第18题 统计概率综合解答题 分类训练——2026届高考数学三轮冲刺

2026年新高考第18题分类训练 统计概率综合解答题 考点 3年考题 考情分析 统计概率综合解答题 2025年新高考Ⅰ卷第15题 2025年新高考Ⅱ卷第19题 2024年新高考Ⅰ卷第19题 2024年新高考Ⅱ卷第18题 2023年新高考Ⅰ卷第21题 2023年新高考Ⅱ卷第19题 概率统计解答题难度梯度明显、题型区分度大，纵览近三年新高考全国卷命题规律，核心考点集中在事件与概率计算、独立性检验、频率分布直方图、离散型随机变量的分布列与期望方差等主干内容。据此可预判2026 年新高考概率统计大题仍将以独立性检验、线性回归方程、随机变量分布列及期望方差为核心背景，突出情境化、应用型命题思路，重点考查数据处理、概率建模与逻辑推理能力。 1.（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第15题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.005 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 2.（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第19题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立，对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． (1)求（用p表示）． (2)若，求p． (3)证明：对任意正整数m，． 3．（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第19题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 4.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第18题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 5.（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 6.（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第19题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； （2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 1. 频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图) 横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率. 2.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 3.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数. (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. (3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数. (4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是 s＝，s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]. 4.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数. (1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. 5.线性回归方程 （1）最小二乘法：使样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． （2）回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：，其回归方程为，则注意：线性回归直线经过定点． （3）相关系数：． 6.回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. (2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)， 其中(，)称为样本点的中心. (3)相关系数 当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关. r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强. r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性. (4)相关指数：R2＝1－.其中 (yi－i)2是残差平方和，其值越小，则R2越大(接近1)，模型的拟合效果越好. 7.独立性检验 列联表列联表：一般地，假设两个分类变量和，它们的取值为，其样本频数列联表(也称为列联表)为 合计 合计 列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数。 独立性检验的一般方法 （1）根据题目信息，完善列联表； （2）提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。 （3）根据列联表中的数据及计算公式求出的值； （4）当时，我们就推断不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量相互独立。 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828 8.条件概率及其性质 （1）对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为()．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则(n(AB)表示A，B共同发生的基本事件的个数)． （2）条件概率具有的性质 ①； ②如果B和C是两个互斥事件，则. （特别地，） 9.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式为全概率公式. 10.马尔可夫链基本原理 利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得： 11.离散型随机变量的分布列 （1）;（2）. （3）数学期望 方差 数学期望的性质.方差的性质； 方差与期望的关系. 12.二项分布 （1）一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． ，． 13.超几何分布 （1）在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 14.正态分布 （1）随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 正态分布密度函数，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． （2）原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有 ；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则 频率分布直方图 1.（重庆市名校联盟2026届高三下学期第一次联考）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 2.（辽宁省大连市2026年高三双基模拟考试）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计月用电量样本数据的中位数； (3)在该小区所有居民用户中随机抽取一用户，已知的月用电量落在区间中，估计的月用电量恰好落在区间中的概率. 独立性检验 1.（湖南省联考2025-2026学年高三上学期期末）某中学象棋社为了解学生对象棋的兴趣程度，对本校学生进行了随机问卷调查，调查结果统计如下： 非常感兴趣 有一点兴趣 不感兴趣 男生 100 60 40 女生 50 50 100 （1）从参与问卷调查的学生中随机抽取1人，设事件“该学生是男生”为，事件“该学生对象棋不感兴趣”为，求和； （2）将“非常感兴趣”与“有一点兴趣”统称为“感兴趣”，兴趣程度按照“感兴趣”和“不感兴趣”分类，根据小概率值的独立性检验，能否认为该校男生和女生对象棋的兴趣程度有差异？ 附：。 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 2.（黑龙江齐齐哈尔市2026届高三第一次模拟）中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭､载人航天､深空探测等多个领域.为了了解不同学历人群对航天工程的关注情况，某社区随机调查了200位社区居民，得到如下数据（单位：人）： 学历 关注 不关注 合计 本科及以上 80 20 100 本科以下 60 40 100 合计 140 60 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为对航天工程的关注情况与学历有关？ (2)现为了激发社区居民对航天工程的关注，该社区举办了一次航天知识闯关比赛，规则如下： 第一关：设置3道必答题，参与者需至少答对2道才能参与下一关答题，否则淘汰； 第二关：设置3道题，前2道题每答对1道奖励200元，答错即结束答题，奖励清零，2道题都答对可选择放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3道题答对奖励400元，答错前2道奖励减半，答题结束.已知甲参与闯关比赛，第一关答题的3道题每道题答对的概率均为，第二关答题的前2道题每道题答对的概率均为，第3道题答对的概率为，各题答对与否相互独立. （i）求甲能进入第二关答题的概率； （ii）已知甲进入第二关答题，从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3道题，使获取的奖金更多. 参考公式及参考数据：. 0.05 0.01 3.841 6.635 3.（福建省部分高中学校2026届高考适应性考试（一模））在统计一些敏感性问题的回答时，往往很难得到受调查者的诚实性答复．为了解决这一问题，我们往往需要适当地采用一些统计学方法，下面的例子给出了一个有效的手段．某地卫生部门派遣调查组前往当地某校问询校内学生的吸烟情况，很明显，如果直接询问这样的问题很难得到学生的诚实回答．为此，调查组成员想到了一个统计方法，首先设计了如下的调查问卷形式： 问题甲：你父亲的生日日期是奇数吗？ 请用铅笔填涂相关选项： 是□            否□ 问题乙：你是否有吸烟的习惯？ 请用铅笔填涂相关选项： 是□           否□ 而后，准备好一个不透明盒子，其中放入足够多质量、大小、质地相同的小球，且其中红白两色小球各占一半，在受调查学校高一、高二、高三三个年段采用分层随机抽样的方式抽取共200名学生作为样本．让参与调查的学生轮流抽取盒子里的一个球，如果抽到了红色球，则需要回答问题甲；如果抽到了白色球，则需要回答问题乙．抽球和回答问卷时不安排人员监督，提交问卷时，只需上交其答案，而不需要透露其回答的问题内容．依据此方法，调查过程中共拿到了54张填涂“是”的答卷． (1)请说明此调查方式的合理性，并估计该校吸烟学生在总人数中所占的百分比； (2)为了更精确地了解该校学生的吸烟状况，调查组经商议决定让全校共6000名学生参与此次问卷调查．调查过程中共拿到了1836张填涂“是”的答卷，且其中有720张答卷来自女生．已知该校男女比例为1：1，请估计该校吸烟学生中男、女生的人数，并据此判断能否有99.9%的把握认为吸烟行为和性别相关联． 附：， 4.（湖南省名校联考联合体2025-2026学年高三联考）某人工智能研发公司为了开拓新产品市场，从最新研发的经典A型和卓越型两款机器人中（卓越型是A型的优化版），随机各抽取30台进行越野驾驶性能对比测试，测试在同等环境中进行，评定结果分为优秀和良好两种.得到了如下数据：经典A型优秀为7台，卓越型优秀为20台. (1)完成下面2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析两款机器人的测试结果是否与越野驾驶性能优化有关. 款类 测试结果 总计 优秀 良好 型 20 30 A型 7 30 总计 (2)该公司为了进一步测试卓越型机器人的汉语智能性能，组织机器人队与人类队（母语为汉语）进行诗词抢答赛，每局比赛只有胜和负两种情况（无平局），每局人类战胜机器人的概率为胜者记2分，负者记1分.每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响. （i）求三局比赛中，人类队累计得分X的分布列和数学期望； （ii）若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义. 参考公式： 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 经验回归方程 1.(福建泉州市2026届高中毕业班质量检测（一）)为深入贯彻“五育融合”的教育理念，某地在中小学全面推广劳动教育实践课程，定期统计学生参与劳动实践的情况，下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与劳动实践的学生人数（单位：万）. 月份编号 1 2 3 4 5 日平均参与人数 0.5 0.7 1 1.3 1.5 根据表格数据得到如图所示的散点图. (1)根据散点图推断与是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； (2)由（1）所得结论，建立关于的回归方程，并预测第6个月的日平均参与人数； (3)假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万）服从正态分布，并视（2）的结果为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万的天数是否不少于25天. 附： ①样本相关系数； ②回归直线的斜率的最小二乘估计为； ③； ④若，则. 2.（山东聊城市2026届高三下学期高考模拟）某景区统计了连续5天该景区接待游客的人数（单位：万人），数据如下表： 第x天 1 2 3 4 5 接待游客人数y（万人） 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)根据表中数据，求y关于x的经验回归方程，并预测第7天该景区接待游客的人数； (2)该景区上山、下山各有步行和乘观览车两种方式．调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为，，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为，乘观览车上山的游客下山时继续选择乘观览车的概率为．假设游客之间选择上山、下山的方式互不影响，现从该景区出口随机选取4位下山的游客了解其下山方式，记X为这4人中步行下山的游客人数，求X的分布列和期望． 附：参考数据：，，． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 3.（湖南怀化市2026届高三下学期第一次模拟考试）我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎.某品牌新能源汽车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：.现有①和②两种模型作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中均为常数. (1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)为刺激消费，省出台了以下补贴政策：每购买一辆新能源汽车，补贴6000元.若甲､乙两人近期在省购买一辆该新能源汽车的概率分别为，其中，每人最多购买一辆.求该省对甲､乙两人补贴总金额的期望值的取值范围. 参考数据：. 相关系数. 4.（广东佛山市2025-2026学年普通高中教学质量检测（二））近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处理、理解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，某研究机构对2025年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了14款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图： (1)用频率估计概率，根据2025年该区域的企业发布大模型的分布情况，估计该区域2026发布的大模型是多模态模型的概率； (2)若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据（，2，3，4，5，6，表示2025年1月份，表示2025年6月份，…），计算得，，. （i）建立y关于t的线性回归方程； （ii）根据语言模型的数据建立的回归方程为，该区域的某家企业在2026年4月发布了1款标准化测试得分为68分的大模型，定义统计量，Q值越小的大模型发生的可能性越大，则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 5.（河南省郑州市2026届高三上学期第一次质量预测）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下： 零件数/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间/分 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 根据样本数据，画出加工时间与加工零件个数的散点图，如图所示，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，因此可以用一元线性回归模型刻画加工时间与加工零件个数之间的关系.（运算结果保留小数点后两位数字）    (1)请求出加工时间关于零件数的经验回归方程； (2)该车间实行“按时计件”工资制度：若工人完成一个零件的平均时间低于标准时间，则可获得额外奖励.已知目前每个零件的标准加工时间定为1.2分钟，根据上述回归方程判断： （ⅰ）对于120个零件的任务，预测加工时间是否低于现行标准加工时间？（标准加工时间为分钟） （ⅱ）若工人的实际加工能力与回归模型基本一致，车间是否应考虑调整标准时间？若需调整应调整到多少比较合适？ 附：参考数据：，，，. 对于一组数据，，，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 6.（广东广州市天河区2026届普通高中毕业班适应性训练（二模））某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为. 2 5 6 8 9 16 20 21 28 10.96 19.24 22 27.52 30.28 (1)求的值； (2)现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望； (3)已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好. 7.（湖南省湘一名校联盟2026届高三上学期12月质量检测）某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示： (1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； (2)由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 概率问题 1.（Z20名校联盟2026届高三第二次联考）某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 A B C D E F G 研发投入x（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数y（件） 3 5 7 6 9 10 11 （1）现从这7家企业中随机抽取1家。记事件M：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件N：抽到的企业“专利产出数超过8件”。 （i）求条件概率P(N|M)的值； （ⅱ）判断事件M与N是否相互独立，并说明理由； （2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量X.求X的分布列和数学期望E(X) 2.（安徽江南十校2026届高三3月联考） 托马斯.贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：设，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有.这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理）.其中称为事件的全概率. (1)假设这3台车床型号相同，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是0.3，设同时发生故障的车床数为随机变量，求的分布列和数学期望： (2)假设该车间生产了两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中等可能地随机挑选一箱，然后从该箱中随机取一个零件.已知取出的是次品，求它是从第二箱中取出的概率. 3.（安徽皖南八校2026届高三下学期4月教学质量检测）已知甲手里有3张卡片分别标有数字1，3，5，同样乙手里也有3张卡片分别标有数字2，4，6，若在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张（不放回），并比较所选卡片上数字的大小，数字大的一方获胜并得1分，数字小的一方得0分，两人共进行三轮比赛． (1)求第一轮甲获胜的概率； (2)在第一轮甲获胜的条件下，第二轮甲获胜的概率； (3)三轮比赛结束，求甲的总得分的期望． 4.（河南省郑州外国语学校2026届高三下学期3月阶段检测）已知无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定各轮结果相互独立.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件，蓝方击中红方目标为事件. (1)求概率、； (2)设随机变量表示经过1轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差，求的分布列和数学期望； (3)求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率. 5.（福建省福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试）某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量的分布列为 其中，． (1)当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； (2)已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人． （i）求该顾客为幸运客户的概率； （ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围． 二项、超几何、正态等分布列问题 1.（湖北宜昌市2026届高三下学期3月调研）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 2.（福建厦门大学附属科技中学2026届高三下学期数学3月限时训练）2026年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； (2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； (3)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 3.（山东省烟台市2026届高三下学期高考诊断性测试）某工厂生产一批产品，其单件产品的真实合格概率为.由于质检设备存在误差，当单件产品为合格品时，被该质检设备检测为合格的概率为，当单件产品为不合格品时，被其误判为合格的概率为，且.现从该批产品中随机抽取件，并用该质检设备进行检测，设每件产品的检测结果相互独立，检测结果为合格的件数为. (1)求单件产品的检测结果为合格的概率； (2)若为定值，求取最大值时的值； (3)当足够大时，（2）中的近似服从.设，当时，试估计的最小值及相应的值. 说明：若，则，其中为的正态密度函数.参考数据：. 4.（湖南名校大联盟2026届高三月考卷）甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 5.（江西“三新”协同教研共同体2026届高三4月）某工业系统内初始装有2个类部件和1个类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到类部件的概率为，第次操作后系统内类部件的数量为. (1)求与的值. (2)证明：. (3)求数列的通项公式. 附：若随机变量服从两点分布，且，则. 6.（湖北省黄冈中学等十一校2025-2026学年高三下学期第二次联考）一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． (1)当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； (2)当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 7.（浙江温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试）在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位. (1)求6次姿态修正后达到个单位的概率； (2)以下三种情况将导致校准流程终止： 情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）； 情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）； 情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）. （ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率； （ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求 8.（云南昆明市普通高中2026届高三下学期复习教学质量诊断）低空经济是区域经济发展的新引擎，某无人机物流枢纽中心计划在甲､乙两条航线中选定一条作为常态化航线.为评估航线性能，该中心进行了多次模拟测试.经统计分析，甲航线在连续12次测试中，单次测试成功率为，各次测试相互独立，记其成功次数为；乙航线在次测试中成功次数为，且. (1)求的值； (2)为量化两条航线的综合表现，该中心引入“稳定性系数”的评估指标：稳定性系数越小，表示稳定性越好，综合表现越优.当时，分别计算甲､乙两航线的稳定性系数，并以此判断哪条航线的综合表现更优； (3)若每次任务执行成功能盈利200元，执行失败则亏损80元.根据（2）的结论，选择综合表现更优的航线，根据测试数据估计该航线执行次任务的利润的期望. 9.（阜阳市2025—2026学年度高三教学质量监测）甲､乙､丙三人玩“石头、剪刀、布”游戏，每局中每人独立随机出石头、剪刀、布，概率均为.每局的游戏规则如下：如果出现一人胜两人（比如甲出石头，同时乙和丙都出剪刀，则甲胜），赢者向前走两步，其他人不动；如果出现两人胜一人（比如甲和乙同出剪刀，同时丙出布，则甲和乙胜），赢者向前各走一步，输者不动；如果三人出相同手势或三人全不同手势（循环胜），视为平局，所有人都不走步.用表示甲在一局游戏中前进的步数. （1）求的分布列和期望； （2）若游戏独立地进行三局，求甲一共向前走了两步的概率. 10.（江苏省九校2026届高三下学期一模联考）某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， (1)若，求； (2)求的概率分布列和数学期望； (3)证明：当且仅当时，. 决策问题 1.（贵州省贵阳市2026届高三年级适应性考试）甲、乙两选手进行象棋比赛，设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. (1)若采用3局2胜制，设，求甲最终获胜的概率； (2)设，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ (3)设在局n胜制中，甲最终获胜的概率为.试求出函数图象的对称中心，并推导的解析式. 2.（广东省广州市2026年普通高中高三毕业班综合测试）甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束， 命中目标者获胜. 假设甲每次射击命中目标的概率均为 ,乙每次射击命中目标的概率均为 ,各次射击结果互不影响. (1)若甲先射击，甲第 2 次射击且获胜的概率为 ，求 (用 表示)； (2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求 的最小值. 参考公式:若 ,则 . 3.（九师联盟2025-2026学年高三上学期第五次质量检测（1月））某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出8位候选人，然后在这8人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛． (1)已知某班甲、乙、丙三人已经入围8位候选人之中，现从这8人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为X，求X的分布列与数学期望； (2)预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛．若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； (3)假如只有A组与B组进入决赛，胜者获得冠军．已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分．A组每道题先做对的概率都为，B组先做对的概率都为q，且，各题做题结果相互独立．现在有两种赛制可以供A组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军．你认为A组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程． 4.（河北唐山市2026届高三第一次模拟演练）某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励. (1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率； (2)若甲先抽取了k（，且）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（，）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张. （ⅰ）若，当时，求甲获得最大金额奖励M的概率p； （ⅱ）当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若，请估计p的最大值，并求此时k的值. （估值参考：当时，，，，.） 马尔可夫链、递推概率、数列型概率 1.（湖北省部分市州2026届高三上学期1月联考）某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为.为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分.刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分. (1)若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望； (2)设最终得分为n的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 2.（甘肃省2026届高三第一次模拟考试）甲､乙两人各持有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片，规定两人每次同时从对方手中随机抽取1张卡片交换（记为一轮操作）.记轮操作后，甲手里有2张“欢”字卡片的概率为，甲手里有2张“喜”字卡片的概率为. (1)求的值； (2)求的值. 3.(江苏南京市中华中学2026届高三模拟预测)小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷． (1)求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率； (2)规定第一次从小明开始，在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值； 4.（浙江省宁波市2025-2026学年第二学期高考模拟）某自动文本生成工具存在两种常见状态：状态1为生成状态，在此状态下，工具根据用户输入的提示､主题或参数，利用预训练模型生成文本内容；状态2为优化状态，在此状态下，工具对已生成的文本进行校对､润色､改写或结构优化.已知该文本生成工具能自动进行状态切换或保持，每进行一次状态切换或保持称为一次自动操作.假设首次（第一次）自动操作后处于状态1和状态2的概率均为，且之后每次自动操作后所处的状态仅与操作前的状态有关，与更早的状态无关.表示从第二次自动操作开始，每次自动操作时从状态到状态的概率，若，且. (1)记前2次自动操作后的状态中状态为1的次数为， （i）求前2次自动操作后的状态中第一次状态为1，第二次状态为2的概率； （ii）求随机变量的期望； (2)记事件：前次自动操作后的状态中状态1和状态2均为次，当时，证明：. 5.（东北三省三校2026届高三下学期第二次模拟）在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记为第个时间步长车辆所在的车道（）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记为一步转移概率,矩阵为一步转移概率矩阵. 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为. (1)已知时刻车辆处于车道0的概率为,处于车道1的概率为. ①写出该模型的一步转移概率矩阵； ②若时刻车辆处于车道1,求时刻车辆处于车道0的概率. (2) 在第（1）问的初始概率条件下,记（）,求随机变量的分布列（结果用含的式子表示） 6.（山东济宁市2026年高考第一次模拟）2026年春节期间，甲乙两名同学在商场参加一个小游戏，且分在同一组.现有三个不透明的盒子，盒中分别装有若干个除颜色不同外，其他均相同的球，盒中有1个红球，2个黄球；盒中有1个红球，3个黄球；盒中有5个红球，3个黄球.游戏规则如下：两人为一组参加游戏，游戏按轮依次进行，每一轮都是甲先从盒中随机摸出1个小球，记录颜色后再放回盒内，然后，乙根据甲摸到小球的颜色在指定的盒子中有放回地摸一个小球.若甲摸到红球，则乙从盒中摸球；若甲摸到黄球，则乙从盒中摸球.记录乙摸出小球的颜色后放回小球，本轮结束.在一轮摸球过程中，若甲和乙摸出的小球颜色相同，则二人获得一张“骐骥”卡片；若颜色不同，则二人获得一张“驰骋”卡片.规定连续两轮获得“驰骋”卡片时游戏结束，否则，继续游戏.假设每轮摸球结果互不影响. (1)求甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率； (2)记甲乙两人在第轮摸球结束时依然未终止摸球游戏的概率为，且. （i）求； （ii）求，并判断：当时，是否无限趋近于一个常数？若是，求出的值；若不是，请说明理由 7.（山东淄博市2025-2026学年高三下学期模拟）甲口袋中装有3个红球，乙口袋中装有2个黄球和1个红球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记乙口袋中黄球个数为，恰有2个黄球的概率为，恰有1个黄球的概率为. (1)求，和，； (2)求的数学期望（用表示）； (3)，若，有 ，求所有元素之和. 8.（江西省重点中学协作体2026届高三第一次联考）小明玩一个掷骰子游戏：每次同时掷三枚均匀的六面骰子（点数从1到6），记录点数和.每枚骰子朝上的点数互不影响，游戏规则如下： •若连续两次点数和大于等于12，则游戏立即结束. •若某次点数和小于12，则之前的“点数和大于等于12”的次数清零，并从下一次重新开始计数. 以当前连续点数和大于等于12的次数作为状态，记状态0为上一次点数和小于12或刚开始，状态1为上一次点数和大于等于12，状态2为游戏结束. (1)求一次掷三枚骰子，点数和大于等于12的概率p. (2)设从状态0开始，记第n次掷骰子后游戏首次结束（即首次到达状态2）的概率为. ①求，； ②证明：数列满足递推关系（，）； (3)以掷骰子的次数为步数，构成一个马尔可夫链. 设从状态0、状态1出发到游戏结束所需步数的期望分别为、． 考虑当前状态与下一步可能转移的状态，建立关于、的方程组（例如：在状态0时，掷一次骰子后可能仍处于状态0或进入状态1，步数期望如何表达？）；以此为依据解答下列问题： 设随机变量X表示从开始到游戏结束时所需的掷骰子次数（即首次到达状态2的步数），求X的数学期望 9.（湖北武汉市2026届高中毕业生三月调研）有张编号分别为到的卡片，横向随机排列.对于这张卡片，初始状态下卡片标号从左到右为，，…，记此时的卡片排列为（，，…）.对这张卡片的排列进行如下三步操作：1.取出最左边的卡片，记其标号为；2.剩余卡片中，标号小于的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为，，…（若不存在则为空），标号大于的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为，，…（若不存在则为空）；3.对这张卡片重新排列，得到新排列：（，，…，k，，，…）.每进行完上述三步操作，称为一次“完整操作”. (1)若初始排列为，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列； (2)求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到的顺序排列的概率； (3)记初始排列中有个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到的顺序排列，当时，证明：. 10.（广东省东莞市2025-2026学年上学期期末检测）座位错排问题是一个十分有趣的数学问题．现有编号为的共个同学及与其对应的编号为的座位，即第位同学的座位编号为，定义错排数为将共个同学安排在编号为的共个座位上，其中有个同学不在其对应座位上的情况数．例如．另外，规定. （1）计算：； （2）当时，随机地将这4位同学安排在4个座位上，设不在其对应座位上的同学人数为，在其对应座位上的同学人数为，计，求的分布列及期望； （3）定义错排概率为随机地将这位同学安排在个座位上，其中有个同学不在其对应座位上的概率，证明：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年新高考第18题分类训练 统计概率综合解答题 考点 3年考题 考情分析 统计概率综合解答题 2025年新高考Ⅰ卷第15题 2025年新高考Ⅱ卷第19题 2024年新高考Ⅰ卷第19题 2024年新高考Ⅱ卷第18题 2023年新高考Ⅰ卷第21题 2023年新高考Ⅱ卷第19题 概率统计解答题难度梯度明显、题型区分度大，纵览近三年新高考全国卷命题规律，核心考点集中在事件与概率计算、独立性检验、频率分布直方图、离散型随机变量的分布列与期望方差等主干内容。据此可预判2026 年新高考概率统计大题仍将以独立性检验、线性回归方程、随机变量分布列及期望方差为核心背景，突出情境化、应用型命题思路，重点考查数据处理、概率建模与逻辑推理能力。 1.（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第15题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.005 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)有关 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断. 【解析】（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； （2）零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 2.（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第19题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立，对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． (1)求（用p表示）． (2)若，求p． (3)证明：对任意正整数m，． 【答案】(1)， (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）直接由二项分布概率计算公式即可求解； （2）由题意，联立，即可求解； （3）首先，，同理有，，作差有，另一方面，且同理有，作差能得到，由此即可得证. 【解析】（1）为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场， 故所求为， 为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场， 故所求为； （2）由（1）得，，同理， 若，， 则， 由于，所以，解得； （3）我们有 . 以及 . 至此我们得到，，同理有，. 故，即. 另一方面，由于 且同理有. 故结合， 就能得到，即，证毕 3．（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第19题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据可分数列的定义即可； （2）根据可分数列的定义即可验证结论； （3）证明使得原数列是可分数列的至少有个，再使用概率的定义. 【解析】（1）首先，我们设数列的公差为，则. 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列， 故我们可以对该数列进行适当的变形， 得到新数列，然后对进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是，或，或. 所以所有可能的就是. （2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组. （如果，则忽略②） 故数列是可分数列. （3）定义集合，. 下面证明，对，如果下面两个命题同时成立， 则数列一定是可分数列： 命题1：或； 命题2：. 我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 此时，由于从数列中取出和后， 剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组； ③，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 故此时数列是可分数列. 第二种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 由于，故，从而，这就意味着. 此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，，共组； ③全体，其中，共组； ④，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数： ，，，. 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数. 而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列. 至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列. 然后我们来考虑这样的的个数. 首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个； 而如果，假设，则可设，，代入得. 但这导致，矛盾，所以. 设，，，则，即. 所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个. 所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个. 这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为. 当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于. 而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个. 所以数列是可分数列的概率一定满足 . 这就证明了结论. 4.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第18题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1)(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【解析】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 5.（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据全概率公式即可求出；（2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出；（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出． 【解析】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为等比数列， 即． （3）因为，，所以当时，，故． 6.（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第19题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； （2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 【答案】（1），； （2），最小值为． 【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出，再根据第二个图求出的矩形面积即可解出；（2）根据题意确定分段点，即可得出的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出． 【解析】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以，所以，解得：， ． （2）当时， ； 当时， , 故， 所以在区间的最小值为． 1. 频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图) 横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率. 2.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 3.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数. (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. (3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数. (4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是 s＝，s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]. 4.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数. (1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. 5.线性回归方程 （1）最小二乘法：使样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． （2）回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：，其回归方程为，则注意：线性回归直线经过定点． （3）相关系数：． 6.回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. (2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)， 其中(，)称为样本点的中心. (3)相关系数 当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关. r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强. r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性. (4)相关指数：R2＝1－.其中 (yi－i)2是残差平方和，其值越小，则R2越大(接近1)，模型的拟合效果越好. 7.独立性检验 列联表列联表：一般地，假设两个分类变量和，它们的取值为，其样本频数列联表(也称为列联表)为 合计 合计 列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数。 独立性检验的一般方法 （1）根据题目信息，完善列联表； （2）提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。 （3）根据列联表中的数据及计算公式求出的值； （4）当时，我们就推断不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量相互独立。 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828 8.条件概率及其性质 （1）对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为()．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则(n(AB)表示A，B共同发生的基本事件的个数)． （2）条件概率具有的性质 ①； ②如果B和C是两个互斥事件，则. （特别地，） 9.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式为全概率公式. 10.马尔可夫链基本原理 利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得： 11.离散型随机变量的分布列 （1）;（2）. （3）数学期望 方差 数学期望的性质.方差的性质； 方差与期望的关系. 12.二项分布 （1）一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． ，． 13.超几何分布 （1）在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 14.正态分布 （1）随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值． 正态分布密度函数，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． （2）原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有 ；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则 频率分布直方图 1.（重庆市名校联盟2026届高三下学期第一次联考）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)72分 (2)分布列见解析， 【解析】（1）由题意，解得， 成绩在的频率为0.1，在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为， 所以选报物理方向的最低分在内，则， 解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． （2）由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为， 成绩在的频数为， 再从这7份答卷中随机抽取3份，的所有可能取值为， ， 故的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：． 2.（辽宁省大连市2026年高三双基模拟考试）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)估计月用电量样本数据的中位数； (3)在该小区所有居民用户中随机抽取一用户，已知的月用电量落在区间中，估计的月用电量恰好落在区间中的概率. 【答案】（1） （2） (3) 【解析】 （1）频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，每组的组距为50， 根据上述性质可得： , 解得； （2）首先计算前几组的频率： 区间的频率：， 区间的频率：， 区间的频率：， 前两组频率之和为，前三组频率之和为， 所以中位数在内， 设中位数为m，则， 解得； （3）先计算区间的频率： 区间的频率：， 区间的频率：， 区间的频率：， 所以区间的频率为，区间的频率为0.18， M的月用电量落在区间中时， 恰好落在区间中的概率为. 独立性检验 1.（湖南省联考2025-2026学年高三上学期期末）某中学象棋社为了解学生对象棋的兴趣程度，对本校学生进行了随机问卷调查，调查结果统计如下： 非常感兴趣 有一点兴趣 不感兴趣 男生 100 60 40 女生 50 50 100 （1）从参与问卷调查的学生中随机抽取1人，设事件“该学生是男生”为，事件“该学生对象棋不感兴趣”为，求和； （2）将“非常感兴趣”与“有一点兴趣”统称为“感兴趣”，兴趣程度按照“感兴趣”和“不感兴趣”分类，根据小概率值的独立性检验，能否认为该校男生和女生对象棋的兴趣程度有差异？ 附：。 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1），P(B|A) （2）解析见解析 【解析】 （1）参与调查的总人数为， 男生人数为100+60+40=200，对象棋不感兴趣的人数为40，男生中对象棋不感兴趣的人数为40，所以，， P(B|A)= （2）可得如下列联表： 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 160 40 200 女生 100 100 200 合计 260 140 400 零假设H0：该校男生和女生对象棋的兴趣程度没有差异 χ2=400×(160×100-40×100)2200×200×260×140=360091≈39.560>6.635， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即该校男生与女生对象棋的兴趣程度有差异，此推论犯错为的概率不大于0.01. 2.（黑龙江齐齐哈尔市2026届高三第一次模拟）中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭､载人航天､深空探测等多个领域.为了了解不同学历人群对航天工程的关注情况，某社区随机调查了200位社区居民，得到如下数据（单位：人）： 学历 关注 不关注 合计 本科及以上 80 20 100 本科以下 60 40 100 合计 140 60 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为对航天工程的关注情况与学历有关？ (2)现为了激发社区居民对航天工程的关注，该社区举办了一次航天知识闯关比赛，规则如下： 第一关：设置3道必答题，参与者需至少答对2道才能参与下一关答题，否则淘汰； 第二关：设置3道题，前2道题每答对1道奖励200元，答错即结束答题，奖励清零，2道题都答对可选择放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3道题答对奖励400元，答错前2道奖励减半，答题结束.已知甲参与闯关比赛，第一关答题的3道题每道题答对的概率均为，第二关答题的前2道题每道题答对的概率均为，第3道题答对的概率为，各题答对与否相互独立. （i）求甲能进入第二关答题的概率； （ii）已知甲进入第二关答题，从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3道题，使获取的奖金更多. 参考公式及参考数据：. 0.05 0.01 3.841 6.635 【答案】(1)能 (2)（i）；（ii）当时，建议挑战第3道题；当时，挑战和不挑战第3道题都可以；当时，建议不挑战第3道题. 【解析】（1）解：零假设为：对航天工程的关注情况与学历无关， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为对航天工程的关注情况与学历有关. （2）解：（i）记甲能进入第二关答题为事件，即3道题至少答对2道题， 所以 （ii）若确定不挑战第3道题，获得奖金为，的可能取值为0,400， ， 则的分布列为： 0 400 所以； 若确定挑战第3道题，获得奖金为，的可能取值为0,200,800， ，， 则的分布列为 0 200 800 所以. 令， 故当时，，建议挑战第3道题； 当时，，挑战和不挑战第3道题都可以； 当时，，建议不挑战第3道题. 3.（福建省部分高中学校2026届高考适应性考试（一模））在统计一些敏感性问题的回答时，往往很难得到受调查者的诚实性答复．为了解决这一问题，我们往往需要适当地采用一些统计学方法，下面的例子给出了一个有效的手段．某地卫生部门派遣调查组前往当地某校问询校内学生的吸烟情况，很明显，如果直接询问这样的问题很难得到学生的诚实回答．为此，调查组成员想到了一个统计方法，首先设计了如下的调查问卷形式： 问题甲：你父亲的生日日期是奇数吗？ 请用铅笔填涂相关选项： 是□            否□ 问题乙：你是否有吸烟的习惯？ 请用铅笔填涂相关选项： 是□           否□ 而后，准备好一个不透明盒子，其中放入足够多质量、大小、质地相同的小球，且其中红白两色小球各占一半，在受调查学校高一、高二、高三三个年段采用分层随机抽样的方式抽取共200名学生作为样本．让参与调查的学生轮流抽取盒子里的一个球，如果抽到了红色球，则需要回答问题甲；如果抽到了白色球，则需要回答问题乙．抽球和回答问卷时不安排人员监督，提交问卷时，只需上交其答案，而不需要透露其回答的问题内容．依据此方法，调查过程中共拿到了54张填涂“是”的答卷． (1)请说明此调查方式的合理性，并估计该校吸烟学生在总人数中所占的百分比； (2)为了更精确地了解该校学生的吸烟状况，调查组经商议决定让全校共6000名学生参与此次问卷调查．调查过程中共拿到了1836张填涂“是”的答卷，且其中有720张答卷来自女生．已知该校男女比例为1：1，请估计该校吸烟学生中男、女生的人数，并据此判断能否有99.9%的把握认为吸烟行为和性别相关联． 附：， 【答案】（1）3%（2）详解见解析 【解析】（1）此调查方式的合理性在于，受调查者在调查过程中完全匿名，他们可以诚实地回答敏感性问题． 每个学生从袋子里摸出1个白球或1个红球的概率都是0.5， 即我们期望有100人回答了问题甲， 因为回答父亲的生日日期是奇数的概率为， 所以在回答问题甲的人中，大约有51人回答了“是”， 因此在回答问题乙的人中，大约有3人回答了“是”， 由此估计该校学生中大约有3%的人会吸烟. （2）依题意知，该校男生和女生各有3000人， 同（1），可以估计该校对问题甲回答“是”的人数约为人， 所以对问题乙回答“是”的人数约为人，即吸烟人数约为306人， 其中女生人数约为人，男生人数约为人， 故有吸烟行为的女生约有120人，没有吸烟行为的女生约有2880人， 有吸烟行为的男生约有186人，没有吸烟行为的男生约有2814人. 作出列联表如下： 性别 吸烟情况 合计 有吸烟 无吸烟 男生 186 2814 3000 女生 120 2880 3000 合计 306 5694 6000 零假设：吸烟行为和性别没有关联， 由列联表，可知， 所以， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为吸烟行为和性别有关联，且该推断犯错误的概率不超过0.001， 所以有99.9%的把握认为吸烟行为和性别有关联. 4.（湖南省名校联考联合体2025-2026学年高三联考）某人工智能研发公司为了开拓新产品市场，从最新研发的经典A型和卓越型两款机器人中（卓越型是A型的优化版），随机各抽取30台进行越野驾驶性能对比测试，测试在同等环境中进行，评定结果分为优秀和良好两种.得到了如下数据：经典A型优秀为7台，卓越型优秀为20台. (1)完成下面2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析两款机器人的测试结果是否与越野驾驶性能优化有关. 款类 测试结果 总计 优秀 良好 型 20 30 A型 7 30 总计 (2)该公司为了进一步测试卓越型机器人的汉语智能性能，组织机器人队与人类队（母语为汉语）进行诗词抢答赛，每局比赛只有胜和负两种情况（无平局），每局人类战胜机器人的概率为胜者记2分，负者记1分.每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响. （i）求三局比赛中，人类队累计得分X的分布列和数学期望； （ii）若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义. 参考公式： 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)详解见解析 (2）（i）分布列见解析，4 （ii）详解见解析 【解析】（1）依题意，列出2×2列联表如下： 款类 测试结果 总计 优秀 良好 型 20 10 30 A型 7 23 30 总计 27 33 60 零假设为：测试结果与越野驾驶性能优化无关.根据表中数据可得： ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为测试结果与越野驾驶性能有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. （2）（i）X的所有可能取值为3，4，5，6， ，， ，. ∴X的分布列为 3 4 5 6 ∴数学期望. （ii）设“赛满局人类队获胜”为事件C，要使事件C发生，有两种情况：第一阶段赛满局人类队胜，记为事件，和第一阶段赛满局人类队负，记为事件， ∴，， ①若第一阶段人类队胜，则人类队在前局至少胜局，分为人类队至少胜局和人类队恰好胜局， （a）若人类队至少胜局，无论后面两局结果如何，最终人类队获胜； （b）若人类队恰好胜局，且后面两局中人类队均负的概率为， ∴（其中）. ②若第一阶段赛满局人类队负，即前局人类胜局数，要使总赛满局后人类获胜，需满足：前局胜局，且后局全胜， 前局胜局的概率为，后局全胜的概率为， 因此 所以 代入，化简得， 所以 统计意义：对于单局胜率小于的挑战者，增加比赛总场次会降低其最终获胜的概率. 经验回归方程 1.(福建泉州市2026届高中毕业班质量检测（一）)为深入贯彻“五育融合”的教育理念，某地在中小学全面推广劳动教育实践课程，定期统计学生参与劳动实践的情况，下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与劳动实践的学生人数（单位：万）. 月份编号 1 2 3 4 5 日平均参与人数 0.5 0.7 1 1.3 1.5 根据表格数据得到如图所示的散点图. (1)根据散点图推断与是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； (2)由（1）所得结论，建立关于的回归方程，并预测第6个月的日平均参与人数； (3)假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万）服从正态分布，并视（2）的结果为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万的天数是否不少于25天. 附： ①样本相关系数； ②回归直线的斜率的最小二乘估计为； ③； ④若，则. 【答案】(1)0.997，与的线性相关程度强；(2)，1.78(3)该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天. 【解析】（1）根据散点图直观判断与之间线性相关. 因为， 所以与的线性相关程度强； （也可利用“”或“接近1”判断相关程度强） （2）设，则， 所以，故时，. 2.（山东聊城市2026届高三下学期高考模拟）某景区统计了连续5天该景区接待游客的人数（单位：万人），数据如下表： 第x天 1 2 3 4 5 接待游客人数y（万人） 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)根据表中数据，求y关于x的经验回归方程，并预测第7天该景区接待游客的人数； (2)该景区上山、下山各有步行和乘观览车两种方式．调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为，，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为，乘观览车上山的游客下山时继续选择乘观览车的概率为．假设游客之间选择上山、下山的方式互不影响，现从该景区出口随机选取4位下山的游客了解其下山方式，记X为这4人中步行下山的游客人数，求X的分布列和期望． 附：参考数据：，，． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】(1)；8.8万人. (2)分布列见解析，数学期望为3. 【解析】（1）由题，又，，，， 所以 ， 因此关于的经验回归方程为， 将代入回归方程得，即预测第7天接待游客人数为8.8万人. （2）设事件为“游客步行下山”，事件为“游客步行上山”，事件为“游客乘观览车上山”， 根据全概率公式可得每位游客步行下山的概率为， 所以由题意，的可能取值为 ，， ，， ， 因此的分布列为： 0 1 2 3 4 所以期望为. 3.（湖南怀化市2026届高三下学期第一次模拟考试）我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎.某品牌新能源汽车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：.现有①和②两种模型作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中均为常数. (1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)为刺激消费，省出台了以下补贴政策：每购买一辆新能源汽车，补贴6000元.若甲､乙两人近期在省购买一辆该新能源汽车的概率分别为，其中，每人最多购买一辆.求该省对甲､乙两人补贴总金额的期望值的取值范围. 参考数据：. 相关系数. 【答案】(1)模型②的拟合程度更好 (2) 【解析】（1）设模型①和②的相关系数分别为， 由题意可得：， ， 所以，由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好. （2）由题意，甲乙买车的总数量可能值为， ， ， ， 该省对甲､乙两人买车数量期望值为， 所以两人补贴总金额期望值为，， 由在上单调递增，则， 所以. 4.（广东佛山市2025-2026学年普通高中教学质量检测（二））近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处理、理解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，某研究机构对2025年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了14款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图： (1)用频率估计概率，根据2025年该区域的企业发布大模型的分布情况，估计该区域2026发布的大模型是多模态模型的概率； (2)若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据（，2，3，4，5，6，表示2025年1月份，表示2025年6月份，…），计算得，，. （i）建立y关于t的线性回归方程； （ii）根据语言模型的数据建立的回归方程为，该区域的某家企业在2026年4月发布了1款标准化测试得分为68分的大模型，定义统计量，Q值越小的大模型发生的可能性越大，则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 【答案】(1) (2)（i） （ii）详解见解析 【解析】（1）由2025年的数据可知，随机抽取了14款大模型，其中多模态模型有6款，用频率估计概率，多模态模型的频率为，所以该区域2026发布的大模型是多模态模型的概率为. （2）(i)  因为，，， 表示2025年1月份，表示2025年6月份，所以 所以， 所以，根据， 所以y关于t的线性回归方程为： (ii) 已知2026年4月，则，计算多模态模型的预测值和残差，，残差为：， 所以.再计算语言模型的预测值和残差，，残差为：，，所以，所以根据值越小的大模型发生的可能性越大，所以该款大模型更有可能是语言模型. 5.（河南省郑州市2026届高三上学期第一次质量预测）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下： 零件数/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间/分 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 根据样本数据，画出加工时间与加工零件个数的散点图，如图所示，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，因此可以用一元线性回归模型刻画加工时间与加工零件个数之间的关系.（运算结果保留小数点后两位数字）    (1)请求出加工时间关于零件数的经验回归方程； (2)该车间实行“按时计件”工资制度：若工人完成一个零件的平均时间低于标准时间，则可获得额外奖励.已知目前每个零件的标准加工时间定为1.2分钟，根据上述回归方程判断： （ⅰ）对于120个零件的任务，预测加工时间是否低于现行标准加工时间？（标准加工时间为分钟） （ⅱ）若工人的实际加工能力与回归模型基本一致，车间是否应考虑调整标准时间？若需调整应调整到多少比较合适？ 附：参考数据：，，，. 对于一组数据，，，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 【答案】(1) (2)（ⅰ）低于现行标准时间；（ⅱ）应考虑调低标准时间， 【解析】（1）易知，， 所以， 可得， 所以加工时间关于零件个数的经验回归方程是， （2）（ⅰ）当时， 所以120个零件任务的回归预测时间，因此低于现行标准时间. （ⅱ）由于回归预测显示实际所需时间（约135.25分）比标准时间少9分钟，说明按照现行标准，工人很容易拿到奖励（实际效率更高）. 如果车间希望控制奖励发放比例或更符合实际效率，应考虑调低标准时间，如调整到接近预测的分/个，使标准更贴近真实加工能力. 6.（广东广州市天河区2026届普通高中毕业班适应性训练（二模））某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为. 2 5 6 8 9 16 20 21 28 10.96 19.24 22 27.52 30.28 (1)求的值； (2)现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望； (3)已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)经验回归方程的拟合效果不良好 【解析】（1）， ， 因为，即， 解得. （2）5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值， 所以可能取值为， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 期望. （3）， ， 所以经验回归方程的拟合效果是不良好. 7.（湖南省湘一名校联盟2026届高三上学期12月质量检测）某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示： (1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； (2)由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 【答案】(1) (2). 【解析】（1）由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元， 故所求概率为. （2）， 由题知，， ， ， ，故. 概率问题 1.（Z20名校联盟2026届高三第二次联考）某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 A B C D E F G 研发投入x（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数y（件） 3 5 7 6 9 10 11 （1）现从这7家企业中随机抽取1家。记事件M：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件N：抽到的企业“专利产出数超过8件”。 （i）求条件概率P(N|M)的值； （ⅱ）判断事件M与N是否相互独立，并说明理由； （2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量X.求X的分布列和数学期望E(X) 【答案】(1)（i） （ⅱ）M，N不独立 (2)分布列见解析， 【解析】（1）（i） （ii）事件M与N不相互独立.理由如下： 利用独立性定义： 所以M，N不独立； （2）这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以的所有可能取值为， （服从超几何分布， ） ，， ，， 故的分布列为： X 0 1 2 3 P 故的数学期望 2.（安徽江南十校2026届高三3月联考） 托马斯.贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：设，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有.这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理）.其中称为事件的全概率. (1)假设这3台车床型号相同，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是0.3，设同时发生故障的车床数为随机变量，求的分布列和数学期望： (2)假设该车间生产了两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中等可能地随机挑选一箱，然后从该箱中随机取一个零件.已知取出的是次品，求它是从第二箱中取出的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【解析】（1）设，由题意知： 所以的分布列为 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 . （2）设“任取一个零件为次品”， “零件是从第箱取出的”，则且， 由题意知：，， 由全概率公式： ， 由贝叶斯公式知： 3.（安徽皖南八校2026届高三下学期4月教学质量检测）已知甲手里有3张卡片分别标有数字1，3，5，同样乙手里也有3张卡片分别标有数字2，4，6，若在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张（不放回），并比较所选卡片上数字的大小，数字大的一方获胜并得1分，数字小的一方得0分，两人共进行三轮比赛． (1)求第一轮甲获胜的概率； (2)在第一轮甲获胜的条件下，第二轮甲获胜的概率； (3)三轮比赛结束，求甲的总得分的期望． 【答案】(1) (2) (3)1 【解析】（1）根据题意第一轮两人各自从自己持有的卡片中随机选一张， 所有可能组合有种： ， 甲获胜的情况是甲的数字大于乙的数字，有3种，所以甲获胜的概率为． （2）设“第一轮甲获胜”为事件，“第二轮甲获胜”为事件， 由上可知第一轮甲获胜的概率为， 事件“第一轮甲获胜且第二轮甲获胜”（记为）包含两种互斥情况：第一轮甲出3胜乙出2，第二轮甲出5胜乙出4与第一轮甲出5胜乙出4，第二轮甲出3胜乙出2,每种情况的概率均为， 故， 根据条件概率公式． （3）甲、乙双方的出牌顺序分别有种，所有可能的出牌顺序组合共有种，这些组合等可能.因对称性，可固定甲的出牌顺序为来分析甲的得分情况,设甲总得分为，则的可能取值为在不考虑出牌顺序的前提下， 第一行为甲出牌，其余为乙出牌，如下表， 甲得分 1 3 5 0 2 4 6 1 2 6 4 1 4 2 6 1 4 6 2 2 6 2 4 1 6 4 2 甲、乙两人出牌共有36种， 则， 则. 4.（河南省郑州外国语学校2026届高三下学期3月阶段检测）已知无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定各轮结果相互独立.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件，蓝方击中红方目标为事件. (1)求概率、； (2)设随机变量表示经过1轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差，求的分布列和数学期望； (3)求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率. 【答案】(1)， (2)期望为，分布列见解析 (3). 【解析】（1）记无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件，，， 红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功分别为事件，，，. ， . （2）经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标数之差X的可能取值为. ， ， . X的概率分布为： 0 1 所以的数学期望. （3）记3轮对抗后训练结束为事件C，记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件D. 记3轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差为Y， ， ， 所以， 所以. 所以在3轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为. 5.（福建省福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试）某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量的分布列为 其中，． (1)当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； (2)已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人． （i）求该顾客为幸运客户的概率； （ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）， （ii） 【解析】（1）由题可知，， 化简可得 ， 当时，，则， 即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为． （2）（i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”， 则，，，． 依题意，得，， 因为每个盲盒是否为封面款相互独立， 所以，， 又由题意知，，且、、、两两互斥， 所以， 由（1）得，，代入化简可得， 所以，； （ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 依题意，得，且，、、两两互斥， 所以， 由（i）得，， 所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为 ， 由题意，可得，解得， 又因为，所以． 二项、超几何、正态等分布列问题 1.（湖北宜昌市2026届高三下学期3月调研）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 【答案】(1) (2)，，分布列见解析 (3)会得到推广，因为. 【解析】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则. （2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， ， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 （3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则，满足推广条件，因此该系统会得到推广. 2.（福建厦门大学附属科技中学2026届高三下学期数学3月限时训练）2026年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； (2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； (3)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【解析】（1）记3人中通过第一轮的人数为， 由题意可知， 记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件， 则. （2）记随机选择小明、小华、小方的事件分别为，通过第二轮的事件记为， 则由题意可知， 则， 所以. （3）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为， 则， ， ， 由相互独立可知， ， ， 所以的分布列是 0 1 2 3 则的数学期望是． 3.（山东省烟台市2026届高三下学期高考诊断性测试）某工厂生产一批产品，其单件产品的真实合格概率为.由于质检设备存在误差，当单件产品为合格品时，被该质检设备检测为合格的概率为，当单件产品为不合格品时，被其误判为合格的概率为，且.现从该批产品中随机抽取件，并用该质检设备进行检测，设每件产品的检测结果相互独立，检测结果为合格的件数为. (1)求单件产品的检测结果为合格的概率； (2)若为定值，求取最大值时的值； (3)当足够大时，（2）中的近似服从.设，当时，试估计的最小值及相应的值. 说明：若，则，其中为的正态密度函数.参考数据：. 【答案】(1) (2) (3)的最小值为19600，此时 【解析】（1）设“单件产品实际为合格品”为事件，“单件合格品检测为合格”为事件，“单件不合格品误判为合格”为事件，则由全概率公式知， ， 即单件产品的检测结果为合格的概率为. （2）因为每件产品的检测结果相互独立， 所以件产品中检测结果为合格的件数服从二项分布. 当时，. 令，其中，则 令，得，且， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，当时，取得最大值．因此. （3）由于为随机变量，由（2）可设. 且，所以. 因为，所以 所以， 将代入，整理得. 因为，所以， 由题知，近似服从， 所以，故， 由参考数据，故，解得. 又，所以恒成立. 因为时，取得最大值19600. 所以的最小值为19600，此时. 4.（湖南名校大联盟2026届高三月考卷）甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析，2 (3) 【解析】（1）设表示在一局比赛中甲得分，则“”表示甲答对且乙答错的情况， 根据独立事件概率乘法公式，可得； （2）包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错， 甲、乙都答对的概率为， 甲、乙都答错的概率为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得， 因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以. 则， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 则的数学期望； （3）甲最终获胜有以下四种情况： ① 三局都得10分，其概率为， ② 两局得10分，一局得分，其概率为， ③ 两局得10分，一局得分，其概率为， ④ 一局得10分，两局得分，其概率为， 综上可得，甲最终获胜的概率为. 5.（江西“三新”协同教研共同体2026届高三4月）某工业系统内初始装有2个类部件和1个类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到类部件的概率为，第次操作后系统内类部件的数量为. (1)求与的值. (2)证明：. (3)求数列的通项公式. 附：若随机变量服从两点分布，且，则. 【答案】(1) ， (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）由题可知，. （2）证明：设的所有可能取值为，则， 记事件为第次操作抽调到类部件，则， 根据全概率公式可得， 在的条件下，系统内共有个部件，其中有个类部件，则事件发生的概率， 则， 因为，所以， 则. （3）设随机变量满足若第次操作抽调到类部件，则， 若第次操作抽调到类部件，则，所以服从两点分布，且. 由题可知，第次操作后系统内类部件比上一次的增量为，则； 因为，所以. 由（2）可知，，则， 则当时，有， 则，即， 当时，，，满足上式， 故，，则. 令，则，， 则， 则， 则 6.（湖北省黄冈中学等十一校2025-2026学年高三下学期第二次联考）一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． (1)当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； (2)当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设1号乘客坐在号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为， 则， ，， ，， 所以. （2）随机变量所有可能的取值为0，1，2，4； ， ， ， ， 所以. 7.（浙江温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试）在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位. (1)求6次姿态修正后达到个单位的概率； (2)以下三种情况将导致校准流程终止： 情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）； 情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）； 情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）. （ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率； （ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求 【答案】(1) (2)（ⅰ） （ⅱ） 【解析】（1）若6次姿态修正后达到个单位，则需要6次姿态修正中，有4次正方向修正，2次负方向修正， 且每次正方向和负方向修正的概率均为， 故6次姿态修正后达到个单位的概率为. （2）（ⅰ）设第次修正的结果为，且，累计的修正单位为， “能源耗尽”意味着完成6次修正，即在前4次修正中，必须是中的某一种， 则第5次和第六次的修正可以为中的任意一种，故共有种选择， 故“完成6次修正”总的路线共有种， “校准到位”的路线有共有4种， 故在能源耗尽的条件下校准到位的概率为. （ⅱ）随机变量的取值为2,4,6， 表示两次修正都是正方向，或者都是负方向，故, 表示前两次修正的方向中有一次正方向，一次负方向，后两次修正都是正方向，或者都是负方向， 故, , 的分布列如下： 2 4 6 故 8.（云南昆明市普通高中2026届高三下学期复习教学质量诊断）低空经济是区域经济发展的新引擎，某无人机物流枢纽中心计划在甲､乙两条航线中选定一条作为常态化航线.为评估航线性能，该中心进行了多次模拟测试.经统计分析，甲航线在连续12次测试中，单次测试成功率为，各次测试相互独立，记其成功次数为；乙航线在次测试中成功次数为，且. (1)求的值； (2)为量化两条航线的综合表现，该中心引入“稳定性系数”的评估指标：稳定性系数越小，表示稳定性越好，综合表现越优.当时，分别计算甲､乙两航线的稳定性系数，并以此判断哪条航线的综合表现更优； (3)若每次任务执行成功能盈利200元，执行失败则亏损80元.根据（2）的结论，选择综合表现更优的航线，根据测试数据估计该航线执行次任务的利润的期望. 【答案】(1) (2)详解见解析 (3) 【解析】（1）由题意，，解得； （2）因为，所以. 当时，， 故，， 因为，所以甲航线综合表现更优； （3）设次派送任务中成功的次数为，则，， 设盈利为元，则元. 9.（阜阳市2025—2026学年度高三教学质量监测）甲､乙､丙三人玩“石头、剪刀、布”游戏，每局中每人独立随机出石头、剪刀、布，概率均为.每局的游戏规则如下：如果出现一人胜两人（比如甲出石头，同时乙和丙都出剪刀，则甲胜），赢者向前走两步，其他人不动；如果出现两人胜一人（比如甲和乙同出剪刀，同时丙出布，则甲和乙胜），赢者向前各走一步，输者不动；如果三人出相同手势或三人全不同手势（循环胜），视为平局，所有人都不走步.用表示甲在一局游戏中前进的步数. （1）求的分布列和期望； （2）若游戏独立地进行三局，求甲一共向前走了两步的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】（1）由题意可知的可能取值为、、. ，，. 所以，随机变量分布列为 所以. （2）用事件表示三局游戏后甲向前走了两步， 分别用、和表示第局中甲分别向前走了一步､两步和零步， 则 10.（江苏省九校2026届高三下学期一模联考）某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， (1)若，求； (2)求的概率分布列和数学期望； (3)证明：当且仅当时，. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【解析】（1）恰有2个正确选项的概率为，则恰有3个正确选项的概率为， 正确选项是2个时，随机选一个正确可得3分，概率为； 正确选项是3个时，随机选一个正确可得2分，概率为， 因此 （2）由题知，可能的取值为， ， ， ， 分布列为： （3）由题知，可能的取值为， ， ， 故， ， 故当且仅当时， 决策问题 1.（贵州省贵阳市2026届高三年级适应性考试）甲、乙两选手进行象棋比赛，设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. (1)若采用3局2胜制，设，求甲最终获胜的概率； (2)设，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ (3)设在局n胜制中，甲最终获胜的概率为.试求出函数图象的对称中心，并推导的解析式. 【答案】(1) (2)详解见解析 (3)详解见解析 【解析】（1）采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分或， 前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜. 因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为. （2）若采用3局2胜制，甲最终获胜，其胜局的情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”. 因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为 . 若采用5局3胜制，甲最终获胜，至少需要比赛3局： 若是3局，则其胜局的情况是：“甲甲甲”. 若是4局，则第4局甲胜，前3局甲胜2局，有种胜局情况，即是：“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”或“甲甲乙甲”. 若是5局，则第5局胜，前4局胜2局，有种胜局情况. 因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为 ， . 当时，；当时，. 故当时，对甲来说采用5局3胜制为有利， 当时两种赛制甲、乙最终获胜的概率相同，都是； （3）甲最终获胜的概率为.考虑选手乙，其每局获胜概率为.在相同赛制下，乙最终获胜的概率为. 由于比赛必有唯一获胜者，故. 特别地，取，得，即. 因此，点是函数图像的对称中心. 在胜制中，甲需先赢得n局.比赛最多进行局，甲在第k局获胜的条件是：前局中甲恰好赢了局，且第局甲赢. 因此， 易知是p的多项式， 进一步，将写成多项式形式：， 其中为系数，由于时甲必胜，即，代入得. 注意到幂次从n到共有n项，令， 则，且. 综上，的解析式写成以下三种形式： 或，且或，且. 2.（广东省广州市2026年普通高中高三毕业班综合测试）甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束， 命中目标者获胜. 假设甲每次射击命中目标的概率均为 ,乙每次射击命中目标的概率均为 ,各次射击结果互不影响. (1)若甲先射击，甲第 2 次射击且获胜的概率为 ，求 (用 表示)； (2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求 的最小值. 参考公式:若 ,则 . 【答案】(1) (2) 【解析】(1) 甲先射,甲第 2 次射且胜的概率为 第 1 次甲不中, , 第 1 次乙不中, , 第 2 次甲中, , 所以 . (2)乙先，乙胜为 ，甲胜为 , 乙胜:第 1 次乙中, , 第 1 次乙不中,第 1 次甲不中,第 2 次乙中, , 第 1，2 均未命中，第 3 次乙中， , 因为构成等比,首项 ,公比 , 故 . 同理,甲胜: , 因为 ,所以 , 又 ,所以 . 3.（九师联盟2025-2026学年高三上学期第五次质量检测（1月））某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出8位候选人，然后在这8人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛． (1)已知某班甲、乙、丙三人已经入围8位候选人之中，现从这8人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为X，求X的分布列与数学期望； (2)预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛．若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； (3)假如只有A组与B组进入决赛，胜者获得冠军．已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分．A组每道题先做对的概率都为，B组先做对的概率都为q，且，各题做题结果相互独立．现在有两种赛制可以供A组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军．你认为A组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程． 【答案】(1)分布列见解析， (2） (3)详解见解析 【解析】（1）由题意知随机变量的取值可以为0，1，2，3， ，， ，． 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望； （2）设甲、乙、丙能独立做对该题的事件分别为， 则至少有两人做对该题的事件为： ，所以竞赛小组能进入决赛的概率为 ； （3）按照赛制一，设做完选定的题后，组的得分为，则， 组取得胜利的概率为； 按照赛制二，可以认为在赛制一的基础上再把剩下的两道题做完， 不妨设做完题，组取得胜利的概率为， 则， ， 已知，所以， 所以，因此组采用赛制二更有利于胜出． 4.（河北唐山市2026届高三第一次模拟演练）某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励. (1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率； (2)若甲先抽取了k（，且）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（，）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张. （ⅰ）若，当时，求甲获得最大金额奖励M的概率p； （ⅱ）当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若，请估计p的最大值，并求此时k的值. （估值参考：当时，，，，.） 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）所以的最大值约为0.3679，此时． 【解析】（1）设抽到的第张奖券的金额为． 设甲获得最大金额奖励． 注意到． 则． （2）（i）仍设：甲获得最大金额奖励， 若，则，故只需考虑的情况． 设：抽到的第张奖券金额为． 由于是随机抽取，抽到的每张奖券为最大金额的机会均等，则． 只有当是前张奖券中的最大金额，甲才会保留第张奖券，则． 则． 若，当时，． （ii）由估值参考得，则． 令，则． 当时，． 当时，单调递增； 当时，单调递减， 因此，当时，取得最大值． 此时，不是整数， 又， 所以的最大值约为0.3679，此时 马尔可夫链、递推概率、数列型概率 1.（湖北省部分市州2026届高三上学期1月联考）某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为.为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分.刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分. (1)若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望； (2)设最终得分为n的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【解析】（1）由题意可知：最终得分X的可能取值为2，3，4， 则，，， 可得随机变量X的分布列为 2 3 4 期望为. （2）由题意可知：，，且， 因为，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，则， 累加可得， 则，且时，符合上式， 所以. 2.（甘肃省2026届高三第一次模拟考试）甲､乙两人各持有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片，规定两人每次同时从对方手中随机抽取1张卡片交换（记为一轮操作）.记轮操作后，甲手里有2张“欢”字卡片的概率为，甲手里有2张“喜”字卡片的概率为. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)，，， (2) 【解析】（1）第一轮操作，甲要抽到乙的“欢”字卡片，且同时乙要抽到甲的“喜”字卡片，甲手中才能有2张“欢”字卡片， 由独立事件的概率乘法公式，可得，同理； 第二轮操作中，若第一轮结束后，甲手中有2张“欢”字卡片或有2张“喜”字卡片，则在第二轮操作后，甲有2张“欢”字卡片的概率为0； 若第一轮结束后，甲手中有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片，则甲有2张“欢”字卡片的概率为， 故，同理可得； （2）由对称性可知， 而只有在次操作后，甲手中有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片时，甲才有的概率在第次有2张“欢”字卡片， 若在次操作后，甲手中有2张“欢”字卡片或有2张“喜”字卡片，则在第轮操作后，甲有2张“欢”字卡片的概率为0， 所以当时，，化简得， 则可构造为， 所以是一个以为首项，以为公比的等比数列， 可得，所以， 所以. 3.(江苏南京市中华中学2026届高三模拟预测)小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷． (1)求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率； (2)规定第一次从小明开始，在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值； 【答案】(1) (2)分布列见解析，均值为 (3) 【解析】（1）设事件为“小明投掷一次骰子后，点数之和为4的倍数”， 则基本事件为： ， ， ， 总数为36， 事件包含的基本事件有：， 共9个基本事件，所以. （2）由（1）知小芳投掷一次后，出现点数之和是4的倍数的概率也为， 由题意知可取值为，则： ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为：. （3）若第一次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况： 第一种情况：第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为， 第二种情况：第次由小明投掷，第次由小芳投掷，其概率为， 由于这两种情况彼此互斥，所以， 所以，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 4.（浙江省宁波市2025-2026学年第二学期高考模拟）某自动文本生成工具存在两种常见状态：状态1为生成状态，在此状态下，工具根据用户输入的提示､主题或参数，利用预训练模型生成文本内容；状态2为优化状态，在此状态下，工具对已生成的文本进行校对､润色､改写或结构优化.已知该文本生成工具能自动进行状态切换或保持，每进行一次状态切换或保持称为一次自动操作.假设首次（第一次）自动操作后处于状态1和状态2的概率均为，且之后每次自动操作后所处的状态仅与操作前的状态有关，与更早的状态无关.表示从第二次自动操作开始，每次自动操作时从状态到状态的概率，若，且. (1)记前2次自动操作后的状态中状态为1的次数为， （i）求前2次自动操作后的状态中第一次状态为1，第二次状态为2的概率； （ii）求随机变量的期望； (2)记事件：前次自动操作后的状态中状态1和状态2均为次，当时，证明：. 【答案】(1)（i） （ii）1 (2)证明见解析 【解析】（1）记事件：前次操作后处于状态1，则事件：前次操作后处于状态2， 由已知得. （i）即求； （ii）的可能取值有， ， ， ， 所以； （2）事件表示发生且第次操作后处于状态1，事件表示发生且第次操 作后处于状态2，显然，且， 当时，由， 得， 又 ， ， 而 ， 得 ， 所以. 5.（东北三省三校2026届高三下学期第二次模拟）在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记为第个时间步长车辆所在的车道（）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记为一步转移概率,矩阵为一步转移概率矩阵. 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为. (1)已知时刻车辆处于车道0的概率为,处于车道1的概率为. ①写出该模型的一步转移概率矩阵； ②若时刻车辆处于车道1,求时刻车辆处于车道0的概率. (2) 在第（1）问的初始概率条件下,记（）,求随机变量的分布列（结果用含的式子表示） 【答案】(1)① ② (2)详解见解析 【解析】（1）①由题意，车道转移概率： 当前在车道0时，留在0的概率为，变道到1的概率为； 当前在车道1时，变道到0的概率为，留在1的概率为； 因此一步转移的概率矩阵为. ②设事件：时刻车辆在车道0，：时刻车辆在车道1，：时刻车辆在车道1， 已知，，，， 由贝叶斯公式. （2）设，由全概率公式得递推关系， 则，首项， 因此通项为：. 所以. 故的分布列为 0 1 6.（山东济宁市2026年高考第一次模拟）2026年春节期间，甲乙两名同学在商场参加一个小游戏，且分在同一组.现有三个不透明的盒子，盒中分别装有若干个除颜色不同外，其他均相同的球，盒中有1个红球，2个黄球；盒中有1个红球，3个黄球；盒中有5个红球，3个黄球.游戏规则如下：两人为一组参加游戏，游戏按轮依次进行，每一轮都是甲先从盒中随机摸出1个小球，记录颜色后再放回盒内，然后，乙根据甲摸到小球的颜色在指定的盒子中有放回地摸一个小球.若甲摸到红球，则乙从盒中摸球；若甲摸到黄球，则乙从盒中摸球.记录乙摸出小球的颜色后放回小球，本轮结束.在一轮摸球过程中，若甲和乙摸出的小球颜色相同，则二人获得一张“骐骥”卡片；若颜色不同，则二人获得一张“驰骋”卡片.规定连续两轮获得“驰骋”卡片时游戏结束，否则，继续游戏.假设每轮摸球结果互不影响. (1)求甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率； (2)记甲乙两人在第轮摸球结束时依然未终止摸球游戏的概率为，且. （i）求； （ii）求，并判断：当时，是否无限趋近于一个常数？若是，求出的值；若不是，请说明理由 【答案】(1) (2)（i），（ii），当时，是否无限趋近于一个常数，即. 【解析】（1）甲从A盒中摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为，乙从B盒中摸到黄球的概率为， 红球的概率为，乙从C盒中摸到黄球的概率为，红球的概率为， 故甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率为. （2）（i）, , （ii）设事件表示甲乙两人在第轮摸球游戏中获得“驰骋”卡片， 则 ， 则，或 又， 当时，， 所以，， ， 故为等比数列，且公比为，首项为， 则，故， 而满足上式，因此； 当时，， 则，则， 故为等比数列，且公比为，首项为， 故， 而满足上式，因此， ， 当时，则. 综上可得：故当时，无限趋近于一个常数，即. 7.（山东淄博市2025-2026学年高三下学期模拟）甲口袋中装有3个红球，乙口袋中装有2个黄球和1个红球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记乙口袋中黄球个数为，恰有2个黄球的概率为，恰有1个黄球的概率为. (1)求，和，； (2)求的数学期望（用表示）； (3)，若，有 ，求所有元素之和. 【答案】(1)，，， (2) (3) 【解析】（1）依题意，，， ， . （2）设表示次取球后乙口袋有2个黄球，表示次取球后乙口袋有1个黄球， 表示一次操作甲乙都取的是红球，表示一次操作甲取的是红球同时乙取的是黄球， 表示一次操作甲取的是黄球同时乙取的是红球，表示一次操作甲，乙都取黄球， 当时， 则， ， ， ， 因此，即，， 所以是为首项为公比的等比数列. 故. 依题意，的分布列为 0 1 2 故期望. （3）由（2）知， ， 而所有元素之和可以看作集合中所有子集中元素之和. 设集合为一共有个不同的元素， 而一个包含的子集，对于剩下的个元素， 每个元素可以独立地选择“放入子集”或“不放入子集”， 因此对于剩下的个元素，每个都有2种选择，由乘法原理，这样的子集个数为， 由此可知一个所有子集中元素之和为该集合各个元素之和的倍， 故所有元素之和可写为， 令 所以 故 ， 所以． 故所有元素之和可写为. 8.（江西省重点中学协作体2026届高三第一次联考）小明玩一个掷骰子游戏：每次同时掷三枚均匀的六面骰子（点数从1到6），记录点数和.每枚骰子朝上的点数互不影响，游戏规则如下： •若连续两次点数和大于等于12，则游戏立即结束. •若某次点数和小于12，则之前的“点数和大于等于12”的次数清零，并从下一次重新开始计数. 以当前连续点数和大于等于12的次数作为状态，记状态0为上一次点数和小于12或刚开始，状态1为上一次点数和大于等于12，状态2为游戏结束. (1)求一次掷三枚骰子，点数和大于等于12的概率p. (2)设从状态0开始，记第n次掷骰子后游戏首次结束（即首次到达状态2）的概率为. ①求，； ②证明：数列满足递推关系（，）； (3)以掷骰子的次数为步数，构成一个马尔可夫链. 设从状态0、状态1出发到游戏结束所需步数的期望分别为、． 考虑当前状态与下一步可能转移的状态，建立关于、的方程组（例如：在状态0时，掷一次骰子后可能仍处于状态0或进入状态1，步数期望如何表达？）；以此为依据解答下列问题： 设随机变量X表示从开始到游戏结束时所需的掷骰子次数（即首次到达状态2的步数），求X的数学期望 【答案】(1) (2)①，②证明见解析(3) 【解析】（1）同时掷三枚均匀的六面骰子，每枚骰子有6种等可能的结果， 因此总基本事件数为. 三枚骰子的点数和范围为，且满足对称性： 点数和为的情况数，与点数和为的情况数完全相等. 枚举点数和≥12的所有基本事件数： 点数和为12：25种； 点数和为13：21种； 点数和为14：15种； 点数和为15：10种； 点数和为16：6种； 点数和为17：3种； 点数和为18：1种. 满足“点数和≥12”的基本事件总数为：. 由古典概型的概率公式得. （2）①由题意，表示从状态0开始，第次掷骰子后游戏首次结束的概率. 对于：游戏结束的充要条件是“连续两次点数和≥12”，仅进行1次投掷无法满足“连续两次”的要求，因此第1次投掷后不可能首次结束，故. 对于：第2次投掷后首次结束，需满足第1次、第2次的点数和均≥12（状态转移为：状态0→状态1→状态2）. 由于两次投掷相互独立，得. 故，. ②证明：设事件为“第次掷骰子后游戏首次结束”，则. 事件可分解为以下两个互斥事件的和： 事件：第一次掷骰子点数和小于12，且后续次投掷中游戏首次结束 第一次点数和小于12的概率为，根据游戏规则，点数和小于12时， 此前的连续计数清零，回到初始状态0.此时要在第次首次结束， 等价于从初始状态0出发，在后续次投掷中首次结束，该事件的概率为， 由独立事件的概率乘法公式，. 事件：第一次掷骰子点数和大于等于12、第二次掷骰子点数和小于12，且后续次投掷中游戏首次结束 第一次点数和大于等于12的概率为，第二次点数和小于12的概率为；根据游戏规则，第二次点数和小于12时，连续计数清零，回到初始状态0.此时要在第次首次结束，等价于从初始状态0出发，在后续次投掷中首次结束，该事件的概率为. 由独立事件的概率乘法公式，. 由于事件与事件互斥，，得： . （3）由题意，随机变量表示从开始（状态0）到游戏结束的投掷次数，因此. 根据马尔可夫链的状态转移规则，建立线性方程组： 从状态0出发：投掷1次骰子（步数+1），以概率转移到状态1，以概率留在状态0， 因此， 从状态1出发：投掷1次骰子（步数+1），以概率转移到状态2（游戏结束，剩余期望步数为0）， 以概率回到状态0，因此， 对第一个方程化简：， 将式(1)代入第二个方程，=可得：， 展开得，移项合并得 所以，解得： 将式(2)代入式(1)，得：， 将代入，计算得：. 因此，随机变量的数学期望. 9.（湖北武汉市2026届高中毕业生三月调研）有张编号分别为到的卡片，横向随机排列.对于这张卡片，初始状态下卡片标号从左到右为，，…，记此时的卡片排列为（，，…）.对这张卡片的排列进行如下三步操作：1.取出最左边的卡片，记其标号为；2.剩余卡片中，标号小于的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为，，…（若不存在则为空），标号大于的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为，，…（若不存在则为空）；3.对这张卡片重新排列，得到新排列：（，，…，k，，，…）.每进行完上述三步操作，称为一次“完整操作”. (1)若初始排列为，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列； (2)求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到的顺序排列的概率； (3)记初始排列中有个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到的顺序排列，当时，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1）第一次完整操作： 初始排列为，最左边的卡片标号， 可得标号小于的卡片，， 标号大于的卡片， 重新排列得到新排列， 第二次完整操作： 最左边的卡片标号， 可得标号小于的卡片， 标号大于的卡片，，， 重新排列得到新排列. 连续经过两次完整操作后得到的新排列. （2）要使初始排列经过一次完整操作后恰好能得到的顺序排列，必须满足： ，即原排列中小于的个元素已经是递增顺序； ，即原排列中大于的个元素已经是递增顺序； 首元素为时，剩余个位置由已经各自内部有序的和穿插而成， 确定中元素的位置可确定整个排列，共有种排法， 又因为可以取遍中的任意整数， 所以满足条件的初始排列总数为. 又因为个元素的全排列总数为， 所以初始排列经过一次完整操作后恰好能得到的顺序排列的概率. （3）对于任意操作所得的（，，…，k，，，…），由于后续操作取当前排列的最左侧的元素， 其必然小于中的所有元素，因此作为整体，在后续操作中永远被划分在基准数的右侧， 其内部元素的相对顺序不在改变. 要使排列经过连续若干次完整操作后能得到的顺序排列，必须满足： 本身必须是长度为个且能通过后续操作完成排序的排列，共有种； 必须是首次划分时已经是递增顺序； 首元素为时，穿插和的排法数为种排法，又因为可以取遍中的任意整数， 所以数列的递推公式为：，其中（规定）， 根据递推公式，展开可得， 展开可得， 欲证明，即证， 即， 等价于证明， 对求和的任意一项，由于且， 则由组合数性质得， 所以， 所以. 10.（广东省东莞市2025-2026学年上学期期末检测）座位错排问题是一个十分有趣的数学问题．现有编号为的共个同学及与其对应的编号为的座位，即第位同学的座位编号为，定义错排数为将共个同学安排在编号为的共个座位上，其中有个同学不在其对应座位上的情况数．例如．另外，规定. （1）计算：； （2）当时，随机地将这4位同学安排在4个座位上，设不在其对应座位上的同学人数为，在其对应座位上的同学人数为，计，求的分布列及期望； （3）定义错排概率为随机地将这位同学安排在个座位上，其中有个同学不在其对应座位上的概率，证明：． 【答案】（1）3；9 （2）分布列见解析，； （3）证明见解析. 【解析】（1）表示将3人排在3个座位上有2人错排，1人在正确的位置上， 故， 表示将4人排在4个座位上有4人错排，没有人在正确的位置上， 则； （2）由题可知的所有可能取值0，2，4， ， ， ， 所以的分布列为 0 2 4 ； （3）证明：根据定义， 先从个元素中选出个元素，再对它们进行排列，并使它们均不排在对应位置上， 所以，所以． 不妨记，则，且， 得， 则，又， 故是以1为首项，-1为公比的等比数列， 所以， 变形得， 则当时，， 将上式累加得， 经检验也符合上式，所以， 所以，得证 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $