第3题向量分类训练案-2026届高考数学三轮冲刺

该高中数学高考复习学案系统梳理了向量核心考点，涵盖概念、运算、基本定理及几何应用，按考情分析、知识点梳理、真题演练、分类训练构建层级网络，通过问题导向任务引导学生自主关联知识，形成从基础到应用的完整认知体系。 亮点在于诊断性自测与分层训练设计，开篇真题及分类训练题帮助学生自主诊断薄弱，如向量平行垂直、模的计算等专题练习，培养数学思维与运算能力。教师可依据学情精准指导，助力学生个性化提升，有效培养自主复习能力。

2026年新高考第3题分类训练 向量 考点 3年考题 考情分析 向量 2025年新高考Ⅰ卷第6题 2025年新高考Ⅱ卷第12题 2024年新高考Ⅰ卷第3题 2024年新高考Ⅱ卷第3题 2023年新高考Ⅰ卷第3题 2023年新高考Ⅱ卷第13题 新高考对向量知识的考查要求：理解概念和运算，掌握向量基本定理，会用向量解决几何问题。均是客观题的形式进行考查，难度偶有变化，纵观近三年的新高考试题，可以预测2026年新高考命题方向可能会更灵活的出现在卷子的各位置上，形式比较多，但是单一考察难度不会太大． 1.（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第6题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【解析】由题意及图得，视风风速对应的向量为：，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速方向和船行风速的向量方向相反，设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，∴，船行风速：∴，∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 2．（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第12题）已知平面向量若，则 【答案】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【解析】，因为，则，则，解得.则，则. 故答案为：. 3．（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第3题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【解析】因为，所以，所以即，故， 故选：D. 4．（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第3题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【解析】因为，所以，即，又因为，所以，从而. 故选：B. 5．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第3题） 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【解析】因为，所以，， 由可得，，即，整理得：． 故选：D． 6．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第13题）已知向量，满足，，则______． 【答案】 【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解. 【解析】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即，则，所以. 法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即. 故答案为：. 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法： (1)字母表示法：如等. (2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如，等. (3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量的起点为在坐标原点，终点A坐标为，则称为的坐标，记为=. 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量与相等，记为. 4.零向量：长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的. 5.单位向量：长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定：与任一向量共线.注：共线向量又称为平行向量. 7.相反向量： 长度相等且方向相反的向量. 8.向量的运算 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 += = 记=(x1，y1)，=(x2，y2) 则=(x1+x2，y1+y2) =(x2-x1，y2-y1) += 实数与向量的乘积 记=(x，y) 则 两个向量的数量积 记 则=x1x2+y1y2 9.运算律 加法：①(交换律)； ②(结合律) 实数与向量的乘积：①； ②；③ 两个向量的数量积：①·=·； ②()·=·()=(·)；③(+)·=·+· 10. 运算性质及重要结论 (1)平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合. ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的. ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标， 即若A(x，y)，则=(x，y)；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1) (2)两个向量平行的充要条件 符号语言： 坐标语言为：设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0. (3)两个向量垂直的充要条件 符号语言： 坐标语言：设非零向量，则 (4)两个向量数量积的重要性质： ① 即 (求线段的长度)； ②(垂直的判断)； ③ (求角度). 11.向量在几何中的应用： ①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件 (x1，y1)=(x2，y2) ②证明垂直问题，常用垂直的充要条件 ③求夹角问题，利用 ④求线段的长度，可以利用或 向量的平行垂直 1.（吉林省长春市2026届高三质量监测（一））已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，所以，解得：. 故选：D 2.（吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试）已知向量，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】已知向量，若，则，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3.（浙江省温州市2026届高三上学期期末质量评价）已知是过，两点的直线的一个方向向量，则实数为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】已知，，所以是直线的一个方向向量；因为向量也是直线的方向向量，所以它与共线，所以，解得， 故选：A. 4.（四川省成都市多校2026届高三上学期第一次联合诊断性考试）已知向量，，且，则向量的坐标为 ． 【答案】或 【解析】设，由 ，所以或，所以或． 故答案为：或 5.（四川省成都市2026届高三第一次诊断性检测）已知，为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由存在实数，使，则，， 当时，，故充分性不成立，由，则， 故，所以，即，故，所以同向共线，即存在实数，使，必要性成立，所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件. 故选：B 向量模的问题（见模平方） 1.（山东省济南市2026届高三第一次模拟考试）若向量满足，且，则的值为 . 【答案】 【解析】因为，所以两边平方得，则， 因为，所以. 故答案为： 2.（浙江省强基联盟2026年1月高三联考）已知向量满足，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】因为，所以， 两式相减得，即． 又，所以，联立，解得,即． 故选：C． 3.（湖北省云学联盟2026届高三上学期期末联考）已知 ， ， 与 的夹角为 ，若 ，则 _____. 【答案】 【解析】 向量几何应用 1.（江苏省镇江市2026届高三第一学期零模）在中，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设交于，因为，，   所以，， 则, 故选：A 2.（2026届江苏省G4联考12月） 在梯形ABCD中，，与交于点O，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由梯形ABCD中，，可得，即，则，因为，，所以， 故选：B. 3.（2026届T8联考） 已知点 为 的重心,若 ,则 A. 0 B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】如图,延长 交 于点 ,则 . ,且 不共线, . 4.（江苏省镇江市2025-2026学年高三上学期期中）已知角，，的对边分别为，，，，为上一点，且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，则，，即，，，又，，即， ，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为8. 故选D. 5.（杭州学军中学高三上学期期末） 已知满足，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】A 【解析】因为，所以， 利用向量加法的几何意义知，对应的向量在的平分线上， 所以的平分线与边AC垂直， 所以的形状一定是等腰三角形． 故选：A． 6.（江西省2026届高中毕业班二月诊断考试）在平面直角坐标系中，，设，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取线段的中点（如图所示）. 因为，所以为等边三角形，， 所以点在以为圆心，以3为半径的圆上运动，则，即. 所以. 故选：B. 投影向量 1.（四川省字节精准教育联盟2025-2026学年第二阶段学情考试）若向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：C． 2.（安徽省黄山市2026届高三第一次质量检测）已知，在上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】由题意得在上的投影向量为，则，则，则. 故选：B. 3.（广东省2026届普通高中毕业班第二次调研）已知向量在向量上的投影向量为，，则（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】． 故选A 4.（贵州省名校协作体2025-2026学年高三质量监测）已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【解析】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，又，所以向量与向量的夹角为，即. 故选：B. 5.（九江市2026届第一次高考模拟统一考试）注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量（表示我在寻找什么？）､键向量（表示我有什么可提供？）和值向量（表示我实际提供的内容是什么）。在计算注意力时，首先用与各个计算相似度，然后求权重，记，则注意力输出向量为。现有，，则注意力输出向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，， ，计算权重，所以， 可得权重向量， 所以，， ，注意力输出向量为． 故选：A． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年新高考第3题分类训练 向量 考点 3年考题 考情分析 向量 2025年新高考Ⅰ卷第6题 2025年新高考Ⅱ卷第12题 2024年新高考Ⅰ卷第3题 2024年新高考Ⅱ卷第3题 2023年新高考Ⅰ卷第3题 2023年新高考Ⅱ卷第13题 新高考对向量知识的考查要求：理解概念和运算，掌握向量基本定理，会用向量解决几何问题。均是客观题的形式进行考查，难度偶有变化，纵观近三年的新高考试题，可以预测2026年新高考命题方向可能会更灵活的出现在卷子的各位置上，形式比较多，但是单一考察难度不会太大． 1.（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第6题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（   ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 2．（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第12题）已知平面向量若，则 3．（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第3题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第3题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 5．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第3题） 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 6．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第13题）已知向量，满足，，则______． 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法： (1)字母表示法：如等. (2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如，等. (3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量的起点为在坐标原点，终点A坐标为，则称为的坐标，记为=. 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量与相等，记为. 4.零向量：长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的. 5.单位向量：长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定：与任一向量共线.注：共线向量又称为平行向量. 7.相反向量： 长度相等且方向相反的向量. 8.向量的运算 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 += = 记=(x1，y1)，=(x2，y2) 则=(x1+x2，y1+y2) =(x2-x1，y2-y1) += 实数与向量的乘积 记=(x，y) 则 两个向量的数量积 记 则=x1x2+y1y2 9.运算律 加法：①(交换律)； ②(结合律) 实数与向量的乘积：①； ②；③ 两个向量的数量积：①·=·； ②()·=·()=(·)；③(+)·=·+· 10. 运算性质及重要结论 (1)平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合. ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的. ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标， 即若A(x，y)，则=(x，y)；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1) (2)两个向量平行的充要条件 符号语言： 坐标语言为：设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0. (3)两个向量垂直的充要条件 符号语言： 坐标语言：设非零向量，则 (4)两个向量数量积的重要性质： ① 即 (求线段的长度)； ②(垂直的判断)； ③ (求角度). 11.向量在几何中的应用： ①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件 (x1，y1)=(x2，y2) ②证明垂直问题，常用垂直的充要条件 ③求夹角问题，利用 ④求线段的长度，可以利用或 向量的平行垂直 1.（吉林省长春市2026届高三质量监测（一））已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 2.（吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试）已知向量，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（浙江省温州市2026届高三上学期期末质量评价）已知是过，两点的直线的一个方向向量，则实数为（ ） A. B. C. 1 D. 4 4.（四川省成都市多校2026届高三上学期第一次联合诊断性考试）已知向量，，且，则向量的坐标为 ． 5.（四川省成都市2026届高三第一次诊断性检测）已知，为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 向量模的问题（见模平方） 1.（山东省济南市2026届高三第一次模拟考试）若向量满足，且，则的值为 . 2.（浙江省强基联盟2026年1月高三联考）已知向量满足，且，则（   ） A． B． C． D．2 3.（湖北省云学联盟2026届高三上学期期末联考）已知 ， ， 与 的夹角为 ，若 ，则 _____. 向量几何应用 1.（江苏省镇江市2026届高三第一学期零模）在中，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 2.（2026届江苏省G4联考12月） 在梯形ABCD中，，与交于点O，记，，则（ ） A. B. C. D. 3.（2026届T8联考） 已知点 为 的重心,若 ,则 A. 0 B. 1 C. D. 3 4.（江苏省镇江市2025-2026学年高三上学期期中）已知角，，的对边分别为，，，，为上一点，且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 5.（杭州学军中学高三上学期期末） 已知满足，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 6.（江西省2026届高中毕业班二月诊断考试）在平面直角坐标系中，，设，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 投影向量 1.（四川省字节精准教育联盟2025-2026学年第二阶段学情考试）若向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2.（安徽省黄山市2026届高三第一次质量检测）已知，在上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D．4 3.（广东省2026届普通高中毕业班第二次调研）已知向量在向量上的投影向量为，，则（ ） A． B． C． D．3 4.（贵州省名校协作体2025-2026学年高三质量监测）已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 5.（九江市2026届第一次高考模拟统一考试）注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量（表示我在寻找什么？）､键向量（表示我有什么可提供？）和值向量（表示我实际提供的内容是什么）。在计算注意力时，首先用与各个计算相似度，然后求权重，记，则注意力输出向量为。现有，，则注意力输出向量为（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $