精品解析：湖北云学联盟2025-2026学年高三下学期2月阶段训练数学试卷

2026年高三年级2月阶段训练 数学试卷 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 6 3. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. （－10，6） C. D. 4. 已知命题：“记等差数列的前 项和为，若，则为定值”为真命题，则可推出（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知函数及其导函数定义域均为，则“图象关于中心对称”是“图象关于直线轴对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 记函数，其中，若在恰有两个零点，且，则函数在上的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱柱中，，点在平面的射影为点，若点在平面上运动，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知函数的定义域是，是的导数．，对 ，有（是自然对数的底数）．不等式的解集是 A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在某次联考中，全体物理方向高三学生数学成绩，此次联考物理方向数学一本线为80分，清北线为140分．已知：若，则，则下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 服从标准正态分布 B. C. 从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为 D. 从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为 10. 已知抛物线的焦点 ，直线与抛物线交于两点.分别作抛物线在两点处的切线，两切线交于点为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若过焦点 ，则最小值为4 B. 若过焦点 ，则一定为直角三角形 C. 若中点的横坐标为4，则最大值为12 D. 若点在直线 上，则 11. 若数列满足：，则称数列为有限稳定数列，记为数列前 项和，下列结论正确的是（ ） A. 首项为1，公比为的等比数列是有限稳定数列 B. 若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列，其公比的取值范围为（0，1） C. 若数列满足，则数列是有限稳定数列 D. 若数列是有限稳定数列，则数列是有限稳定数列 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知平面向量，若，则_____． 13. 已知直线与函数的图象相切，则实数_____． 14. 已知 是双曲线上不同的三点，点关于坐标原点对称，且，过点作垂直于轴的直线分别交双曲线，直线于两点，若，则双曲线的离心率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，是圆的直径，垂直于圆所在平面，是圆周上不同于，的任意一点，为的中点，且 ， （1）求证：平面 平面 ； （2）若三棱锥 的外接球球心为，求平面 与平面 夹角的余弦值． 16. 已知分别是锐角三个内角的对边，且，． （1）求的值； （2）求面积的取值范围． 17. 在篮球训练场上，教练甲指导三名学员进行传球训练，训练开始时，篮球在教练甲手中．由甲开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员其中一人，学员接球后，将篮球传出，传给教练甲的概率为，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递． （1）若四人进行了4次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望； （2）设表示经过 次传球后篮球在手中的概率，求． 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，焦距为，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于 两点． （ⅰ）若 中点为，点是椭圆上的动点，且满足：，证明的面积为定值； （ⅱ）若点为的外心，且在直线上，求点到直线的距离的最大值． 19. 已知函数， （1）求的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三年级2月阶段训练 数学试卷 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域化简集合，解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，且，， 所以. 故选：C 2. 若复数满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】复数对应的点的轨迹为为圆心，半径 的圆，设为坐标原点，求得，可求的最大值. 【详解】设，由，可得， 所以复数对应的点的轨迹为为圆心，半径 的圆， 设为坐标原点，可得，所以的最大值为. 故选：C. 3. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. （－10，6） C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可. 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 4. 已知命题：“记等差数列的前 项和为，若，则为定值”为真命题，则可推出（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设 ，用表示即可 【详解】设 ，则可化为， 整理得，，即， 又，代入得 若为定值，则，即 故选：A 5. 已知函数及其导函数定义域均为，则“图象关于中心对称”是“图象关于直线 轴对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用中心对称、轴对称的意义及复合函数求导法则，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由函数图象关于中心对称，得，求导得， 即，因此函数图象关于直线 轴对称； 令函数，则，函数图象关于直线 轴对称， 而函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得， 又函数的图象关于点 中心对称，因此函数图象关于 中心对称， 所以“图象关于中心对称”是“图象关于直线 轴对称”的充分不必要条件. 故选：A 6. 记函数，其中，若在恰有两个零点，且，则函数在上的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据零点个数得，再根据，结合三角函数的图象与性质，求得， 或， ，从而得到，再根据三角函数在指定区间上的单调性得到答案. 【详解】因为函数，其中，若在恰有两个零点， 所以， 所以， 所以， 又因为，即， 所以或， 解得， 或， ， 结合，所以符合题意， 所以， 又因为当，， ，即 所以的单调增区间为 函数在上的单调增区间为， 故选：D. 7. 在三棱柱中，，点在平面的射影为点，若点在平面上运动，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】的最小值即为点到平面的距离h，利用求解. 【详解】依题意，的最小值即为点到平面的距离h， 因为平面，平面，故， 因为， ，； 由余弦定理，， 故，所以； 因为平面， 平面，所以， 则， ， 又 ，故为等边三角形，则， 故， 而，故． 故选：B. 8. 已知函数的定义域是 ，是的导数．，对 ，有（是自然对数的底数）．不等式的解集是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性，结合 求解即可. 【详解】不等式等价于， 令，则， 令，则， 当 时， ，当 时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 所以，所以函数在区间 上单调递减， 又 ，所以不等式，即原不等式的解集为. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在某次联考中，全体物理方向高三学生数学成绩，此次联考物理方向数学一本线为80分，清北线为140分．已知：若，则，则下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 服从标准正态分布 B. C. 从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为 D. 从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助正态分布中的意义与标准正态分布的意义可判断A；利用正态分布的性质计算即可得的值可判断B；由正态分布的性质可得，，结合相互独立事件的概率公式及条件概率公式计算即可判断CD. 【详解】对于A，因为，则， 若随机变量，则 服从标准正态分布， 故时， 才服从标准正态分布，故A错误； 对于B，， ， 由正态分布的对称性可得， 所以，故B正确； 对于C，由， 可得， 所以从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为： ，故C正确； 对于D，由，可得， 所以， 又，所以由条件概率公式可得， 所以从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点.分别作抛物线在两点处的切线，两切线交于点为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若过焦点，则最小值为4 B. 若过焦点，则一定为直角三角形 C. 若中点的横坐标为4，则最大值为12 D. 若点在直线 上，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式求解判断A；求出切线方程并求出切点坐标，利用向量垂直的坐标表示判断BD；利用抛物线定义求出弦长最大值判断C. 【详解】抛物线的焦点，设， 对于A，直线方程为 ，由，得 ，则， ，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，设抛物线在点处切线方程为，由， 得，则，解得， 该切线方程为，即，同理抛物线在点处切线方程为 ，联立得点，， ，因此，为直角三角形，B正确； 对于C，由中点的横坐标为4，得 ，则， 当且仅当点共线时取等号，C错误； 对于D，由点在直线 上，得，即，而， ，因此，D正确. 故选：ABD 11. 若数列满足：，则称数列为有限稳定数列，记为数列前 项和，下列结论正确的是（ ） A. 首项为1，公比为的等比数列是有限稳定数列 B. 若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列，其公比的取值范围为（0，1） C. 若数列满足，则数列是有限稳定数列 D. 若数列是有限稳定数列，则数列是有限稳定数列 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，列出该数列相邻两项差绝对值和式子观察即可；对B，找出该等比数列公比为1时，也满足有限稳定数列条件，排除即可；对C，取，计算该数列是否是有限稳定数列；对D，数列是有限稳定数列，则有界，根据证明即可. 【详解】对A，设， 则相邻两项差的绝对值， 设， 则，故该数列是有限稳定数列，A对； 对B，若该等比数列公比为1，则相邻两项差为0，是有限稳定数列， 因此公比的取值范围应为 ，故B错； 对C，取，满足， 但相邻两项差绝对值和，随n增大趋向于无穷大，无界， 因此该数列不是有限稳定数列，C错； 对D， 若数列是有限稳定数列，有界，进而有界， 而， 所以有界，即数列是有限稳定数列，D对. 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知平面向量，若，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算求参数，进而分类求解即可. 【详解】根据题意，又，则， 所以，解得或 . 当时，，则； 当 时，，则. 故答案为：或. 13. 已知直线与函数的图象相切，则实数_____． 【答案】## 【解析】 【分析】设函数在点处的切线为，根据导数的几何意义列式计算可求得. 【详解】设函数在点处的切线为， 函数的定义域为. 由，得，所以， 所以，解得（舍去）或 . 又，所以切点为， 又切点在直线上，所以，解得. 故答案为：. 14. 已知 是双曲线上不同的三点，点关于坐标原点对称，且，过点作垂直于轴的直线分别交双曲线，直线于两点，若，则双曲线的离心率为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由双曲线第三定义得，分别找到直线 斜率计算即可 【详解】设，，由题意得，， 因为，所以，， 又，即，两边平方并整理得， 即，所以， 由双曲线第三定义得， 即，整理得， 解得 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，是圆的直径，垂直于圆所在平面，是圆周上不同于，的任意一点，为的中点，且 ， （1）求证：平面 平面 ； （2）若三棱锥 的外接球球心为，求平面 与平面 夹角的余弦值． 【答案】（1）因为是圆的直径，所以，所以， 因为垂直于圆所在平面， 在圆所在平面内，所以 ， 又 ， 平面 ，所以 平面 . 又 平面 ，所以 ， 又因为 ，为的中点，所以 ， 又 ， 平面 ，所以平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知可证得 平面 ，可得 ，进而可证平面 ，可证结论； （2）由（1）可得球心为 的中点，以为坐标原点， 所在直线为 轴，过作的平行线为轴建立空间直角坐标系，求得平面 的一个法向量与平面 的一个法向量，利用向量法可求得平面 与平面 夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知 平面 ，又 平面 ，所以 ， 所以与 是有公共斜边 的直角三角形， 所以 是三棱锥 的外接球的直径，所以球心为 的中点， 以为坐标原点， 所在直线为 轴，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，则 ， 所以 ， 设平面 的法向量为， 则，令 ，得 ， 所以平面 的一个法向量为 ， 设平面 的法向量为， ，令 ，得 ， 所以平面 的一个法向量为 ， 因为平面 即为平面 ，所以平面 的一个法向量为 ， 设平面 与平面 所成的夹角为， 则， 所以平面 与平面 夹角的余弦值为． 16. 已知分别是锐角三个内角的对边，且，． （1）求的值； （2）求面积的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出，再由已知条件结合正弦定理求得； （2）先根据正弦定理求出的关系式，然后根据的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可求得其面积的范围. 【小问1详解】 在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， 【小问2详解】 由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 17. 在篮球训练场上，教练甲指导三名学员进行传球训练，训练开始时，篮球在教练甲手中．由甲开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员其中一人，学员接球后，将篮球传出，传给教练甲的概率为，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递． （1）若四人进行了4次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望； （2）设表示经过 次传球后篮球在手中的概率，求． 【答案】（1） 0 1 2 （2） 【解析】 【分析】（1）设教练甲接球次数为，可取 ，再求出、的概率，根据得到的概率，写出分布列并计算期望即可； （2）设表示经过 次传球后篮球在教练甲手中的概率，则，即，进而得到，再由传给学员的概率相等，即可得到． 【小问1详解】 设教练甲接球次数为，可取 ， 球在学员手中，传给教练甲的概率为，传给其他学员的概率为， ， ， 分布列为： 0 1 2 数学期望； 【小问2详解】 设表示经过 次传球后篮球在教练甲手中的概率， ， 且， 即， 则数列是首项为，公比为的等比数列， ，即， 又传给学员的概率相等， ． 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，焦距为，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于 两点． （ⅰ）若 中点为，点是椭圆上的动点，且满足：，证明的面积为定值； （ⅱ）若点为的外心，且在直线上，求点到直线的距离的最大值． 【答案】（1） ； （2）（ⅰ）设点，当直线的斜率不为0时，设其方程为， 由，得， ，， ， 原点到直线 的距离，， 由 中点为，，得点是的重心，则点， 由点在椭圆上，得，又， 则，即， 整理得，即，则， 因此的面积， 当直线的斜率为0时，点或，直线的方程为或， 线段，点到直线的距离为，， 所以的面积为定值. （ⅱ）2. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可. （2）（ⅰ）当直线的斜率不为0时，设其方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出 的面积关系式，再由已知结合三角形重心定理求得，进而求出的面积，然后求出直线的斜率为0的三角形面积即可；由（ⅰ）求出点的横坐标，进而得到及范围，再利用点到直线距离公式，结合函数单调性求出最大值. 【小问1详解】 依题意，椭圆的半焦距， 由椭圆的离心率为，得，， 所以椭圆的方程为 . 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）当直线的斜率为0时，线段 的中垂线为轴，不符合题意，点 ， 由（ⅰ）得线段的中点，的中点，， 线段的中垂线方程为，即， 同理线段的中垂线方程为， ， 由的外心在直线上，得，解得， 而，则，解得或， 因此点到直线的距离为， 令，当时，在上递减， 则当 ，即时，，；当时， 在上递增，，又，因此， 所以点到直线的距离的最大值2. 【点睛】 19. 已知函数， （1）求的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若且，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明：由得，则. 要证，可证 ， 即证. 令，即证， 即证. 先证明， 令，则只需证明， 又易证 ， 所以， 所以在上单调递减，则， 即. 再证明， 令，则只需证明. 因为， 所以在上单调递增，则， 即. 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域及导数，然后讨论函数的单调性，即可得到的最小值. （2）先根据题意构造函数，对其求导后，根据实数的不用取值进行分类验证，即可得到实数的取值范围. （3）先根据得到关于的方程，然后根据得到的方程将要证明的不等式转化为单变量不等式，再利用导数分析单调性即可证明. 【小问1详解】 已知，对其求导可得， 令，解得. 当变化时，，的变化情况如下表： 极小值 所以， 故的最小值为. 【小问2详解】 设， 则. 令，则. （i）当时，因为，则，， 所以在上恒成立； （ii）当时，，所以在上递增， 所以，所以在上递增， 所以在上恒成立； （iii）当 时，，所以在上递增， 因为，， 所以在上存在唯一零点，， 所以当时，，则当时，，不满足条件. 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $