5.3.1函数的单调性同步训练 -2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.1函数的单调性同步训练 一、单选题 1．已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 2．已知函数，若，当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．[0,8] 3．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．若函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知定义在上的可导函数的导函数为，若， 则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 6．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若对，使得，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数的导函数的图象大致如图所示，下列结论正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．曲线在处的切线的斜率为0 D．曲线在处的切线的斜率为4 10．已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是（ ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 11．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，的单调递减区间为 B．当时，有两个零点 C．若有三个零点，则的取值范围是 D．4是的极大值 三、填空题 12．已知函数且，若有且只有一个零点，则的取值范围是 . 13．已知函数，则不等式的解集为 . 14．若在上单调递增，则的取值范围是 ． 四、解答题 15．设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间. 16．已知函数，其中. (1)讨论函数的奇偶性； (2)当时，证明函数在上是严格增函数，并解不等式. 17．已知函数（a为常数）． (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 18．已知函数的图像在点处的切线方程为． (1)用实数a分别表示出实数b和c； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围. 19．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】求出函数的定义域，解不等式，即可得出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 2．D 【分析】将化为，由此令，则，则原问题转化为在上单调递增，继而结合导数与函数单调性的关系，即可求解． 【详解】不妨设， 因为对一切都成立， 所以对一切都成立， 令，则．定义域为， 则原问题转化为在上单调递增； ， 当时，，在单调递增； 当时，需在上恒成立，即在上恒成立， 对于图象过定点，对称轴为， 故要使得在上恒成立， 需满足且， 解得， 综合可得，即的取值范围为,． 故选：D. 【点睛】方法点睛：遇到双变量函数不等式，需要集中变量转化为函数值大小关系，从而构造函数，转化为新函数单调性判断问题，再结合导数确定单调性即可得所求. 3．C 【分析】根据题意，构造函数，利用导数求得函数在上单调递增，结合，得到，即可求解. 【详解】构造函数，其中， 则，所以在上单调递增， 由，，， 因为，所以，所以. 故选：C. 4．B 【分析】由题意可得在时恒成立，在时恒成立，且在时的值小于在时的最小值，从而计算即可得. 【详解】当时，， 则在时恒成立， 则与共零点， 故，解得，即， 当时，， 则在时恒成立，则， 由在区间上单调递增， 则，解得， 综上可得. 故选：B. 5．D 【分析】构造函数，根据已知不等式利用导数法得在上单调递增，不等式化为，根据函数单调性求出不等式的解集. 【详解】令，则， 因为在上，恒成立，则， 可知在上单调递增，不等式即， 又，则， 所以，由在上单调递增， 可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D 6．D 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性和极值，结合零点存在性定理可得答案. 【详解】的定义域为， ，当时，， 在上单调递减， 当时，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，所以在恒负， ，，， ， 根据零点存在性定理知，在区间上一定存在零点. 故选：D 7．C 【分析】首先求出函数f(x)的值域，运用导函数求出函数g(x)的单调性和值域，再根据已知条件结合得到不等式组，即可得到答案. 【详解】解：因为，所以的值域为，， 当时，在上单调递减. 当时，由时得到， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增.得， 又时，，由题意，得，得. 故选：C. 8．A 【分析】求导后分离参数，然后构造函数，求导分析单调性和最值可得. 【详解】因为在上单调递减，所以在上恒成立． 因为，所以，即恒成立． 令，则． 令，得，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即． 故选：A. 9．BD 【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系可判断A，B；根据导数的几何意义可判断C，D. 【详解】由导函数的图象可知当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，A错误； 由图象可知当时，，在上单调递增，B正确； 由于，根据导数的几何意义可知在处的切线的斜率为4，C错误，D正确， 故选：BD 10．BD 【分析】先对函数进行求导，再根据导数小于零有解来确定的取值范围即可. 【详解】的定义域为，， 函数存在单调递减区间， 在上有解，即在上有解， 令， 故，结合选项可知，B ， D正确；A ， C错误. 故选：BD. 11．ABD 【分析】对于A选项代入，通过在各区间符号，确定递减区间；对于B选项分别代入和得到解析式，因式分解求零点，看不同实根的个数；对于C选项，在时，求函数零点，当时，利用导数求函数的极值点，三次函数有三个零点极大值且极小值，分析的取值范围；对于D，结合选项C的推导过程即可判断. 【详解】对于A选项，当时，， 令得，符号分析：时，时，时，所以单调递减区间为，A选项正确； 对于B选项，，，， 零点为（二重），，不同实根个数为2， ，，， 零点为（二重），，不同实根个数为2，B选项正确； 对于C选项，当时，，令，可得， 函数有且只有两个零点，不满足要求， 当时，， 令，可得， 当时，若，则，函数在上单调递增， 若，则，函数在上单调递减， 若，则，函数在上单调递增， 所以为极大值，为极小值， 当时，若，则，函数在上单调递减， 若，则，函数在上单调递增， 若，则，函数在上单调递减， 所以为极大值，为极小值， 又， 函数存在三个零点的条件为极大值且极小值，， 即，又， 所以，C选项错误； 对于D选项，由选项C的推导过程可得，为极大值，，D选项正确. 故选：ABD 12． 【分析】根据指数函数的单调性，结合零点定义、曲线切线的意义进行求解即可. 【详解】因为，所以当且时，函数必有一个零点， 当时，函数是实数集上的增函数，所以有且只有一个零点， 当时，， 要想有且只有一个零点， 只需函数有唯一交点， 显然函数都是实数集上的增函数， 由， 由， 要想有唯一交点，只需， 或舍去， 综上所述：的取值范围是， 故答案为： 13． 【分析】先根据函数解析式直接判断函数的单调性，可得再构造函数，利用导数判断的单调性，进而利用单调性求解不等式即可. 【详解】的定义域为，且在内单调递增，则 令，则， 因为在上恒成立， 所以在内单调递增， 又，所以， 所以解集为. 故答案为：. 14． 【分析】对求导，由题意可知在上恒成立，即在上恒成立，求出函数的最小值即可求出答案. 【详解】由题意得， 因为在上单调递增， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 15．(1)， (2)单调递减区间为，单调递增区间为和 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义及切点坐标列方程组求解即可. （2）求出导函数，解导函数不等式即可求解单调区间. 【详解】（1）因为，，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以，； （2）由（1）得， 令，解得或2，易知恒成立， 所以令，解得，在上单调递减； 令，解得或，在，上单调递增； 则的单调递减区间为，单调递增区间为和. 16．(1)答案见解析 (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义进行讨论即可. （2）对函数求导判断导数符号即可证明；根据函数的单调性和奇偶性，不等式等价于，进而可求得解集. 【详解】（1）因为，而. 函数的定义域为. 当时，，此时函数为偶函数； 当时，，此时函数为奇函数； 当时，函数为非奇非偶函数； （2）因为时，函数，求导得. 当时，，所以，所以（当且仅当时取等号）. 所以函数在上是严格增函数. 由（1）知为偶函数，而在上是严格增函数. 所以根据函数的单调性和奇偶性，不等式等价于. 两边平方得，化简得， 解得或. 所以不等式的解集为. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围． 【详解】（1）令，因为外层函数在定义域上为增函数， 且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得， 因此，实数的取值范围是； （2）对于任意，存在，使得不等式成立， 则对任意的恒成立， 因为， 当时，，故当时，即当时，函数取最小值， 即， 所以，对任意的恒成立， 由可得，参变量分离得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时等号成立，则， 因此，实数的取值范围是． 18．(1)，； (2) 【分析】（1）由切点坐标及导数的几何意义列方程求解； （2）构造函数，利用导数讨论函数的单调性求解. 【详解】（1）的定义域为，，又由切线方程可得， 所以且， 则，； （2）由（1）可知， 则可转化为在上恒成立， 设，定义域为，，， ， 当时，即时，当时，， ∴在内单调递减， ∴，这与题意不符， 当时，时，当时，，∴在内单调递增， ∴，即恒成立，仅当时等号成立， 综上所述，实数a的取值范围为. 19．(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求得，可求切线方程； （2）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （3）（i）结合（2）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. 【详解】（1）当时，，求导得，所以， 又，所以切点为， 所以切线方程为，即； （2）由，求导得， 若，，所以在上单调递增； 若，令，得，解得， 当 时，，则在 上单调递减； 当 时，，则在 上单调递增； 综上所述：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（2）知，且，所以， 解得，所以的取值范围． （ii）由（i）得，所以，， 两边同时取自然对数，得，， 两式相减得，即， 要证，只需证明， 即，所以， 令，只需证明，构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式成立， 于是原不等式成立． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $