第5题函数的基本性质分类训练-2026届高考数学三轮冲刺

2026年新高考第5题分类训练 函数的基本性质 考点 3年考题 考情分析 函数的基本性质 2025年新高考Ⅰ卷第5题 2025年新高考Ⅱ卷第10题 2024年新高考Ⅰ卷第6题 2024年新高考Ⅱ卷第6题 2023年新高考Ⅰ卷第4题 2023年新高考Ⅱ卷第13题 2023年之前函数的基本性质单选题一般为压轴题，难度较难，但是纵观近三年的新高考试题难度有所降低，但是新高考题型轮动比较大，不能掉以轻心。分别考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，考点综合性强。可以预测2026年新高考命题方向将继续以函数的基本性质展开命题． 1.（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第5题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【解析】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 2．（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第10题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【解析】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去），当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 3．（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第6题）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【解析】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得，即a的范围是. 故选：B. 4．（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第6题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【解析】解法一：令，即，可得， 令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得，若，令，可得因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述：. 解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为， 则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 5．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第4题） 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 6．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第4题）若为偶函数，则（ ）． A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【解析】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 1.单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 2.单调性定义的等价形式: （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 3.函数单调性的性质 （1）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （2）若≥0，则与具有相同的单调性. （3）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； （4）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 4.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 5、函数的周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）； 6.函数的对称性 1、关于线对称 若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称 若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 7.常见奇、偶函数的类型 1、（）为偶函数； 2、（）为奇函数； 3、（）为奇函数； 4、（）为奇函数； 5、（）为奇函数； 6、为偶函数； 7、为奇函数； 8.函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 （1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； （2）若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； （3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是. 函数性质基础问题 1.（浙江省金华市十校2026届高三上学期1月期末）已知函数，则 . 【答案】3 【解析】. 故答案为：3. 2.（浙江金丽衢十二校2026届高三第一次联考）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】因为，所以，所以. 故选：D 3.（山东潍坊市2026届2月高考模拟）下列函数中，值域为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A：，值域不为，故A错误； 对B：令，则，，故是偶函数，且的值域为，故B正确； 对C：不是偶函数，故C错误； 对D：，值域不为，故D错误. 故选：B. 4.（浙江省温州市2026届高三上学期期末质量评价）已知是奇函数，则实数的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】要使有意义，则，即，解得或. 所以函数的定义域为，关于原点对称. . 因为，所以， 即，也即， 因为，所以. 故选：C. 5.（江西省部分学校2025-2026学年高三上学期1月测试）已知，且，若函数是偶函数，则________． 【答案】 【解析】函数的定义域为. 因为是偶函数，所以，即. ，即， 因为，所以，即， 因为对任意均成立，所以，即， 又，所以. 故答案为：． 6.（四川省字节精准教育联盟2025-2026学年高三第二阶段学情）若幂函数为奇函数，则的值为 . 【答案】0 【解析】由是幂函数，得，解得或， 当时，函数是偶函数，不符合题意，当时，是奇函数，符合题意，所以. 故答案为：0 7.（湖南省名校联考联合体2025-2026学年高三联考）函数，若，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在定义域上单调递增，若，则，解得，所以x的取值范围为. 故选：C. 8.（浙江省强基联盟2026年1月高三联考）函数是定义在上的奇函数，且当时，，则 ． 【答案】4 【解析】由题意可得，解得，则． 故答案为： 9.（吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】函数在上单调递增，由函数在上单调递增， 得函数在上单调递增，且，恒成立， 因此，解得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 10.（广东省2026年1月普通高等学校招生适应性测试）若函数单调递增且连续，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】因为函数单调递增且连续，所以， 即，所以点在第一象限. 11.（江苏省苏州市、南京市九校2025-2026学年高三上学期一轮复习学情联合调研）已知常数，函数的图象经过点，若，则（ ） A 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】因为函数的图象经过点 所以，整理得，即， 所以，又，代入得，，又，所以. 故选：B 函数性质综合 1.（安徽省黄山市2026届高三第一次质量检测）已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数是上的奇函数，且， 在上单调递减，可得函数的图像关于原点对称，，且在上单调递减，函数的图像如图所示，结合图像可得，不等式的解集为. 故选：A.   2.（杭州学军中学高三上学期期末） 函数的对称中心是____________________． 【答案】 【解析】解法一：由题意三次函数存在对称中心，则对称中心点的二阶导数为0， 因为，令， 则，由解得， 又，所以函数的对称中心是. 解法二：设的对称中心为， 则对恒成立， 即， 整理得， 所以，解得， 所以函数的对称中心是， 故答案为： 3.（江西省部分省示范高中2025-2026学年高三一轮复习摸底监测数）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由图象可知，函数的图象关于原点对称，故函数为奇函数，且时，. 对于A，由，， 则， 所以为偶函数，不符合题意； 对于B，由，， 则， 所以为奇函数，且时，，符合题意； 对于C，由，则，不符合题意； 对于D，由，则，不符合题意. 故选：B 4.（四川省成都市多校2026届高三上学期第一次联合诊断性考试）函数的图像大致为 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 5.（山东省济南市2026届高三第一次模拟考试）已知函数的图象上存在不同的两点关于轴对称，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设函数图象上关于轴对称的两点分别为，因为这两点都在函数的图象上， 所以有， 两式相减得：， 整理并化简得：，即， 因为，所以，即， 令，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又因为，所以，所以， 故选：D 6.（湖北省云学联盟2026届高三上学期期末联考）已知 是定义在 上的偶函数,且 ,当 时, ,则 A. -1 B. 1 C. 3 D. 7 【答案】C 【解析】 . 故选： C. 7.（宁波市2025学年第一学期期末考试）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】因为是定义在上且周期为4的奇函数， 所以， 又，所以． 故选：D． 8.（2026届江苏省G4联考12月） 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，当时，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】由是奇函数可知：， 再令得：， 又因为当时，，所以， 再令得：，又因为是偶函数，所以， 即可得，又因为，所以， 再令得：，所以， 又因为当时，，所以， 即当时，，则， 故选：A. 抽象函数 1.（吉林省长春市2026届高三质量监测（一））已知是定义在上的奇函数，，且，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】D 【解析】由可得，用替换，则，即， 所以函数是以为周期的周期函数，由，令，则， 且是定义在上的奇函数，则，所以， 令，则，且，则， 令，则，因为，所以， 所以， 则 . 故选：D 2.（九江市2026届第一次高考模拟统一考试）已知奇函数对任意，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为定义在上的奇函数，所以， 因为任意，都有，即，所以， 所以，即是以为周期的周期函数， 因为所以，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误. 故选：B 3.（广东省2026届普通高中毕业班第二次调研）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由是奇函数，则；由，则的图象关于对称，即，所以．因为在单调递增，则在单调递增，在单调递减，从而在单调递减．所以 故选C． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年新高考第5题分类训练 函数的基本性质 考点 3年考题 考情分析 函数的基本性质 2025年新高考Ⅰ卷第5题 2025年新高考Ⅱ卷第10题 2024年新高考Ⅰ卷第6题 2024年新高考Ⅱ卷第6题 2023年新高考Ⅰ卷第4题 2023年新高考Ⅱ卷第13题 2023年之前函数的基本性质单选题一般为压轴题，难度较难，但是纵观近三年的新高考试题难度有所降低，但是新高考题型轮动比较大，不能掉以轻心。分别考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，考点综合性强。可以预测2026年新高考命题方向将继续以函数的基本性质展开命题． 1.（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第5题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第10题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 3．（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第6题）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第6题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第4题） 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第4题）若为偶函数，则（ ）． A. B. 0 C. D. 1 1.单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 2.单调性定义的等价形式: （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 3.函数单调性的性质 （1）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （2）若≥0，则与具有相同的单调性. （3）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； （4）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 4.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 5、函数的周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）； 6.函数的对称性 1、关于线对称 若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称 若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 7.常见奇、偶函数的类型 1、（）为偶函数； 2、（）为奇函数； 3、（）为奇函数； 4、（）为奇函数； 5、（）为奇函数； 6、为偶函数； 7、为奇函数； 8.函数的奇偶性、周期性、对称性的关系 （1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； （2）若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； （3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是. 函数性质基础问题 1.（浙江省金华市十校2026届高三上学期1月期末）已知函数，则 . 2.（浙江金丽衢十二校2026届高三第一次联考）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 3.（山东潍坊市2026届2月高考模拟）下列函数中，值域为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 4.（浙江省温州市2026届高三上学期期末质量评价）已知是奇函数，则实数的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 5.（江西省部分学校2025-2026学年高三上学期1月测试）已知，且，若函数是偶函数，则________． 6.（四川省字节精准教育联盟2025-2026学年高三第二阶段学情）若幂函数为奇函数，则的值为 . 7.（湖南省名校联考联合体2025-2026学年高三联考）函数，若，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8.（浙江省强基联盟2026年1月高三联考）函数是定义在上的奇函数，且当时，，则 ． 9.（吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ． 10.（广东省2026年1月普通高等学校招生适应性测试）若函数单调递增且连续，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11.（江苏省苏州市、南京市九校2025-2026学年高三上学期一轮复习学情联合调研）已知常数，函数的图象经过点，若，则（ ） A 4 B. 6 C. 8 D. 10 函数性质综合 1.（安徽省黄山市2026届高三第一次质量检测）已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2.（杭州学军中学高三上学期期末） 函数的对称中心是____________________． 3.（江西省部分省示范高中2025-2026学年高三一轮复习摸底监测数）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 4.（四川省成都市多校2026届高三上学期第一次联合诊断性考试）函数的图像大致为 (　　) A． B． C． D． 5.（山东省济南市2026届高三第一次模拟考试）已知函数的图象上存在不同的两点关于轴对称，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.（湖北省云学联盟2026届高三上学期期末联考）已知 是定义在 上的偶函数,且 ,当 时, ,则 A. -1 B. 1 C. 3 D. 7 7.（宁波市2025学年第一学期期末考试）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 1 8.（2026届江苏省G4联考12月） 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，当时，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 抽象函数 1.（吉林省长春市2026届高三质量监测（一））已知是定义在上的奇函数，，且，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 2.（九江市2026届第一次高考模拟统一考试）已知奇函数对任意，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 3.（广东省2026届普通高中毕业班第二次调研）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $