5.3.1函数的单调性同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.1函数的单调性 （2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册） 一、单选题 1．函数，则（    ） A． B． C． D．关系不确定 【答案】C 【分析】求得，结合导数的符号，即可求得的单调区间,进而可判断结果. 【详解】解：由已知可得， 令，解得． 当时，；当时，； 故在上单调递减，在上单调递增． 因为，所以. 故选：C 2．若函数的单调递减区间为，则（    ） A． B． C．16 D．27 【答案】A 【分析】根据导数分析单调性，结合二次不等式的解集与系数关系求解即可. 【详解】由题意，且的解集为， 故，解得，故. 故选：A 3．（2023高考·北京）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，，又 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，, 所以在上单调递减，故B错误； 对于C， ,所以在上单调递增，故C正确； 对于D，当时， ,, 在上单调递减，显然在上不单调，D错误. 故选：C. 4．已知函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由导数知识可得在R上单调递增，然后比较三者大小关系结合单调性可得答案. 【详解】，则在R上单调递增. 又，， 注意到，则，则， 因为在R上单调递增.所以，即. 故选：A 5．设函数的导数为，且为偶函数，，则不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，求得导数，判断的单调性，结合的奇偶性，可得所求结论. 【详解】设，则， 可得在上递增，又为偶函数， 则，， ，， 由，可得， 即有. 故选：B. 点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 6．（2023高考·新课标Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 二、多选题 7．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是增函数 【答案】AC 【分析】根据函数的导函数图象，即可逐项判断. 【详解】对A：由导函数的图象知在区间上，，故在区间上单调递减，故A项正确； 对B、D：在区间，上分别有大于零和小于零的部分，故在区间，上不单调，故B、D项错误； 对C：在区间上，，所以函数在区间上单调递增，故D项正确. 故选:AC. 8．设函数，若不等式对任意的恒成立，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】求得，得到函数的单调性，把转化为在上恒成立，结合二次函数的性质和不等式的解法，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 因为，且，则且， 所以不等式对任意的恒成立等价于 不等式，恒成立， 即在上恒成立， 设，当时，可得， 所以，解得，即， 结合选项，可得选项C、D符合题意. 故选：CD. 三、填空题 9．函数，则函数的单调增区间为 ． 【答案】和 【分析】利用导数求已知函数的单调增区间即可. 【详解】函数的定义域为. . 令，则.解得，或. 所以函数的单调增区间为和. 故答案为：和. 10.设是定义在上的奇函数的导函数，且，当，， 则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】构造函数，可得出函数为偶函数，且，利用导数分析出函数在上为减函数，再由可得出，由偶函数的性质得出，可得出，解出该不等式即可. 【详解】构造函数，函数为奇函数，则函数为偶函数， 所以，，且. 又，当时，，此时，. 所以，函数在上为减函数，由，得， 由于函数为偶函数，则有，，解得或. 因此，不等式的解集为. 故答案为. 四、解答题 11．已知函数. (1)若在点处的切线与直线平行，求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【分析】（1）由在点处的切线与直线平行，求出，再求出点处的斜率和坐标，利用点斜式得到切线方程. （2）求出导函数，对参数进行分类讨论即可得到函数的单调区间. 【详解】（1）, 由题意，，即， 所以，所以切点为，斜率, 所以在点处的切线方程为， （2）函数的定义域为， 当时，恒成立， 所以单调递增区间为，无单调减区间； 当时，令，解得，令，解得， 所以单调递增区间为，单调减区间为. 12．已知函数，. (1)，求的单调区间； (2)若方程有两个解，求的取值范围； 【分析】（1）求导，讨论两种情况的单调性即可； （2）由方程有两个解，则有两个解，令，通过导数求函数的单调性即可. 【详解】（1）由题意，函数定义域为， ，， 当时，恒成立，即在单调递增； 当时，令，则；令，则； 所以在单调递减，在单调递增. 综上所述，当时， 的单调递增区间为； 当时， 的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）方程有两个解，即函数与函数的图像有两个交点， 法1：过点O(0,0)作的图像的切线，设其切点坐标为,则 , ,所以切线的斜率 ,又 , 解得： ,所以切线的斜率 根据函数图像特征知：直线与函数的图像有两个交点，则有： . 法2：方程有两个解，即亦即有两个解。 令，则， 令，则，在单调递增； 令，则，在单调递减； 所以函数的最大值为， 如图所示，所以的取值范围为.    13．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)令，若函数的图象与相切，求的值. 【分析】（1）求出导函数，按照和分类讨论判断的单调性即可； （2）由题意，求出导函数，设切点坐标为，利用列式求解即可. 【详解】（1）函数的定义域是：. , ①当时，在上恒成立，所以在上单调递增； ②当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增. （2），设切点坐标为， 则，消去得 ① 令, 所以函数在上单调递增，又 所以方程①的解是： 所以，解得. 14．已知函数 ，其中为常数，且. (1)当时， 求曲线在点处的切线的斜率； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在上单调递减，请直接写出a的取值范围. 【分析】（1）求出导函数，然后根据导数的几何意义求解切线方程，即可求解斜率； （2）求出导函数，按照和分类讨论，解导数不等式即可求解单调区间； （3）根据（2）的单调减区间，利用区间关系列不等式求解即可得解. 【详解】（1）当 时，函数，令得，即切点坐标为 ， 又 则 即切线斜率 ， 故切线方程为 ，即， 则曲线在点处的切线的斜率为2. （2）函数的定义域为 ，， ①当 时， 恒成立，故函数的单调增区间为 ； ②当 时， 令 解得 ， ，随x的变化情况如下表: x 0 单调递增 y极大值 单调递减 所以函数的单调增区间为，单调减区间为 综上所述，当 时，函数的单调增区间为 ； 当 时，函数的单调增区间为 ，单调减区间为 （3）因为函数在上单调递减，所以由（2）可知且， 解得 ，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.1函数的单调性 （2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册） 一、单选题 1．函数，则（    ） A． B． C． D．关系不确定 2．若函数的单调递减区间为，则（    ） A． B． C．16 D．27 3．（2023高考·北京）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．设函数的导数为，且为偶函数，，则不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023高考·新课标Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 二、多选题 7．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是增函数 8．设函数，若不等式对任意的恒成立，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．函数，则函数的单调增区间为 ． 10.设是定义在上的奇函数的导函数，且，当，， 则不等式的解集是 . 四、解答题 11．已知函数. (1)若在点处的切线与直线平行，求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 12．已知函数，. (1)，求的单调区间； (2)若方程有两个解，求的取值范围； 13．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)令，若函数的图象与相切，求的值. 14．已知函数 ，其中为常数，且. (1)当时， 求曲线在点处的切线的斜率； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在上单调递减，请直接写出a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $