  是 3 的倍数； 若  能被 3 整除，则整个数可表示为两个 3 的倍数之和， 因此  能被 3 整除． 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）用平方差公式展开，即可求解； （2）设两个连续偶数为  和 （ 为整数），根据平方差公式展开即可求解． （3）四位数  可表示为：，若  能被 3 整除，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设这两个连续整数为，其中为整数． ∴． 它必是奇数 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 【问题提出】如图，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （1）在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图，若点在边上，求证：． ②如图，若点在边的延长线上，线段之间的数量关系为______，并加以说明． （2）如图，在等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为______．（直接写出结论不用说明理由） 【答案】（1）①见解析；②，见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）①如图，过点作，交于点，易证是等边三角形，得出，证明，得出，即可得出结论； ②如图，过点作，交于点，易证是等边三角形，得出，证明，得出，即可得出结论； （2）先根据等边的性质结合三角形的内角和定理和外角的性质推出，再如图，在上截取，连接，易证是等边三角形，证明，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①证明：如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ② 证明：如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，． 又∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴，． ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形全等的性质和判定，三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期阶段性期末评价 八年级数学（HS） 测试范围：上册全部 （满分：120分 考试时间：100分钟） 一、选择题．（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. B. 5 C. D. 2. Lost time is never found again（岁月既往，一去不回）．在这句谚语的所有英文字母中，字母“i”出现的频数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 阳光初级中学要调查在校1200名学生的睡眠情况，下列抽样方式合适的是（ ） A. 选取该校各班班长 B. 选取该校100名七年级的学生 C. 选取该校100名女生 D. 选取该校各班座位号尾数为5的学生 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 6. 在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（ ） A. SAS B. AAS C. ASA D. HL 7. 如图，在边长均为个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知、长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，则门的高度是（ ） A. 7尺 B. 8尺 C. 9尺 D. 10尺 10. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分）． 11. 若，则整数可以是________（写出满足条件的一个即可）． 12. 如图是甲、乙两组同学根据本组最近次数学平均成绩分别绘制成的折线统计图，由统计图可知______组进步较大（填“甲”或“乙”）． 13. 爱护森林人人有责，如图1，这是山西某中学森林小队为该地区森林鸟类安装的木屋，木屋为轴对称图形，木屋的相关数据（单位：cm）如图2所示，则屋顶A到地面B的距离为____________cm． 14. 如图，在中，，，，，点E为上一点，交于点F，当时，图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在中，，，是边上的一个动点，连结，将沿折叠得到，点的对应点为．当为直角三角形时，的长为______． 三、解答题．（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）化简：． 17. 某校在寒假期间开展“心怀感恩，孝敬父母”的实践活动，并随机抽取了部分学生就寒假“平均每天帮助父母干家务所用时长”进行了调查，列出了下面的频数分布表： 时长（分钟） 频数 百分比 （1）求在本次随机抽取的样本中调查的学生人数； （2）求表中，的值． 18. 如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点两点嵌有一圈长度最短的金属丝． （1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______； （2）求该金属丝的长． 19. 如图，已知． （1）用尺规利用作，使得，且和在直线的同一侧（不写作图过程，保留作图痕迹）； （2）连接，求证：． 20. 学校为了响应国家“五育并举”的号召，增强学生体质，计划开展阳光体育锻炼活动．学校准备开设以下四个球类项目：（羽毛球），（乒乓球），（篮球），（排球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目，某数学兴趣小组想了解全校学生对四个项目的选择情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下统计图，请你结合图中信息解答下列问题： （1）本次调查的学生人数是______人； （2）求本次调查的学生中选择（乒乓球）的人数，并把条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，对应的圆心角为______度； （4）已知该学校共有名学生，请根据样本估计全校选择篮球的人数是多少． 21. 《国务院关于印发全民健身计划（2021—2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处．已知m，m 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 22. 综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 阅读材料1：初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容， 在数与代数领域也有推理或证明的内容．有很多小学数学学习过的结论，初中阶段可以论证结论的正确性，让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理能力，培养科学精神．（阅读材料来源于2022年版义务教育《数学课程标准》144页） 阅读材料2：华东版教材50页有一道练习题：两个连续整数的平方差必是奇数，请说明理由．师生一起研讨，理由如下： 设这两个连续整数为n、，其中n为整数． ∴______． ∴它必是奇数． （1）任务一：填空：上面横线上所缺内容是______； （2）任务二：证明：两个连续偶数的平方差必是4的倍数． （3）任务三：设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除，请说明理由． 23. 【问题提出】如图，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （1）在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图，若点在边上，求证：． ②如图，若点在边的延长线上，线段之间的数量关系为______，并加以说明． （2）如图，在等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为______．（直接写出结论不用说明理由） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $