6.3.1平面向量基本定理巩固练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.1平面向量基本定理巩固练习 一、单选题 1．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 3．在中，点在边上，，记，则分别是（    ） A． B．，4 C．4，3 D．3，4 4．在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 5．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 6．在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 三、填空题 9．已知在矩形中，，点是边的中点， 则 . 10.在中，为的中点，，过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，设，，若用、表示，则 ；若，，则的最小值是 . 四、解答题 11．如图，在平行四边形中，，点为中点，点在线段上，满足，设.    (1)用向量表示向量； (2)若，求； (3)若，求. 12．如图，在中，分别为边上的点，且，与交于点，记，，，．    (1)求和的值，并用表示； (2)若，，，求与夹角的余弦值． 13．如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设.    (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 14．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．    (1)若，请用向量来表示向量； (2)若，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.1平面向量基本定理巩固练习 一、单选题 1．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】, 由已知：, 解得：. 故选A. 2．已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线有得到，代入和求解即可. 【详解】，， 三点共线，，，， ，，故选项C正确. 故选：C. 3．在中，点在边上，，记，则分别是（    ） A． B．，4 C．4，3 D．3，4 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算求解. 【详解】如图，    ， ，则. 故选：B. 4．在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是线段的中点，得到，再根据，利用求解. 【详解】因为是线段的中点，所以. 因为，所以，则. 故选：A 5．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C 6．在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理结合图形的几何性质进行求解即可. 【详解】因为在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，所以： ． 故选：D. 二、多选题 7．设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线，可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 8．已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据平面向量基本定理结合图像和已知条件以及基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A：根据题意画出图像，则根据已知条件可得 ，A正确； 对于B：，由A知. 所以，B正确； 对于C：因为，，， 所以. 因为点共线，所以设. 所以，化简得. 即，又， 所以，两式相加得，即，C正确； 对于D：由C知，所以. 所以D错误. 故选：ABC 三、填空题 9．已知在矩形中，，点是边的中点， 则 . 【答案】 【分析】由平面向量的加法运算法则及向量数量积的运算性质求解即可 【详解】在矩形中，因为，所以. 由平面向量的运算法则可得： . 故答案为：. 10.在中，为的中点，，过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，设，，若用、表示，则 ；若，，则的最小值是 . 【答案】 ； . 【分析】根据向量的线性运算法则，即可求得答案；根据线性运算法则，结合三点共线的性质，可得，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】因为为的中点，所以， 因为，所以； 因为，， 所以，所以， 因为F、E、G三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为.    故答案为：； 四、解答题 11．如图，在平行四边形中，，点为中点，点在线段上，满足，设.    (1)用向量表示向量； (2)若，求； (3)若，求. 【分析】（1）根据平面向量基本定理，和图形的几何性质，用基底向量表示图形中的向量即可. （2）根据向量模长和向量数量积的关系，对向量进行平方运算，根据向量的模长，列出方程，求出结果. （3）根据向量夹角，求出向量数量积，根据向量模长和向量数量积的关系，对向量进行平方运算，进而求出向量的模长. 【详解】（1）因点为中点，点在线段上，满足， 可得，， 故； （2）由（1）得，所以， 因为，所以， 解得. （3）由题意知， ， 所以， 所以. 12．如图，在中，分别为边上的点，且，与交于点，记，，，．    (1)求和的值，并用表示； (2)若，，，求与夹角的余弦值． 【分析】（1）利用基底表示，结合以及平面向量基本定理求出即可表示； （2）利用第一问求出，，再利用数量积的运算律以及向量夹角公式即可. 【详解】（1）因为，，， 则，， 所以，， 所以① 因为， 所以② 所以由①②得：，解得， 所以， ； （2）因为，，， 所以，，， 因为，， 所以． ， ． 因为， 所以与夹角的余弦值为． 13．如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设.    (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 【分析】（1）由三点共线、得，用表示出，根据向量共线可以列出方程，进而求得即可求解； （2）用表示出，根据平面向量数量积的运算律即可求解. 【详解】（1）由三点共线，且，可知， 在等腰梯形中，由，， 可得， 又，所以，所以， 因为三点共线，所以向量共线， 可得，结合，解得，所以. （2）由（1）知，又， 则， 分别过作的垂线，垂足分别为，    在等腰梯形中，， 所以，可得， 又，得， 所以，， 可得 ， 又是边上一点（含端点），，则， 所以. 14．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．    (1)若，请用向量来表示向量； (2)若，求的最小值． 【分析】（1）根据图形，利用向量的加减数乘运算即可得到向量关于的表达式； （2）由推得，结合题设条件和基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）由图和题设条件可得： ； . (2) 由图和可得：，即 （*）， 因， 当时，点与点重合，显然不合题意，同理时，也不合题意.则， 由（*）可得：， 因三点共线，故， 又因， 当且仅当时，即时，等号成立， 即时，的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $