5.3.1 函数的单调性 练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.1函数的单调性 练习 一、单选题 1．已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 4．已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．“”是“函数在区间上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 7．函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 8．设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   10．函数，下列说法正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．是奇函数 C．在区间上的值域为 D．若方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为 11．已知函数，则（    ） A．当时，函数在上单调 B．当时，函数在上不单调 C．当时，函数在上不单调 D．当时，函数在上单调 三、填空题 12．若函数同时满足①；②在区间上单调递减；③在区间上单调递增. 则符合条件的_____. (写出一个符合条件即可) 13．已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 14．如图所示为函数的图象，则不等式的解集为_____    四、解答题 15．已知函数，． (1)求函数的单调性； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 16．已知函数． (1)当时，证明：在上存在唯一零点； (2)证明：在上恒成立的充要条件是． 17．已知函数，其中． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； (3)若R，对任意的恒成立，求的最小值． 18．已知函数． (1)若函数存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A D B C B B ABC BD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】利用分段函数的单调性法则可得答案. 【详解】要使函数在上为增函数，需满足以下条件： （1）在上单调递增， 当时，为开口向下的二次函数， 需对称轴； （2）由在上单调递增， 当时，，， 得：对任意恒成立， 即对任意恒成立，令， 对任意恒成立， 所以在上单调递增，，故； （3）在处的左极限小于等于在处的右极限， 所以，即， 即：.综上：，即. 2．D 【分析】根据可构造函数，将转化为的函数值间的大小比较，根据导数研究的单调性，进而可得关于的不等式，解不等式即可. 【详解】设，则. 因为，所以，即，所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得. 3．A 【分析】求出函数的导数，再求出导函数的值大于0的不等式解集即可. 【详解】函数，求导得， 由，解得或， 所以所求递增区间是. 故选：A 4．D 【分析】利用解方程组法可得，由单调性可得在内恒成立，参变分离结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 联立方程，消去可得， 因为为增函数， 则在内恒成立，即在内恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以a的取值范围是. 故选：D. 5．B 【分析】根据函数的单调性与导数的关系以及充要条件的判断即可求解. 【详解】若在区间上单调递减， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，故，， 因函数在上单调递增，故，所以； 若，因，则，则函数在上单调递减.” 故“”是“函数在区间上单调递减”的充要条件. 故选：B. 6．C 【分析】由导数与单调性的关系判断即可. 【详解】由函数的图象可知： 当时，，，此时单调递增； 当时，，，此时单调递减； 当时，，，此时单调递减； 当时，，，此时单调递增．故C满足． 7．B 【分析】根据函数的导数大于0可得增区间. 【详解】因为，. 则， 由，解得，此时单调递增. 故选：B 8．B 【分析】构造函数，将不等式转化为，根据的单调性求解. 【详解】构造，对其求导， ， 已知，且，因此，即在上单调递增. 已知，代入得： ， ， 两边同乘(即)，得： ， 根据的定义，左边即为，因此不等式等价于： ， 因为单调递增，所以， 解得， 又因为中，故解集为. 故选：B 9．ABC 【分析】结合原函数与导函数的关系依次判断即可． 【详解】对于A，有可能二次函数为原函数，直线为导函数，原函数先增后减，导函数先正后负，符合要求，故A正确； 对于B，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故B正确； 对于C，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故C正确； 对于D，无论谁作导函数，谁作原函数，都无法同步，故D错误. 故选：ABC. 10．BD 【分析】利用求导来判断三次函数的单调区间，从而可判断A,利用的解析式可判断B，利用三次函数的单调性求值域可判断C，利用函数零点个数可判断D. 【详解】对于A，由， 当，得或，即在上单调递增， 当，得，即在上单调递减， 从而可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A错误； 对于B，由， ，所以是奇函数，故B正确； 对于C，由在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且， 所以在区间上的值域为，故C错误； 对于D，由在上单调递增，在上单调递减， 且，当，，当，， 所以方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为，故D正确； 故选：BD 11．BCD 【分析】首先求，之后对的分子部分单独构造函数，接着分类讨论研究的正负，进而得到的单调性. 【详解】，， 令，． ①当时，， 则当时，， 即，当时，则，即， 所以此时函数在上不单调，故A错误； ②当时，， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以此时函数在上不单调，故B正确； ③当时，， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以此时函数在上不单调， 当时，， 则当时，，即， 当时，，即， 所以在上不单调， 所以当时，在上不单调，故C正确； ④当时，，此时恒成立， 函数在上单调递减，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，解题思路如下： （1）先对函数求导； （2）结合函数定义域，研究导函数分子的符号； （3）对参数进行讨论； （4）得到函数在相应区间上的单调性； （5）逐项分析，得到答案. 12．（答案不唯一） 【分析】已知所给函数性质找出函数验证条件即可. 【详解】由得：， 令，则，所以函数为奇函数. 所以所求函数要满足： ①为奇函数；②在区间上单调递减；③在区间上单调递增. 例如：. 由 ，满足①， 由， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故满足②③, 所以函数满足题意. 13． 【详解】由题意得， 因，则， 由 可得， 因正弦函数在上单调递增，则，即. 故在上单调递减的区间为． 14． 【分析】利用图象判断的单调性，进而得到的正负，最后求出不等式解集即可. 【详解】由图象得在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，， 若，则当时，或当时，， 当，时，解得， 当，时，解得， 综上可得不等式的解集为. 故答案为： 15．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）应用分类讨论，利用导数研究的区间单调性，即可解得； （2）将问题化为在上恒成立，再应用导数求右侧的最值求参数范围. 【详解】（1）由已知，，， 当时，， 令的图象开口向下，且， 所以时，，即，则在上单调递增， 时，，即，则在上单调递减； 当时，，则， 所以时，，则在上单调递增， 时，，则在上单调递减； 当时，的图象开口向上，且， 或时，，即， 则在，上单调递增， 时，，即， 则在上单调递减． 当时，的图象开口向上，且且不恒为0， 此时，即，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增； （2）在上单调递减， 时，恒成立，即恒成立， ，而， ，， ， ，故a的取值范围是． 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先利用导数判断函数的单调性，再结合特殊点的函数值，根据零点存在定理推导零点的唯一性。 （2）先由时推出的范围，再分和两种情况，通过求导分析单调性，证明时，，即充分性. 【详解】（1）当时，， ∵， ∴在R上单调递减， 又∵， ∴在R上有唯一零点． （2）必要性：因为时，， 所以，即，所以， 充分性：当时，， 令，则，， ①当时，， 当且仅当时，， 所以在上单调递增， 故，所以， ②当时，记，则， 因为，，， 又因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上存在、，使，，且，， 所以当或时，；当时，， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 又因为，，， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，而，，所以， 所以，所以. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）求导得出斜率并用点斜式即可求解； （2）可以利用反证法把存在性问题转化为恒成立问题分离参数再取补集即可求答案； （3）利用（2）判断导函数零点所在区间从而判断原函数单调性 【详解】（1）当时，，函数定义域为 故， 又，所以切线方程为. （2）由题意得 若不存在单调增区间，则恒成立，即恒成立， 令， 当时，当时 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以即 因此所求实数的取值范围为. （3）由（2）知 所以在单调递减，又，， 所以必存在正数，使得，即 由（2）知当时，即，当时，即， 当时，即， 由上可知在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即， 令 因为 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以， 所以的最小值为 18．(1)，且 (2)，且 【分析】（1）对求导，使有解即可； （2）在上单调递减，转化为时，恒成立，计算其最值即可 【详解】（1）， ． 在上存在单调递减区间， 当时，有解，即有解．设只要即可． 而． 故a的取值范围是，且． （2）在上单调递减， 时，恒成立， 即恒成立，，而， ．． 故a的取值范围是，且． 学科网（北京）股份有限公司 $